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第二章 矩阵及其运算2.1 目的要求1．理解矩阵的概念；2．了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质； 3．掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4．理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆； 5．了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则．2.2重要公式和结论1．对于任意方阵A , 总有 E A =A A =AA **，如果0≠A , 即A 为可逆矩阵, 则有 *1A AA1=−或1*A A A −=； 2．数乘以方阵的关系 , TTk k A A =)(111)(−−=A A kk , A A n k k =, A A 11=−；3．矩阵乘法的关系T T T A B (AB)=, , 111A B (AB)−−−=BA AB =；，()22T TA)(A =()2112A )(A−−=，22A A =；4．若A 、均为可逆矩阵, 则; ； B 10B A 0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0AB 011⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111B 00A B 00A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B 0CB A A B 0C A ；； ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B CA B 0A BC 0A 5．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)2(≥n 1n *AA −=；6．已知A 为一个阶矩阵，则n A A nk k =，1−=n nk k A A *，()1)1(*−−=n n n kk AA ；7．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)3(≥n A AA 2**)(−=n ．2.3典型例题例2.1计算:(1) (2) .⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(()n n b b a a L M 11⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛解 (1) =;⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(∑==+n k k k n n b a b a b a 111L (2) . ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a L M M M L L L M 21222121211111例2.2 设 为三阶矩阵, 且已知)(j i a =A a =A , *A 为A 的伴随矩阵又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211na na na ma ma ma la la la B , 求 *BA 解 由于 CA B =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211333231232221131211000000a a a a a a a a a n m l na na na ma ma ma la la la 其中, ，故⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n m l 000000C ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛====an am al a 000000C E A C CAA BA **．例2.3 设, , 求的关系, 使⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3421A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x 21B y x 与A 与是可交换的． B 解 要使A , 可交换, 即B BA AB =又⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x y x y x 3464214213421AB ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y y x x y x 3442324342121BA 故的充要条件是 ， 得到 BA AB =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=++=++=+yy y x x y x x 343442643221441−=y x .例2.4 设n ×=1)21,0,,0,21(L C , , ,计算C C E A T −=C 2C E B T +=AB ．解: C)C C)(E C (E AB TT +−=C CC 2C C C C 2C E T T T T −−+= )C (CC 2C C C E TTT−+=C C 212C C E T T ××−+=E = 故 E AB =．例2.5 设. , 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5423A 1−A解 由于075423≠==A , 故A 是可逆的，又， 故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=342522122111*A A A A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−3425711*1A A A ． 例2.6 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 是常数, 试证 k ()*A A 1*−=n k k ． 证明 把看作一个整体, 根据A k E A AA *=, 有 ()E A A A )()(*k k k =，由于A 是可逆的,则也是可逆的，故)(A k ()*11111*1)()(A A A A A A A A −−−−−==×==n n n k k kk k k k ． 证毕例2.7 设, ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2111021100210001A *A 为A 的伴随矩阵, 求． **)(A 解 由于 082111021100210001≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆；根据E A AA *=, 有 E A )(A A ****=，方程左右两边同时左乘以A ，得 E A A )(A AA ****=， 即 A A A)(A ***1=， 又 1n *A A −=, A 是4阶矩阵，故 10001200()6411201112−⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠n 22**A AA AA ． 例2.8 设A , 是n 阶方阵, 若B AB E −可逆, 试证 BA E −也可逆 ．证明 由于A AB)AB)(E B(E E BA E 1−−−−=−A AB)BAB)(E (B E 1−−−−=A AB)BA)B(E (E E 1−−−−=移项得到E A AB)BA)B(E (E BA)(E 1=−−+−−即E A)AB)B(E BA)(E (E 1=−−−−根据可逆矩阵的定义, BA E −可逆, 并且．证毕A AB)B(E E BA)(E 11−−−+=−例2.9 设, 求．⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=00010000200010L L MM M MLL n n n A 1−nA 解 对矩阵分块, , 其中 n A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0CB 0A n )(n =C ， ， ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001n L M M M L L B 故1(1n=−C , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−)1(10002100011n L M M M LLB， 根据分块矩阵的逆矩阵公式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−−0B C 00C B 0A 1111n⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0)1(100021000011000n n LM M M M L L L ． 例2.10 设阶方阵 , , 求, 使n ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100001010A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=021102341B X B AX =． 解 由于01100001010≠−==A , 故A 是可逆的; 并且 ；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000010101A 方程左右两边同时左乘以1−A 得到⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−021341102021102341100001010B A X 1．例2.11 设,求, 使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=134030201A X X A E AX 2+=+．解 对方程移项得 E A X AX 2−=−， 根据矩阵乘法分配律得E A E)X (A 2−=−由于 016034020200≠−==−E A , 故E A −可逆．方程左右两边同时左乘以, 得(1−−E A )()()E)(A E A E)(A E A E)(A X 121+−−=−−=−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=234040202E)(A例2.12 设, 求. 其中E BA)B X(E TT1=−−X , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312B 解 根据乘法转置公式得 TTT(AB)A B =T T 1T T1A)(B A)]B [B(E BA)B (E −=−=−−−又 011234012300120001)(≠==−TA B , 故可逆， 对方程 右乘以[， 得到 ． T )(A B −E A)X(B T=−]1)(−−T A B []⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−12100121001200011T A)(B X例2.13 设A 的伴随矩阵, 求, 使． ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A B 3E BA ABA 11+=−−解 根据, 得到 3E BA ABA 11+=−−()3E BA E A 1=−−故 皆是可逆的, 并且A E,A −()()()1111A E A A E AB −−−−−=−=33[]1111)A (E E))(A (A −−−−−=−=33又由1n *AA −=, 8*=A , , 故 4=n 2=A ，1*1*11)A E ()A (E )A (E B −−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−=22132133 11*1*60300101001000016)2(6)2(213−−−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=A E A E B . ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=1030060600600006例2.14 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 试证(1) 若0=A , 则0*=A ； (2) 1*−=n AA ； (3) 1)1(*)(−−=n n n kk AA ．证明 (1 ) 根据0=A 得到0A =与0A ≠两种情况，① 当0A =时, 则, 显然0A *=0*=A ；② 当0A ≠时, 利用反证法, 不妨反设0*≠A ，则可逆, 即存在*A 1*−A , 又由于E A AA *=,0=A ，得到0)(A 0)(A A A 1*1*=⋅==−−, 这与矛盾.假设0A ≠0*≠A 不成立．故综合①②得到若0=A , 则0*=A .(2 ) 分0=A 和0≠A 两种情况，① 当0=A 时, 由(1)得到0*=A , 显然有1*−=n AA ．② 当0≠A 时, 则A 可逆, 由E A AA *=引入行列式得到n*A A A =, 从而1n *AA −=．(3 ) 根据(2 )中1n *AA −=得到1)1(11*)()()(−−−−===n n n n n n k k k k AA A A ．例2.15 设A , 均为阶方阵, B n 2=A , 3−=B , 求1*B)(A −2．解1*n1*1*1*B A B A B)(A B)(A −−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===212122， 又根据E BB1=−, 得到1=−1B B , 即BB 11=−, 以及1−=n A A *，所以6131)2(212121−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−××⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−−n n1*n1*B A B)(A例2.16 设5阶矩阵A , 且2=A , 求A A −． 解 由于2=A , ()()6423225−=×−=−=−=−A A AA A 5．例2.17 设A , 均为3阶矩阵, B 2=A , 21=B , 求()*AB ． 解()()122122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛====−−1313*****ABA B A B AB ． 例2.18 设阶矩阵n A , 有E A m=, 若A 中每个元素用其对应的代数余子式代替, 得到矩阵, 求．ij a ij A B mB 解 依题意, 得 , (其中T *)(A B =*A 为A 的伴随矩阵)，由E A m=, 得到1=m A ,即A 是可逆的，故 1ΤΤ1Τ1Τ*)(ΑΑ)(ΑΑ)ΑΑ()(ΑΒ−−−====，又由, 得111A B (AB)−−−=T T T A B (AB)=()()222112)(,)(T T A A A A ==−−，所以 ()()11)()(−−=T m mTA A , 故()()E A A AB===−−11)()(Tm T m mm．例2.19 设⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=21232321A , 且E A 6=, 求11A 解 由 E A 6=, 得E A12=, 即E AA 11=, 故⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−212323211A A 11. 例2.20 设, )5,4,3,2,1(=A ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=51,41,31,21,1B , 又B A X T =, 求n X 解 由X XX XnL =B)(A B)B)(A(A T TTL =()()()B BA BA BA A T T T T L =又因为，故 5=T BA ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==−−514131211543215511n n n B A X T ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−145352555413424534312335242321251413121151n ． 例2.21 设, 满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =,求A , 9A ．解．