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第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1 指数函数§2.1.1 指数与指数幂的运算【课标解读】 1．理解n 次方根和根式的概念；2．理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3．学习重点：理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算；4．学习难点：理解根式根式的概念，掌握根式与分数指数幂之间的转化．【自学导引】1．若n n 33-=- ，则n 的取值集合是 . 【答案】{|21,}n n k k *=+∈N 2．下列说法正确的是（ ） （A ）64的6次方根是2 （B ）664的运算结果是2±（C ）1>n 且*N ∈n 时，a a n n =)(对于任意实数a 都成立（D ）1>n 且*N ∈n 时，式子n n a 对于任意实数a 都有意义【答案】D3．设a n n m ,1,,>N ∈*是正实数，则下列各式中正确的有（ ）①n m nm a a=； ②10=a ； ③m na-=（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个【答案】A41104325(0.008)()0.253----⨯⨯【答案】π5．无理指数幂的含义：如32，它是一个确定的实数，可以看成由以3的一串不足近似值和相应的一串过剩近似值为指数的有理数幂的值 的结果.【答案】逼近【典例精析】【例1】求使等式3)3()9)(3(2+-=--a a a a 成立的实数a 的范围.【答案】{|33}a a -≤≤ 【例2】已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x-+； 【答案】5（2）22x x -+； 【答案】7（3）22x x --； 【答案】± （4）33x x -+. 【答案】5【例3】化简：223410623+--.【自主反馈】 1．（原创题）下列各式正确的是（ ）（A ）42=- （B 2=-（C ）322[(2)]8-=- （D ）x=2．计算：111232217(0.027)()(2)279---+= ．3．已知31=+-a a ,下列各式中正确的个数是（ ）①722=+-aa ；②1833=+-aa ；③52121±=+-aa ；④521=+aa a a .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4.【课时作业】1. 根式aa 11（式中0>a ）的分数指数幂形式为（ ） （A ）34-a （B ）34a （C ）43-a（D ）43a2.若0≠xy ，则xy y x 2422-=成立的条件可以是（ ）（A ）0,0>>y x （B ）0,0<>y x （C ）0,0≥<y x （D ）0,0<<y x3. 552)()(b a b a -+-的值是( )（A ）0 （B ）)(2b a - （C ）0或)(2b a - （D ）b a -4. 计算122121(2)()2()48n n n n ++*-∈N ⋅的结果为（ ） （A ）461 （B ）522+n （C ）6222+-n n （D ）72)21(-n5. 与aa 1-的值相等是（ ） （A ）a（B ）a -（C ）a - （D ）a --6. 若11225x x-+=，则21x x+的值是 .7.160.25361.587-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭.8. 使式子34(12)x --有意义的x 的取值范围是 _.9. 若103m=，102n=，则3210m n -的值为 .10.已知22)()()(a b b a b a --=--成立，则b a ,需满足条件 .11. 计算：5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--.12.已知21na =，求33n nnna a a a--++的值.13.2()a n *=∈N 成立的条件.14.(1)x ≥。
指数与指数幂的运算知识图谱指数与指数幂的运算知识精讲一．方根的定义及性质1.定义：如果存在实数x ，使得()*,1,n x a a R n n N =∈>∈，则把x 叫做a 的n 次方根，求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称为开方运算.2.性质（1）正数a 有两个偶次方根且互为相反数，记作0)n a a ±>；（2）负数没有偶次方根；（3n a n 为奇数，)a R ∈；（4）零的n 次方根都是0()*1,n n N >∈；（5）正数a 的正的n 次方根叫做a 的n 次算术根()*1,n n N>∈.二．根式的定义及性质1.定义：n a n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数.2.性质：（1）()n n a a =；（2）当n n n a a =；（3）当n (0)||(0)n na a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩三．分数指数幂1()p p a p Q a-=∈；m nmna a=(,m n N +∈、且m n 、互质）-1m n nma a =四．实数指数幂幂指数定义底数的取值范围正整数指数n n a a a a =⋅⋅⋅个()n N +∈a R ∈零指数01a =0a ≠且a R ∈负整数指数1n na a-=0a ≠且a R∈正分数指数m n mna a =(,m n N +∈、且m n 、互质）n 为奇数a R ∈n 为偶数0a ≥负分数指数-1m n nmaa =n 为奇数0a ≠且a R ∈n 为偶数a >无理数p a 是一个确定的实数（其中p 为无理数）a >五．实数指数幂的运算性质1.r s r s a a a +⋅=(0,,)a r s R >∈；2.rr s s a a a-=(0,0,,)a b r s R >>∈3.()r s r s a a ⋅=(0,,)a r s R >∈；4.() (0,0,)r r r a b a b a b r R ⋅=⋅>>∈；5.() (0,0,)rr r a a a b r R b b=>>∈.三点剖析一．方法点拨1.利用分数指数幂进行根式的运算步骤：（1）先把根式化成分数指数幂；（2）再根据实数指数幂的运算性质进行计算．2.指数式的运算（1）在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中可通过解方程（组）来求值，或用换元法转化为方程求解，例如1139x -=（2）带条件的求值问题，常有两种思考方法：①将已知的条件变形，得到所需要的值或关系式；②将待求的式子化成可用已知条件表示的式子.例如：已知()130a a a -+=>，求22a a -+的值将13a a -+=两边平方得21229a a a a --++= ，即2229a a -++=，所以得到227a a -+=.根式与指数的计算与化简例题1、66(3)π-=____．例题2、设3a ＝2，3b ＝5，则3a ＋b ＝________．