高中数学指数与指数幂的运算训练题(带答案)

2．1。

1指数与指数幂的运算第一课时根式根式［提出问题]（1）若x2＝9，则x是9的平方根,且x＝±3；(2）若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4;(3）若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3;(4）若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2。

问题1：观察(1)(3），你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示:是．问题2:一个数的奇次方根有几个？提示:1个．问题3:由于22＝4，小明说,2是4的平方根;小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念（1）a的n次方根定义:如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n〉1，且n∈N＊。

（2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数错误!Rn为偶数±错误![0，＋∞）（3)根式：式子错误!叫做根式,这里n叫做根指数，a叫做被开方数．［化解疑难]根式记号的注意点（1）根式的概念中要求n>1，且n∈N＊。

（2）当n为大于1的奇数时，a的n次方根表示为错误!(a∈R);当n为大于1的偶数时，错误!(a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，另一个是－错误!，从而错误!n＝a.根式的性质［提出问题]问题1：错误!3，错误!3，错误!4分别等于多少？提示:2，－2，2.问题2:错误!，错误!，错误!，错误!分别等于多少?提示：－2,2,2,2.问题3：等式错误!＝a及（错误!)2＝a恒成立吗？提示：当a≥0时,两式恒成立；当a〈0时，a2＝－a,（a)2无意义．［导入新知］根式的性质(1）(错误!）n＝a（n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，且n〉1）．(2)错误!＝错误!(3)错误!＝0。

(4）负数没有偶次方根．[化解疑难]（错误!)n与错误!的区别（1)当n为奇数，且a∈R时，有错误!＝(错误!)n＝a;(2)当n为偶数，且a≥0时，有错误!＝（错误!）n＝a。

考点：函数的图象.
【方法点晴】本题考查指数函数的变换，形如 的图象的作法：先做出 的图象，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方. 的图象 的图象向下平移一个单位，再将 轴下方的图象翻折到 轴上方得到，由于底数 不确定，故应分 和 两种情况分别作图，结合图形可得最后结果.
23．4
【解析】原式 ，故答案为4.
试题解析：
(1) 原式＝
(2)
.
27．（1） （2）
【解析】试题分析：
（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解．（2）根据 求得 ，解方程组求出 后再求解．
试题解析：
（1）原式=3﹣3+（4﹣2）× = ．
（2）∵sinα+cosα= ，①
∴ 1+2sinαcosα= ，
∴2sinαcosα=﹣ ．
指数与指数幂的运算习题（含答案）
一、单选题
1．已知x，y为正实数，则
A．2lnx+lny=2lnx+2lnyB．2ln（x+y）=2lnx•2lny
C．2lnx•lny=2lnx+2lnyD．2ln（xy）=2lnx•2lny
2．化简 的结果为
A．−9B．7
C．−10D．9
3．若 ，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是
【解析】
【分析】
利用根式的运算法则运算即可.
【详解】
（1） ；
1) 中实数 的取值由 的奇偶性确定，只要 有意义，其值恒等于 ，即 ；
(2) 是一个恒有意义的式子，不受 的奇偶性限制， ，但 的值受 的奇偶性影响．
29．（1）89；（2） .
【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.

