高中数学人教A版选修1-2学业分层测评6 分析法及其应用 Word版含解析

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．已知，为非零实数，则使不等式：＋≤－成立的一个充分而不必要条件是( )．·<．·>．>，>．>，<【解析】∵＋≤－，∴≤－.∵＋>，∴<，则，异号，故选.【答案】．平面内有四边形和点，＋＝＋，则四边形为( )．梯形．菱形．平行四边形．矩形【解析】∵＋＝＋，∴－＝－，∴＝，∴四边形为平行四边形．【答案】．若实数，满足<<，且＋＝，则下列四个数中最大的是( )【导学号：】．＋．．【解析】∵＋＝，＋>，∴<.而＋>＝，又∵<<，且＋＝，∴<，∴＋最大，故选.【答案】．，为△的内角，>是 > 的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件【解析】若>，则>，又)＝)，∴> ；若> ，则由正弦定理得>，∴>.【答案】．若，是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )．若⊂β，α⊥β，则⊥α．若α∩γ＝，β∩γ＝，∥，则α∥β．若⊥β，∥α，则α⊥β．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于，与α不一定垂直，所以不正确；对于，α与β可以为相交平面；对于，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于，β与γ不一定垂直．【答案】二、填空题．设，是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若，，三点共线，则＝.【解析】若，，三点共线，则＝λ，即＋＝λ(＋)＝λ＋λ，∴(\\(λ＝，＝，))∴(\\(λ＝，＝.))【答案】．设＝，＝－，＝－，则，，的大小关系为．【解析】∵－＝－(－)＝－>，∴>，又∵＝＝>，∴>，∴>>.【答案】>>。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．若，∈，则>成立的一个充分不必要条件是( )．>．>．(－)<．<<【解析】由<<⇒<<⇒>，但>不能推出<<.∴<<是>的一个充分不必要条件．【答案】．求证：－>－.证明：要证－>－，只需证＋>＋，即证＋＋>＋＋，即证>，∵>，∴原不等式成立．以上证明应用了( )．分析法．综合法．分析法与综合法配合使用．间接证法【解析】该证明方法符合分析法的定义，故选.【答案】．(·汕头高二检测)要证：＋－－≤，只要证明( )．－－≤．＋－－≤－－≤．(－)(－)≥【解析】要证＋－－≤，只要证明(－)＋(－)≤，只要证明(－)(－)≤，即证(－)(－)≥.【答案】．在不等边三角形中，为最大边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足什么条件( )．＝＋．<＋．>＋．≤＋【解析】由余弦定理得＝<，∴＋－<，即＋<.【答案】．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”，索的因应是( )．－>．－>．(－)(－)<．(－)(－)>【解析】由题意知<⇐－<⇐＋(＋)<⇐＋＋<⇐＋<⇐－－>⇐－＋－>⇐(－)＋(＋)(－)>⇐(－)－(－)>⇐(－)(－)>，故选.【答案】二、填空题．(·烟台高二检测)设＝＋，＝(>，>)，则，的大小关系为．【解析】∵－＝－＝＝≥，∴≥.【答案】≥．(·西安高二检测)如果>，则实数，应满足的条件是.【导学号：】【解析】要使>成立，只需()>()，只需>>，即，应满足>>.【答案】>>．如图--，四棱柱-的侧棱垂直于底面，满足时，⊥(写上一个条件即可)．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标] 一、选择题1．若a，b∈R，则1a3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A．ab>0 B．b>aC．a<b<0 D．ab(a－b)<0【解析】由a<b<0⇒a3<b3<0⇒1a3>1b3，但1a3>1b3不能推出a<b<0.∴a<b<0是1a3>1b3的一个充分不必要条件．【答案】 C2．求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5，只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，∵35>11，∴原不等式成立．以上证明应用了( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法配合使用D ．间接证法【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A. 【答案】 A3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2【解析】 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2. 【答案】 C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”，索的因应是( ) A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐b2＋a(a＋b)<3a2⇐b2＋a2＋ab<3a2⇐b2＋ab<2a2⇐2a2－ab－b2>0⇐a2－ab＋a2－b2>0⇐a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0⇐a(a－b)－c(a－b)>0⇐(a－b)(a－c)>0，故选C.【答案】 C二、填空题6．设A＝12a＋12b，B＝2a＋b(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．【解析】∵A－B＝a＋b2ab－2a＋b＝a＋b2－4ab2ab a＋b＝a－b22ab a＋b≥0，∴A≥B.【答案】A≥B7．如果a a>b b，则实数a，b应满足的条件是________.【导学号：19220024】【解析】要使a a>b b成立，只需(a a)2>(b b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.【答案】a>b>08．如图2­2­5，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．图2­2­5【解析】要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥C，从而有BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1BD⊥AC.1【答案】AC⊥BD(或底面为菱形)三、解答题9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.【证明】分析法要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，又因a＋b>0，只需证a2－ab＋b2>ab成立，只需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，由此命题得证．10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥43S.【证明】要证a2＋b2＋c2≥43S，只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2ab cos C)≥23ab sin C，即证a2＋b2≥2ab sin(C＋30°)，因为2ab sin(C＋30°)≤2ab，只需证a2＋b2≥2ab，显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥43S.[能力提升]1．已知a，b，c，d为正实数，且ab<cd，则( )A.ab<a＋c b＋d<cdB.a＋cb＋d<ab<cdC.ab<cd<a＋cb＋dD．以上均可能【解析】先取特殊值检验，∵ab<cd，可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，则a＋cb＋d＝25，满足ab<a＋cb＋d<cd.∴B，C不正确．要证ab<a＋cb＋d，∵a，b，c，d为正实数，∴只需证a(b＋d)<b(a＋c)，即证ad<bc.只需证ab<cd.而ab<cd成立，∴ab<a＋cb＋d.同理可证a＋cb＋d<cd.故A正确，D不正确．【答案】 A2．下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋caB.a＋b>a＋b(a>0，b>0)C.a－a－1<a－2－a－3(a≥3)D.2＋10>2 6【解析】对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；对于B，∵(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(a＋b)2＝a＋b，∴a＋b>a＋b；对于C，要证a－a－1<a－2－a－3(a≥3)成立，只需证明a＋a－3<a－2＋a－1，两边平方得2a－3＋2a a－3<2a －3＋2a－2a－1，即a a－3<a－2a－1，两边平方得a2－3a<a2－3a＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．【答案】 D3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________.【解析】 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12.【答案】 124．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .【证明】 要证明log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )， 而已知0<x <1，故只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立．∴log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·长春高二检测)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【解析】 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i.【答案】 C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10D ．2 2【解析】 |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C. 【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1. 【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.【答案】 B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( )【导学号：19220042】A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i【解析】 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝(－5)2＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2，∴z ＝－5＋2i. 