数学建模简单13个例子.
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数学建模13道题1.某投资者有40000美元用于投资,她所考虑的投资方式的收益为:储蓄利率7%,市政债券9%,股票的平均收益为14%,不同的投资方式的风险程度是不同的。
该投资者列出了她的投资组合目标为:1)年收益至少为5000美元; 2)股票投资至少为10000美元;3)股票投资额不能超过储蓄和市政债券投资额之和;4)储蓄额位于5000-15000美元之间; 5)总投资额不超过40000美元。
2.用长8米的角钢切割钢窗用料。
每副钢窗含长1.5米的料2根,1.45米的2根,1.3米的6根,0.35米的12根,若需钢窗100副,问至少需切割8米长的角钢多少根?3.某照相机厂生产12,A A 两种型号的相机,每台12,A A 型相机的利润分别为25元和40元,生产相机需要三道工序,生产两种不同型号的相机在不同的工序所需要的工作时间(单位:小时)如下表所示:工序相机类型机身制造零件装配检验包装1A 0.1 0.2 0.1 2A0.70.10.3此外三道工序每周可供使用的工作时间为机身制造有150小时,零件装配有250小时,检验包装有100小时,而市场需要12,A A 型相机每周至少为350台和200台,该工厂应如何安排生产,才能使得工厂获得最大利润?4.某饲料公司生产饲养雏鸡,蛋鸡和肉鸡的三种饲料,三种饲料都是由A,B,C 三种原料混合而成,具体要求,产品单价,日销售量表如下:原料A 原料B 原料C 日销量(t )售价(百元/t )雏鸡饲料不少于50% 不超过20%5 9 蛋鸡饲料不少于30%不超过30% 18 7 肉鸡饲料不少于50%10 8 原料价格(百元/t ) 505 4 5受资金和生产能力的限制,每天只能生产30t ,问如何安排生产计划才能获利最大?5.某公司用木头雕刻士兵模型出售。
公司的两大主要产品类型分别是“盟军”和“联军”士兵,每件利润分别为28美元和30美元。
制作一个“盟军”士兵需要使用2张木板,花费4小时的木工,再经过2小时的整修。
“学”以致用-----简单数学建模应用问题100例数学教学过程中学习了一个数学公式后,需要做大量的应用题,通过训练来加深理解所学公式。
但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢?理想状态下的公式直接运用,在生产及生活中的实例是少之又少。
为此学生总感到学了数学没有什么实际用处,所以对学习数学少有兴趣。
数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径,让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式,它是一个动态的过程,通过此过程可以将一个实际的问题,经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤,转变为可以用数学方法(公式)来解决的,在理想状态下的数学问题,上述的整个流程统称为数学建模如果想解决某个实际问题(也许它和数学没有直接的关系),可以按下面流程对问题进行数学建模。
一.模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的,尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题,可能需要用到哪些知识,然后学习或复习有关的知识,为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的,而实际问题往往是多样和复杂的,模型准备对做好数学建模问题是非常重要的.二.模型假设有了模型准备的基础,要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料,再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。
模型假设不太可能一蹴而就,可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三.模型构成在模型假设的基础上,选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构(如数学公式、定理、算法等).做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法,但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则.四.模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解,其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。
初中数学建模的若干简要案例初中数学建模学习案例1 :----- 与自行车有关的问题(小组学习实践)课题:了解自行车中的数学问题,应用学过的数学知识,解决以下问题。
问题1 :用自己或同学的一辆自行车为观察对象,观察并解决下列问题:( 1 )我观察的这辆自行车是什么牌子的?( 2 )它的直径是_______cm ,轮子转动一周,在地面走过的距离是_______cm ,精确到1cm 。
( 3 )自行车中轴的大齿轮盘的齿数是_______齿,后轴的小齿轮(飞轮)的齿数是_______,中轴的大齿轮被踏动一周时,后轴的小齿轮在链条传动下,不计算惯性将转动_______周(保留2 位小数)。