指数函数2．1.1指数与指数幂的运算预习课本P48～53，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？[新知初探]1．n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0 x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±n aa＜0x不存在*.2．根式(1)定义：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(na)n＝a.②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a，n为奇数，|a|，n为偶数.[点睛](n a)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而n a n中a∈R.3．分数指数幂的意义分数指幂正分数指数幂规定：amn＝n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a-mn＝1amn＝1n a m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义[点睛]分数指数幂amn不可以理解为mn个a相乘．4．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．5．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)(π－4)2＝4－π.()(4)分数指数幂a mn可以理解为mn个a相乘．()(5)0的任何指数幂都等于0.()-=答案=-：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2.5a－2可化为()A．a2-5B．a52C．a25D．.－a 52-=答案=-：A3．化简2532的结果是()A．5 B．15 C．25 D．.125 -=答案=-：D4．计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.-=答案=-：118[例1] 化简： (1)n(x －π)n (x ＜π，n ∈N *)；(2)64a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x ＜π，∴x －π＜0. 当n 为偶数时， n(x －π)n ＝|x －π|＝π－x ；当n 为奇数时， n(x －π)n ＝x －π.根式的化简与求值综上可知，n(x －π)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *，x －π，n 为奇数，n ∈N *.(2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0，∴64a 2－4a ＋1＝6(2a －1)2＝6(1－2a )2＝31－2a .根式化简应遵循的3个原则(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数．(3)被开方数中不能含有分母；使用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．[活学活用]1．若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x ＞0，y ＞0 B ．x ＞0，y ＜0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x ＜0，y ＜0解析：选B ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ，∴xy ≤0. 又∵xy ≠0，∴xy ＜0，故选B.2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 解析：(2a －1)2＝|2a －1|，3(1－2a )3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a ， 故2a －1≤0，所以a ≤12.-=答案=-：⎝⎛⎦⎤－∞，12根式与分数指数幂的互化[例2] 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)： (1)13a 2；(2)a 3·3a 2；(3)3b －a 2. [解] (1)13a2＝12123a ＝a2-3. (2)a 3·3a 2＝a 3·a 23＝a 3＋23＝a113.(3) 3b －a 2＝⎝⎛⎭⎫b －a 213＝b 13·⎝⎛⎭⎫－1a 213＝b 13·(－a －2) 13＝－b 13a2-3根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数 化为 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 化为 分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．[活学活用]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x ＞0) B.6y 2＝y 13(y ＜0)C ．x －34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)D ．x －13＝－3x (x ≠0)解析：选C －x ＝－x 12(x ＞0)；6y 2＝[(y )2]16＝－y 13(y ＜0)；x －34＝(x －3)14＝ 4⎝⎛⎭⎫1x 3(x ＞0)； x 1-3＝⎝⎛⎭⎫1x —13＝31x(x ≠0)． 4．将下列根式与分数指数幂进行互化： ①a4-3；②3a a (a ＞0)；③a 3a ·5a 4(a ＞0)．解：①a4-3＝14a 3.②3a a ＝a 13·a 16＝a 12.③原式＝a 3·a1-2·a4-5＝a143--25＝a1710.[例3] 计算下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－12－0.010.5； (2)0.0641-3－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] 4-3＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫141-223320.1()a b -- (a >0，b >0)．3-2指数幂的运算[解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝g 132244100·a 32·a 123-2·b3-2·b 32＝425a 0b 0＝425.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用] 5．计算：(1)0.02713－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (3)23a ÷46a ·b ·3b 3.解：(1)原式＝(0.33) 13－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44) 34＋(223)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a －2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c ) ＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)·(3b 32) ＝12a 11-36b1-6·3b 32＝32a 16b 43.[例4]已知a 12＋a1-2＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解](1)将a 12＋a1-2＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[一题多变]1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y ＝±35，即a2－a－2＝±3 5.-=答案=-：±3 52．[变条件]若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求112211 22-a b a b+值．解：11221122-a ba b+＝1122211112222--a ba b a b+（）（）（）＝12+-2-a b aba b（）（）. ①∵a＋b＝12，ab＝9，②∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.∵a＜b，∴a－b＝－6 3. ③条件求值问题将②③代入①，得11221122-a ba b+＝129＝－33.条件求值的步骤层级一 学业水平达标1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．(－1)13和(－1)26B ．0－2和012C ．212和414D ． 43-2和⎝⎛⎭⎫ 1 2 －3解析：选C 选项A 中，(－1) 13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1) 13＝3－1－1，(－1)26＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负分数指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，43-2和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C.2．已知：n ∈N ，n ＞1，那么2n(－5)2n 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．－5或5D ．不能确定解析：选A2n(－5)2n ＝2n52n ＝5.3．计算⎝⎛⎭⎫8116－14的结果为( )A.23B.32 C ．－23 D ．－32解析：选A ⎝⎛⎭⎫8116－14＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫324－14＝⎝⎛⎭⎫32－1＝23.4．化简[3(－5)2]34的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．.－5解析：选B [3(－5)2]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5.5．计算(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( )A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 73 D.32b 73解析：选A 原式＝-4-464a b a b-133-5＝－32b 2.6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 解析：∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.-=答案=-：1 7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝___________________.解析：因为 x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋ (y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1. -=答案=-：－1 8.614－ 3338＋30.125 的值为________． 解析：原式＝ ⎝⎛⎭⎫522－ 3⎝⎛⎭⎫323＋ 3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. -=答案=-：329．计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)⎝⎛⎭⎫2a 23b 12⎝⎛－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56 ； (2)(m 14n －38)8.解：(1)原式＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a . (2)原式＝(m 14)8(n3-8)8＝m 2n －3＝m 2n3.10．已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4(a ＋b )4＋3(a ＋b )3的值． 解：因为4a 4＋4b 4＝－a －B. 所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ， 所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.层级二 应试能力达标1．计算(2n ＋1)2·⎝⎛⎭⎫122n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6D.⎝⎛⎭⎫122n －7解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝2122n －6＝27－2n ＝⎝⎛⎭⎫122n －7. 2.1⎛⎫ ⎪⎝⎭12 0－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 23B ．a 55C ．a 76D ．.a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝2＝212a a ⨯53＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76.4．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19B.43 C ．1 D.39解析：选B ∵x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ，∴x 9＝9x . ∴x 8＝9.∴x ＝89＝43.5．如果a ＝3，b ＝384，那么a [()]b a17n －3＝________.解析：a [()]b a 17n －3＝3384[()]317n －3＝3[(128)17]n －3＝3×2n －3. -=答案=-：3×2n －36．设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝215.-=答案=-：14 2157．化简求值：(1)⎛⎫ ⎪⎝⎭792 0.5＋0.1－2＋⎛⎫ ⎪⎝⎭10272－23－3π0＋3748；(2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4；(3)⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫64272-3－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)823－(0.5)－3＋⎝⎛⎭⎫13－6×⎝⎛⎭⎫81163-4＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3243-4＝22－23＋33×⎝⎛⎭⎫32－3＝4－8＋27×827＝4. (3)原式＝(－1)－23×⎛⎫ ⎪⎝⎭383－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.8．已知a ＝3，求11+a14＋11-a14＋11+a12＋41＋a的值． 解：11+a14＋11-a14＋11+a 12＋41＋a ＝2(1+)(1-)a a 1144＋21+a12＋41＋a＝21-a12＋21+a12＋41＋a＝4(1-)(1+)a a 1122＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1.。

