2015-2016高中数学 1.5.1曲边梯形的面积学案 新人教A版选修2-2

《曲边梯形的面积》教学设计长春市九台区第一中学火丹一、教学内容解析本节课是人教A版选修2-2第一章第五节《定积分的概念》的起始课．曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础二、学生学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：1、学生了解了割圆术的基本思想和操作方法．2、学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论．3、学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识．学生在本节课学习中将会面临两个难点：1、如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算．2、对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值．三、教学目标设置根据本节课的教学内容以及学生的认知水平，我确定了本节课的教学目标：1 理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”．2 经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想．3 通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想．重点是：探究求曲边梯形面积的方法．难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法．四、教学策略分析针对本节课的重点——探究求曲边梯形面积的方法，教学中采用从一般到特殊再到一般的教学过程，先通过讨论一般的曲边梯形如何以直代曲，再通过特例应用实施，小结步骤，最后进行一般推广，共性归纳，从而逐步强化求曲边梯形面积的方法和步骤，突出教学重点．本节课的难点之一就是如何“以直代曲”．针对这个难点，教学中采取两个措施．一是引导学生在回顾割圆术的过程中思考：为什么用正多边形计算圆的面积？为什么让边数逐次加倍？怎样才能“越来越接近”？通过以上几个问题的讨论使学生对割圆术的认识不仅仅停留在思想和方法层面，同时使学生对具体的操作程序有一定的认识．二是让学生课上讨论，通过分析和比较各种方案优劣繁简，为后面的具体操作奠定基础．本节课的另一个难点是对“极限”和“无限逼近”的理解．针对这个难点，教学中先分别采用图形方式呈现逐渐细分和无限逼近的过程，再在此基础上引出取极限的方法，使学生从感性认识上升到理性认识的过程水到渠成．再用几何画板呈现分割过程，夯实理论知识。

1.5.1 曲边梯形的面积一、教学内容[解析]微积分的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数和定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用．曲边梯形的面积是定积分概念的几何背景，求曲边梯形面积的过程蕴含着定积分的基本思想方法，为引入定积分的概念和体会定积分的基本思想奠定基础二、学生学情分析：学生的思维比较活跃，数学基础较好，理解能力、运算能力和学习交流能力较强．学生在本节课之前已经具备的认知基础有如下几个方面.（1）在过去的学习中，学生已经知道“直边图形”面积的求法，知道通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积.（2）学生在学习本节前已经知道如何对数列进行求和.学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲、无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上，具体来说就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算；二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值.三、教学目标分析依据教学大纲，结合教材内容和学生的认知水平，我将本节课的教学目标确定如下：（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学知识产生的过程，提升学生的交流合作意识，体验“有限与无限对应统一”的辩证观点.四、教学重点、难点：重点：探究求曲边梯形面积的方法.难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”思想的方法.五、教学策略分析：根据本节课的教学内容，学生情况和教学目标，为了突出教学重点，突破难点，体现新课标“以人为本，主动发展”的教学理念，教学中采用“教师设疑引导，学生交流合作”的教学方法，通过问题激发学生的思维，鼓励学生发现、探究、合作、交流、展示，使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

学校：临清一中学科：数学编写人：张华审稿人：张林1.5.1曲边梯形的面积【教学目标】1、通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。

理解求曲面梯形的一般步骤。

2、通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。

通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。

3、体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。

【教学重难点】教学重点：求一般曲面梯形面积的方法。

教学难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标教师：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。

而现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？通过实际问题引发学生思考，可结合问题：“在‘割圆术’中, 是如何利用正多边形的面积得到圆的面积的?具体步骤如何?”做进一步引导，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。

（2）引导探究图4问题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）（3）自主探究探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？（分割）探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

（近似代替）、（求和）探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？（取极限）探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼原理的意义）由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。

