江苏省徐州市第三十七中学2015_2016学年高二数学下学期期中试题文

徐州市2015～2016学年度第二学期期中考试高二年级数学（理）试题的值为x 3. 复数,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．5.用0，1，2，3这四个数字，可以组成没有重复数字的3位数，其中奇数的个数 为 ▲ ．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜想：<++++2222016131211 ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．8. 利用数学归纳法证明“)(2131211n p n =+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++”，从k n =推导1+=k n 时原等式的左边应增加的项的个数为 ▲ 个（用含有k 的代数式表示）．9.4名男生和2名女生站成一排照相，要求男生甲不站在最左端，女生乙不站在最右端， 有 ▲ 种不同的站法．（用数字作答） 10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2sr l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径 R = ▲ ．11.已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为 ▲ . 12.若多项式975311010991010,)1()1()1(a a a a a x a x a x a a x+++++++++++=则= ▲ ．（用数字作答）13.A 、B 、C 、D 、E 五人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B 不住2号房间，且B 、C 两人不住编号相邻房间的住法种数为 ▲ ．14.已知函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）已知复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=.（1）若复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）（1）证明：当2a ><（2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.17.（本题满分14分）从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，每场一人，分别按下列要求，各有多少种不同方法？（1）男、女同学各2名； （2）男、女同学分别至少有1名；（3）男、女同学分别至少有1名且男同学甲与女同学乙不能同时选出.18.（本题满分16分）已知nx m x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的二项式系数之和为256.（1）求n ；（2）若展开式中常数项为835，求m 的值； （3）若展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的值.19.（本题满分16分）已知椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点.（1）若P ，求12MF NF ⋅的值；（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅的值;（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅是否为定值？证明你的结论.20.（本题满分16分）设函数21()1+f x px qx=+（其中220p q +≠），且存在公差不为0的无穷等差数列{}n a ，使得函数在其定义域内还可以表示为212()1nn f x a x a x a x =+++++．（1）求,1a 2a 的值（用,p q 表示）； （2）求{}n a 的通项公式；（3）当*N n ∈且2≥n 时，比较na n a )(1-与1)(-n a n a 的大小.高二数学理科试题参考答案1.5 2. 1或3 3. i -1 4. 1 5.8 6. 7. 1 8. 2k 9. 50410. S V 3 11.7 12. -512 13. 60 14. 2(0,)31n -15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分解之得,a =1……………………………7分（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或 …………… 12分所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分16. 证明： （1<只要证22)2()22(a a a <-++， ---------------------2分只要证a a a 44222<-+， 只要证a a <-42，----------------4分 由于2a >，只要证224a a <-， -----------------------------------------6分<………7分（其它方法酌情给分） （2）（反证法）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，----8分则2m n a a d m n m n -==--------------------------------------10分 又253m p a a d m p m p m p---===---为有理数----------------------12分所以产生矛盾，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项. -------14分17. 解：1440)1(442425=A C C --------------------4分2880))(2(44444549=--A C C C --------------------8分504)3(4427=A C --------------------------11分23765042880=-----------------12分 答：略----------------------------------14分18. 解（1）二项式系数之和为2n =256，可得 8=n ； ---------4分 （2）设常数项为第r +1项，则r r r rr r r x m C x m x C T 288881--+=⎪⎭⎫⎝⎛=， -------5分故8－2r ＝0，即r ＝4， ---------------------------6分 则835448=m C ，解得21±=m .---------------------9分 62013140（3）易知m ＞0，设第r+1项系数最大. ----------------10分则⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--.,11881188r r r r r r r r m C m C m C m C 化简可得19118+≤≤+-m m r m m . -------13分 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≤≤+-<.7196,51184m m m m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤≤<.272,245m m ------15分所以m 只能等于2. ---------------16分(若由第6项和第7项系数相等得出m=2,则需要验证.不验证仅给3分. )19. 解: (1)22121,(2,0),(2,0),(1,0),(1,0):443x y A B F F l x +=--=椭圆方程为，P又2PA y x =+故所在直线方程为：),=4(4x M 与联立得N 同理可得----------------------2分12(5,33),(MF NF ∴=--=-121596MF NF ⋅=-=------------------------4分(2) 2222000000(,),1=3-434x y x P x y y +=则，即（1） 00022y PA y x x x =+≠+所在直线方程为：(),(-2)06=4(4,),2y x M x +与联立得-----------------------------------------------6分 002(4,).2y N x -同理可得-----------------------------------------------------8分 00120062(5,),(3,)22y y MF NF x x ∴=--=--+- 2020*********(1)1241515644x y MF NF x x ⨯-⋅=+=+=--------------------------10分 (3) 2122()MF NF b ⋅=定值，下证之--------------------------------------------11分22212221,(,0),(,0),(,0),(,0):x y a A a B a F c F c l x a b c +=--=证明：椭圆方程为，22222000000222(,),1=-x y x P x y y b a b a+=设则，即（1）00y PA y x a x a x a=+≠+所在直线方程为：(),(-)22200()=(,),a a y a a c x M c c x a++与联立得2200()(,).a a y a c N c x a --同理可得--------------14分2222001200()()(,),(,).a a a y a y a a c c MF c NF c c x a c x a+-∴=---=--+- 4224022122220()a a y ac MF NF c c x a-⋅=-+- 2224222()2()a c b b b c c+=-=定值--------------------------------16分20.解:（1）由题意，得2212(1)(1)1n n px qx a x a x a x +++++++=，显然2,x x 的系数为0，所以121+0++0a p a a p q =⎧⎨=⎩，从而1a p =-，22a p q =-.………………………4分（2）考虑(3)nx n ≥的系数，则有120n n n a pa qa --++=，……………5分因数列{}n a 是等差数列，所以1220n n n a a a ---+=，所以12(2+)(1)n n p a q a --=-对一切3n ≥都成立，……………7分若0n a =，则0p q ==，与220p q +≠矛盾，若数列{}n a 是等比数列，又据题意{}n a 是等差数列，则{}n a 是常数列，这与数列{}n a 的公差不为零矛盾， 所以210p q +=-=，即2,1p q =-=，……………9分 由（1）知12a =，23a =，所以1n a n =+.……………10分（其他方法：根据题意可以用p 、q 表示出1a ，2a ，3a ，4a ，由数列{}n a 为等差数列，利用2132a a a =+，3242a a a =+解方程组也可求得.其它解法酌情给分.）(3)111,(1).n n a a n n n n a n a n -+-==+由（2）可知，（）（）2121321212228,39,a a a a n a a a a =====∴<时，11-13(1).nn a a n nn n n nn a a -+≥>+>当时，,即（）（）下用数学归纳法证明.……………12分4333=81,4=64,8164,n =>1）当时，结论成立.13,(1)k k n k k k N k k +=≥∈>+2)设当时()时，结论成立，即有①. ……………13分1n k =+下面证明当时，结论也成立.由①得1211.(1)(2),,(1)21k kk k k k k k k k k ++>+>+>+++又因为即 221+1+11(1)(2)=()1,(2)2212(1)k k k k k kk k k k k k k k k k k k k +++++⋅>⋅=>++++++（）所以（） 21+1+2,1k k k k n k ++>=+即（）（）所以结论在时也成立.1-11)2)(3,).n n a a n n n n n N a a -≥∈>综合、，对任何结论成立，即（）（）……………16分。