由于01112012001≠−=−=P , 故是可逆的,且，P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−1140120011P 由题意, ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==−1140120011000000011120120011PBPA ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001又 A PBP P PB PBP PBPA 119119====−−−−L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001．例2.22 设, 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λA nA ． 解 由于 ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==1021101101λλλAA A 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==10311011021λλλA A A 23不妨假设结论,下用归纳法证明. 当⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA 2=k 时,显然成立， 不妨设时也成立, 即, 则当1−=n k ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−10)1(11λn n An k =时⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−10110110)1(1λλλn n A A A 1n n ，故结论成立, 即． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA2.4 独立作业2.4.1 基础练习1．设阶矩阵, 且n )(ij a =A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n λλO 1D )(j i j i ≠≠λλ则=AD （A ）()ij i a λ ； （B ）()j ij a λ； （C ）()ij i a 1+λ ； （D ）以上都不对． 2．设A 、均为阶矩阵，下列命题正确的是 B n（A ）0B 0A 0AB ==⇒=或； （B ）0B 0A 0AB ≠≠⇔≠且； （C ）00==⇒=B A 0AB 或； （D ）00≠≠⇔≠B A 0AB 且． 3．设阶矩阵满足， 则有 n E ABC =（A ） （B ）E ACB =E CBA = （C ）E BAC = （D ）E BCA =4．设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120001430A =A k（A ） （B ） （C ）311k −311k k 11− （D ） k 115．下列命题正确的是 （A ）若A 是阶方阵，且n 0A ≠，则A 可逆； （B ）若A 、是阶可逆方阵，则B n B A +也可逆； （C ）若A 是不可逆方阵，则必有0A =； （D ）若A 是阶方阵，则n A 可逆⇔TA 可逆．6．已知，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=210413121A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=121312410B ()T AB 7．设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0111,300121A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21A 00A A =−1A8．已知，则 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300041003A =−−1)(2E A9．设矩阵满足，其中B 9E 3B A AB 2−=−E 为三阶单位矩阵，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=400020101A , 则 =B10．已知，满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B A B AB =−，则=A 11．设，，求矩阵，使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=311201A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=041012B X B X A =+23成立．12．设，计算⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=141021001A ()()()2181644A A E A E A E +−−−−T ．13．设，,求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000210032101321B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000210002101021C A , 使成立．T T 1C B)A C(2E =−−14．设矩阵，，，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3152P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1001B ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2153Q PBQ A =， 试计算QP 和nA ．15．设（k 为正整数），（1）试证 ；0A k =1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）求． 1)4(−−E)(A 2.4.2提高练习1．设A 为阶矩阵,且有n A A 2=,则结论正确的是________________ (A)(B) 0A =E A = (C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2=2．已知，，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a a a a A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y a x a 2111B 1,1==B A ，则=+B A (A) 2； (B) 3; (C) 4; (D) 5．3．设 ，是两个阶方阵，则)(ij a =A )(ij b =B n AB 的第行是 i （A ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （B ） A 的各行的线性组合，组合系数是的第行各元素； B i （C ） 的各列的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （D ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第列各元素． i 4．设A 、、C 为可逆矩阵，则B ()=−1T ACB（A ） ； （B ） ；()1−−−C A B11T 11T A C B −−（C ） ( D ) ()1T 11B CA −−−()11T1A C B−−−．5．设A 为阶矩阵，为其伴随矩阵，则n *A =*A k （A ） A n k （B） nk A （C）1−n n k A（D）nn kA1−6．设三阶矩阵A 的行列式3=A ，则=−−*123A A7．设阶矩阵n A 的行列式5=A ，则()=−1*5A8．已知 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=θθθθcos sin sin cos A =−1A 9．设阶矩阵n A 、、C ，且B E CA BC AB ===，则 =++222C B A10．设A 、是四阶矩阵，且B 2=A ，21=B ，则()=*AB11．设三阶矩阵A 、Β满足关系式,BA 6A BA A 1+=−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，求 B 12．设 B A B A AX AXB 22+−+=，求．