专题11 二次函数（解答题）
1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：
（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？
（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？
（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】
（1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价；
（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；
（3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】
（1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元，
根据题意可得：1002008000
20030013000
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解得：2030x y =⎧⎨=⎩
，
∴A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元．
（2）设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ， 根据题意可得：()()4430205w z z =--+， 化简得：2550280w z z =-++， 当()
505225b z a =-
=-=⨯-时， 255505280405max w =-⨯+⨯+=，
∴超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元． （3）设购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，
根据题意可得：()203010000109m n W b m n +=⎧⎨
=-+⎩
①
② 将①代入②可得：()100002010930
m
W b m -=-+⨯
，
化简得：()()106300043000W b m b m =--+=-+， 使得A ，B 两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变， 则40b -=，得4b =， 当4b =时，3000W =，
∴A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【点睛】
题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用．
2．（2021·湖南中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：
（1）根据表中的数据，在图中描出实数对(,)x y 所对应的点，并画出y 关于x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出y 关于x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不．得超过．．．
进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）图象见详解；（2）216y x =-+；（3）①222032P x x =-+-；②销售单价应定为3元． 【分析】
（1）由题意可直接进行作图；
（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系，所以设其关系式为y kx b =+，然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可；
（3）①由题意易得()2P x y =-，然后由（2）可进行求解；②由①及题意可得22203210x x -+-=，然后求解，进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解． 【详解】
解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：
（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+，则由表格可把()()4,8,5,6代入得：
4856k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得：2
16k b =-⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+； （3）①由（2）及题意可得：
()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-； ∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-； ②由题意得：2200x ≤⨯％，即4x ≤， ∴22203210x x -+-=， 解得：123,7x x ==， ∴3x =；
答：此时的销售单价应定为3元． 【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的应用，熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．
3．（2021·湖南永州市·中考真题）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式； （2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；
（3）记关于x 的二次函数2
22y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数
m 的最小值．
【答案】（1）2
124y x x -=+；（2）4；（3）4． 【分析】
（1）将点(0,4)代入二次函数的解析式可得c 的值，根据二次函数的对称轴可得b 的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为2
b
x =-
，再分0b ≤，02b <<和2b ≥三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于b 的一元二次方程，解方程即可得；
（3）先根据21y y ≥可得2340x x m ++-≥，令2
334y x x m =++-，再根据二次函数的性质列出不等式，
求解即可得． 【详解】
解：（1）将点(0,4)代入2
1y x bx c =++得：4c =， 二次函数的对称轴为1x =，
12
b
∴-
=，解得2b =-， 则此二次函数的表达式为2
124y x x -=+； （2）
20b c -=，即2c b =，
222213
()24
b y x bx b x b =++=++∴，
则此二次函数的对称轴为2
b
x =-，
由题意，分以下三种情况： ①当2
b
b ≤-
，即0b ≤时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而减小， 则当x b =时，1y 取得最小值， 因此有22221b b b ++=，
解得b =0b =>（不符题设，舍去）； ②当32
b
b b -<-
<，即02b <<时，
在32b b x -≤≤-内，1y 随x 的增大而减小；在2
b
x b -<≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当2
b
x =-
时，1y 取得最小值， 因此有
2
3214
b =，
解得2b =>或0b =-（均不符题设，舍去）； ③当32
b
b -≥-
，即2b ≥时， 在3b x b -≤≤内，1y 随x 的增大而增大， 则当3x b =-时，1y 取得最小值，
因此有2
2
3(3)2124