问题2 :如果你有自行车,并骑车上学,你能借助于自行车,测量出从你的家到学校的路程吗?请你设计一个测量方案,并尽可能地通过实际操作测量出从你的家到学校的路程。
问题3 :如果你的(或你的朋友)自行车是可以变速的自行车(如山地车、多飞轮的自行车)、请你观察一下在这辆自行车上有几个(中轴上的)大轮盘,几个飞轮,它们都各有多少齿?记录这些数据。
如果你骑车时每一秒脚蹬一圈,请你根据上面测量的数据计算出这辆自行车运行时最大的速度和最小的速度各是每小时多少公里?:选做问题4 :你认为对问题 3 中的自行车的各个齿轮的齿数安排的合理吗?你能发现或提出什么样的问题?如果有可能请你做设计改进的话,你会做什么?求解工作的表格省略初中数学数学建模案例 2 :----- 线路设计问题(自学、探索、创新实践)课题:为所在小区设计一个最佳的邮政投递路线, 、一个合理的保安巡逻路线。
实施建议:1: 按居住地成立4-6 人的小组,对你们要研究的小区, 进行观察, 收集必要的数据和信息,( 如平面图, 楼的门洞的朝向, 道路情况, 小区的进出口位置等). 发挥各自的特长,分工合作完成测量方案的设计、实测、作图、计算、论证、比较、计算机文稿录入、结果介绍等。
中学数学建模举例
中学数学建模,是通过分析实际问题,用数学方法把它表达出来,使用数学模型描述实际情况并对其进行分析研究的一种学习形式。
下面举例说明: 1. 假设有一家工厂生产汽车,要考虑每天生产多少汽车才能达到市场需求,此时可以用每天生产数量x和市场需求y之间的函数关系来建模,即 y=f(x) 。
2. 某校的学生人数随时间的变化情况,可以用时间t和学生人数n之间的函数关系来建模,即 n=g(t) 。
3. 假设有一个假期,要考虑有多少学生参加社会实践,此时可以用学生人数n和参加社会实践的学生人数m之间的函数关系来建模,即
m=h(n) 。
中学数学建模经典例题中学数学建模经典例题包括:1.最大利润问题:某公司生产一种产品,每件成本为3元,售价为10元,年销售量为10万件。
为了扩大销售量,公司计划通过广告宣传来增加销售量。
经调查发现,广告费用与年销售量之间的关系可以近似地用函数y=−0.2x+10来表示,其中x为广告费用(单位:万元)。
问:广告费用为多少时,公司可获得最大年利润?2.最小费用问题:某公司需要将货物从甲地运往乙地,由于路途遥远,需要采用飞机、火车、汽车三种运输方式来完成。
运输方式的费用分别为x万元、y万元、z万元。
三种运输方式的单程运输能力分别为10万吨、15万吨、5万吨,而货物的总重量为35万吨。
为确保运输过程顺利进行,单程运输能力不能超过总重量。
请为该公司设计一个总费用最少的运输方案,并求出最少的总费用。
3.最小路径问题:某城市有若干个居民小区,每个小区有一定数量的居民。
为了方便居民出行,市政府计划修建地铁连接这些小区。
已知任意两个小区之间的距离可以近似地用欧几里得距离来表示,而修建地铁的费用与小区之间的距离成正比。
问:市政府应该如何规划地铁线路,使得总费用最低?4.人口预测问题:某城市的人口数量在过去几年里呈现出指数增长的趋势。
已知该城市的人口数量在过去的几年中每年以10%的速度增长,并且目前该城市的人口数量为50万。
我们要预测未来5年该城市的人口数量。
5.资源分配问题:某公司拥有一定的资源,需要将其分配给若干个项目以获得最大的收益。
每个项目的收益与分配到的资源数量成正比,而不同项目之间的收益增加率是不同的。
问:公司应该如何分配资源,使得总收益最大?这些例题涵盖了中学数学建模的多个方面,包括函数模型、最优化问题、线性规划等。
通过这些例题的解答,可以帮助学生提高数学建模的能力和解题技巧。
简单数学建模实例随着社会和科技的发展,数学建模已经越来越成为各个领域的重要手段。
而简单数学建模实例的模拟与实验,也成为了学生学习数学和拓展实际应用的重要方式。
在此,我们将为大家介绍一些简单的数学建模实例。
(一)瓶子里的气体假设一个恒定体积的瓶子装满的气体,其中含有 x % 的氮气,y % 的氧气和 z % 的二氧化碳。
现在在瓶子中加入一定量的氧气,使得瓶子中氮气的百分比降至 v %。
问原瓶子中氧气的百分比是多少?这个问题只需要列出守恒方程即可:氧气的质量与氮气和二氧化碳的质量之和等于瓶子中气体的总质量。
再加上一个初始状态的方程,就可以得到两个关于 y 和 z 的一元二次方程,解它们即可。
(二)小球的弹性碰撞两个小球,一个重量为 m1,在速度为 v1 的情况下运动;另一个球的重量为 m2,在速度为 v2 的情况下静止。
两个小球弹性碰撞后,速度分别为 u1 和 u2。
问 u1 和 u2 在什么情况下相等?这个问题需要利用动能守恒和动量守恒的规律,分别列出两个守恒方程,然后解方程即可。
其中,动能守恒方程是指碰撞前后的总动能是守恒的;动量守恒方程是指碰撞前后的总动量也是守恒的。
(三)植物生长的模拟植物的生长是与光、水、温度等因素有关的,而光照强度、水分充足和温度适宜是保证植物生长的基本条件。
因此,我们可以利用数学方法,建立植物生长与光照强度、水分和温度之间的关系模型。
具体地说,我们可以将光照强度、水分和温度三个因素定量化,例如化学计量法,然后建立该物种的生长速度与光照强度、水分和温度之间的函数关系。
最后,可以通过改变各个因素来预测植物的生长速度。
(四)自然灾害预测自然灾害如洪水、地震、气象灾害等都是由物理或化学规律导致的,因此可以利用数学方法,预测或模拟这些自然灾害。
例如,可以通过建立地震发生的概率模型,分析地震的分布规律和发生的时间等信息,从而预警或预测地震。