【答案】 A 二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________. 【解析】 由题意知z ＝－3＋4i ， ∴|z |＝(－3)2＋42＝5. 【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 由已知得{ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴{ 1<x <5，x <2，∴1<x <2. 【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i三、解答题9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？【解】∵|z|＝2，∴(x＋3)2＋(y－2)2＝2，即(x＋3)2＋(y－2)2＝4.∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y＝x上．【解】(1)由题意得{m－3>0，m2－5m－14<0，得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由题意得{m－3>0，m2－5m－14>0，或{m－3<0，m2－5m－14<0，∴m>7或－2<m<3，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，∴m2－6m－11＝0，∴m＝3±25，此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．[能力提升]1．(2016·吉林高二检测)已知a∈R，且0<a<1，i为虚数单位，则复数z＝a ＋(a－1)i在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵0<a<1，∴a>0，且a－1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限． 【答案】 D2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆【解析】 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以{ a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．【答案】 C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________. 【解析】 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．(2016·黄山高二检测)已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.【导学号：19220043】【解】 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ， OZ 2→对应的复数为2a ＋i ， 所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→， 即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以{ 2a ＝－3k ，＝4k ，所以⎩⎨⎧k ＝14，a ＝－38，即a 的值为－38.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为() A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2【解析】A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．【答案】 C2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【解析】结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．【答案】 B3．“因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提)，而y＝log 13x是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x是增函数(结论)．”上面推理错误的是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错【解析】大前提y＝log a x是增函数错误，当0<a<1时，函数y＝log a x是减函数．【答案】 A4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB【解析】三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.【答案】 A5．定义运算“⊗”为：a⊗b＝ab＋a2＋b2，若1⊗m<3，则m的取值范围是()【导学号：19220017】A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－2，－1) D．(1,2)【解析】依题意，1⊗m<3，即m＋1＋m2<3，整理得m2＋m－2<0，解得－2<m<1，所以m的取值范围是(－2,1)．【答案】 A二、填空题6．以下推理过程省略的大前提为________．因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.【解析】由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.【答案】若a≥b，则a＋c≥b＋c7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，①∴a⊥AB，b⊥AB，②∴a∥b.③这里的证明有两个推理，即：①⇒②和②⇒③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．【解析】②⇒③时，大前提错误，导致结论错误．【答案】②⇒③8．“如图2-1-7，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．图2-1-7证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．【解析】由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．【答案】③三、解答题9．用三段论证明通项公式为a n＝cq n(c，q为常数，且cq≠0)的数列{a n}是等比数列．【证明】设a n＋1，a n是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，因为a n＋1a n＝cq n＋1cq n＝q(常数)(小前提)，所以{a n}是等比数列．(结论)10．已知a>0且函数f(x)＝2xa＋a2x是R上的偶函数，求a的值．【解】 由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，即2－x a ＋a2－x ＝2x a ＋a 2x ，所以1a ·2x ＋a ·2x ＝2xa ＋a 2x ，整理得⎝⎛⎭⎪⎫a －1a (2x －2－x )＝0，必有a －1a ＝0.又因为a >0，所以a ＝1.[能力提升]1．(2016·海淀区模拟)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立．以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误【解析】 f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )≥0恒成立，故大前提错误，选A.【答案】 A2．设⊕是R 内的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集【解析】 A 错，因为自然数集对减法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．【答案】 C3．(2016·西城高二检测)若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 018)f (2 017)＝________. 【解析】 ∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)． 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)．∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 018)f (2 017)＝2(结论)， ∴原式＝2＋2＋…＋21 009个＝2 018. 【答案】 2 0184．设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n＋1＝⎩⎨⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 【解】 (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14， a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38， ∴a 5＝12a 4＝14a ＋316. ∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0， b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14.猜想{b n }是公比为12的等比数列． 证明如下： ∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1＋14－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)，14，公比为12的等比数列.∴{b n}是首项为a－。