b b b -++
=， 解得4b =或12b =-<（不符题设，舍去），
综上，b 的值为4；
（3）由（1）可知，2
124y x x -=+，
由21y y ≥得：22224x x m x x ++≥-+，即2340x x m ++-≥， 令2
334y x x m =++-，
在01x ≤≤内，3y 随x 的增大而增大，
要使得当01x ≤≤时，总有2
3340y x x m =++-≥，则只需当0x =时，30y ≥即可，
因此有40m -≥， 解得4m ≥，
则实数m 的最小值为4． 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键．
4．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()24
0,
0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩
是常数的图象上的一对“T 点”，
则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线
:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足
()
1
1211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理
由．
【答案】（1）4,1,4-；（2）当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”，理由见解析；当0k =时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；（3）直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【分析】
（1）先根据关于y 轴对称的点坐标变换规律可得,r s 的值，从而可得点A 的坐标，再将点A 的坐标代入“T 函数”即可得；
（2）分0k ≠和0k =两种情况，当0k ≠时，设点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是一对“T 点”，将它们代入函数解析式可求出0k =，与0k ≠矛盾；当0k =时，y p =是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，且有无数对“T 点”；
（3）先将点(0,0)O 代入2y ax bx c =++可得0c
，再根据“T 函数”的定义可得0b =，从而可得2y ax =，
与直线y mx n =+联立可得12,x x 是方程20mx n ax --=的两实数根，然后利用根与系数的关系可得
1212,m n x x x x a a
+=
=-，最后根据()1
1211x x --+=化简可得n m =-，从而可得y mx m =-，由此即可得出答案． 【详解】
解：（1）由题意得：点()1,A r 与点(),4B s 关于y 轴对称，
4,1r s ∴==-，
()1,4A ∴， 10>，
∴将点()1,4A 代入2y tx =得：4t =，
故答案为：4,1,4-；
（2）由题意，分以下两种情况： ①当0k ≠时，
假设关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”，点000(,)(0)x y x ≠与点00(,)x y -是其图象上的一对“T 点”，
则000
0kx p y kx p y +=⎧⎨-+=⎩，
解得0k =，与0k ≠相矛盾，假设不成立，
所以当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”； ②当0k =时，
函数y kx p p =+=是一条平行于x 轴的直线，是“T 函数”，它有无数对“T 点”；
综上，当0k ≠时，关于x 的函数y kx p =+（,k p 是常数）不是“T 函数”；当0k =时，关于x 的函数
y kx p =+（,k p 是常数）是“T 函数”，它有无数对“T 点”；
（3）由题意，将(0,0)O 代入2y ax bx c =++得：0c
，
2y ax bx ∴=+，
设点333(,)(0)x y x ≠与点33(,)x y -是“T 函数”2y ax bx =+图象上的一对“T 点”，
则23332333
ax bx y ax bx y ⎧+=⎨-=⎩，解得0b =， 2(0)y ax a ∴=>，
联立2
y ax y mx n
⎧=⎨=+⎩得：20mx n ax --=，
“T 函数”2y ax =与直线y mx n =+交于点()11,M x y ，()22,N x y ，
12,x x ∴是关于x 的一元二次方程20mx n ax --=的两个不相等的实数根，
1212,m n x x x x a a ∴+=
=-， ()
1
1211x x --+=，
2211x x x x +=∴，即
m n
a a
=-， 解得n m =-，
则直线l 的解析式为y mx m =-， 当1x =时，0y m m =-=，
因此，直线l 总经过一定点，该定点的坐标为(1,0)． 【点睛】
本题考查了关于y 轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“T 函数”和“T 点”的定义是解题关键．
5．（2021·湖南株洲市·中考真题）已知二次函数()2
0y ax bx c a =++>．
（1）若1
2
a =
，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值； （2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1b
c x a
-+=． ①求证：AOC DOB ≅；
②连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且
ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求
1
c
x 的值． 【答案】（1）=8∆ （2）①证明见解析；②
1
c x =2
【分析】
（1）根据判别式公式代入求解即可．
（2）①通过条件，得到OC=OB ，再根据ASA 即可得到两个三角形角形全等． ②通过分析条件，证明AOF DEB △△，得到AO OF
DE EB
=，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可. 【详解】
解：（1）当12a =，2b c ==-时，方程为：2
12202
x x --=， ()()2
214242=82b ac ∆=-=--⨯⨯-，
（2）①证明：∵12b x x a +=-，且1b
c x a
-+=，
∴2x c =-， ∴OC OB c ==， 在AOC △与DOB 中，
90ACO ABD
OC OB
AOC DBO ⎧∠=∠⎪
=⎨⎪∠=∠=
⎩
， ∴()AOC DOB ASA ≅△△．
②解：ACO CAF CBD ∠=∠+∠，ACO CFA CAF ∠=∠+∠， ∴CFA CBD ∠=∠， ∵DE BC ⊥， ∴90DEB ∠=， 又∵90AOF ∠=， ∴AOF DEB △△， ∴
AO OF
DE EB
=， ∵OC OB c ==，且90COB ∠=， ∴45OCB ∠=
,BC =， 在DEC Rt △中，45OCB ∠=，
∴DC ==，
又∵AOC DOB ≅△△，
∴1OD OA x ==-，
又∵OC OD DC =+，
∴1DC c x =-+
，)122
DE CE DC c x ===-+，
∴
))1122EB BC CE c x c x =-=-
-+=-+， ∵AO OF DE EB
=，
112
2x x --= ， 即：211
20c c x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，
∴1c x =2或1
c x =-1（舍）， 【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .
6．（2021·湖南娄底市·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．
（1）求b c 、的值；
（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ．
①当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；
②是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．
【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）①32
m =
；②不存在，理由见解析 【分析】
（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；
（2）①设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0）， ∴10930
b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩
， ∴b =2-，c =3-；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --，
设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），
∵0 ∴PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭+214， ∵-1<0， ∴当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214 ； ②∵抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3， ∴C （0，-3）， ∴OB =OC =3， 由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ）， ∵PQ ∥OC ， 当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3， 当点Q 在点P 上方时， ∴PQ =2333m m -++=，即230m m -+=， ∴()30m m -=， 解得0m =或3m =， 当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在， 当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC OC =≠，菱形也不存在； 当点Q 在点P 下方时， 若点Q 在第三象限，如图， ∵∠COQ=45°， 根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合， 此时OA=1≠OC=3，菱形不存在， 若点Q在第一象限，如图， 同理，菱形不存在， 综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键． 7．（2021·湖南衡阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁1,1,2021,2021……都是“雁点”． 点”．例如()() （1）求函数4y x =图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时． ①求c 的取值范围； ②求EMN ∠的度数； （3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）， P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ 或312⎛⎫- ⎪⎝ ⎭ 【分析】 （1）根据“雁点”的定义可得y =x ，再联立4y x =求出 “雁点”坐标即可； （2）根据25y ax x c =++和y =x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a = ，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y =0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH =MH 得出EM H 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解； （3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标． 【详解】 解：（1）联立4y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 解得22x y =⎧⎨=⎩ 或22x y =-⎧⎨=-⎩ 即：函数4y x =上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--． （2）① 联立25y x y ax x c =⎧⎨=++⎩ 得240ax x c ++= ∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根， ∴ 2440ac ∆=-= ∵ 4c a = ∵ 1a > ∴ 04c << ② 将4c a =代入，得2440E E ax x a ++= 解得2k x a =-，∴ 22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 对于245y x x a α=++，令0y = 有2450ax x a ++= 解得41,N M x x a a =-=- ∴ 4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点， EH =2a ，MH =242()a a a ---= ∴2EH MH a == ∴ EM H 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒ （3）存在，理由如下： 如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H 设C （m ，m ），P （x ，y ） ∵ △CPB 为等腰三角形， ∴PC =PB ，∠CPB =90°， ∴∠KPB +∠HPC =90°， ∵∠HPC +∠HCP =90°， ∴∠KPB =∠HCP ， ∵∠H =∠PKB =90°， ∴△CHP ≌△PKB ， ∴CH =PK ，HP =KB ， 即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩ ∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 当32x =时，23315()23224 y =-+⨯+= ∴ 315()24P ， 如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB ∴ KP =JB ，KC =JP 设P （x ，y ），C （m ，m ） ∴KP =x -m ，KC =y -m ，JB =y ，JP =3-x ， 即3x m y y m x -=⎧⎨-=-⎩ 解得323 2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 令23-232 x x ++= 解得12222 x x == ∴3)2P 或3)2 P 如图3所示， ∵△RCP ≌△TPB ∴RC =TP ，RP =TB 设P （x ，y ），C （m ，m ） 即3y m x x m y -=-⎧⎨-=⎩ 解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 令23-232 x x ++= 解得122=22 x x = ∴ 此时P 与第②种情况重合 综上所述，符合题意P 的坐标为315 ()24，或3)2，或3)2 ， 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键． 8．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ． （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式； （3）判断ABO 的形状，试说明理由； 专题11 二次函数（解答题） 1．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： （1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？ （3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？ 【答案】（1）A 型号水杯进价为20元，B 型号水杯进价为30元；（2）超市应将B 型水杯降价5元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A ，B 两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b 为4元，利润为3000元． 【分析】 （1）主要运用二元一次方程组，设A 型号水杯为x 元，B 型号水杯为y 元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A 、B 型号水杯的单价； （2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B 型水杯降价z 元后，每天售出B 型水杯的利润达到最大，最大利润为w ，每个水杯的利润为()4430z --元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量为()205z +个，根据：利润=（售价-进价）×数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案； （3）根据（1）A 型号水杯为20元，B 型号水杯为30元．