2015～2016学年度第二学期期中考试高二年级数学（文）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知复数i z -=2 (i 是虚数单位)，则=z ▲ ．2. 设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则()U C A B ⋂= ▲ ． 3. 复数2,1z z i=-则的共轭复数为 ▲ ． 4. a b a b θ设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模 ||=||||sin ,(1,0),(1,1),||=a b a b a b a b θ⨯⋅⋅==⨯若则 ▲ ．5. 已知命题p :,sin 1x R x ∃∈≥, 则p ⌝为 ▲ ．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，……，根据以上式子可以猜想：<++++2222016131211Λ ▲ ． 7. 21,z z i i i z -=+已知复数满足()则的虚部为 ▲ ．8.“2a =”是“直线210ax y ++=和直线3(1)10x a y ++-= 平行”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个填空）9.若命题“x R ∃∈，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ .注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．10.已知ABC △的周长为l ，面积为S ，则ABC △的内切圆半径为2sr l=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则四面体ABCD 的内切球的半径R = ▲ ．11. 已知复数z 满足243=--i z ，则z 的最大值为 ▲ . 12.sin(2),642y x x A πππ=-≤≤函数的值域为.关于x 的方程210x ax ++=的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，.a B 的取值集合为A B ⋃=则 ▲ ． 13.下列命题正确的序号是 ▲ ．①命题“若a b >，则22a b >”的否命题是真命题； ②若命题1:01p x >-“”，则；1:01p x ⌝≤-“”； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±.14.已知函数1()3x f x x =+,(0)x >，对于*n N ∈，定义11()[()]n n f x f f x +=，则函数()n f x 的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分14分）已知复数)()65()67(22R a i a a a a z ∈--++-=. （1）复数z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）复数z 在复平面内的对应点在第四象限，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）已知命题p ：方程210x mx ++=有负实数根；命题q ：方程244(2)10x m x +-+=无实数根，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围.17.（本题满分14分）（1）证明：当2a ><； （2）证明：532，， 不可能是同一个等差数列中的三项.18.（本题满分16分）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题的实数m 的取值集合为M . （1）求集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．19.（本题满分16分）已知椭圆方程是22143x y +=，12,F F 是它的左、右焦点，A ，B 为它的左、右顶点, l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上一点，PA 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点. （1）若(0,3)P ，求12MF NF ⋅u u u u r u u u u r 的值；（2）若00(,)P x y 是椭圆上任意一点,求12MF NF ⋅u u u u r u u u u r的值;（3）能否将问题推广到一般情况,即给定椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，00(,)P x y 是椭圆上任意一点，问12MF NF ⋅u u u u r u u u u r是否为定值？证明你的结论.20.（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，d 为常数，已知对*∈∀N m ,n ，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--成立⑴ 求证：数列}a {n 是等差数列；⑵ 探究 ：命题:p “对*∈∀N m n ,，当m n >时，总有d m n m S S S m n m n )(-+=--”是命题:q “数列}a {n 是等差数列”的充要条件．．．．吗？请证明你的结论．．．．．．； ⑶若正整数n, m, k 成等差数列，比较k n S S +与m S 2的大小，并说明理由.高二数学文科试题参考答案1.5 2. {}4 3. i -1 4. 1 5. ,sin 1x R x ∀∈< 6.7. 1 8.充要 9. (,2)(2,)-∞-+∞U 10.S V311. 7 12.}121,225|{≤≤-<<-x x x 或 13. ①③ 14. 2(0,)31n-15. 解：（1）由题设知：⎩⎨⎧≠--=+-06506722a a a a ………………3分解之得,a =1……………………………7分（2）由题设知：⎩⎨⎧<-->+-06506722a a a a ………………10分解之得，⎩⎨⎧<<-><6161a a a 或 …………… 12分所以实数a 的取值范围是 -1<a <1 …………14分16. 解：p ：由题意此方程必为两负根，故2400m m -≥-<且，﹍﹍﹍﹍2分2m ≥解得： ﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分q ：方程无实数根∴1＜m ＜3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题∴p 、 q 一真一假 ∴1＜m ＜2或m ≥3 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍13分 所以实数m 的取值范围为1＜m ＜2或m ≥3。

2015-2016学年江苏省徐州市五县二区高二（下）期中数学试卷（文科）一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上）1．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=．2．（5分）已知p和q都是命题，则“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要”）3．（5分）若复数（2+bi）（1+i）是纯虚数，则实数b的值为．4．（5分）满足{1，2}⊆A⊊{1，2，3，4}的集合A的个数是．5．（5分）用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数a，b，c”6．（5分）若“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是假命题，则实数a的取值范围为．7．（5分）已知A={x|x＜﹣2}，B={x|x＞m}，若A∩B有且只有一个子集，则m 的范围是．8．（5分）已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，求a．9．（5分）已知，则|z 1﹣z2|=．10．（5分）给出以下命题：①“a=0”是“函数f（x）=x2+ax，（x∈R）为偶函数的充要条件”；②∃x∈N，使x2≤x；③命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题其中说法正确的是．11．（5分）已知正三角形ABC的边长为a，面积为s，内切圆的半径为r，则r=，类比这一结论可知：正四面体S﹣ABC的底面的面积为S，内切球的半径为R，体积为V，则R=．12．（5分）设函数f（x）=log a的定义域为A，若3∉A，5∈A，则a的取值范围为．13．（5分）如图，将正偶数排列如表，其中第i行第j个数表示为a ij（i，j∈N*），例如a43=18，若a ij=2010，则i+j=．14．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k，n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确的结论的个数是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知m∈R，复数，当m为何值时．（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限．16．（14分）已知条件p：函数f（x）=log（2a﹣1）（ax﹣3）（a＞，且a≠1）在其定义域上是减函数；条件q：函数g（x）=的定义域为R．如果“p 或q”为真，试求a的取值范围．17．（14分）用适当的方法证明下列不等式（1）已知a，b，c是正实数，证明不等式≥abc；（2）求证：当a＞1时，．18．（16分）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A （1）若3∈A，求A；（2）证明：若a∈A，则1﹣∈A；（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．19．（16分）有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．20．（16分）f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b，求证：（I）a＞0且﹣3＜＜﹣；（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（III）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则≤|x1﹣x2|．2015-2016学年江苏省徐州市五县二区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上）1．（5分）设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）={3}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}，则∁U（A∪B）={3}，故答案为：{3}．2．（5分）已知p和q都是命题，则“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的必要不充分条件．