例题3、若12a <24(21)a -的结果是（）21a - B.21a -12a- D.12a--例题4、（Ⅰ）已知x+x -1=4，求x 2+x -2的值；（Ⅱ）计算331.5612随练1、若a =333-π（），b 442-π（），则a +b 的值为（）A.1B.5C.-1D.2π-5随练2、下列式子正确的是（）A.log 22=0B.lg10=1C.22×25=21032212-利用公式进行指数运算例题1、式子()13321--⎡⎤-⎣⎦=（）．例题2、已知0a >且0a ≠，且24x a =，327y a =，则x y a +的值为________．例题3、计算：1223256437392748-⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．随练1、求值220.53327492()()(0.008)8925---+⨯=________．带有附加条件的求值问题例题1、已知：a ＋a －1＝2则a 2＋a －2＝________．例题2、已知11223x x-+=，计算下列各式的值（1）x ＋x －1；（2）x 2＋x －2．例题3、已知函数732()2(,)32x x x xb f x ax a b R x -=++-∈+，若f （2017）＝2018，则f （－2017）的值为________．随练1、x 2-3x +1=0，则221x x +=_____.随练2、若1a >，0b >，且22b b a a -+=b b a a --的值为（）6B.2或2-C.2- D.2拓展1、a a a 的值为（）A.14a B.25aC.78aD.58a2、33(2)π-2(3)π-的值为（）A.5B.1- C.2π5- D.52π-3、已知11-225a a -=22_____a a -+=。
指数与指数幂的运算
知识清单：
1．根式的概念
(l)n 次方根的定义
n 次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，推广如下：
①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，零的奇次
方根是零，设a R ∈，凡是大于1的奇数，则a 的n ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，零的偶次方根是零，
负数的偶次方根没有意义．设0a ≥，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根是 (2)开方与乘方
求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方
运算相混，如求2的四次方，结果是4
2=16，而求2的四次方根，结果为
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
(3) ①n N ∈，且1n >．
②当n 为大于l a R ∈都有意义，它表示a 在实数范围内唯一的
一个n 次方根，n a =
③当n 为大于1的偶数时，
只有当0a ≥时有意义，当0a <时，无意义.
(0)a ≥表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是(n =a .
④式子
对任意a R ∈都有意义，当n 为奇数时，=a ；当n 为偶数时，
,0,
,0.a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
例1
2．分数指数幂及幂指数
(1)m n
a 的意义
分数指数幂是指数概念的又一次推广，分数指数幂m n
a 不可理解为
m
n
个a 相乘，它是根
式的一种新的写法，规定m n
a
=
（0a >，m ，n ，都是正整数1n >）
，m
n
a
-
=
1m n
a
=
0a >，m ，n ，都是正整数1n >）.在这样的规定下，根式与分数
指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，’ (2)0的指数幂
0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义． (3)分数指数幂的运算性质
分数指数幂的运算性质，形式上与整数指数幂的运算性完全一致．
如①r
s
r s
a a a
+=（,,0r s Q a ∈>）；②()r s rs a a =（,,0r s Q a ∈>）;
③()r r r ab a b = (,0,0r Q a b ∈>>). (4)无理数指数幂的意义
当0a >，p 是一个无理数时，p
a 的值可用两个指数为p 的不足近似值和过剩近似值
构成的有理数指数幂序列无限逼近而得到（两个序列的极限值就是p a ），故p
a 是一个确定的实数．
(5)幂指数的扩充：
例2 计算（或化简）下列各式：
（1）141030.75
3
327(0.064)()[(2)]16
0.018
-----+-++-
（2）
1122
11112
2
2
2
2a b a b a b a b
a b
-+-⋅-
++.
3．指数式的条件求值问题
(1)化简求值是考试中经常遇到的问题之一．先化简，再求值是常用的解题方法，化简包括对已知条件和所求式子的化简，如果只对所求式子进行化简有时也很难用上已知条件，因此有些题目对已知条件也经常进行化简处理．
(2)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用．
(3)在这类求值化简中，要注意变式、变形、整体代换，以及平方差、立方和、立方差公式的应用，化繁为简，化难为易，创造条件简化运算．
例3 已知112
2
3x x
-+=，求
22332
2
23
x x x x
--+-+-的值.
4．指数运算中的几种变形技巧
常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，现就这类问题的求解方法进行分析． (1)逆用公式
[例]
已知a =
b =
c ，试比较a ,b ,c 的大小．
[解析]
因a ==
b == 而121 <123 <125，所以a >
c >b ，
．
(2)妙用公式变形
引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如:1
121123
3
3
33
3
()()a b a b a a b b +=+-+,11112
2
2
2
()()a b a b a b -=+- 等等，运用这些公式的变形，可快速巧妙求解．
[例]
：
4133
223
3
8(14a a b b a
-÷-+
(3)整体代换
在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解． [例] 已知2
310a a -+=，求11
2
2
a a -
+的值．．
(4)化异为同
[例]
计算2008
2009
（5）化负为正
[例] 化简11444242
x x
x x --+++。
例4 已知12x y +=，9xy =，且x y <，求
12
112212
x y x y
-+的值。
例5 （1
）已知21n
a
=，求33n n
n
n
a a a a --++； （2）若1112
2
2
a a
x -
+=，0x >
的值.。