设10000元购买A 型水杯m 个，B 型水杯n 个，所得利润为W 元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W 的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b ，W ． 【详解】 （1）解：设A 型号水杯进价为x 元，B 型号水杯进价为y 元， 2022中考数学真题汇编——二次函数解答题 1.(2022·浙江省绍兴市)已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，-3）， （-6，-3）． 2.（1）求b，c的值． 3.（2）当-4≤x≤0时，求y的最大值． 4.（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 5.(2022·浙江省舟山市)已知抛物线L1：y=a（x+1）2-4（a≠0）经过点A（1，0）． 6.（1）求抛物线L1的函数表达式． 7.（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点 关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值． 8.（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3．已知点P（8-t，s）， Q（t-4，r）都在抛物线L3上，若当t＞6时，都有s＞r，求n的取值范围． 9.(2022·四川省凉山彝族自治州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+bx+c 经过点A（-1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． 10.（1）求抛物线的解析式； 11.（2）求点P的坐标； 12.（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上 是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13.(2022·浙江省丽水市)如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=a（x-2） 2-1（a＞0）的图象上，且x2-x1=3． 14.（1）若二次函数的图象经过点（3，1）． 15.①求这个二次函数的表达式； 16.②若y1=y2，求顶点到MN的距离； 17.（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异 侧，求a的取值范围． 18. 19.(2022·山东省滨州市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于 点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC． 20.（1）求线段AC的长； 21.（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA=PC时，求点P的坐标； 22.（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标． 2021中考数学 专题突破：二次函数的图象及其 性质 一、选择题 1. 已知抛物线y=-x 2+bx+4经过(-2，n )和(4，n )两点，则n 的值为 ( ) A .-2 B .-4 C .2 D .4 2. （2020·衢州）二次函数2y x 的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正 确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 3. 已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表： 有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0 5. 2019·雅安 在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错 误的是( ) A ．y 的最小值为1 B ．图象的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2 C ．当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小 D ．它的图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 6. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则( ) A ．b ＞0，c ＞0 B ．b ＞0，c ＜0 C ．b ＜0，c ＜0 D ．b ＜0，c ＞0 7. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b <0；②c >0；③a ＋c 0，其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. （2020·随州）如图所示，已知二次函数c +bx +ax =y 2 的图象与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，则下列结论：①2a +b =0；②2c <3b ；③当△ABC 是等腰三角形时，a 的值有2个；④当△BCD 是直角三角 形时，2 2 -=a .其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2021中考数学专题训练：二次函数的图象及性 质 一、选择题 1. 在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是 () A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x=2 C.当x<2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 2. 抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是() A. (3，1) B. (3，－1) C. (－3，1) D. (－3，－1) 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： 有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0 4. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)： 根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2 2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象 及其性质 一、选择题 1. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋ 1 4m －1的图象与x 轴有交点， 则m 的取值范围是( ) A ．m ≤5 B ．m ≥2 C ．m ＜5 D ．m ＞2 2. 如图，抛物线的函数解析式是( ) A ．y ＝x 2－x ＋2 B ．y ＝x 2＋x ＋2 C ．y ＝－x 2－x ＋2 D ．y ＝－x 2＋x ＋2 3. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则 这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度 D ．向右平移8个单位长度 4. (2019•成都)如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下 列说法正确的是 A ．0c < B ．240b ac -< C ．0a b c -+< D ．图象的对称轴是直线3x = 5. 若二次函数 y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为 ( ) A. x 1＝0，x 2＝6 B. x 1＝1，x 2＝7 C. x 1＝1，x 2＝－7 D. x 1＝－1，x 2＝7 6. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2 y x =- C ．2y x ＝ D ．2y x ＝﹣ 7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数 y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：① 这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1 2021年中考数学真题分项汇编（全国通用） 专题11二次函数图象性质与应用（共50题） 一．选择题（共26小题） 1．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（） A．y1＝﹣y2B．