（填“充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要”）【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：命题p∨q为真命题，p与q至少有一个命题是真命题，因此命题p ∧q不一定为真命题，反之：命题p∧q为真命题，p与q都为真命题，因此命题p∨q一定为真命题．∴“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．3．（5分）若复数（2+bi）（1+i）是纯虚数，则实数b的值为2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵复数（2+bi）（1+i）=2﹣b+（2+b）i是纯虚数，∴，解得b=2．故答案为：2．4．（5分）满足{1，2}⊆A⊊{1，2，3，4}的集合A的个数是3．【考点】16：子集与真子集．【解答】解：根据条件知，1，2是A的元素，而3，4中最多有1个为A的元素，所以这样的A为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}；∴满足条件的集合A有3个．故答案为：3．5．（5分）用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数a，b，c没有奇数或全是偶数”【考点】R9：反证法与放缩法证明不等式．【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中至少有1个奇数”的否定为：“假设自然数a，b，c 没有奇数或全是偶数”，故答案为：没有奇数或全是偶数．6．（5分）若“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，1）．【考点】2H：全称量词和全称命题．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+2x+a≥0”是假命题，∴∃x∈R，x2+2x+a＜0是真命题，即a＜﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1），故答案为：（﹣∞，1）．7．（5分）已知A={x|x＜﹣2}，B={x|x＞m}，若A∩B有且只有一个子集，则m 的范围是m≥﹣2．【考点】1B：空集的定义、性质及运算；1E：交集及其运算．【解答】解：∵A={x|x＜﹣2}，B={x|x＞m}，若A∩B有且只有一个子集，即A∩B=∅，故m≥﹣2，故答案为：m≥﹣2．8．（5分）已知集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，求a．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】解：∵﹣3∈A∴﹣3=a﹣2或﹣3=2a2+5a∴a=﹣1或a=﹣∴当a=﹣1时，a﹣2=﹣3，2a2+5a=﹣3，不符合集合中元素的互异性，故a=﹣1应舍去当a=﹣时，a﹣2=﹣，2a2+5a=﹣3，满足∴a=﹣9．（5分）已知，则|z 1﹣z2|=1．【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵，∴可设z1=cosα+i sinα，z2=cosβ+i sinβ，α，β∈[0，2π）∴|z1+z2|===，∴．∴|z1﹣z2|=|cosα﹣cosβ+i（sinα﹣sinβ）|===1故答案为1．10．（5分）给出以下命题：①“a=0”是“函数f（x）=x2+ax，（x∈R）为偶函数的充要条件”；②∃x∈N，使x2≤x；③命题“若α是锐角，则sinα＞0”的否命题其中说法正确的是①②．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：①若“a=0”则f（x）=x2+ax=x2为偶函数，若f（x）=x2+ax为偶函数，则f（﹣x）=f（x），即x2﹣ax=x2+ax，则﹣a=a，则a=0，即“a=0”是“函数f（x）=x2+ax，（x∈R）为偶函数的充要条件”；故①正确，②当n=0或1时，不等式x2≤x成立，故②正确；③命题“若α是锐角，则sinα＞0”的逆命题为若sinα＞0，则α是锐角，错误当α=时，满足sinα＞0，但α=不是锐角，则逆命题为假命题，则命题的否命题也是假命题，故③错误，故答案为：①②11．（5分）已知正三角形ABC的边长为a，面积为s，内切圆的半径为r，则r=，类比这一结论可知：正四面体S﹣ABC的底面的面积为S，内切球的半径为R，体积为V，则R=．【考点】F3：类比推理．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V=•4SR猜想：正四面体S﹣ABC的底面的面积为S，内切球的半径为R，体积为V，则四面体ABCD的内切球半径R=，故答案：．12．（5分）设函数f（x）=log a的定义域为A，若3∉A，5∈A，则a的取值范围为．【考点】4N：对数函数的图象与性质；7E：其他不等式的解法．【解答】解：函数f（x）=log a的定义域为A，可得＞0，3∉A，5∈A，可得，或9﹣a=0，解得．故答案为：．13．（5分）如图，将正偶数排列如表，其中第i行第j个数表示为a ij（i，j∈N*），例如a43=18，若a ij=2010，则i+j=60．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．【解答】解：由图形可知：第1行1个偶数，第2行2个偶数，…第n行n个偶数；∵2010是第1005个偶数，设它在第n行，则之前已经出现了n﹣1行，共1+2+…+（n﹣1）个偶数，∴＜1005，解得n＜45，∴2010在第45行，∵前44行有990个偶数，∴2010在第45行，第15列，即i=45，j=15，∴i+j=60，故答案为60．14．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k，n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确的结论的个数是①③④．【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：①∵2011÷5=402…1，∴2011∈[1]，故①正确；②∵﹣3=5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．故答案为：①③④二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知m∈R，复数，当m为何值时．（1）z∈R；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面的第二象限．【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）∵z∈R∴m2+2m﹣3=0且m﹣1≠0…（2分）∴m=﹣3，∴当m=﹣3时，z∈R．…（4分）（2）∵z是纯虚数∴…（6分）解得：m=2∴当m=2时，z是纯虚数．…（8分）（3）∵z对应的点位于复平面的第二象限∴…（10分）解得：1＜m＜2∴当1＜m＜2时，z对应的点位于复平面的第二象限．…（12分）16．（14分）已知条件p：函数f（x）=log（2a﹣1）（ax﹣3）（a＞，且a≠1）在其定义域上是减函数；条件q：函数g（x）=的定义域为R．如果“p 或q”为真，试求a的取值范围．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：若p为真，由a＞，且a≠1，∴y=ax﹣3在定义域内是单调递增的，而f（x）是减函数，则0＜2a﹣1＜1，即；若q为真，则x+|x﹣a|﹣2≥0恒成立．记h（x）=x+|x﹣a|﹣2，则，所以h（x）的最小值为a﹣2，故a≥2；于是“p或q”为真时，或a≥2．17．（14分）用适当的方法证明下列不等式（1）已知a，b，c是正实数，证明不等式≥abc；（2）求证：当a＞1时，．【考点】R6：不等式的证明．【解答】证明：（1）∵a，b，c是正实数，∴，，，∴，当且仅当a=b=c时等号成立．（2）∵，∴只要证，即要证，即要证，即要证a2﹣1＜a2，这显然成立，所以当a＞1时，．18．（16分）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A （1）若3∈A，求A；（2）证明：若a∈A，则1﹣∈A；（3）A能否只有一个元素，若能，求出集合A，若不能，说明理由．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】．解：（1）∵3∈A，∴，∴，∴∴（2）∵a∈A，∴，∴（3）假设集合A只有一个元素，记A={a}，则即a2﹣a+1=0有且只有一个解，又因为△=（﹣1）2﹣4=﹣3＜0∴a2﹣a+1=0无实数解．与a2﹣a+1=0有且只有一个实数解解矛盾．所以假设不成立．即集合A不能只有一个元素．19．（16分）有如下结论：“圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为x0y+y0y=r2”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆C：的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B．（1）求证：直线AB恒过一定点；（2）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．【考点】IP：恒过定点的直线；IT：点到直线的距离公式．【解答】解：（1）设M∵点M在MA上∴，同理可得②（3分）由①②知AB的方程为（4分）易知右焦点F（）满足③式，（5分）故AB恒过椭圆C的右焦点F（）（6分）（2）把AB的方程x=（1﹣y）代入椭圆化简得，7y2﹣6y﹣1=0，y1+y2=，y1•y2=﹣∴|AB|=•|y1﹣y2|=•=，又M到AB的距离d==，△ABM的面积S=•|AB|•d=．20．（16分）f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b，求证：（I）a＞0且﹣3＜＜﹣；（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（III）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则≤|x1﹣x2|．【考点】&R：根与系数的关系；3V：二次函数的性质与图象；52：函数零点的判定定理．【解答】证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）又2c=﹣3a﹣2b由3a＞2c＞2b∴3a＞﹣3a﹣2b＞2b∵a＞0∴…（4分）（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a﹣c…（6分）①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）②当c≤0时，∵a＞0∴∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根∴…（12分）∴∵∴…（15分）。