老师及时点评指导，最后归纳、总结，讲评。

（四）反馈测评练习1：求直线x=0,x=1，y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

1．5 定积分的概念1．5.1 曲边梯形的面积1．了解求曲边梯形的面积的方法．2．了解“以直代曲”和逼近的思想，借助几何直观体会定积分的基本思想．基础梳理1．连续函数：如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a、x＝b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形(如图所示)．3．将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积S近似的表示为S＝S1＋S2＋…＋S n，当n越来越大，即小曲边梯形越来越多时，这些小曲边梯形的面积之和就无限趋近于曲边梯形的面积(如下图所示)．想一想：求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0，1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有小矩形的面积之和为________．解析：由题意得面积之和S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33. 自测自评 1．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上(D )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，随着n 的增大，f (x )的值的变化逐渐缩小，当n 很大时，f (x )的值变化很小．2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替(C )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0)解析：当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．基础巩固1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积时，若将区间[－1，1]n 等分，则每个小区间的长度为(B )A.1nB.2nC.2n －1 D.2n ＋12．在求由函数y ＝1x与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为(B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i nC ．[i －1，i ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n 解析：把区间[1，2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i 个小区间的左端点不小于1，故选B.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值(C ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1]D ．以上答案均不正确解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C 正确，故选C.4．在区间[1，10]上等间隔地插入8个点，则将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为1．能力提升5．对于由函数y ＝x 3和直线x ＝1，y ＝0围成的曲边梯形，把区间[0，1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi 取值均为小区间的左端点)是(A )A.19B.125 C.127 D.130解析：S ＝0×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19.6．在等分区间的情况下，f (x )＝11＋x 2(x ∈[0，2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是 (B )解析：将区间[0，2]进行n 等分每个区间长度为2n，故应选B.答案：38．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成曲边梯形，将区间[0，2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________．解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S 1＝(02＋1＋0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1)×0.4＝3.92； S 2＝(0.42＋1＋0.82＋1＋1.22＋1＋1.62＋1＋22＋1)×0.4＝5.52.答案：3.92 5.529．求出由直线x ＝0，x ＝3，y ＝0和曲线y ＝4－（x －1）2围成的平面图形的面积． 解析：圆(x －1)2＋y 2＝4在第一象限的面积如下图：∠ACB ＝2π3，OB ＝3，面积S ＝S △BOC ＋S 扇形ACB ＝32＋12×2×2×2π3 ＝32＋4π3. 10．求y ＝x 3与x ＝0，y ＝±2围成的图形的面积．解析：所求面积如图阴影部分，由对称性知S 1＝S 2，故所求面积为2S 1.先求y ＝x 3与y ＝0，x ＝0，x ＝2围成的面积S 1′如下：(1)分割：将[0，2]分成n 等份⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（i －1）n ，2i n (i ＝1，2，3，…，n )，每个小区间距离为Δx ＝2n.(2)近似代替：ΔS i ＝f (ξi )Δx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 3Δx . (3)求和：12S ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 3Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2i n 32n . (4)求极限：12S＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n n 3＝24[12＋23＋…＋n 3]n4＝24·14n2（n＋1）2n4＝4（n2＋2n＋1）n2＝4.所以由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形的面积S1′＝4，∴S1＝2×8－4＝12.故所求面积为S＝2S1＝24.。

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1.5.1 曲边梯形的面积 1。

5.2 汽车行驶的路程【教学目标】1．了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．【教法指导】本节学习重点：求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．本节学习难点：了解“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法．【教学过程】☆复习引入☆任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a,x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f(x）所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？☆探索新知☆探究点一求曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．问题如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S？思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题?（归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间［0,1］分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值,对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值,随着拆分越来越细,近似程度会越来越好．S n＝错误!S i≈错误!（错误!）2·Δx＝错误!（错误!)2·错误!（i＝1，2，…，n）＝0·错误!＋（错误!)2·错误!＋…＋（错误!）2·错误!＝错误!［12＋22＋…＋(n－1)2]＝错误!（1－错误!)(1－错误!)．∴S＝错误!S n＝错误!错误!（1－错误!）(1－错误!)＝错误!.求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间［错误!，错误!](i＝1，2，…，n）上的值近似地等于右端点错误!处的函数值f（错误!)，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是错误!吗？取任意ξi∈[错误!,错误!]处的函数值f(ξi）作为近似值,情况又怎样?其原理是什么？答以上方法都能求出S＝错误!.我们解决此类问题的原理是“近似代替"和“以直代曲”，在极限状态下,小曲边梯形可以看做小矩形．例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1,ΔS2,…，ΔS n.（2）近似代替在区间［错误!，错误!］（i＝1，2，…,n）上，以错误!的函数值错误!2作为高,小区间的长度Δx ＝错误!作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即ΔS i≈（错误!）2·错误!。