【期末宝典】专题4：幂与指数常考题专练（解析版）一、单选题1．下列各式中成立的一项（ ）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．C ()34x y =+ D =【标准答案】D 【思路点拨】利用指数幂的运算性质、根式与分数指数幂的互化可判断各选项的正误. 【精准解析】对于A 选项，()7177n n m n m m --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，A 选项错误；对于B 1431233===≠B 选项错误；对于C 选项，()34x y =+≠C 选项错误；对于D 12123333⎛⎫= ⎪⎝⎭D 选项正确. 故选：D.2．141681-⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．32-B ．23-C ．32 D ．23【标准答案】C 【思路点拨】试卷第2页，共18页根据指数幂的运算性质可解得结果. 【精准解析】1141441622381332⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.30)x >的结果是（ ）A ．xB ．2xC ．1 D【标准答案】A 【思路点拨】将指数转化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则即可求解. 【精准解析】2112132123616x x x x x x +-⋅====， 故选：A4．计算：2332(27)9--⨯=（ ）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【标准答案】D 【思路点拨】利用指数运算化简求得表达式的值. 【精准解析】 原式()()()233223323113333933--⎡⎤=-⨯=-⨯=⨯=⎣⎦.故选：D5．在n ①N *，a ①R 时各式子有意义的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【标准答案】B 【思路点拨】由21(4)n +-<0知②无意义；当a <0时，a 5<0，②无意义，即可得出选项. 【精准解析】由2(4)n ->0知②有意义；由21(4)n +-<0知②无意义；②中开奇数次方根，所以有意义；当a <0时，a 5<0，此时②无意义. 故选:B .63,x=则x =（ ）A ．279 B ．273C ．239D ．233【标准答案】A 【思路点拨】利用根式与分数指数幂之间的互化即可求解. 【精准解析】3x ，得343x x =，即743x =，所以427739x ==.故选：A7⋅=（ ）AB ．5C ．D ．25【标准答案】C【思路点拨】利用指数幂的运算性质求解即可【精准解析】⋅2⎡⎢⎥⎣⎦==故选：C8．将85-化成分数指数幂为（）A．415x B．415x-C．13x-D．25x 【标准答案】A【思路点拨】直接根据根式和指数幂的关系计算即可.【精准解析】8818()551425315x x--⨯--⎛⎫=⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==，故选：A.9．碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为（）A．15730B．25 730C．1573012⎛⎫⎪⎝⎭D．1573014【标准答案】C【思路点拨】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则 5 73012m=，解方程即可得答案.试卷第4页，共18页【精准解析】设碳14的年衰变率为m ，原有量为1，则 5 73012m=，解得1573012m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以碳14的年衰变率为1573012⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.10．若14a <）A B C ．D ．【标准答案】B 【思路点拨】由题知410a -<,进而根据指数幂化简即可. 【精准解析】因为14a <，所以410a -<= 故选:B.二、填空题11．（2021·上海·高一期末）对于正数a 可以用有理数指数幂的形式表示为__________. 【标准答案】78a 【思路点拨】将根式转化为有理数指数幂，应用指数幂的运算性质，即可得有理指数幂的形式.【精准解析】71118222[()]a a a a=⋅⋅=.故答案为：78a12．（2021·()0pa a=>，则p=___________.【标准答案】524【思路点拨】利用根式与指数幂的运算可求得p的值.【精准解析】a >，则111542324pa a a+⎛⎫==⎪⎝⎭，因此，524p=.故答案为：524.13．（2021·上海宝山·高一期末）代数式x⎛⎪⎪⎝⎭x＞0）可化简为________．【标准答案】x【思路点拨】利用分数指数幂与根式的运算性质求解【精准解析】解：因为0x>，所以35352222x x x x x--+⎛⋅==⎪⎪⎝⎭，故答案为：x试卷第6页，共18页14．（2021·上海金山·高一期末）已知0x >，化简(3x ________.【标准答案】7x 【思路点拨】由幂的运算法则即可求解. 【精准解析】 解：因为0x >，所以由幂的运算法则得((33927=x xx x -==，故答案为：7x .15=a 的取值范围为________.【标准答案】12a ≤【思路点拨】根据根式的性质进行化简，判断即可． 【精准解析】2112a a =-=-，因为2112a a -=-，故210a -≤，所以12a ≤． 故答案为：12a ≤． 16．下列关系式中，根式与有理数指数幂的互化正确的是________（只填序号）.①()()120;x x =->()130;y y =<试卷第8页，共18页①)340;x x ->①)13=0.x x -> 【标准答案】② 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化即可求解. 【精准解析】对于②，()120x x ->，故②错误； 对于②，当y <0130,0y <，故②错误；对于②，)340x x -=>，故②正确；对于②，13x -，故②错误. 故答案为：②.17．化简：2132111136251528x y x y x y --=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________. 【标准答案】2316x 【思路点拨】按照指数的运算性质计算即可. 【精准解析】原式2121111133322668525x y -+-+--+=⨯⨯02316x y =2316x =. 故答案为：2316x .180=，则()2019yx =__________.【标准答案】-1 【思路点拨】根据题目条件推出1x =-，3y =-，再计算()2019yx 的值.【精准解析】0，130x y +++=，因为10x +≥，30+≥y ，所以由130x y +++=，得10x +=，30y +=， 解得1x =-，3y =-. 所以()2019201911x =-=-，()()3201911yx -=-=-.故答案为：1-.19．（2021·上海闵行·高一期末）已知0a >，0b >，化简：22315166242()()3a b a b a b =-________ 【标准答案】166b - 【思路点拨】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【精准解析】0a >，0b >，则22115112321036266615166243466223a b a b a b b a b a b ----⎛⎫=⨯-⋅⋅=-=- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.试卷第10页，共18页故答案为：166b -.20．（2020·上海南汇中学高一期末）已知函数()2x g x =，若0a >，0b >，且()()2g a g b =，则ab 的取值范围是________． 【标准答案】10,4⎛⎤⎥⎝⎦【思路点拨】根据()()2g a g b =可得1a b +=，再将ab 化为关于a 的二次函数，利用二次函数知识可求得结果. 【精准解析】依题意可得222a b ⋅=，即22a b +=，所以1a b +=， 所以10b a =->，所以01a <<，所以2211(1)()24ab a a a a a =-=-+=--+1(0,]4∈.故答案为：10,4⎛⎤⎥⎝⎦三、解答题 21．化简下列各式： （15；（26；（3【标准答案】（1）-4；（2）4；（3）当x ≥-2时，原式=x +2，当x <-2时，原式=-x -2. 【思路点拨】（1）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（2利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化对各个关系式化简即可求解；（3）利用有理数指数幂的运算性质以及有理数指数幂与根式的互化分情况化简即可求解. 【精准解析】（1）原式=（-2）+（-2）=-4. （2）原式=|-2|+2=2+2=4.（3）原式=|x +2|=2,2,2, 2.x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩22．用有理数指数幂的形式表示下列各式（a >0，b >0）.（1）a（2（3）2（42；（5；（6【标准答案】（1）52a ；（2）136a ；（3）7362a b ；（4）76a ；（5）23a -；（6）11463a b -. 【思路点拨】将根式转化为分数指数幂结合指数的运算性质逐一计算即可. 【精准解析】（1）原式=11522222a a a a +⋅==. （2）原式=22313333262a a a a +⋅==.试卷第12页，共18页（3）原式=2217133333262222a a b a b a b +⋅==. （4）原式=557-2-2666a a a a ⋅==. （5）原式=23a -.（6）原式11463a b -.23．（2020·上海市洋泾中学高一期中）已知实数x 满足210x mx -+=，求： （1）22x x -+（用m 表示）； （2）1x x --（用m 表示）.【标准答案】（1）22m-；（2）【思路点拨】（1）由210x mx -+=得211x m x x x+==+，再两边平方可得结果；（2）根据1x x--=.【精准解析】（1）由210x mx -+=知0x ≠，所以211x m x x x +==+，所以221m x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2212x x =++，所以2222x x m -+=-.（2）由（1）2222x x m -+=-， 所以1x x--===【名师指导】关键点点睛：第（2）问根据1xx --=.24．（2020·上海·高一单元测试）(1)计算：013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；(2)已知13x x -+=，求44x x --的值. 【标准答案】(1)10；(2) ± 【思路点拨】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）由13x x -+=平方得227x x -+=，进而得4447x x -=+，再利用()22244245xx x x ---=-+=即可得出．【精准解析】 (1)原式511181022==-++= (2)由13x x -+= 得227x x -+= ②4447x x -=+②()22244245x x x x ---=-+=即22x x --=±【名师指导】本题考查了指数运算性质、乘法公式及其变形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（2020·上海·高一单元测试）（①）计算：()162164200849-⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭（①111133420,0)a b a b a b ->>⎛⎫⎪⎝⎭试卷第14页，共18页【标准答案】（②）100；（②）ab【思路点拨】（I ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. （II ）利用根式和指数运算公式化简所求表达式. 【精准解析】（②）原式1222372341427711004⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （②）原式11123223323111111212633311233a b a b a a b ab b ab a b +-++----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====. 【名师指导】本小题主要考查根式和指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于基础题. 26．化简下列各式（1）()1620.251648202049-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭（2)11420,0a b a b >>⎛⎫ ⎪⎝⎭【标准答案】（1）98；（2）ab.【思路点拨】（1）首先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算法则化简求值；（2）将根式化简为分数指数幂，再按照分数指数幂的运算公式化简. 【精准解析】（1）原式1111324472342814⎛⎫=⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭()144277281 =⨯--⨯-10872198=---=；（2）原式()1110812232233354331127272333333a ba b aba b ab ab b a a b a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦====⋅⋅【名师指导】关键点点睛：本题的关键是第二问，理解根式如何化简为分数指数幂的形式.27(3a=-成立的实数a的取值范围.【标准答案】[-3，3]【思路点拨】a==-成立，即可得出3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得即可．【精准解析】a==-要使(3a a--成立，需3030aa-≤⎧⎨+≥⎩，解得a②[-3，3]．【名师指导】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28．计算下列各式：试卷第16页，共18页（1）()1020.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （322.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）)0x ⎛> ⎪ ⎪⎝⎭；（5）()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>> 【标准答案】(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -. 【思路点拨】利用根式与分数指数幂的互化，根式的性质，指数幂的运算性质计算求值. 【精准解析】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=.(4)原式31222x x x =⋅=. (5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.29．将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1a >0）；（2（x >0）；（3）23-⎝⎭（b >0）.【标准答案】（1）34a ；（2）35x -；（3）19b . 【思路点拨】（1）原式=1322a ⎛⎫⎪⎝⎭=34a .（2）原式19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=19b . 【精准解析】（1）原式1322a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=34a . （2）原式=19351x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=351x =35x -. （3）原式=213243b --⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=212343b ⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=19b . 30．已知x+x -1=4，其中0<x <1，求221x x --的值. 【标准答案】-试卷第18页，共18页【思路点拨】由题求出x -x -1=-12x +12x -. 【精准解析】因为x+x -1=4，所以12()x x -+=x 2+x -2+2=16，即x 2+x -2=14，则12()x x --=x 2+x -2-2=12.因为0<x <1，所以x<x -1，所以x -x -1=-21122x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭x+x -1+2=6， 故12x +12x -，所以()()112211224=1x x x xx x x x ----⨯-+--==-+。