2015—2016学年度第二学期期中测试高二数学（文科）试卷一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1、已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________.2、命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是________． 3、幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值为________． 4、复数－1＋3i 1＋2i(i 为虚数单位)的共轭复数为________． 5、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．6、函数g (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________．7.f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．8、函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．9、若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.10、函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝)(1x f ， 若f (1)＝－5， 则f (f (5))＝________.11、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________ 12、已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为________．13、已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为________． 14、已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是二、解答题15、(本小题满分14分)设a 是实数，已知复数i i i a z (211-+-=为虚数单位)，根据条件，分别求a 的值 （1）若z 为纯虚数；（2）若1=z ；（3）若z 在复平面内对应的点在直线0=+y x 上.16、(本小题满分14分) 已知集合{}02,0152<--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=m x x x B x x x A (1)当3=m 时，求()B C A R ;(2)若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值．17、(本小题满分14分)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．（1）若命题q 真，求实数a 的取值范围（2）若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．图1 图2(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？19、(本小题满分16分)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y ＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有0)()(>++ba b f a f 成立． (1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)； (3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．高二数学（文科）参考答案1、{1,2,4,6}2、∃x ∈R ，x 2＝x 3、2 4、1－i 5、1∶86、[－3,6)7、充分不必要8、⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 9、5±12 10、－1511、⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 12、12(log 9,4) 13、12，2 14、1)2 15、a 是实数，a 1－i ＋1－i 2＝a ＋－＋＋1－i 2＝a ＋a i 2＋1－i 2＝a ＋12＋a －12i ，……4分（1）a =—1……7分（2）1±=a ……11分（3）a ＝0. ……14分16、解 由于x －5x ＋1<0， 所以－1<x <5，所以A ＝{x |－1<x <5}．……3分(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，……5分则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x <5}．……9分(2)因为A ＝{x |－1<x <5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8. ……13分此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8. ……14分17、（1）若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12. ……3分 （2）若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；……6分由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．……8分若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．……14分18、(1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0) ……4分(2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6.所以总利润y ＝8.25万元．……6分②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. ……10分 令x ＝t ，t ∈[0,3 2 ]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，……14分 此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．……16分19、解 (1)∵f (x )＝x 2＋mx ＋n ，∴f (－1＋x )＝(－1＋x )2＋m (－1＋x )＋n＝x 2－2x ＋1＋mx ＋n －m＝x 2＋(m －2)x ＋n －m ＋1， f (－1－x )＝(－1－x )2＋m (－1－x )＋n＝x 2＋2x ＋1－mx －m ＋n＝x 2＋(2－m )x ＋n －m ＋1.又f (－1＋x )＝f (－1－x )，∴m －2＝2－m ，即m ＝2.又f (x )的图象过点(1,3)，∴3＝12＋m ＋n ，即m ＋n ＝2，∴n ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，……………………4分又y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称，∴－g (x )＝(－x )2＋2×(－x )，∴g (x )＝－x 2＋2x . ……………………7分(2)∵F (x )＝g (x )－λf (x )＝－(1＋λ)x 2＋(2－2λ)x ，当λ＋1≠0时，F (x )的对称轴为x ＝2－2λ＋λ＝1－λλ＋1，……………………9分 又∵F (x )在(－1,1]上是增函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ<01－λ1＋λ≤－1∴λ<－1……………………12分 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋λ>01－λ1＋λ≥1－1<λ≤0. ……………………15分当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F (x )＝4x 显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．……………………16分20、解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x2·(x 1－x 2)， 由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x2>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………4分(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1. ∴－32≤x <－1. ……………………10分 (3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．……………………13分 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2. ……………………16分。

2015-2016学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．2．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁U A）∩B=．3．（5分）复数的共轭复数为．4．（5分）设向量与的夹角为θ，定义与的向量积：×是一个向量，它的模|×|=||•||sinθ，若=（1，0），=（1，1），则|×|=．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≥1，则￢p为．6．（5分）观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，根据以上式子可以猜想：1+++…+＜．7．（5分）已知复数z满足（z﹣2i）i=1+i，则z的虚部为．8．（5分）“a=2”是直线ax+2y+1=0和直线3x+（a+1）y﹣1=0平行的条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个填空）9．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是．10．（5分）已知△ABC的周长为l，面积为S，则△ABC的内切圆半径为r=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD的表面积为S，体积为V，则四面体ABCD 的内切球的半径R=．11．（5分）已知复数z满足|z﹣3﹣4i|=2，则|z|的最大值为．12．（5分）函数y=sin（2x﹣），≤x≤的值域为A，关于x的方程x2+ax+1=0的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，a的取值集合为B，则A∪B=．13．（5分）下列命题正确的序号是①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．14．（5分）已知函数f1（x）=，（x＞0），对于n∈N*，定义f n+1（x）=f1[f n （x）]，则函数f n（x）的值域为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z=（a2﹣7a+6）+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R）（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；（2）若复数z在复平面内的对应点在第四象限，求实数a的取值范围．16．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．17．（14分）（Ⅰ）求证：当a＞2时，+＜2；（Ⅱ）证明：2，，5不可能是同一个等差数列中的三项．18．（16分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．19．（16分）已知椭圆方程是=1，F1，F2是它的左、右焦点，A，B为它的左、右顶点，l是椭圆的右准线，P是椭圆上一点，PA、PB分别交准线l于M，N两点．（1）若P（0，），求的值；（2）若P（x0，y0）是椭圆上任意一点，求的值；（3）能否将问题推广到一般情况，即给定椭圆方程是=1（a＞b＞0），P（x0，y0）是椭圆上任意一点，问是否为定值？证明你的结论．