在预测洪水方面,我们可以通过搜集洪水历史数据、雨量和地下水位等信息,建立预警模型。
一 北京飞至底特律的航程计算北京0A (北纬40°,东经116°),底特律坐标11A (北纬43°,西经83°), 纬度以北为正,南为负;经度以东为正,西为负。
而且以下计算中,飞机航线途中站点经纬度用表一的数据。
表一站点 A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 纬度B (°) 40 31 36 53 62 59 经度L (°)116 122 140 -165 -150 -140 站点 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 纬度B (°) 55 50 47 47 42 43 经度L (°)-135-130-125-122-87-83设椭球体上任意两点10,2,1,0),,(),,(111 =+++i L B A L B A i i i i i i ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-=-=+++++).sin(),cos (cos )(),sin (sin )(1311221121i i i i i i i i i i L L n tgB L tgB L a b n tgB L tgB L a b n 其中a =6388千米,b =6367千米,21032221,||n n arctgn n n n =+=ϕ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=++=++=2022202022220222)(sin )sin(sin )(sin cos )(sin b L n a L abn z L b L n a ab y Lb L n a ab x ϕϕϕϕ曲面上两点的弧长公式用|)()()(|21222dL L z L y L x S L L ⋅'+'+'=⎰。
试求北京至底特律的航程,你能对上述公式进行简化处理吗?精度如何?二 抢渡长江选手的竞游路线图用⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=θθsin )(cos u dt dy y v u dt dx,初始条件为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====HT y L T x y x )()(0)0(0)0( 画出)(x y y =的图像 。
数学建模优化类问题例子
1.最佳生产计划:有一家汽车零部件制造公司,需要决定该如何安排生产计划以最大化利润。
该公司需要考虑每个零部件的生产成本、供应链的延迟和运输成本等因素,以确定最佳的生产数量和交付时间。
2.最优投资组合:一位投资者有一定资金,希望通过合理的资产配置来最大化投资回报。
该投资者需要考虑不同资产类别的风险和回报率,并使用数学建模优化方法来确定最佳的资产配置比例。
3.旅行销售员问题:一位旅行销售员需要在多个城市之间进行访问,并希望以最小的总行驶距离完成所有访问任务。
通过使用数学建模和优化算法,销售员可以确定最佳的访问顺序,从而减少总行驶距离和时间。
4.最佳路径规划:在一个迷宫中,有一只小老鼠需要找到从起点到终点的最短路径。
通过将迷宫与数学模型相关联,可以使用图论和最短路径算法来确定小老鼠应该采取的最佳行动策略。
以上只是一些例子中的几个,实际上数学建模和优化方法可以应用于各种不同的问题领域,包括金融、物流、能源管理、医疗决策等。
通过数学建模和优化,可以帮助人们做出更明智的决策,提高效率和效果。
数学建模典型例题(总12页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。
每天的体育运动消耗热量大约是69焦/(千克•天)乘以他的体重(千克)。
假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦。
试研究此人体重随时间变化的规律。
一、问题分析人体重W(t)随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。
二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间内:体重的变化量为W(t+△t)-W(t);身体一天内的热量的剩余为(*W(t))将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量;转换成微分方程为:d[W(t+△t)-W(t)]=(*W(t))dt;四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得:5429-69W=(5429-69W0)e(-69t/41686)即:W(t)=5429/69-(5429-69W)/5429e(-69t/41686)当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。
5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。
在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本a ij(购入价减去折旧加上运营和维修成本)。
以千元计数a ij的由下面的表给出:请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。