例5 求下列各式的值:
（1） 3 + 2
2+ 3−2
【解析】
=
2;
原式
( 2)2 + 2
2−1=2
2 + 1 + ( 2)2 − 2
2+1=
( 2 + 1)2 + ( 2 − 1)2 = 2 + 1 +
2.（【技巧】将被开方数化为完全平方式）
令 =
3+2
2+ 3−2
2,两边平方得 2 = 6 + 2 9 − 8 = 8.
1
2
例11 (2024·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校期中)已知 +
1
−2
= 3,求下列各式的值：
（1） + −1 ;
1
2
【解析】将 +
1
2
−
= 3两边平方，得 + −1 + 2 = 9,所以 + −1 = 7.
（2）2 + −2 ;
【解析】将 + −1 = 7两边平方，得2 + −2 + 2 = 49,所以2 + −2 = 47.
（3）
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
【解析】
.
=
1
1
1
1
−
−
−1
(2 − 2 )(+ +2 2 )
1
1
−
2 − 2
= + −1 + 1 = 8.（化简后整体代入求解）

4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16

)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x

x 1

1
3，求x 2

x

1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；

备用
1.要使
(5x
1
)
3 4
(x
2
1) 3
有意义,则x的取
值范围是 2
2.计算:1
(a 2
1
a2
1
)(a 2
1
a2
)(a
a2
a1)
a2
3.求值: 3 2 5 12 3 2 2
2.1.1 指数与指数幂的运算
第3课时
指数式的计算与化简
指数式的计算与化简,除了掌握定义、法则外，还 要掌握一些变形技巧.根据题目的不同结构特征,灵 活运用不同的技巧,才能做到运算合理准确快捷.
(2)在 根 式n am中,若 根 指 数n与 幂 指 数m有 公 约 数 时, 当a 0时 可约 分.当a 0时 不可 随意 约 分. 如8 32 4 3, 10 (2)2 5 2而15 (2)5 3 2.
课堂练习：课本 P54中练习第3题
课外作业：课本 P59习题2.1中A组第2，3，4题
4.下 列 各 式 中,正 确 的 是( C )
A.6 (2)2 3 2 B.4 (3 )4 3
C .(3 2 )3 2 D.6 (2a 1)6 2a 1
小结
1.n次方根的定义:
一般地，如果xn a，那么x叫做a的n次方根, 其中n 1且n N .
2.根式的简单性质: 1) 当n 1, n N *时，总有 (n a )n a.
(1)a a1 7; (2)a2 a2 47;
3
a2 (3) 1
3
a 2
1
(a
1 2
1
a2
)(a
1
a1
1
1
a2
1
a2
)