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，d为常数，已知对∀n，m∈N*，当n ＞m，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d成立（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N*，当n＞m时，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d”是命题q：“数列{a n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S n+S k与2S m的大小，并说明理由．2015-2016学年江苏省徐州市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知复数z=2﹣i（i是虚数单位），则|z|=．【解答】解：∵复数z=2﹣i，∴|z|===．故答案为：．2．（5分）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则（∁U A）∩B={4} ．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，∴∁U A={3，4}，∴（∁U A）∩B={4}，故答案为：{4}．3．（5分）复数的共轭复数为1﹣i．【解答】解：∵复数===1+i，故它的共轭复数为1﹣i，故答案为：1﹣i．4．（5分）设向量与的夹角为θ，定义与的向量积：×是一个向量，它的模|×|=||•||sinθ，若=（1，0），=（1，1），则|×|=1．【解答】解：由=（1，0），=（1，1），得，，∴cosθ=，∵θ∈[0，π]，∴sinθ=，则|×|=||•||sinθ=1×．故答案为：1．5．（5分）已知命题p：∃x∈R，sinx≥1，则￢p为∀x∈R，sinx＜1．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，使得sinx≥1”是特称命题∴¬p：∀x∈R，均有sinx＜1故答案为：∀x∈R，sinx＜16．（5分）观察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，根据以上式子可以猜想：1+++…+＜．【解答】解：由题意，根据所给式子，右边分子是2n﹣1，分母是n，可得结论为，故答案为．7．（5分）已知复数z满足（z﹣2i）i=1+i，则z的虚部为1．【解答】解：复数z满足（z﹣2i）i=1+i，∴z﹣2i=，∴z=2i+=2i++1=1+i，∴z的虚部为1．故答案为：1．8．（5分）“a=2”是直线ax+2y+1=0和直线3x+（a+1）y﹣1=0平行的充要条件条件．（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个填空）【解答】解：若“a=2”则直线2x+2y+1=0和直线3x+3y﹣1=0平行，即充分性成立，若a=0，直线ax+2y+1=0和直线3x+（a+1）y﹣1=0平行为2y+1=0和直线3x+y﹣1=0不平行，若a≠0，若直线ax+2y+1=0和直线3x+（a+1）y﹣1=0平行，则，即a（a+1）=6，且a≠﹣3，解得a=2，即必要性成立，故“a=2”是直线ax+2y+1=0和直线3x+（a+1）y﹣1=0平行的充要条件，故答案为：充要条件9．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是a＞2或a＜﹣2．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”的否定是假命题，∴命题“∃x∈R，使x2+ax+1＜0”是真命题，∴△=a2﹣4＞0，解得a＞2或a＜﹣2．∴实数a的取值范围是a＞2或a＜﹣2．故答案为：a＞2或a＜﹣2．10．（5分）已知△ABC的周长为l，面积为S，则△ABC的内切圆半径为r=．将此结论类比到空间，已知四面体ABCD的表面积为S，体积为V，则四面体ABCD的内切球的半径R=．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A﹣BCD=（S1+S2+S3+S4）R∴R=故答案为：．11．（5分）已知复数z满足|z﹣3﹣4i|=2，则|z|的最大值为7．【解答】解：由|z﹣3﹣4i|=2，可知复数z在复平面内对应的点Z在以P（3，4）为圆心，以2为半径的圆周上，如图，∴|z|的最大值为|OP|+2=5+2=7．故答案为：7．12．（5分）函数y=sin（2x﹣），≤x≤的值域为A，关于x的方程x2+ax+1=0的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，a的取值集合为B，则A∪B=（﹣2.5，﹣2）∪[，1] ．【解答】解：∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∴≤sin（2x﹣）≤1，∴A=[，1]．∵于x的方程x2+ax+1=0的一根在（0，1）内，另一根在（1，2）内，∴，∴﹣2.5＜a＜﹣2，∴B=（﹣2.5，﹣2）．∴A∪B=（﹣2.5，﹣2）∪[，1]．故答案为（﹣2.5，﹣2）∪[，1]．13．（5分）下列命题正确的序号是①③①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．【解答】解：①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b”是真命题，故①正确；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“＜0”，故②错误；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；④方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故④错误；故答案为：①③．14．（5分）已知函数f1（x）=，（x＞0），对于n∈N*，定义f n+1（x）=f1[f n （x）]，则函数f n（x）的值域为（0，）．【解答】解：根据定义可知f2（x）=f1[f1（x）]==，f3（x）=f1[f2（x）]==，f4（x）=f1[f3（x）]=，∴f n（x）==，∴f n（x）的值域为（0，）．故答案为：（0，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z=（a2﹣7a+6）+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R）（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；（2）若复数z在复平面内的对应点在第四象限，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若复数z=（a2﹣7a+6）+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R）为纯虚数，则，解得：a=1；（2）若复数z在复平面内的对应点在第四象限，则，解①得：a＜1或a＞6，解②得﹣1＜a＜6．取交集得：﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣1，1）．16．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m=﹣=﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．17．（14分）（Ⅰ）求证：当a＞2时，+＜2；（Ⅱ）证明：2，，5不可能是同一个等差数列中的三项．【解答】解：（Ⅰ）∵（+）2=2a+2•，＞0，＞0且a+2≠a﹣2，∴，∴+＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为a m，a n，a p，则为无理数，又为有理数，矛盾．所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）18．（16分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得19．（16分）已知椭圆方程是=1，F1，F2是它的左、右焦点，A，B为它的左、右顶点，l是椭圆的右准线，P是椭圆上一点，PA、PB分别交准线l于M，N两点．（1）若P（0，），求的值；（2）若P（x0，y0）是椭圆上任意一点，求的值；（3）能否将问题推广到一般情况，即给定椭圆方程是=1（a＞b＞0），P （x0，y0）是椭圆上任意一点，问是否为定值？证明你的结论．【解答】解：（1）椭圆=1的a=2，b=，c=1，可得A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），右准线l：x=4，由P（0，），可得直线PA的方程为y=（x+2），令x=4，可得M（4，3），同理可得N（4，﹣），则=（﹣1﹣4，﹣3）•（1﹣4，）=﹣5×（﹣3）﹣3×=6；（2）设P（x0，y0），则+=1，即y02=3（1﹣），直线PA的方程为y=（x+2），（x0≠﹣2），与x=4联立，可得M（4，），同理可得N（4，），则=（﹣5，﹣）•（﹣3，﹣）=15+=15+=15﹣9=6；（3）为定值2b2．证明：由椭圆=1，可得A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），右准线l：x=，设P（x0，y0），则+=1，即y02=b2（1﹣），直线PA的方程为y=（x+a），（x0≠﹣a），与x=联立，可得M（，），同理可得N（，），则=（﹣c﹣，﹣）•（c﹣，﹣）=﹣c2+=+•=﹣==2b2．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，d为常数，已知对∀n，m∈N*，当n ＞m，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d成立（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）探究：命题p：“对∀n，m∈N*，当n＞m时，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d”是命题q：“数列{a n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；（3）若正整数n，m，k成等差数列，比较S n+S k与2S m的大小，并说明理由．【解答】证明：（1）∵对∀n，m∈N*，当n＞m，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d成立，取n=m+1，则a n=a1+（n﹣1）d，∴数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d．解：（2）命题p是命题q的充要条件．由（1）可知：对∀n，m∈N*，当n＞m，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d成立，是数列{a n}是等差数列的充分条件．下面证明：数列{a n}是等差数列，必有：对∀n，m∈N*，当n＞m，总有S n﹣S m=S n +m（n﹣m）d成立．﹣m∵对∀n，m∈N*，当n＞m，S n=na1+d，S m=ma1+d，∴S n﹣S m=（n ﹣m）a1+d，S n﹣m=（n﹣m）a1+d，∴S n﹣S m﹣S n=d﹣d=m（n﹣m）d，﹣m即对∀n，m∈N*，当n＞m，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d成立．综上可得：对∀n，m∈N*，当n＞m，总有S n﹣S m=S n﹣m+m（n﹣m）d成立，是数列{a n}是等差数列的充要条件．（3）正整数n，m，k成等差数列，∴2m=n+k．∴n（n﹣1）+k（k﹣1）﹣2m（m﹣1）=n2﹣n+k2﹣k﹣（n+k）×=，则S n+S k﹣2S m=na1+d+ka1+d﹣=（n+k﹣2m）a1+d=d，d≥0时，S n+S k≥2S m；d＜0时，S n+S k＜2S m．。