二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题。
典型例题1.报童每天订购的报纸,每卖出一份赢利a 元,如果卖不出去并将报纸退回发行单位,将赔本b 元.每天买报人数不定,报童订报份数如超过实际需要,就要受到供过于求的损失;反之,要受到供不应求的损失.设P (m )是售出m 份报纸的概率,试确定合理的订报份数,使报童的期望损失最小.解:设报童每天订购Q 份报纸,则其收益函数为⎩⎨⎧>≤--=Q m am Qm b m Q am m y ,,)()( 利润的期望为∑∑∞+==+-+=1)()(])[()]([Q m Qm m aQP m P bQ m b a m y E比较各个m 的)]([m y E 值,使其最大者即为所求.若m 的取值过多,可将)]([m y E 当成m 的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令0d )]([d =mm y E .2.血友病也是一种遗传疾病,得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止.很有意思的是,虽然男人及女人都会得这种病,但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力.若已知某时刻的男人和女人的比例为1:1.2,试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型. 解:假设有α%的人患有血友病,并假设下一代与上一代虽人数可能不等,但所生男女比例一样.基于这样一个假设,不妨设下一代男女与上一代相同,设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a 0,b 0,由题设,a 0:b 0=1:1.2.注意到只有女人遗传血友病,由此,第一代将有%210αb 个女人及%210αb 个男人有血友病,血友病占总人数的百分比为 %2.22.1%0001αα=+=b a b c同理,第二代将有%21210αb ⋅个女人及%21210αb ⋅个男人有血友病,血友病占总人数的百分比为 %2.22.121%210002αα⋅=+=b a b c依次类推,第n 代将有%)21(0αb n个女人及%)21(0αb n个男人有血友病,血友病占总人数的百分比为%2.22.1)21(%)21(10001αα⋅=+=--n n n b a b c令∞→n ,则0→n c .3.某石油公司必须就下一个打井位置作出决定.如果打出来的井什么也没有(既无油也无天然气),则投资费用(打井费用)全部赔掉.如果打出来的是气井,则可以说是部分成功,如果打出来的是油井,则是完全成功.由于结果的不确定性,更由于做某种测试(取样)只能得到不完全的信息,因而作出决定是困难的.试建立一个数学模型,使公司的预期收益最大 解:设 B 1——预测是油井,B 2——预测是气井,B 3——预测是无油气井. 由于做取样只能得到不完全的信息,因此根据取样结果,计算出在B 1,B 2,B 3分别发生的条件下,B 1,B 2,B 3发生的概率.然后利用贝叶斯公式,计算出实际是油井、气井和废井情况下,而预测是B 1,B 2,B 3之一的概率值,若给出各种情况下的费用,计算出各个期望值即可.下面画出决策树(如图3).图34 假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A 和B 的投资.每年初如果投资工程A ,则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收;如果投资工程B ,则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元.假定每年只允许投资一次,每次只投1000万元;试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略.解: 建立决策树(如图4).0 2000 0 2000 10002000 4000 4000 3000图4在投资A 的决策树中,第一年投资A ,第二年投资B ,第三年投资B 的期望值最大. 在投资B 的决策树中(只在A 的决策树中②节点中的0.4,0.6分别换成0.1,0.9即可),可算得第一年投资B ,第二年投资B ,第三年投资B 的期望值是两个决策树中的最大者.5.某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨,需停工三个月.在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走,需搬运费1800元.如留原处,一种方案是花500元筑一护堤,防止河水上涨发生高水位的侵袭.若不筑护堤,发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时,则不管是否筑护堤,施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料,该地区夏季高水位的发生率是25%,洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤?解:建立决策树模型如图5.图5 使用期望值法计算过程见图6.-1800 -500-60500-10000 -60000-1800 -500 -60500-10000-60000图6最优决策为:不必搬走机械,但要筑一个护堤,期望损失1335元.。