其中，X⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100110111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200020102B 13．设A 、均为阶方阵，若B n AB B A =+，求()1−−E A ．14．设, ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=211021001A *A 为A 的伴随矩阵, 求．1*)(−A第二章 参考答案与提示2.4.1 基础练习1．( B ) 提示 AD 表示A 的第i 行与D 的第列j 相乘得到()j ij a λ． 2．（C ）提示 0000==⇒=⇒=⇒=B A B A A 0AB 或B ． 3．（D ）提示 A 、、C 可逆，等式左乘以B 1−A ，右乘以A ． 4．（A ）提示 3311k k k −==A A ．5．（D ）提示 由于A 可逆⇔00≠⇔≠T A A ⇔TA 可逆．6．， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=15419102935121312410210413121AB ()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=1541910293511995103425TAB ． 7．⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−110100000310000112111A 00A A．8．，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000210012E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000212100121E A ． 9． ， ，E B A AB 293−=−E A B AB 293−=−)333E E)(A (A E)B (A +−=−由于021*********≠=−−=−E A ，故E)A 3(−是可逆的，．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=7000501043E)(A B 10．A B AB =− ， ，B E)A(B =−04100002020≠=−=−E B ，E B −是可逆的,⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=−200012102111000021021020********E)B(B A ．11．()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−=91461121321A B X ．12．()()()21T A A E A E A E +−−−−81644()()()A E A)E (A E A E 1T−−−−=−4444()()A E A E T−−=44()24A E −=324182==．13．左乘以C ，，由于 E B)A C (T=−20110002100321043212≠==−B C ，故 是可逆的，(． B C −2()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−=−−−1210012100120001222C 1T T1B)C (B)C (B)A 14．，即、互为逆矩阵， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=100131522153QP P Q ()()()()BQ QP QP B QP PB PBQ A nn L ==Q PB n =，由于，故．）（－L ,2,1,122===k k kBB E B⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==为奇数为偶数n n 1162011A E A n 15．（1）由于()1k AA E A)(E −+++−L )A A (A )AA (E n 21k +++−+++=−L LE A E n =−=， 故 ，1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）()111A)(E A))(E (E))(A (−−−−−=−−=−4144()1k A A E −+++−=L 41． 2.4.2提高练习 1．（D ）提示：，若0E)A(A A A2=−⇔=A 可逆，则E A =，E A 2=．2．（C ）提示：,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+y a ax a a 2221121122B A 422221112221121122211211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++=+y a x a a a a a y a a x a a B A ． 3．（A ）提示：乘积AB 的第行是i A 的第行与的列的乘积． i B n ,,1L 4．（D ）提示：()()()()()()1−−−−−−−===A C B AC B B AC ACB1T 111T 1T 1T ．5．（C ）提示：1**−==n nn k k k AA A ．6．()()()9313133232333111*1−=×−=−=−=−=−−−−−AA A A A A A ．7．()n n n n211*1*1*5151151)(515−−−−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛==A AA A． 8．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−θθθθcos sin sin cos 1*1A A A ． 9．由于E CA BC AB ===，故 ，2A A(BC)A ABCA E ===2B B(CA)B BCAB E ===，，2C C(AB)C CABC E ===所以 ．E CB A 2223=++10．()()11=====−3341*)B A (AB ABABAB AB AB ．11．由于，，右乘以得BA A BA A 1+=−6A E)BA (A 16=−−1−A E E)B (A16=−−又可逆．故A)(E −16−−−=E)(A B1⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=6100031000216． 12．方程整理得B E)A)(B A(X =−−由于0≠A ，0≠−E B ，故A 、E B −是可逆的，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−1001102111A ，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000101011E B 所以11E)B(B A A X −−−=− ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=200220522100010101200020102100110211故 ． ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=300330613X 13．由于AB B A =+B AB A −=⇒()B E A A −=⇒（但是B 不一定可逆，不能同时右乘以1−B）()()B E A E E A −=+−⇒()()E E B E A =−−⇒，故 ()E)(B E A 1−=−−．14．由于0421102101≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆的； 根据E A AA *=, 有 E )(A A **=−1方程左右两边同时左乘以A 得，AE )(A AA **=−1即 A A )(A *11=−， 故 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−2110210014111A A )(A *．。
第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。
记做A=B。
3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。
纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。