定积分第一课时曲边梯形的面积学案一、学习目标1、知识与技能：通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲2、过程与方法：了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；3、情感态度与价值观：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和思维能力。

二、学习重难点重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点: 对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、学法指导：阅读教材38---41页四、知识链接1你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？2如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。

定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。

本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。

五、学习过程（一）连续函数与曲边梯形问题1：函数()y f x =________________________ _____________________________，那么我们称函数()y f x =为在区间I 上的连续函数．问题2：在图1.5－1中，由____________________ _________________围成的图形称为曲边梯形．问题3：画出由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲在由2y x =与直线1,0x y ==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它等分为____个小区间，则第i 个小区间为________，其区间长度为x ∆=___________，当n →+∞时，x ∆→___．练习1：把区间[2,5]n 等分，所得n 个小区间的长度x ∆=（ ）A ．1nB ．2nC ．3nD ．4n练习2：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x ∆=_____，第3个小区间是__________．问题5：在区间1[,]i i n n-上，函数2()f x x =的值()f x ≈______，曲边梯形在这个小区间的面积'i i S S ∆≈∆=_____________________，即小矩形的面积'i S ∆近似地代替i S ∆，即以直代曲．问题6：求图1.5－4中阴影部分面积n S （写出过程）．问题7：2222123n ++++= __________．练习3：用符号“∑”表示下列运算：（1）123n ++++= ___________．（2）2222135(21)n ++++-= ____________．问题8：从图 1.5－5及表1－1中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________． 问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？ 问题10：若函数()f x 在区间1[,](1,2,,)i i i n n n -= 上的值近似地等于右端点i n 处的函数值()i f n ，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意1[,]i i i n nξ-∈处的函数值()i f ξ作为近似值，情况又怎么样？（三）典型例题例1：求由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形的面积． 解：在区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它n 等分，第i 个小区间为________，区间长度x ∆=___． 'i i S S ∆≈∆=111'n n n n i i i i i S S S ===∴=∆≈∆==∑∑∑_____________________________________lim n S →+∞∴==．六、达标训练求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积．七、【课堂小结】1．求曲边梯形面积的四步曲是________________． 2．0lim lim ()n i n x S S f x ξ→∞∆→==∆=_____________．八、课后反思曲边梯形的面积当堂检测1．下列函数在定义域上不是连续函数的是（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．()f x =D ．1()f x x= 2．在区间[2,5]上等间隔地插入n 个点，所得小区间长度x ∆=（ ）A ．3n B ．5n C ．31n + D ．51n +3．把区间[,]()a b a b n <等分后，第i 个小区间是（） A ．1[,]i in n -B ．1[(),()]i ib a b a n n ---C ．1[,]i ia a n n -++D ．1[(),()]i ia b a a b a n n -+-+-4计算： 21[2(1)3]ni i =-+=∑________；5求20,0,22≤≤=-=x y x x y 围成图形面积。

人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-21.5.1曲边梯形的面积（教学设计）课题：1.5.1 曲边梯形的面积1.教学目标（1）知识与技能：1.通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景；2.借助几何直观体会定积分的基本思想。

（2）过程与方法：1.经历探求曲边梯形的面积的过程；2.感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法；3.初步掌握求曲边梯形面积的四步曲。