2015~2016学年度第二学期期末抽测高二数学（文）参考答案与评分标准一、填空题1．4 2 3．12 4．(0,)+∞ 5．a ，b 都不能被5整除 6．27．7- 8．211 9． 101+ 11．(1,3)- 12．1(1,]3--13．{43}y y ≠ 14．(4 二、解答题15．（1 ……………………… 2分 4分 8分 （2）cos()cos cos sin sin 333ααα+=- ……………………………… 12分413=-⨯-= ……………………………… 14分 16．（1）由条件知，2102x x ->+，解得2x <-或12x >， …………………… 4分 所以1(,2)(,)2A =-∞-+∞． ………………………………………… 6分 （2）2()3(1)1g x x =+-在[1,]a -内单调增，所以[1,()]B g a =-． ………… 8分由A B =∅可得，21()3622g a a a =++≤，a …………………………………… 12分又1a >-，所以实数a 的取值范围为(-．…………………… 14分17．（1）1cos2()222x f x x -=+112cos2222x x =-+ π1sin(2)62x =-+， ……………………… 4分 所以的最小正周期πT =． ……………………………… 6分（2）因为π(0,)2x ∈，所以ππ5π2(,)666x -∈-， …………………………… 8分 所以π1sin(2)(,1]62x -∈-，所以π13sin(2)(0,]622x -+∈， 故的值域为3(0,]2． ………………………………… 10分（3）令πππ2π22π262k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 解得ππππ63k x k -++≤≤，k ∈Z ， …………………………… 12分 又因为[0,2π]x ∈， 所以的单调增区间为π[0,]3，5π4π[,]63，11π[,2π]6．……………… 14分 18．（1）连结OC ，作CE OA ⊥于点E ，则π2COA θ∠=-， 所以4sin(π2)4sin2CE θθ=-=，4cos(π2)OE θ=-=-4sin 28cos sin sin CE AC θθθθ===． ………………… 6分 所以()f AC CD AC OE θ=+=+8cos 4cos2θθ=-，ππ42θ<<． ………………… 8分 （2）由（1）知，折线ACD 的长2()8cos 4(2cos 1)f θθθ=--218(cos )62θ=--+， ……………… 12分 所以当1cos 2θ=，即π3θ=时，()f θ最大，此时，2π4sin 3OD == 所以点D 应在线段OB 上距离O 点米处．答：（1）()8cos 4cos2f θθθ=-； （2）点D 应在线段OB 上距离O 点米处． ……………………… 16分19．（1）因为对任意x ∈R ，都有11()e e ()e e x x x xf x f x ---=-=-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数． ………………………………… 4分（2）解法1：方程2e 1()e f x -=即11e e e ex x -=-， 整理得，21(e )(e )e 10e x x ---=，解得e e x =或1e ex =-（舍）， ……… 6分 由e x y =是R 上的单调增函数可知，1x =，所以方程2e 1()ef x -=有且只有1个实根． ……………………… 8分 解法2：方程2e 1()e f x -=即11e e e ex x -=-， 显然1x =是该方程的根． ………………………………………………… 6分又1()e ()ex x f x =-是R 上的单调增函数， 所以方程2e 1()ef x -=有且只有1个实根． ……………………… 8分 （3）由（2）知，当(0,)x ∈+∞时，0011e e 0e ex x ->-=． 由条件知1(e 1)e 1ex x x m --+-≤在(0,)+∞上恒成立， ……………… 10分 令e (0)x t x =>，则1t >，所以221111111t m t t t t --=-+-+-≤对任意(1,)t ∈+∞恒成立， ………… 14分 又当112t =时，211t t -有最大值14，所以21115111t t --+-≥． 因此实数m 的取值范围是1(,]5-∞-． ………………………………… 16分 20．（1）若1a =，则2()4ln f x x x x =-+，1'()24f x x x=-+， …………… 1分 所以切线斜率为'(1)1f =-，又(1)3f =-，所以()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y ++=． …………… 4分 （2）224'()24a x x a f x x x x-+=-+=，0x >． ①当2a ≥时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调增；…… 5分②当02a <<时，解'()0f x >得，20x <<或22x +>， 解'()0f x <得，222x <<， 所以()f x 在，2()+∞上单调增，在22()22上单调减； …………………7分 ③当0a <时，解'()0f x >得，x>， 解'()0f x <得，202x +<<， 所以()f x 在)+∞上单调增，在上单调减． 综上所述，当2a ≥时，()f x 的增区间是(0,)+∞； 当02a <<时，()fx的增区间是，)+∞，减区间是； 当0a <时，()f x 的增区间是)+∞，减区间是． ……………………………… 10分（3）由题意可知，1x ，2x 是方程2240(02)x x a a -+=<<的两根，……… 12分则2(1,2)x =，22242a x x =-， 所以222222222222()4ln 4(42)ln f x x x a x x x x x x =-+=-+-． 令22()4(42)ln g x x x x x x =-+-，(1,2)x ∈，则'()4(1)ln 0g x x x =-<恒成立，所以()g x 在(1,2)上单调减，所以()(2)4g x g >=-，即2()4f x >-． ………………………………… 16分。

2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是A.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-ab数3()f x x =的极值点.以上推理中A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为A.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2- 7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性 回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．(,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）A ．B ．C ．D ． 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<,AD =,则∠CAD 的弧度数为 .15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____. 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若11,32EC ED EB EA ==，求DCAB的值； （Ⅱ）若2EF FA FB =⋅，证明：//EF CD ．18.(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等（优秀），在[60，80）的学生可取得B 等（良好），在[40，60）的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现23按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 a=12 b= 女生 c= d=34 合计n=100附：．P （k 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.01k 0 2.0722.7063.841 6.63519．(本小题满分l2分)设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．20．(本小题满分l2分)设函数2()f x ax bx c =++且(1)2af =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a > （2）证明：33.4b a -<<-21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ，求||||TM TN ⋅的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若是虚数单位，则乘积的值是 CA.15-B.3C.3-D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函 数3()f x x =的极值点.以上推理中 A A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．结论正确 3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i ii i ++++++= 其中正确命题的序号是( )CA.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）D17(,),2ia bi ab R i i+=+∈-abA ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim=-+→hf h f h ，则a 的值为 BA.2-B.2C.π2D.π2- 6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）c A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得的四组值分别为，，，，则与的线性回归方程可能是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点，故选A ．8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( )D A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ． 0 10. 若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ）B (,)x y ()1,2()2,3()3,4()4,5y x 1y x =+2y x =+21y x =+1y x =-()2.5,3.5A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况11.设，且，若，则必有（ ）AA ．B ．C ．D ．12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为 BA.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是 ．2 AC =14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，,AD =,则∠CAD 的弧度数为 . 15.15.