y1＞y2 C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定 2．（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论： ①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小． 其中正确的有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 3．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直 线x=1 2．有下列结论： ①abc＞0； ②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根； ③a＜−12． 其中，正确结论的个数是（） A．0B．1C．2D．3 5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3 6．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A．B． C．D． 7．（2020•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论： ①abc＞0； ②2a+b＝0； ③3b﹣2c＜0； ④am2+bm≥a+b（m为实数）． 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 9．（2020•枣庄）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论： ①ac＜0； ②b2﹣4ac＞0； ③2a﹣b＝0； ④a﹣b+c＝0． 二次函数 易错清单 1.二次函数与方程、不等式的联系. 【例1】(2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论: ①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 其中正确结论的个数为(). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称 轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线 的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根. 【答案】∵抛物线与x轴有两个交点, ∴b2-4ac>0,所以①错误. ∵顶点为D(-1,2), ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. ∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间, ∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间. ∴当x=1时,y<0. ∴a+b+c<0,所以②正确. ∵抛物线的顶点为D(-1,2), ∴a-b+c=2. ∵抛物线的对称轴为直线=1, ∴b=2a. ∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确. ∵当x=-1时,二次函数有最大值为2, 即只有x=1时,ax2+bx+c=2, ∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确. 故选C. 【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点. 2.用二次函数解决实际问题. 【例2】(2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A,B两组材料的温 度分别为y A℃,y B℃,y A,y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b, (部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同. (1)分别求y A,y B关于x的函数关系式; (2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少? (3)在0 2022年中考数学试题汇编：二次函数（填空题） 1．（2022•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为元（利润＝总销售额﹣总成本）． 2．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是． 3．（2022•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降米，水面宽8米． 4．（2022•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m 的值为． 5．（2022•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D （m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为． 6．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是． 7．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x 轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为． 8．（2022•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：． 9．（2022•荆州）规定；两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y 函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为． 10．（2022•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论： ①b＞0； ②若m＝，则3a+2c＜0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2； ④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根． 其中正确的是（填写序号）． 11．（2022•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为m2． 二次函数 一、单选题(共0分) 1．（2022年浙江杭州）已知二次函数2y x ax b =++（a ，b 为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题①：该函数的图像经过点(3，0)；命题①：该函数的图像与x 轴的交点位于y 轴的两侧；命题①：该函数的图像的对称轴为直线1x =．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ） A ．命题① B ．命题① C ．命题① D ．命题① 2．（2022年浙江宁波）点A （m -1，y 1），B （m ，y 2）都在二次函数y =（x -1）2+n 的图象上．若y 1＜y 2，则m 的取值范围为（ ） A ．2m > B ．3 2 m > C ．1m < D ．322 m << 3．（2020年浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( ) A ．y=2x -3 B ．y=2x +3 C ．y=2(3)x + D ．y=2(3)x - 4．（2020年浙江温州）已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312y x x m =--+上的点，则（ ） A ．3y <2y <1y B ．3y <1y <2y C ．2y <3y <1y D ．1y <3y <2y 5．（浙江衢州2020年）二次函数y =x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ） A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位 C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位 D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位 6．（2022年浙江绍兴）已知抛物线2y x mx =+的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x mx +=的根是（ ） A ．0，4 B ．1，5 C ．1，－5 D ．－1，5 7．（2022年浙江温州）已知点(,2),(,2),(,7)A a B b C c 都在抛物线2(1)2y x =--上，点A 在点B 左侧，下列选项正确的是（ ） A ．若0c <，则a c b << B ．若0c <，则a b c << C ．若0c >，则a c b << D ．若0c >，则a b c << 8．（2020年浙江杭州）设函数y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ，h ，k 是实数，a ≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ） A ．