（3）情感与态度：1.培养学生辩证地看待问题；2.体验并认同“有限与无限对立统一”的辩证观点；3.享受数学学习的乐趣。

2.重点、难点重点：感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法以及求曲边梯形面积的四步曲。

难点：“以直代曲”与“逼近”思想的形成过程；3.教法分析即：以问题为核心，通过引导、启发、评价等方式帮助学生完成问题的发现、探究并解决的过程。

同时充分借助几何直观，使抽象的问题形象化、具体化。

4.学法指导遵循中学生的心理特征与认知规律，本节课采用高效课堂教学模式，把学生分成六个学习小组，通过自主探究与合作探究相结合的学习方法，让学生真正成为学习的主人，感受数学学习的成功与快乐。

5.教学过程展示图形，学生观察，讨论，找出曲边图形与直边图形的区别。

到理性。

在此使用了与教材中不同的图形进行定义，目的是为了与前面情境中的图形以及后面例题中的图形保持一致，便于学生理解，体现数学的和谐之美。

根据由特殊到一问题2：对每个小曲边梯形如何以直代曲？“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”6.教学评价为了激励并鼓舞学生，实施多元化评价，采用自评，互评，小组评价与教师评价相结合的评价方法。

具体做法是借用学生比较熟悉的QQ等级记法：根据学生的课堂表现得星星，然后积累四个星星换一个月亮，四个月亮换一个太阳。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限． 知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s.1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √)类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即 ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 将区间[1,2]等分成n 个小区间， 第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1nC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i nD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n . 4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n . 故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15in，因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( ) A ．1 B ．3 C ．2D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 由曲边梯形的面积求参数 答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n＋1＝2mi ＋nn，作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n·2mn(1＋2＋3＋…＋n )＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2＝m ＋m 2(n ＋1)n，∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6，∴m ＝2.故选C. 二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4.11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n .考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n.作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1ni 2＋2n 2∑i ＝1ni ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2， ∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n2＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43.四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23.而y ＝sin 3x 的周期为2π3，所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43.15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋2·2n＝24i2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs ′i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。

1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积班级：_____________ 姓名：_______________一、学习目标：1．通过曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景；2．了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法；3．初步掌握求曲边梯形面积的步骤——四步曲．二、学习过程（一）连续函数与曲边梯形阅读课本P38，回答以下问题：问题1：定积分能解决哪些实际问题？问题2：函数()y f x=________________________ _____________________________，那么我们称函数()y f x=为在区间I上的连续函数．问题3：在图1.5－1中，由____________________ _________________围成的图形称为曲边梯形．练习1：画出由2y x=与直线1,0x y==围成的曲边梯形．（二）求曲边梯形面积的步骤——四步曲阅读课本P39～P41，回答以下问题：在由2y x=与直线1,0x y==所围成的曲边梯形中：问题4：把区间[0,1]等间隔地插入1n-个点，将它等分为____个小区间，则第i个小区间为________，其区间长度为x∆=___，当n→+∞时，x∆→___．练习2：把区间[2,5]n等分，所得n个小区间的长度x∆=（）A．1nB．2nC．3nD．4n 练习3：在区间[1,8]中插入6个等分点，则所分的小区间长度x∆=_____，第3个小区间是__________．问题5：在区间1[,]i in n-上，函数2()f x x=的值()f x≈______，曲边梯形在这个小区间的面积'i iS S∆≈∆=____________，即小矩形的面积'iS∆近似地代替iS∆，即以直代曲．问题6：求图1.5－4中阴影部分面积nS（写出过程）．问题7：2222123n++++=L__________．练习4：用符号“∑”表示下列运算： （1）123n ++++=L ___________．（2）2222135(21)n ++++-=L ____________． 练习5：计算101(21)i i =+=∑_____________．问题8：从图 1.5－5及表1－1中，当,n n S S →+∞→，即S =__________＝_______________________＝_______________．问题9：把区间[0,1]不进行等分可以吗？分割的目的是什么？ 问题10：若函数()f x 在区间1[,](1,2,,)i ii n n n -=L 上的值近似地等于右端点i n 处的函数值()if n，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是13吗？取任意1[,]i i i n n ξ-∈处的函数值()i f ξ作为近似值，情况又怎么样？（三）典型例题例1：求由2y x =与直线1,0x y ==围成的曲边梯形的面积．解：在区间[0,1]等间隔地插入1n -个点，将它n 等分，第i 个小区间为________，区间长度x ∆=___． 'i i S S ∆≈∆=111'nnnn i i i i i S S S ===∴=∆≈∆==∑∑∑_____________________________________limn S →+∞∴==．练习6：求直线0,2,0x x y ===与曲线2y x =所围成的曲边梯形的面积．（四）小结1．求曲边梯形面积的四步曲是________________．2．0lim lim ()n i n x S S f x ξ→∞∆→==∆=_____________．三、针对性作业1．下列函数在定义域上不是连续函数的是（ ） A ．2()f x x = B ．()f x x = C．()f x = D ．1()f x x=2．在区间[2,5]上等间隔地插入n 个点，所得小区间长度x ∆=（ ）A ．3nB ．5nC ．31n +D ．51n +3．把区间[,]()a b a b n <等分后，第i 个小区间是（ ）A ．1[,]i in n - B ．1[(),()]i i b a b a n n ---C ．1[,]i ia a n n -++D ．1[(),()]i ia b a a b a n n-+-+-4．在求由,(),()(()0)x a x b a b y f x f x ==<=≥及0y =围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[,]a b 上等间隔地插入1n -个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边形分成n 个小曲边形，下列说法中正确的是（ ） A ．n 个小曲边形的面积和等于S B ．n 个小曲边形的面积和小于S C ．n 个小曲边形的面积和大于SD ．n 个小曲边形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 5．函数2()f x x =在区间1[,]i in n-上（ ） A ．()f x 的值变化很小 B ．()f x 的值变化很大 C ．()f x 的值不变化D ．当n 很大时，()f x 的值变化很小 6．当n 很大时，函数2()f x x =在区间1[,]i in n-上的值，可以近似代替的是（ ）A ．1()f nB ．2()f nC ．()if nD ．(0)f7．在区间[1,11]上插入_____个等分点，则所分的小区间0.4x ∆=，此时，第4个小区间是___________． 8．（1）计算：21[2(1)3]ni i =-+=∑________；（2）用“∑”表示1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+L 为____________________．9．用“四步曲”方法求由3y x =与直线2,0x y ==所围成的图形面积．（33322112(1)4n n n +++=+L ）。