参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.)2(116422≥=-x y x 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用,,a b c R +∈1a b c ++=111(1)(1)(1)M a b c=---8M ≥118M ≤<18M ≤<108M ≤<23512π类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R= ． 2222a b c ++三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分l0分)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上． （Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA•FB，证明：EF∥CD．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．18(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=女生c= d=34合计n=100附：．P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=48 60女生c=6 d=34 40合计18 82 n=100 …（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．【解答】证明：（1）假设a≤0，∵3a＞2c＞2b，∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0，将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0，∵f（1）=﹣，∴3a+2c+2b=0，这与3a+2c+2b＜0矛盾，∴假设不成立，∴a＞0；（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）…。

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答案）。

2015—2016学年度第二学期期中测试高二数学（理科）试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名等相关信息写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 复数i 32－的实部是▲________2．“∵四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，请你补充以上推理的 大前提▲________3．复数23i +的模是▲________ 4. 4(1)x +的展开式中2x 的系数为▲________5. 在复平面内,复数i z 56+= 的共轭．．复数对应的点位于第▲________象限. 6. 若将四面体作为三角形类比,那么在立体几何中与平面几何中矩形．．类似的概念▲________7. 计算: ＝▲________8. 已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，则127a a a +++＝▲________9. 高二某班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那么全班共写了 ▲________条祝福语．（用数字作答） 10．对于不等式12+<+n n n )(*∈N n ，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当1=n 时，11112+<+，不等式成立．（2）假设当k n =)1(≥∈*k N k 且时，不等式成立，即12+<+k k k ，则当1+=k n 时，23)1()1(22++=+++k k k k <2232++++k k k =2)2(+k =1)1(++k ，∴当1+=k n 时，不等式成立，则上述证明过程中错误的是▲________(请填写序号)． ①1=n 验得不正确． ②归纳假设不正确． ③从k n =到1+=k n 的推理不正确．A C C 31019710098100+11． 观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝▲________ 12. 若n 为奇数（*n N ∈），则7C 7C 7C 71-n n 22n 11n ++++-- n n n被9除所得的余数是▲________13．正整数按下表的规律排列：则上起第2015行，左起第2016列的数应为▲________14. 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用有▲________种二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.（本小题满分14分）12 5 10 17 43 6 11 18 9 8712 19 16 15 14 13 20 2524232221（1）实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是纯虚数？（2）已知i z z 5)1(+-=，求复数z .16.（本小题满分14分）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-15展开式中，（1）若其第4项是常数项，求n 的值； （2）若4=n ，求其二项式系数最大的项.17.（本小题满分14分）某兴趣小组有学生15名，其中正、副组长各1名，先选派5名学生参加某种课外活动. （1）如果组长和副组长必须参加有多少种选法？ （2）如果组长和副组长有且只有1人参加有多少种选法？ （3）如果组长和副组长至少有1人在内，有多少种选法？18．（本小题满分16分）（1）已知a b c >>，且0a b c ++=，试用分析法证明：a< （2）已知)1(12)(>+-+=a x x a x f x ，试用反证法证明：方程0)(=x f 没有负数根.19.（本小题满分16分）从函数角度看，rn C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{}n r N r r ≤∈，.（1）证明：)1(1)(-+-=r f rr n r f ； （2）试利用（1）的结论证明：当n 为偶数时，nb a )(+的展开式最中间一项的二项式系数最大.20. （本小题满分16分）是否存在常数满足下列条件的b a 、，使得等式: 2222121335(21)(21)2n an n n n bn +++⋯+=⋅⋅-++对一切正整数n 都成立.如果存在，请求出b a 、，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.2015—2016学年度第二学期期中测试 高二数学（理科）试卷参考答案 说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数，阅卷时可适当参考． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 2 2．矩形都是对角线相等的四边形四 6. 长方体 7. 618. -2 9.1560 10．③ 11．4n －112. 7 13．2015×2016=4062240 14. 264二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分）（1）实数m 取什么值时，复数i m m m z )1()1(-+-=是纯虚数？ （2）已知i z z 5)1(+-=，求复数z .（课本练习） 15. 解：（1）当0)1(=-m m ，且01≠-m ，……4分 即0=m 时，复数z 是纯虚数……7分（2）设yi x z +=……9分，i y x yi x 5)1(22+-+=-∴……10分⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=∴5122y y x x ……12分，⎩⎨⎧-==∴512y x i z 512-=……14分16.（本小题满分14分）在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-15展开式中，（1）若其第4项是常数项，求n 的值； （2）若4=n ，求其二项式系数最大的项.16.解：（1）因为nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-15的展开式中的第4项33534)1()(x x C T n n -=-是常数项，……3分 有1518=-n x所以n =18……7分（2）当4=n 时，展开式中二项式系数最大的项为3T ,……10分所以582252436)1()(－x xx C T =-=……14分17.（本小题满分14分）某兴趣小组有学生15名，其中正、副组长各1名，先选派5名学生参加某种课外活动. （1）如果组长和副组长必须参加有多少种选法？（2）如果组长和副组长有且只有1人参加有多少种选法？ （3）如果组长和副组长至少有1人在内，有多少种选法？ 17.解：（1）22C 313C ＝286 ……4分（2）12C 413C ＝1430 ……9分（3）515C －513C ＝1716……14分18．（本小题满分16分）（1）已知a b c >>，且0a b c ++=< 证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，……4分 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，……6分因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．……8分（2）已知)1(12)(>+-+=a x x a x f x，试用反证法证明：方程0)(=x f 没有负数根. 证明：假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00<x 且10-≠x 且12000+--=x x ax ……10分 112010000<+--<⇒<<∴x x ax ，解得2210<<x ，这与00<x 矛盾， 故方程0)(=x f 没有负数根……16分19.（本小题满分16分） （1）证明：)!(!!)(r n r n C r f rn -== ， ……2分而)!1()!1(!)1(1+--==--r n r n C r f r n=+--∙+-=-+-∴)!1()!1(!1)1(1r n r n r r n r f r r n )!(!!r n r n - 故)1(1)(-+-=r f rr n r f 成立. ……6分 （2）证明：当n 为偶数时，设Z k k n ∈=,2, ……8分 )1(1)(-+-=r f rr n r f ,0)1(>-r f . rr k r f r f 12)1()(+-=-∴. ……10分令)1()(-≥r f r f ，可得112≥+-r r k ，21+≤∴k r （等号不成立）.∴当k r 321，，=时，)1()(->r f r f 成立； ……14分 反之，当k k k k r 2321 +++=，，时，)1()(-<r f r f 成立；故k k C k f 2)(=最大，即nb a )(+的展开式中最中间一项的二项式系数最大. ……16分20.（本小题满分16分）是否存在常数满足下列条件的b a 、，使得等式: 2222121335(21)(21)2n an n n n bn +++⋯+=⋅⋅-++对一切正整数n ，都成立.如果存在，请求出b a 、，并证明你的结论，若不存在，请说明理由.20 .解:令n=1,2,并整理得311{,{10324a b a a b b -=-=∴-=-=……4分 以下用数学归纳法证明:2222*12()1335(21)(21)42n n n n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++ （1）当n=1时,由上面解法知结论正确. ……6分（2）假设当n=k 时结论正确,即:222212.1335(21)(21)42k k kk k k +++⋯+=⋅⋅-++……8分 则当n=k+1时,222222222212(1)1335(21)(21)(21)(23)(1)(1)(23)2(1)42(21)(23)2(21)(23)(1)(2322)(1)(21)(2)2(21)(23)2(21)(23)32(1)(1)464(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++⋯++⋅⋅-+++++++++=+=++++++++++++==+++++++++==++.1)2+故当n=k+1时,结论也成立.根据（1）、（2）知,对一切正整数n,结论都成立. ……16分分12。