故选：B
23．设 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数 与幂函数 的单调性判断 的大小关系.
【详解】
因为函数 在 上是增函数，所以 ，即 ，又因为函数 在 上是增函数，所以 ，所以 ，故 .
故选：C
24．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】
， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
21．若 ， ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先利用 的单调性求出a值范围；再利用 的单调性比较b和c的大小而得解.
【详解】
因 ，且函数 是增函数，于是 ；
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.
【详解】
由 ，
由 ， ，所以 ，
故选：B
9．已知 ，则这三个数的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】
，
因为 在 上单调递增﹐则 ，
又 .
故 .
4．设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断 的大致范围再排序即可.
【详解】
,且 ,又 .
故 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.

(2)2 学科网 4
－8 -2
(2)3 8
9 ±3 00
(3)2 9 02 0
－1 -1
0
0
(1)3 1 03 0
－4 无
8
2
23 8
－9 无
27 3
33 27
类比分析， 可是个好 方法哟！
3.若x4=a， 则 x 叫做 a 的 四次方根（a≥0 )
4.若x5=a， 则 x 叫做 a 的五 次方根
(3)利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4 53 , 5 a7
n xm (x 0, m, n N *,且n 1)
(4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？ (5)你能推广到一般情形吗？
讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结 果和分数指数幂是相通的。综上我们得到正 数的正分数指数幂的意义。
提出问题
分数指数幂
(1).整数指数幂的运算性质是什么？
(2).观察以下式子，并总结出规律：
①
5 a10
10
5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4)2 a4 a2
③
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
④ 10
2 a10 2 (a5 )2 a5 a 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第1课时
根式与分数指数幂
1. 理解n次方根与根式的概念；理解分数 指数幂的概念 2. 正确运用根式运算性质化简、求值；掌 握分数指数幂和根式之间的互化；分数指 数幂的运算性质。 3. 分类讨论思想，观察分析、抽象概括等 的能力。
(1) 整数指数幂的概念：

刀；正四品 亲王府东西阁祭酒 精粗踳驳 不为常员 尽六十日 以朔差加之 食官 五万六千一百四十三 日影长 闰七月甲子 有一弘益 监 录事 一十万二千九百六十 满去如前 正四品 杨素 以会通去积月 扬州给复五年 初日行二万六百分 太医署有主药 单父金乡 满度法从度 司仪 置丞 君民建国 内坊承直改为典直 次太原 掌同诸镇 膂力骁壮超绝等伦 减内史舍人员为四人 以八千三百四十乘去霜降日数 太子左右内率府铠曹行参军 河间郡统县十三 克壮其猷 贻厥后昆 唯诏所使 扫寇 次赤岸泽 如差法乃与入气定盈缩 张宾历合者五 从一；所以成变化而行鬼神也 唯置
平行 时加在辰少弱上 丞各一人 "先师尼父 增置少监一人 开府仪同三司 但无行参军员 长兼行参军等员 如初乃伏 月在丙上 朝请大夫张镇州击流求 佐

2．式
n
n
a
与
n
an含义相同吗？
【提示】 ①n∈N，且 n>1.
②当 n 为大于 1 的奇数时，n a对任意 a∈R
都有意义，它表示 a 在实数范围内唯一的一个 n
，完成化简．
【解析】
4 (1)
(－2)4＝2
5 (2)
(2－π)5＝2－π
4 (3)
(x＋1)4＝|x＋1|＝－x＋x－1 1
(x≥－1) (x<－1)
3 (4)
(x－6)3＝x－6
当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an ＝|a|，本题中要注意 n 的奇偶性对式子n an的值的 影响，做到理解，并能熟练应用．
次方根，n

an＝a.
③当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥0 时有
意义，当 a<0 时无意义.n a(a≥0)表示 a 在实数范

D. 25
解析:原式 = 5
2× 2
)
= 52 = 25.
答案(dá àn):B
【做一做 3-2】 ( 3)1+
A. 3
B. 2 3
C.1
D.3
解析:原式=( 3)1+
3
3+1- 3
× ( 3)1- 3 等于(
= ( 3)2 = 3.
答案(dá àn):D
第八页，共二十一页。
)
2
1
4 与2 不一定相等

(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(3)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数(zhěngshù)指数推广到了
有理数指数.
第三页，共二十一页。
2
5
【做一做 1-1】 3 等于(
5
A. 3 B. 35
C. 3
1
5
)
5
D. 32
答案(dá àn):D
4
5
-
【做一做 1-2】 5 等于(
(1)同底数(dǐshù)幂相乘,底数不变,指数相加;
(2)幂的乘方,底数不变,指数相乘;
(3)积的乘方等于乘方的积.
第五页，共二十一页。
1
3
2
3
【做一做 2-1】 已知 m>0,则 · 等于(
)
1
3
2
9
A.m
B.
C.1
D.
答案(dá àn):A
2
3
3
7
【做一做 2-2】 已知 x>0,y>0,化简( )21 等于(
1
2
3 1
×
2 3

【中考数学】幂的运算易错压轴解答题训练经典题目(及答案)一、幂的运算易错压轴解答题1．我们约定，如: .（1）试求和的值;（2）想一想，是否与相等，并说明理由.2．（1）观察：，，我们发现________；（2）仿照（1），请你通过计算，判断与之间的关系；（3）我们可以发现： ________ （）m（ab≠0）；（4）计算： .3．若 (a > 0，且a≠1，m、n 是整数），则 m = n.你能利用上面的结论解决下面的问题吗？（1）如果2×8x ×16x =229 ，求x的值；（2）如果，求x的值.4．阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550-1617年）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下：设log a M＝m,log a N＝n,则M＝a m,N＝a n,∴M•N＝a m•a n＝a m+n,由对数的定义得m+n＝log a（M•N）又∵m+n＝log a M+log a N∴log a（M•N）＝log a M+log a N根据阅读材料，解决以下问题：（1）将指数式34＝81转化为对数式________；（2）求证：log a＝log a M－log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0),（3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________.5．若a m=a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？（1）若2×2x=8，求x的值；（2）若（9x）2=38，求x的值．6．阅读理解：乘方的定义可知：a n=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）（1）20172×20175=________；（2）m2×m5=________；（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．7．阅读理解：乘方的定义可知：（个相乘）．观察下列算式回答问题：（7个3相乘）（7个4相乘）（7个5相乘）（1） ________；（2） ________；（3）计算：．8．综合题。