1．5.1 曲边梯形的面积 教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方式，成立微积分的概念的熟悉基础. 教学重点：了解定积分的大体思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号∑
教学进程：
温习引入 问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是如何求得的？
问题三：如图：阴影部份类似于一个梯形，但有一边是曲线y =f (x )的一段.咱们吧由直线x =a ，x =b
(a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 问题四：可否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？ 问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？如何减少误差？ 问题六：对每一个小曲边梯形如何“以直代曲” 问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？ 问题八：具体如何实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九： 样？作为近似值，情况又怎处的函数值吗？去任意个值也是的值吗？若能求出，这，用这种方法能求出处的函数值等于右端点上的值近似地，，在区间果认为函数在“近似代替”中，如)(],1[31)(),21](,1[
)(2i i f n i n i S n i f n i n i n i n i x x f ξξ-∈=-=
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方式是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？。

1.5.1曲边梯形的面积课前预习学案【预习目标】预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.【预习内容】1、曲边梯形的概念。

2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？3、如何实施曲边梯形的面积的求解？【提出疑惑】同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案【学习目标】1、理解“以直代曲”的意义；2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；3、了解“近似代替”时取点的任意性。

学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。

以及一般曲边梯形的面积的求法。

【学习过程】情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。

而现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？合作探究、精讲点拨例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？特别帮助：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

（三）反思总结1、对于一般曲边梯形，如何求面积？2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？（四）当堂检测求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。

自我反思：课后练习与提高1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n 3 D.n 212、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )A.],1[n i n i -B. )](),(1[a b n ia b n i ---C.],1[n ia n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+3、在“近似替代”中，函数)(xf在区间],[1+iixx上的近似值（）A.只能是左端点的函数值)(ixfB.只能是右端点的函数值)(1+ixfC.可以是该区间内的任一函数值()∈iifξξ(],[1+iixx） D.以上答案均正确。

