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逻辑函数的卡诺图化简法案例分析1.卡诺图化简逻辑函数的原理(1)2相邻项结合（用一个包围圈表示），可消去1个变量。
如图6.39所示。
(2)4相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去2个变量，如图6.40所示。
(3)8相邻项结合（用一个包围圈表示），可以消去3个变量，如图6.41所示。
图6.39 2个相邻的最小项合并 图6.40 4个相邻的最小项合并图6.41 8个相邻的最小项合并总之，2n 个相邻的最小项结合，可以消去n 个取值不同的变量而合并为l 项。
2．用卡诺图合并最小项的原则用卡诺图化简逻辑函数，就是在卡诺图中找相邻的最小项，即画圈。
为了保证将逻辑函数化到最简，画圈时必须遵循以下原则：(1)圈要尽可能大，这样消去的变量就多。
但每个圈内只能含有2n （n=0,1,2,3……）个相邻项。
要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
(2)圈的个数尽量少，这样化简后的逻辑函数的与项就少。
ABCDABC D111111111111111ABDABCABDBCDBC CDBD （四角）D ABC111111111111BC(3)卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
(4)取值为1的方格可以被重复圈在不同的包围圈中，但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
3.用卡诺图化简逻辑函数的步骤 (1)画出逻辑函数的卡诺图。
(2)合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。
(3)写出化简后的表达式。
每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l 的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。
然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
例3:用卡诺图化简逻辑函数：D C B A D C B A D B A AD F +++= 解：(1)由表达式画出卡诺图如图6.43所示。
(2)画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式:D B AD F +=图6.42 例3卡诺图 图6.43例4卡诺图注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉；图中的包围圈D B 是利用了四角相邻性。
第8章组合数字电路习题解答【8-1】分析图8-1所示电路的逻辑功能，写出输出的逻辑表达式，列出真值表，说明其逻辑功能。
A B &&&&&&&CY图8-1 题8-1电路图解：(0,3,5,6)Y ABC ABC ABC ABC m A B C=+++==⊕⊕∑真值表见表8.1表8.1Y C B A 10001000010011100101110111111000根据真值表可以判断该电路是三变量异或非电路。
【8-2】逻辑电路如图8-2所示：1．写出输出S 、C 、P 、L 的逻辑函数表达式；2．当取S 和C 作为电路的输出时，此电路的逻辑功能是什么？=1&&1&&11&1XYZSC P L图8-2 题8-2电路图解：1．S=X Y Z ⊕⊕C =()X Y Z YZ XY XZ YZ ⊕+=++ P =Y Z ⊕ L =YZ2．当取S 和C 作为电路的输出时，此电路为全加器。
【8-3】 图8-3为由三个全加器构成的电路，试写出其输出F 1，F 2，F 3，F 4的表达式。
A iB iC i-1S i C iA iB iC S i C iA iB iC i-1S i C iX YZ12F 3F 4i-1图8-3 题8-3电路图解：F 1=X Y Z ⊕⊕ 2()F X Y Z =⊕⋅3F XY Z =⊕ 4F XYZ =【8-4】图8-4为集成4位全加器74LS283和或非门构成的电路，已知输入DCBA 为BCD8421码，写出B 2 B 1的表达式，并列表说明输出''''A B C D 为何种编码？A 3A 2A 1A 0S 3 S 2S 1 S 0C 0C 4D' C' B' A'74LS283D C B AB 3 B 2B 1B 041>1>1>图8-4 题8-4电路图解：21B B D B A D C D CB CA ==++++=++若输入DCBA 为BCD8421码，列表可知D 'C 'B 'A '为BCD2421码。
卡诺图化简法卡诺图化简法又称为图形化简法。
该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。
一卡诺图的构成卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
1．结构特点卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。
图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。
各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。
具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。