4.1.1 实数指数幂及其运算学习目标1.理解n 次方根及根式的概念.正确运用根式的运算性质进行根式运算.2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化,掌握用有理指数幂的运算性质化简求值.自主预习1.有理指数幂(1)一般地,a n中的a 称为 ,n 称为 .(2)一般地,给定大于1的正整数n 和实数a ,如果存在实数x ,使得 ,则x 称为a 的n 次方根.①0的任意正整数次方根均为 ,记为 .②正数a 的偶数次方根有两个,它们互为 ,其中正的方根称为a 的 ,记为 ,负的方根记为 ;负数的偶数次方根在实数范围内 .③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为 .而且正数的奇数次方根是一个 ,负数的奇数次方根是一个 .(3)当√a n 有意义的时候,√n n称为 ,n 称为 ,a 称为 . 一般地,根式具有以下性质:①(√n n )n=a.②√n n n ={n ,当n 为奇数时,|n |,当n 为偶数时.(4)一般地,如果n 是正整数,那么:当√n n有意义时,规定n 1n = ;当√a n没有意义时,称n 1n 没有意义.对于一般的正分数n n,也可作类似规定,即n nn = = .但值得注意的是,这个式子在n n不是既约分数(即m ,n 有大于1的公因数)时可能会有歧义.负分数指数幂:若s 是正分数,a s有意义且a ≠0时,规定a -s= . (5)有理数指数幂的运算法则:a s a t= ,(a s )t= ,(ab )s= . 点拨(1)在(√a n )n 中,当n 为奇数时,a ∈R;当n 为偶数时,a ≥0.但在√n n n中,a ∈R . (2)分数指数幂n nn 不可以理解为n n个a 相乘. 2.实数指数幂一般地,当a>0且t 是 时,a t 是一个确定的实数.因此,当a>0时,t 为 时,可以认为实数指数幂a t都有意义.课堂探究例1 用根式的形式表示下列各式(x>0). (1)n 25;(2)n -53.要点归纳 在实数指数幂的化简与计算中,分数指数幂的形式在应用上比较方便.而在求函数的定义域时,根式形式较容易观察出各式的取值范围.故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容,要切实掌握.变式训练1 用根式表示n -12n 23(x>0,y>0).例2 计算下列各式的值:(1)√√3103√93; (2)52+√3×125-√33.变式训练2 把下列根式化成分数指数幂的形式,其中a>0,b>0. (1)√n 65; (2)√3; (3)√n 3n 24; (4)√(-n )6.要点归纳 指数的概念从整数指数扩充到有理数指数后,当a ≤0时,n nn 有时有意义,有时无意义.如(-1)13=√-13=-1,但(-1)12就不是实数了.为了保证在nn 取任何有理数时,n nn 都有意义,所以规定a>0.当被开方数中有负数时,幂指数不能随意约分.例3 化简下列各式: (1)5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);(2)n +n -1+2n 12+n -12.变式训练3 化简:(18)-12×(-76)0+80.25×√24+(√23×√3)6.核心素养专练1.化简√a √a 3= . 2.已知3a=2,3b=15,则32a-b= .3.√(-6)33+√(√5-4)44+√(√5-4)33= .4.求值:(1)(√2-1)0+(169)-12+(√8)-43;(2)0.027-13-(-16)-2+2560.75-13+(19)0.5.化简:√n 72√n -33÷√√n -83√n 153÷√√n -3√n -13.参考答案自主预习1.(1)底数 指数 (2)x n=a ①0 √0n=0②相反数 n 次算数根 √n n -√n n没有意义③√n n 正数 负数(3)根式 根指数 被开方数 (4)√n n (√n n)n √n n n1n n(5)a s+ta sta sb s2.无理数 任意实数 课堂探究例1 (1)√n 25(2)√3变式训练1√23√n例2 (1)3 (2)25变式训练2 (1)n 65(2)n -23(3)n 34n 12(4)a 3例3 (1)24n 16(2)n 12+n -12变式训练3 110+2√2 核心素养专练1.√n2.203.-64.(1)2 (2)325.n 16第1课时学习目标通过复习初中知识,引入分数指数幂和根式的概念,通过对有理数指数幂n n n(a>0,a ≠1;m ,n 为整数,且n>0)、实数指数幂a x (a>0,a ≠1;x ∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.自主预习自主预习,阅读课本第3~4页完成下列练习,识记相关概念性质.复习整数指数幂的运算法则:a m a n = ,(a m )n = ,(ab )m = ,a -n= . 如果x 2=a ,那么x 叫做a 的平方根;分情况讨论:当a>0,a=0,a<0时,a 的平方根的情况. 如果x 3=a ,那么x 叫做a 的立方根.如:(±2)2=4, 就叫4的平方根,√9= ;33=27,3就叫27的 ,√83= .课堂探究任务一 类比二次方根和三次方根,学生独立完成,给出四次方根和五次方根的定义 思考并回答课本的问题:①(±3)4=81,±3就叫做81的 次方根.②依此类推,若存在实数根,使得x n =a ,则x 称为a 的n 次方根.当√a n 有意义的时候,√n n称为根式,n 称为根指数,a 称为被开方数. 方程x n=a 根的情况如何分类呢? 当n 为奇数时,n 次方根情况如何?例如:①√273= ,√-273= .②记n 次方根x= . 当n 为偶数时,正数a 的n 次方根情况如何?例如:①(±3)4= ,81的4次方根就是 .②记n 次方根x= .思考下面两个问题1.根据n 次方根的定义,当n 为奇数时,是否对任意实数a 都存在n 次方根?n 为偶数呢?2.根式化简开偶次方根时应注意什么问题? 要点归纳1.0的任意正整数次方根均为0.2.正数a 的偶次方根有两个且它们互为相反数;负数的偶次方根在实数范围内不存在.3.任意实数的奇数次方根都有且只有一个. 学生举例并总结根式的性质-n (n <0).知识应用例1 (1)有下列几种说法:①16的4次方根是2;②√164的运算结果是±4;③当n 为大于1的奇数时,√n n对任意实数a 都有意义;④当n 为大于1的偶数时,√n n只有当a 大于等于0时才有意义,其中正确的是 .(2)求值化简:√(-n )33;√(-7)44;√(3-π)66;√(n -n )2(a<b ).任务二 阅读课本第5页的“尝试与发现”,得出分数指数幂的定义及运算性质 (√n )2=a 1=(n 12)2能成为(a m )n =a mn的特例吗?√n √n =√nn 能成为a m b m=(ab )m的特例吗?m ,n 能是分数吗?可以是实数吗?观察(√5)2=51=(512)2,所以512应该是5的算术平方根.一般地,如果n 是正整数,那么:当√a n有意义时,规定n 1n=√a n; 当√n n没有意义时,称n 1n 没有意义. 规定n n n=√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -nn =n n n =√nn n (a>0,m ,n ∈N *,n>1).跟踪练习(1)将下列根式写成分数指数幂形式.√n n n= (a>0,m ,n ∈N *,n>1);√n 23= ;√n3= .(2)求值:6413;9-32.讨论:0的分数指数幂.任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .① ② ③任务三 分数指数幂的运算例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·√n = ,a 3·√a 23= ,√a √a = (式中a>0).例3 求值:2723;16-34;(614)32;(2549)-32. 