《1.5.1 曲边梯形的面积》教案课题：曲边梯形的面积教材：人教A版《数学》选修2-2第一章第五节第一课时一、【教学目标】1、知识目标：①初步了解、感受定积分的实际背景。

②体会“以直代曲”，“逼近”的思想。

2、能力目标：①通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题，从而培养学生的逻辑思维能力，了解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。

②体会“以直代曲”，“逼近”的思想。

以直代曲的过程中体会直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系。

③体验从特殊到一般、从具体到抽象的探究过程。

3、情感、态度与价值观目标：①认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点；②感受数学的简单、简洁之美。

③通过历史题材培养学生的爱国情操。

二、【教学的重点、难点】重点：了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，通过化整为零，积零为整求曲边梯形的面积这一过程，初步掌握求曲边梯形面积的步骤的“四步曲”，即“分割、近似代替、求和、取极限”，领会其微积分思想方法。

难点：“以直代曲”、“逼近”思想的形成过程。

（由于这种“以直代曲”、“逼近”思想学生比较陌生）三、【教学方法和手段】（1）在教学过程中我选用启发式、讨论探究式的教学方法，运用多媒体的直观的功能，让学生在观察过程中通过类比、分析、归纳等方法解决问题；在师生互动中启发学生，促进学生积极思维、主动学习，激发学生的学习兴趣.（2）运用多媒体课件辅助课堂教学，通过创设情境，为学生提供丰富、生动、直观的观察材料，激发学生学习的积极性和主动性。

四、【教学过程】线，有些边是直线，又如何测量该问题三：以下三个图形有什么不定义：由直线x=a ，yay=f(xy o 直线几条线段连成的折线曲线怎样减小误差？怎样分割？yxS≈曲边梯形S黄色部分xyi-1n(y f=ini-1 n( y f =in第过剩近似：《曲边梯形的面积》教案说明本课是以学生为主体，以问题为主线，以老师为主导，通过环环相扣的问题链，层层深入，不断启发学生的思维活动，使探究活动贯穿整节课始终。

1. 5.1曲边梯形的面积课前预习学案【预习目标】预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.【预习内容】1、曲边梯形的概念。

2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？3、如何实施曲边梯形的面积的求解？【提出疑惑】同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案【学习目标】1、理解“以直代曲”的意义；2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；3、了解“近似代替”时取点的任意性。

学习重难点：对以直代曲、无限逼近思想的理解。

以及一般曲边梯形的面积的求法。

【学习过程】（一）情景问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。

而现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？比如我们山东省的国土面积？（二）合作探究、精讲点拨例题：对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）探究1：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？特别帮助：12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)探究2：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子。

探究3：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？探究4：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？变式训练1：求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

变式训练2：求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

（三）反思总结1、对于一般曲边梯形，如何求面积？2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？（四）当堂检测求由y=2x 2＋1,和x=1,x=3,x 轴围成的曲边梯形面积。

课后练习与提高1、把区间[1,3]n 等分,所得n 个小区间,每个小区间的长度为( ) A.n 1 B.n 2 C.n3 D.n 21 2、把区间],[b a )(b a <n 等分后,第i 个小区间是( )A.],1[n i n i - B. )](),(1[a b ni a b n i --- C.],1[n i a n i a +-+ D. )](),(1[a b n i a a b n i a -+--+ 3、在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（ ）A.只能是左端点的函数值)(i x fB.只能是右端点的函数值)(1+i x fC.可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）D.以上答案均正确练习答案：1、（B ）；2、（D ）；3、（C ）1.5.1曲边梯形的面积教案一、学习目标1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．二、重点、难点重点：求曲边梯形的面积；难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．三、知识链接1、直边图形的面积公式：三角形 ，矩形 ，梯形 ；2、匀速直线运动的时间（t ）、速度（v ）与路程（S ）的关系 ．四、学法指导探求、讨论、体会以直代曲数学思想．五、自主探究1、概念：如图，由直线x =a , x = b , x 轴，曲线y =f (x )所围成的图形称为 ．2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？例１、求由抛物线y =x 2与x 轴及x =1所围成的平面图形的面积S ．分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是 线段，而“直边图形”的所有边都是线段。