以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。
而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。
这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。
同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。
通常把这种相邻称为相对相邻。
除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。
对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。
归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
第8章 §8.6.2-2 三个变量的卡诺图化简习题2与答案（一）考核内容1、第8章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。
8.6.2 -2逻辑函数的卡诺图化简法 一、三个逻辑变量的卡诺图化简 1、三个逻辑变量最小项的定义如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 对应的取值为100，C B A 变量编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的编号三个逻辑变量A 、B 、C 的逻辑函数的最小项有8个．将逻辑变量A 、B 、C 都赋值1；逻辑变量A B C 、、都赋值0．将赋值后对应项的值，为二进制数换算成为十进制数，为该项的下标．列表如下：一般地， n 个逻辑变量，可以构成2n 个最小项．利用真值表可以验证，最小项具有下面的性质（以三个自变量为例）：(1) n 个变量的全部最小项之和为1．即 012345671m m m m m m m m +++++++=．(2) 任意两个最小项的积恒为0。
.如：46()()()00m m ABC ABC A A C C BB AC =⋅=⋅⋅=⋅=(3)只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．可以消去一个因子，合并成一项．例如 67()1m m ABC ABC AB C C AB AB +=+=+=⋅=．3、最小项表达式任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式，叫做最小项表达式（“与−或”表达式）．例如247()f A B C ABC ABC ABC m m m =++=++，，．例如：是一个三变量的最小项表达式， 它也可以简写为)6,5,4(),,(654∑=++=m m m m C B A F为了获得函数的最小项表达式，首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形式（“与−或”表达式），然后将因子不足的项进行配项补足。
第8章§8.6.2-2 三个变量的卡诺图化简习题2与答案
（一）考核内容
1、第8章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的
表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。
8.6.2 -2逻辑函数的卡诺图化简法
一、三个逻辑变量的卡诺图化简
1、三个逻辑变量最小项的定义
一般地，
n个逻辑变量，可以构成2n个最小项．利用真值表可以验证，最小项具有下面的性质（以
如最小项ABC 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项ABC 的编号为m 0，如最小项ABC 对应的取值为100，ABC 变量编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
三个自变量为例）：
(1) n个变量的全部最小项之和为1．即
(2) 任意两个最小项的积恒为0。
.
m0 +m1 +m2 +m3 +m4 +m5 +m6 +m7 = 1．
2、最小项的编号
三个逻辑变量A、B、C的逻辑函数的最小项有8个．将逻辑变量A、B、C都赋值1；逻辑如：m
4
m6 =ABC ⋅ABC = ( A ⋅A)(C ⋅C)(BB) =AC ⋅ 0 = 0
(3)只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．可以消去一个因子，
变量A、B、C 都赋值0．将赋值后对应项的值，为二进制数换算成为十进制数，为该项的下标．列表如下：合并成一项．例如
3、最小项表达式
m6 +m7 =ABC +ABC =AB(C +C) =AB ⋅1 =AB ．
任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式，叫做最小项表达式（“
与−或”表达式）．例如f ( A，，B ．C) =ABC +ABC +ABC =m
2
+m4 +m7
例如：
F ( A, B,C) =ABC +ABC +ABC
是一个三变量的最小项表达式，它也可以简写为
F ( A, B,C) =m
4 +m
5
+m
6
=∑m(4,5,6)
为了获得函数的最小项表达式，首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形
式（“与−或”表达式），然后将因子不足的项进行配项补足。
4、相邻最小项
若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为
逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC 和ABC ，其
中的C 和C 为互反变量，其余变量AB 都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最
小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如: ABC +ABC =AB(C +C) =AB
三个逻辑变量的卡诺图为：
【例题2.1】用卡诺图化简，三变量逻辑函数
2.1 2.2 如图所示，为三变量和卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的
Y =C Y =A
次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意
两个相邻最小项之间只有一个变量改变，满足相邻性，小方格也可用二进制数对应于十
进制数编号。
二、三个逻辑变量的卡诺图
三变量的最小项表达式，它也可以简写为
F ( A, B,C) =m
0 +m
1
+m
2
+m
3
+m
4
+m
5
+m
6
+m
7
=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7)
【例题2.2】用卡诺图化简，Y =ABC +BC +ABC
3、卡诺图法化简逻辑函数的一般步骤
3.1 将逻辑函数化为最小项表达式
当逻辑函数不是最小项表达式时，可以用配项法将逻辑函数化为最小项表达式。
这
样才可以填入卡诺图并用卡诺图法化简。
逻辑函数Y =ABC +BC +ABC 的卡诺图表示
分析首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺
图．解Y =ABC +BC +ABC
=ABC + ( A +A)BC +ABC
=ABC +ABC +ABC
在三个逻辑变量的卡诺图中，将m5、m6、m2对应的小方格中填入“1”，其余位置填
入“0”（如图），得到已知函数卡诺图．
3.2 由最小项表达式画出卡诺图
F ( A, B, C) =∑m(2,5,6)
3.3 画圈，合并相邻的最小项
相邻最小项用矩形圈圈起来，称为卡诺圈。
画卡诺圈所遵循的规则为：
（1）必须包含所有的最小项；
（2）按照从小到大顺序，先圈孤立的“1”，即先圈孤立的最小项，再圈只能两个组合的，再圈只能四个组合的，依此类推；
每个卡诺圈内包含最小项的数目应是2的幂，1项，2项、4项或8项等，2n个相邻的最小项之和可以合并成一个“与”项，并消去i个因子。
（3）圈的圈数要尽可能少(与项总数要少)；
（4）圈要尽可能大(与项含的因子最少)，不论是否与其他圈相重，也要尽可能地画大，相重是指同一块区域可以重复圈多次，但每个圈至少要包含一个尚未被圈过的1。
按照上面规则，圈出上面给出的卡诺图中可以合并的最小项。
3.4 由卡诺图写出最简与-或表达式
在圈出的合并项所处位置上，若某变量的取值有0也有1，则该变量被消去，否则该变量被保留，并按0为反变量，1为原变量的原则写成一个“与”项。
也就是根据卡诺图的性质合并相邻最小项，并消去变量。
有几个卡诺圈就有几个“与”项，而后把这些“与”项“ 或”起来，就得到给定逻辑函数的最简“与-或”表达式了。
Y =ABC +BC
§8.6.2-2 三个逻辑变量的卡诺图化简自测题
一、填空题
1、最小项ABC 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项ABC 的编号
为m
，2、最小项ABC 对应的取值为100，ABC 变量编号为m
4。
3、三个逻辑变量A、B、C的逻辑函数的最小项有8个。
4、若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为
逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
5、三变量最小项ABC 和ABC ，其中的C 和C 为互反变量，其余变量AB 都相同，故它们是相邻最小项。
6、三变量卡诺图，在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01 ，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变，满足相邻性，小方格也可用二进制数对应于十进制数编号。
1.1
1.2
7、 F ( A , B ,C ) = ∑m (0,1,2,3) = ABC + ABC + ABC + ABC 8、 F ( A , B , C ) = ∑ m (4,5,6) = ABC + ABC + ABC 9、 F ( A , B ,C ) = ∑m (3,4,7) = ABC + ABC + ABC
Y = A + B
Y = A + BC
10、三变量的最小项表达式， 它也可以简写为
F ( A , B ,C ) = m 0 + m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = ∑m (0,1,2,3,4,5,6,7)
1.3
1.4
三个逻辑变量的卡诺图为：
Y = A + C
Y = AC
1.5 1.6
二、综合题
1、用卡诺图化简下列逻辑函数为最简“与或”式
1.7
Y = BC + AB
Y = A + B + C
Y = AC + BC
2、用卡诺图化简下列逻辑函数为最简“与或”式
2.1用卡诺图化简逻辑函数
Y = ABC + AB + ABC
BC
BC
BC
BC
A B
00
01
11
10
A
0 m 0 m 1 m 3 m 2 A
1
m 4
m 5
m 7
m 6。