学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．如果在犯错误的概率不超过的前提下认为事件和有关，那么具体算出的数据满足( )．<．>．<．>【解析】对应(≥)的临界值表可知，当>时，在犯错误的概率不超过的前提下认为事件与有关．【答案】．通过随机询问名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：＝≈.附表：．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为.【答案】．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故错．【答案】．分类变量和的列联表如下，则( )．－越大，说明与的关系越强．(－)越大，说明与的关系越强．(－)越接近于，说明与的关系越强【解析】结合独立性检验的思想可知－越大，与的相关性越强，从而(－)越大，说明与的相关性越强．【答案】．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )．个心脏病患者中至少有人打鼾．个人患心脏病，则这个人有的概率打鼾．个心脏病患者中一定有打鼾的人．个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有【解析】这是独立性检验，在犯错误的概率不超过的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为.根据概率的意义可知答案应选.【答案】．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】 C2．下列命题错误的是()A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．【答案】 D3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()【导学号：19220029】A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．【答案】 D4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥6，②显然①，②矛盾，所以C正确．【答案】 C5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A．①②③B．①③②C．②③①D．③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．【答案】 D二、填空题6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”．【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是________．【解析】3a与3b的关系有三种情况：3a>3b，3a＝3b和3a<3b，所以“3a>3b”的反设应为“3a＝3b或3a<3b”．【答案】3a＝3b或3a<3b8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．【解析】若a＝13，b＝23，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】③三、解答题9．已知x∈R，a＝x2＋12，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【导学号：19220030】【证明】假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋12＋3＝2⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．【证明】假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，两边同时平方得a＋c＋2ac＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2ac＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．所以a，b，c不成等差数列．[能力提升]1．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．【答案】 D2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin A≠sin B”．若用反证法证明，得出的矛盾是()A．与已知条件矛盾B．与三角形内角和定理矛盾C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D．与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin A＝sin B，因为0<A<π，0<B<π，所以A ＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立．所以sin A≠sin B.【答案】 C3．(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．【答案】 丙4．(2016·温州高二检测)设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明：数列{c n }不是等比数列．【证明】 假设数列{c n }是等比数列，则 (a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．① 因为{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p ，q ，所以a 2n ＝a n －1a n ＋1，b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理，得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p q ＋q p ， 即2＝p q ＋q p .②当p ，q 异号时，p q ＋q p <0，与②相矛盾；当p ，q 同号时，由于p ≠q ，所以p q ＋q p >2，与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，那么具体算出的数据满足()A．K2>3.841 B．K2<3.841C．K2>6.635 D．K2<6.635【解析】对应P(K2≥k0)的临界值表可知，当K2>3.841时，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关．【答案】 A2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)算得，k＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【解析】根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.【答案】 C3．下列关于等高条形图的叙述正确的是()A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系D．以上说法都不对【解析】在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．【答案】 C3．分类变量X和Y的列联表如下，则()B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强【解析】结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．【答案】 C4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有【解析】这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.【答案】 D5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：确的是()【导学号：19220006】A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关【解析】根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．【答案】 D二、填空题6．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)【解析】K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．【答案】③6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：【解析】由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．【答案】假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：，从0而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．【解析】由公式计算得K2的观测值k≈4.882，∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.8825%8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：【解析】由公式可计算得k＝102×(27×29－34×12)2 39×63×61×41≈2.334.【答案】 2.334三、解答题9．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系．【解】等高条形图如图所示：其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．10．(2016·江西吉安高二检测)对某校小学生进行心理障碍测试得到如下表列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110附：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 【解】将列联表补充完整如下：有心理障碍没有心理障碍总计女生102030男生107080总计2090110k＝110×(10×70－20×10)230×80×20×90≈6.366>5.024，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．[能力提升]1．(2016·玉溪高二检测)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是() A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的效率为5%【解析】根据随机变量K2的意义知A正确．【答案】 A2．有两个分类变量X，Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：为X，Y有关，则a的值为()A．8B．9C．8,9 D．6,8【解析】根据公式，得k＝65×[a(30＋a)－(15－a)(20－a)]2 20×45×15×50＝13×(13a－60)220×45×3×2>3.841，根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得a＝8,9满足题意．【答案】 C3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如下表：能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与作业多有关．【解析】查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k0＝6.635.本题中，k≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．【答案】不能3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：K2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．(参考公式：)K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)；【解析】根据提供的表格，得k＝50(13×20－7×10)223×27×20×30≈4.844＞3.841，∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．【答案】有4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下表：(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)k＝500×(40×270－30×160)2200×300×70×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．。