2015-2016学年第二学期高二期中考试数学学科（文科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．命题0)(),2,0(:<∈∀x f x p π，则p ⌝： ．2．已知复数i Z 43+= （i 为虚数单位），则Z = ． 3．设全集{}3,2,1,0,1{},42-=≤≤-∈=A x Z x U ，若A C B U ⊆，则集合B 的个数是 ．4．已知复数i Z i Z 34,221-=+= 在复平面内的对应点分别为点A 、B ，则A 、B 的中点所对应的复数是 ．5．已知11)1(+=x x f ，那么)(x f 的解析式为 ． 6．已知ni i+=-112，其中i R n ,∈ 是虚数单位，则n = ． 7．函数)3lg(1)(2x x x f --=的定义域为 ．8． 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤=0,10,2)(2x x x x f x 的值域为 ． 9．若函数2+-=x b x y 在)2)(6,(-<+b a a 上的值域为),2(+∞，则=+b a ． 10．若命题“存在04,2≤++∈a x ax R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是 ．11. 已知函数⎩⎨⎧≥<+-=-1,21,3)21()(1x x a x a x f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是 ． 12. 记12x x -为区间],[21x x 的长度．已知函数)0](,2[,2≥-∈=a a x y x，其值域为],[n m ，则区间],[n m 的长度的最小值是 ．13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ． 14．设][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[,1]5.1[-=-=．若函数x xaa x f +=1)( )1,0(≠>a a ，则]21)-([]21)([)(-+-=x f x f x g 的值域为 ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分） 已知}42{},71{},9{2<-=≤<-=≥=x x C x x B x x A ．（1）求A ∩B 及A ∪C ；（2）若U=R ，求A ∩∁U （B ∩C ）16．（本小题满分14分）已知复数Z 满足：Z i Z -+=31，求Zi i 2)43()1(2++的值．17．（本小题满分15分）设a 为实数，给出命题:p 关于x 的不等式a x ≥-1)21(的解集为φ，命题:q 函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题""q p ∨为真，""q p ∧为假，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分15分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当204≤<x 时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．（1）当200≤<x 时，求v 关于x 的函数表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．19．（本小题满分16分）若)(x f 为二次函数，1-和3是方程04)(=--x x f 的两根，1)0(=f（1）求)(x f 的解析式；（2）若在区间]1,1[-上，不等式m x x f +>2)(有解，求实数m 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数0(2log )(>-+=a x m x x f a且)1≠a 的定义域为2{>x x 或}2-<x ． （1）求实数m 的值；（2）设函数)2()(xf xg =，对函数)(x g 定义域内任意的21,x x ，若021≠+x x ，求证：)1()()(212121x x x x g x g x g ++=+； （3）若函数)(x f 在区间),4(r a -上的值域为),1(+∞，求r a -的值．2015-2016学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）参考答案一、填空题： 1. 0)(),2,0(≥∈∃x f x π2. 53. 44. i -35. xx x f +=1)( 6. 1 7. 5]30[-2，（）， 8. ]1,(-∞ 9. 10- 10. ），（∞+2 11. )21,0[ 12. 3 13. )(),1(4)2(*22N n n n n ∈+=-+ 14. 1}-{0，二、解答题：15.解：（1）集合A 中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；--2分 集合C 中的不等式解得：﹣2＜x ＜6，即C={x|﹣2＜x ＜6}，-------- -------------4分 ∴A∩B={x|3≤x≤7}，----------------------- ------------------------------6分 A∪C={x|x≤﹣3或x ＞﹣2}；-----------------------------------------------8分（2）∵B∩C={x|﹣1＜x ＜6}，-----------------------------------------------10分 全集U=R ，∴∁U （B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，--------------------------------12分 则A∩∁U （B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．--------------------------------------14分16.解：设z=a+bi （a ，b ∈R ），---------------------------------------------2分 而|z|=1+3i ﹣z ，即，-------------------------------4分 则-----------------------------------------------------6分 解得，z=﹣4+3i ，--------------------------------------------------8分 ∴==1．-------------14分17.解：命题p ：|x ﹣1|≥0，∴，∴a＞1；---------------------4分命题q ：不等式的解集为R ，∴，解得；---------------------------------------------------------------8分若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；----------------------10分p真q 假时，，解得a≥8；----------------------------------12分p假q 真时，，解得；-----------------------------------14分∴实数a 的取值范围为：．----------------------------15分18.解（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2； ----------------------------------2分当4＜x≤20时，设v=ax+b，由已知得：，解得：，所以v=﹣x+，---------------------4分故函数v=；-------------------------------------------6分（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，依题意并由（1）可得f（x）=-----------------------8分当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；-----------------10分当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，f（x）max=f（10）=12.5．--------------------------------------------------12分所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．-------------------------------14分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．--------------------------------------------------------------------15分19. 解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由f（0）=1可得c=1，------------------------------------------------------2分故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=，解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1；----------------------------------------8分（2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，--------------------------------------10分故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，--------------------------14分∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）------------------------------------------16分20.解：（1）m=2时，解得，x＞2，或x＜﹣2；∴m=2；-----------------1分（2）证明：，；------------2分∴g（x1）+g（x2）==；=；∴；------------------------------------6分（3）；∴①若a＞1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减；∴；∴；∴；∴；-----------------------------12分②若0＜a＜1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递增；∴；∴；∴，或（舍去）；∴．-----------------16分。