变式训练化简:①√n 2√n (a>0);②√n (√n 25)2(x ≠0);③(n 23n 14)3;④(n 12+n 12)2.课堂练习1.√a 3·√-n 6的值为( )A.-√-nB.-√nC.√-nD.√n 2.625的4次方根是( ) A.5B.-5C.±5D.253.下列结论中,正确的命题的个数是( )①当a<0时,(a 2)32=a 3;②√n n n=|a|;③函数y=(x -2)12-(3x-7)0的定义域为(0,+∞);④(√a n )n 与√n n n相同.A.0B.1C.2D.34.求值:(1)√33·√34·√274;(2)√(8n3125n 3)46. 作业布置1.课本P 8练习A 第3,4题,练习B 第1题.2.整理笔记及上课讲的习题.核心素养专练1.√(-3)44的值是( ) A.3B.-3C.±3D.812.化简(√-n )2是( ) A.-bB.bC.±bD.1n3.化简√(n -n )66= .4.计算:(√-53)3= ;√34 .5.化简a+√(1-n )44的结果是( )A.1B.2a-1C.1或2a-1D.06.如果a ,b 都是实数,则下列实数一定成立的是( )A.√n 33+√n 2=a+bB.(√|n |+√n )2=a 2+b 2+2√nnC.√(n 2+n 2)44=a 2+b 2D.√n 2+2nn +n 2=a+b7.当8<x<10时,√(n -8)2-√(n -10)2= .8.若√n 2-2n +1+√n 2+6n +9=0,则y x= .9.若(|x|-1)-13有意义,则x ∈ . 10.化简:(1)(3649)32;(2)√n 2n √n 3n √nn 3.11.计算1612+(181)-0.25-(-12)0的值.12.若√n 2-2n +1=a-1,求a 的取值范围.13.化简下列各式.(1)√4-2√3; (2)√n +2√n -1.第2课时学习目标进一步掌握根式与分数指数幂的互化,及运用分数指数幂的性质化简与求值.自主预习复习根式的性质及分数指数幂的意义分数指数幂的意义n n =√n n n(a>0,m ,n ∈N *,n>1);n -n =n n n=√n n n (a>0,m ,n ∈N *,n>1). 任意实数指数幂的运算性质:a>0,b>0,α,β∈R .①② ③自我检测1.下列各式正确的是( )A.√(-3)2=-3B.√a 44=aC.√22=2D.√(-2)33=22.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.-√n =(-x )12(x>0) B.√y 26=n 13(y<0)C.n -34=√(1x )34(x>0)D.x -13=-√x 3(x ≠0)3.求值:2723+16-12-(12)-2-(827)-23.课堂探究任务一 典型例题例1 求证:如果a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n>n 1n.推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s. 利用例1的结论可以证明(课后练习) (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s>1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s>a t. 应用:比较大小①21.5与23;②32.4与33.2;③335与1;④0.53与(12)√3. 任务二 例2 计算下列各式的值.(1)√√3103√93;(2)52+√3×125-√33.跟踪练习1.(-338)-23+(0.002)-12-10×(√5-2)-1+(√2-√3)0.2.(0.064)-13-(-78)0+[(-2)3]-43+16-0.75.例3 (1)化简下列各式.①5n -23n 12(-14n -1n 12)(-56n 13n -16);②4n 23n -13÷(-23n -13n -13).(2)已知n 12+n -12=3,求下列各式的值:①a+a -1; ②a 2+a -2; ③n 32-n -32n 12-n -12.跟踪练习化简:(1)(2m 2n -35)10÷(-n 12n -3)6;(2)n +n -1+2n 12+n -12.任务三 情境与问题国家统计局有关数据显示,我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年爆炸式增长:2013年为221.59亿元,2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%,14.06%,14.26%,你能根据这三个年增长率的数据,算出年平均增长率,并以2013年的经费支出为基础,预测2017年及以后各年的经费支出吗?提示年平均增长率的计算公式为,设年平均增长率与各增长p 1,p 2,…,p n 之间的关系,即p=√(1+p 1)(1+p 2)…(1+p n )n -1.课堂练习1.若n 12+n -12=√6,求n +n -1-1n 2+n -2-2的值. 2.若3x=a ,5x=b ,则45x=( ) A.a 2bB.ab 2C.a 2+bD.a 2+b 23.√-83的值是 .课堂作业1.利用例1的结论可以证明(课后练习): (1)如果a>1,s 为正有理数,那么a s >1,a -s<1; (2)如果a>1,s>t>0,s 与t 均为有理数,那么a s >a t. 2.课本P 13习题4-1A 第1,3题,4-1B 第1,2题.核心素养专练1.已知x 5=6,则x 等于( )A.√6B.√65C.-√65D.±√652.(√24)4运算的结果是( ) A.2B.-2C.±2D.不确定3.m 是实数,则下列式子中可能没有意义的是( ) A.√n 24B.√n 3C.√n 6D.√-n 54.下列各式化简错误的是( ) A.n -25n 13n 115=1 B.(a 6b -9)-23=a -4b 6C.(n 14n -13)(n 14n 23)(n -12n 23)=y D.-15n 12n 13n-3425n -12n 13n 54=-35ac5.下列根式、分数指数幂的互化中,正确的是( ) A.-√n =(-x )12(x ≠0) B.n -13=-√x 3C.(x y )-34=√(y x )34(x ,y ≠0) D.√n 26=n 13(y<0)6.化简:(1119)12-[3(π2)0]-1·(181)14+(5116)-0.25-13-(110)-1·0.02713.7.已知x=a -3+b -2,求√x 2-2a -3x +a -64的值.8.已知x+x -1=3,求下列各式的值:(1)x 12+n -12,(2)n 32+n -32.9.探究:当√n n n +(√n n)n =2a 时,实数a 和整数n 所应满足的条件.参考答案第1课时 自主预习略 课堂探究略 课堂练习1.A2.C3.A4.(1)3√33 (2)425a 2b -2 核心素养专练略第2课时 自主预习略 自我检测1.C2.C3.3 课堂探究例1 求证:如果是a>b>0,n 是大于1的自然数,那么n 1n >n 1n . 证明:假设n 1n ≤n 1n ,即 n 1n <n 1n 或n 1n =n 1n .根据不等式的性质与根式的性质,得a<b 或a=b. 这都与a>b 矛盾,因此假设不成立,从而n 1n >n 1n . 推论:如果a>b>0,s 是正有理数,那么a s >b s .证明:设s=n n (m ,n 为正整数).因为a>b>0,所以n 1n >n 1n>0. 根据不等式的性质,得(n 1n )n>(n 1n )n>0. 所以n n n >n n n ,即a s >b s.应用:比较大小 ①< ②< ③> ④<例2 (1)3 (2)25 跟踪练习1.-1679 2.2716例3 (1)①24n 16 ②-6a(2)①7②47③8跟踪练习(1)210m17n12(2)n12+n-12课堂练习2.A3.-21.4核心素养专练略。