1.5.1曲边梯形的面积一、教学目标1、理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”；2、经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想；3、通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。

二、学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论；三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。

学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。

二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值。

三、教学重、难点重点：探究求曲边梯形面积的方法。

难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。

四、教学过程为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼本质”四个阶段．（一）问题引入，明确主题1.贴近生活引入农田，求抽象出的不规则图形面积来激发学生兴趣，让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法。

为了使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学。

1.5.1曲边梯形的面积p)人教版普通高中课程标准实验教科书(38数学选修2-2和田县北京高级中学何国华课题：1.5.1曲边梯形的面积教学目标(1)知识与技能：1.让学生了解与体会定积分的基本思想；2.初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲”.(2)过程与方法：1.借助几何图形，探求曲边梯形的面积；2.体会“以直代曲”和“取极限”的思想方法.(3)情感态度与价值观：1.培养学生主动探索问题的能力；2.体会“有限”与“无限”的哲学辩证观.重点、难点重点：掌握求曲边梯形面积的“四步曲”.难点：体会“以直代曲”和“取极限”的思想方法.教学手段与教学方式：教学手段：教科书、电教法.教学方式：引导法、合作探究法.教学过程教学环节教学内容学生探究(师生互动) 设计意图前提测评师：让学生做出2y x=的函数图像，并找出与直线1x=和0y=平面图形的面积.生：2y x=检测学生基础知识,并引用到下一教学环节中.导入新课师：我们已经会求正方形、三角形、梯形等“直边图形”面积。

问：上述图中阴影图形(曲边梯形)的面积如何求?生：对学生进行分组，并讨论如何求上述曲边梯形的面积.激发学生探索问题的能力.讲授新课案例分析与探究师：利用“割圆术”引导学生将曲边梯形“分割”成小曲边梯形.第一步：分割将它分割成n个小曲边梯形，面积记作：1s∆,2s∆,...,n s∆,则1niis s==∆∑.生：2y x=培养学生在数学中的“分割”思想.师：引导学生可否将曲边图形变成直边图形(“以直代曲”的思想).生：让学生分组讨论、探究.培养学生“以直代曲”的思讲授新课案例分析与探究第二步：近似代替用小矩形的面积is'∆近似代替小曲边梯形的面积is∆,在局部小范围内“以直代曲”,则is∆≈is'∆=1()if xn-∆=21()ixn-∆=211()in n-(1,2,,).i n=方案一：2y x=方案二：2y x=想数学思想.师：引导学生知曲面梯形的面积s近似等于n个小矩形的面积,即ns s≈.第三步：求和111(1)(1)32ns sn n≈=--.生：学生求解1nn iis s='=∆∑=?111()n nn ii iis s f xn==-'=∆=∆∑∑2111()niin n=-=∑22111110()()nn n n n n-=+++22231[12(1)]nn=+++-31(1)(21)6n n nn--=111(1)(1)32n n=--培养学生合作交流和解决问题的能力.师：引导学生产生“取极限”的数学思想.第四步：取极限当n→∞,即0x∆→时，生：观察课本(41p)图1.5-5.2y x=借助几何图形,让学生感知“极限”思想的讲授新课案例分析与探究111(1)(1)32ns sn n=--→,从而有111lim lim()nnn niis s fn n→∞→∞=-==∑↓↓↓本质特征.课堂检测师：要求学生完成课本(42p)练习.生：要求学生独立自主完成,并对照答案.(解析：83.)进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“取极限”的数学思想.课堂小结师：“两种思想”和“四个步骤”. 生：1.“以直代曲”和“取极限”的数学思想；2.分割→近似代替→求和→取极限.培养学生总结知识点的能力.布置作业师：要求学生完成练习册第3题.生：课后完成. 进一步巩固求曲边梯形面积的“四个步骤”.板书设计：课题：1.5.11.“两种思想”2.“四个步骤”（小结）解析：第一步：分割第二步：近似代替（检测）第三步：求和第四步：取极限图形展示：课后反思：。