若h ＝4，则a ＜0 B ．若h ＝5，则a ＞0 C ．若h ＝6，则a ＜0 D ．若h ＝7，则a ＞0 二次函数的图象与性质 易错清单 1.二次函数的图象与系数a,b,c的符号的确定. 【例1】(2014·山东烟台)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论: ① 4a+b=0;② 9a+c>3b;③ 8a+7b+2c>0;④当x>-1时,y的值随x值的增大而增大. 其中正确的结论有(). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=-3时,函数值小于0,则9a-3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=-1时,y=0,则a-b+c=0,易得c=-5a,所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a.再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小. 【答案】∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴b=-4a,即4a+b=0,所以①正确. ∵当x=-3时,y<0, ∴9a-3b+c<0,即9a+c<3b.所以②错误. ∵抛物线与x轴的一个交点为(-1,0), ∴a-b+c=0. 而b=-4a,∴a+4a+c=0,即c=-5a. ∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a. ∵抛物线开口向下, ∴a<0. ∴8a+7b+2c>0.所以③正确. ∵对称轴为直线x=2, ∴当-1 【误区纠错】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y 轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由Δ决定,Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点. 2.二次函数和最值问题 【例2】(2014·浙江舟山)当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m 的值为(). 【解析】二次函数的最值得分类讨论问题,根据对称轴的位置,分三种情况讨论求解即可.【答案】二次函数的对称轴为直线x=m, ①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值, 此时-(-2-m)2+m2+1=4,解得m=-,与m<-2矛盾,故m值不存在. ②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值, 此时,m2+1=4, 【误区纠错】本题易错点在于不知分类讨论导致漏解. 名师点拨 1.掌握二次函数的定义,能利用定义判断二次函数. 2.能利用顶点式、交点式、三点式确定二次函数的解析式. 3.会利用描点法画二次函数的图象并能说明其性质. 4.能利用二次函数解析式中系数确定函数的对称轴、顶点坐标、开口方向与坐标轴的交点 2021中考专题训练：二次函数的图象及其性质 一、选择题 1. 二次函数 y ＝(x ＋1)2的图象的对称轴是( ) A ．直线x ＝－1 B ．直线x ＝1 C ．直线x ＝－2 D ．直线x ＝2 2. 已知抛物线 c :y=x 2+2x -3，将抛物线c 平移得到抛物线c'，如果两条抛物线关 于直线x=1对称，那么下列说法正确的是 ( ) A .将抛物线c 沿x 轴向右平移个单位得到抛物线c' B .将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线c' C .将抛物线c 沿x 轴向右平移个单位得到抛物线c' D .将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线c' 3. 以 x 为自变量的二次函数y ＝x 2－2(b －2)x ＋b 2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( ) A. b ≥5 4 B. b ≥1或b ≤－1 C. b ≥2 D. 1≤b ≤2 4. （2020·新疆）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与 反比例函数c y x =在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ················ （ ） 5. 已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则( ) A ．b ＞0，c ＞0 B ．b ＞0，c ＜0 C ．b ＜0，c ＜0 D ．b ＜0，c ＞0 6. 若 A (2，y 1)， B (－3，y 2)， C (－1，y 3)三点在抛物线y ＝x 2－4x －m 上，则y 1， y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 2＞y 1＞y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 3＞y 1＞y 2 7. （2020·黔西南州）如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋4交y 轴于点A ，交过点A 且平 行于x 轴的直线于另一点B ，交x 轴于C ，D 两点（点C 在点D 的右边），对称 轴为直线x ＝52 ，连接AC ，AD ，BC ．若点B 关于直线AC 的对称点恰好落在线段OC 上，下列结论中错误的是（ ） A ．点 B 坐标为（5，4） B ．AB ＝AD C ．a ＝16 D ．OC •OD ＝16 8. （2020·安徽）如图，△ABC 和DEF 都是边长为2的等边三角形，它们的边BC ， EF 在同一条直线l 上，点C ，E 重合，现将△ABC 沿直线l 向右移动，直至点B 与F 重合时停止移动，在此过程中，设点C 移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ） l D A x y 42 3O x y 2 43O x y 3 42 O x y 243 O A . B. C. D. 二、填空题 9. 如图所示，已知抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一 个交点的坐标为(3，0)，那么它对应的函数解析式是______________． 2021年湖南省各市中考复习数学真题汇编 压轴题综合练：《二次函数》 1．（2021•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH． 【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】 （1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）； （2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象； x…0 2 4 6 8 … y…… （3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围． 2．（2021•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另 两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示． ①求△CMN面积的最小值． ②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关 于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由． 3．（2021•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC 的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2021•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）， 湖南省邵阳市2021年中考数学试卷 一、单选题（共10题；共20分） 1.-3的相反数是（） A. -3 B. 0 C. 3 D. π 【答案】C 【考点】相反数及有理数的相反数 【解析】【解答】-（-3）=3，即-3的相反数是3， 故答案为：C. 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此解答即可. 2.下列四个图形中，是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【考点】中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，据此逐一判断即可. 3.2021年我国首次发射探测器对火星进行探测.北京时间2月10日晚，“天问一号”探测器在距离地球约192000000km处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道.用科学记数法将192000000表示为a×108的形式，则a的值是（） A. 0.192 B. 1.92 C. 19.2 D. 192 【答案】B 【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：用科学记数法将192000000表示为1.92×108， 故答案为：B. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数，据此判断即可. 4.如图，若数轴上两点 M ， N 所对应的实数分别为 m ， n ，则 m +n 的值可能是（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】 D 【考点】实数在数轴上的表示 【解析】【解答】解：根据数轴可得-3＜ m ＜-2，0＜ n ＜1，则-3＜ m +n ＜-1. 故答案为：D. 【分析】由数轴可得-3＜ m ＜-2，0＜ n ＜1，据此求出m+n 的范围即可. 5.如图，在 △AOB 中， AO =1 ， BO =AB =3 2 .将 △AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 90° ，得到 △A ′OB ′ ，连接 AA ′ .则线段 AA ′ 的长为（ ） A. 1 B. √2 C. 32 D. 3 2√2 【答案】 B 【考点】勾股定理，旋转的性质 【解析】【解答】解：∵旋转性质可知 OA =OA ′=1 ， ∠AOA ′=90° ， ∴ AA ′=√OA 2+A ′O 2=√2 ， 故答案为：B. 【分析】根据旋转性质可知 OA =OA ′=1 ， ∠AOA ′=90° ， 利用勾股定理求出AA'即可. 6.其社区针对5月30日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收回6000份有效问卷.经统计，制成如下数据表格. 小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比.下面是制作扇形统计图的步骤（顺序打乱）： 【精品】全国中考数学真题汇编 专题一：二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） 专题10.二次函数 一、单选题 1．（2021·山西中考真题）抛物线的函数表达式为()2 321y x =-+，若将x 轴向上平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A ．()2313y x =++ B ．()2353y x =-+ C ．()2351y x =-- D ．()2 311y x =+- 2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ） A ．0abc > B ．函数的最大值为a b c -+ C ．当31x -时，0y D ．420a b c -+< 3．（2021·四川达州市·中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ， c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12 x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值： 下列各选项中，正确的是 A ．这个函数的图象开口向下 B ．这个函数的图象与x 轴无交点 C ．这个函数的最小值小于-6 D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大 5．（2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物 2021年中考专题复习---二次函数（抛物问题） 1．某公园广场上新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置OA （如图）喷水能力最强，水流从A 处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间符合二次函数关系式2734 y x x =-++()0x >． （1）求水流喷出的最大高度是多少米？此时最高处离喷水装置OA 的水平距离为多少米？ （2）现若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其他因素，花盆需至少离喷水装置OA 多少米外，才不会被喷出的水流击中？ 2．为如图，已知女排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处的球网AB 的高度2.24米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方2米的C 点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为6米时，到达最高点G ，以O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x 的取值范围）； （2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由； （3）若李明同学发球要想过网，又使排球不会出界（排球压线属于没出界）求二次函数中二次项系数的最大值． 3．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． （1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 4．如图，儿童游乐场有一项射击游戏．从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC．正方形篮筐三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．小球按照抛物线y＝﹣x2+bx+c 飞行．小球落地点P 坐标（n，0）（1）点C坐标为； （2）求出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）； （3）验证：随着n的变化，抛物线的顶点在函数y＝x2的图象上运动； （4）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围． 2021年中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合专题复习 1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6． （1）求此抛物线的解析式． （2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标． 2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1； （3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC． （1）求线段OC的长度； （2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解 析式； （3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值； （3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值． 5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式． 2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期) 专题14二次函数解答压轴题(共32题) 姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________ 一、解答题 1．(2021·北京中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,点()1,m 和点()3n ,在抛物线()2 0y ax bx a =+>上． (1)若3,15m n ==,求该抛物线的对称轴; (2)已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <,比较123,,y y y 的大小,并说明理由． 【答案】(1)1x =-;(2)213y y y <<,理由见解析 【分析】 (1)由题意易得点()1,3和点()3,15,然后代入抛物线解析式进行求解,最后根据对称轴公式进行求解即可; (2)由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时,然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】 解:(1)当3,15m n ==时,则有点()1,3和点()3,15,代入二次函数()2 0y ax bx a =+>得: 39315a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:12 a b =⎧⎨=⎩, ∴抛物线解析式为22y x x =+, ∴抛物线的对称轴为12b x a =-=-; (2)由题意得:抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0,则由0mn <可得: ①当0,0m n ><时,由抛物线()2 0y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下,即0a <,与0a >矛盾; ②当0,0m n <>时, ∵抛物线()2 0y ax bx a =+>始终过定点()0,0, ∴此时抛物线的对称轴的范围为1322 x <<,湖南省2019-2021年3年中考真题数学分项汇编--专题11 二次函数(解答题)(解析版)
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