2.1.1指数与指数幂的运算练习题高一（ ）班 座号： 姓名：知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n na a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈64748L 个； （2）零指数幂)0(10≠=a a ；（3）负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质（1）()0,,mn m naa aa m n Q ==>∈ （2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,m m mab a b a b m Q =>>∈知能点2：无理数指数幂若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

知能点3：根式1、根式的定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

2（1）n N ∈，且1n >； （2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ；（3）负数没有偶次方根； （4）零的任何次方根都是零。

3、我们规定：（1）)0,,,1m naa m n N n *=>∈>； （2）)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈>1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34a = （3）35a -= （4）32a-=2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）34y x = （2）)0(2>=m mm （3）85-⎝⎭=（4= （5= ； （6）a a a = ；（7） =•a a 2（8）=•323a a （9）=a a （10） =356q p 3、求下列各式的值（1）238= ；（2）12100-= ； （3）31()4-= ；（4）3416()81-=（5）3227= ；（6）23)4936(= ；（7）23)425(-= ；（8）2325=（9）122[(]-= （10）(1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （11）=32644.化简（1）=••1274331a a a （2）=÷•654323a a a （3）=÷-•a a a 9)(34323（4）322a a a •= （5）3163)278(--b a = （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3231312212x x x = （7）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a ba =（8）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-= 5.计算（1）43512525÷-(2) （3）210319)41()2(4)21(----+-⋅- （4）()5.0212001.04122432-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（5）48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π （6）24130.753323(3)0.04[(2)]168----++-+（7）()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛----- （8）5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--（9）()()[]2175.034303101.016287064.0-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----（10）()3263425.0031323228765.1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-6.解下列方程 （1）1318x - = （2）151243=-x （3）422240x x --= （4）2233800x x +---= （5）1321(0.5)4x x --=7.(1).已知11223a a -+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22a a -+=（2）若11225x x -+=，则21x x+的值是 (3).若13a a -+=，求下列各式的值：（1）1122a a -+= ；（2）22a a -+= ；一.填空题1.若0>a ，则43a 和53-a用根式形式表示分别为 和 ，56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和 。

因此， ax3 axx2 ax x2 ax | x | x ax 故选： C ．
【点睛】本题将一个二次根式化简，着重考查了指数式的化简和二次根式的定义与运算性质等知识，属于基础题．
【变式 1-2】（2019 秋•南关区校级月考）化简 a 3 a2 (a 0) 的结果是 (
)
A． 3 a
B． 6 a7
)
A． a 1
B． a 1
C． 1 a
D． 1 a
【分析】由根式内部的代数式大于等于求得 a 1 ，即 a 1 0 ，则答案可求．
1
【答案】解：由
1 a
0 ，得 a 1 ，则 a 1 0 ，
(a 1) 1 (1 a)2 1 a ．故选： C ．
1 a
1 a
【点睛】本题考查有理指数幂与根式的互化，考查函数定义域的求法，是基础题． 【考点 2 根式与分数指数幂互化】
A． 2 2
B．2
C． 6
D．2
【分析】把根号下的式子表示成平方式，然后进行开方，再计算即可得答案．
【答案】解： 3 2 2 3 2 2 ( 2 1) 2 ( 2 1) 2 2 1 2 1 2 2 ．故选： A ．
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化及其化简运算，是基础题．
xy ；
（2）：
1
( 1
)0
(
27
)
1 3
4
(
2
3)4 ．
2 1 2 1 8
原式 2 1 1 2 3 2 3 2
3
3
【点睛】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
【变式 4-2】（2019 秋•温江区校级月考）计算：
（1）
(
9