知识要点
【课前引入】
脑筋急转弯：两位妈妈和两位女儿一起去参加动漫节，可是她们只买了两张票，便顺利地通过了检票处，这是怎么回事？答案：外婆、妈妈、女儿 排队：小明在超市排队付款，从前数小明排在第三，从后数小明排在第四，
你能算出排队的一共有多少人？（请学生用自己喜欢的方式解释一下，排队的一共有8人）
排队
【例 1】 学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少
个？
【例 2】 同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？
重叠问题
【例3】同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？
【例4】为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；
从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
简单计算
【例5】洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子?
【例6】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？
【例 7】 把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉?
【例 8】 把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米。捆成的长
筷子长多少厘米？
【例 9】 有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的
木板长多少厘米？
【例 10】 两块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分
是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？
我要认真思考一下，
怎么算！
难不住我
【例11】十块木板各长90厘米，像下图这样钉成一块木板，每两个木板中间重合部分是15厘米，这块钉在一起的木板总长多少厘米？
【例12】有两根铁丝，一根长为30厘米，另一根长为50厘米，将这两根铁丝焊接成一根长为75厘米的长铁丝。那么，中间的焊接重叠部分长为多少厘米？
【例13】把五段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长100厘米，每两端中间重叠部分是5厘米，原来五段纸条各长多少厘米？
【例14】小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？
【例15】四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长_________厘米.
【例16】四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，连在一起的绳子的头和尾还要打结一次，绳结长度不计．现在这根长绳长多少厘米？
两者容斥
【例 17】 二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班。其中4人两个
班都参加。二（1）班一共有多少人？
【例 18】 三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参
加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？
【例 19】 学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25人，会弹钢琴的有22人，两项都不
会的有3人，两项都会的有几人？
【例 20】 二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有18人，
拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，跳绳比赛获奖的有多少人?
【例 21】 三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名，两种棋都不会的有10
名。两种棋都会下的有多少名？
【例 22】 新一期的猫咪训练营开始了，总共有60只小猫咪报名参加。经过一段时间的训练后，有33只
猫咪学会了爬树，有25只猫咪学会了抓老鼠，其中既会爬树又会抓老鼠的有10只。那么既不会爬树又不会抓老鼠的猫咪有多少只?
请吧
!
【例23】老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30人，答对第二道题的有28人，两道都答对的有16人，那么全班同学总共有多少人？
【例24】三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组?
【例25】小明统计了一下学校食堂里的午餐菜式，一个月30天里，有11天没有西红柿鸡蛋，有l8天没有糖醋排骨，两样都有的有7天，两样都没有的有多少天?
其他
【例26】有50个女孩，她们的皮肤是白的或浅黑色的，眼睛则是蓝色的或褐色的，如果有14个蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，那么褐色眼睛浅黑肤色的女孩有多少个？
【例27】某班有46人,其中40人会骑自行车,38人打乒乓,35人会打羽毛球,27人会游泳,这个班上以上四项运动都会至少有多少人？
一课一练
【练习1】小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？
【练习2】三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
【练习3】三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？
【练习4】三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
【练习5】小攀想用一根65厘米长的铁丝弯成一个边长为15厘米的正方形，铁丝如果太长的话可以重叠．请你帮他算一算重叠的部分要多长才能刚好完成这个任务？
【练习6】有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠部分是20厘米．求钉成后的木板长多少厘米?
【练习7】两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。
另一根木棍长多少厘米？
【练习8】把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
【练习9】三年一班学生参加田径运动会，每人限报两项，其中有25人参加径赛，有20人参加田赛，两项都报名有10人，两项都没参加的有11人，三年一班共有学生多少人？
【练习10】某班有学生46人，其中订阅《小数报》的有18人，订阅《语文报》的有13人，两样都订阅的有5人，没有订阅杂志的有多少人？
【练习11】 学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有
16人，两项都不会的有1人。会弹电子琴的有多少人？
【练习12】 小白兔去采蘑菇，看见下面这个长方形地上共长120个蘑菇，其中在园地A 中长了28个，另
一块园地B 长了26个，园地A 和园地B 的公共部分长了10个蘑菇。
（1）只在园地A 不在园地B 中有多少个蘑菇？ （2）只在园地B 不在园地A 中有多少个蘑菇？ （3）园地A 和园地B 共有多少个蘑菇？
（4）园地A 和园地B 以外的长方形内有多少个蘑菇？
补充题库
真有趣
!
【补充1】小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条，其中粘在一起的部分长10厘米，这两张纸条各长多少厘米？
【补充2】两块木板各长75厘米，像下图这样钉成一块长130厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？
【补充3】有101个同学带着水壶和水果去春游，其中带水壶的有78人，带水果的有71人，只带水壶和只带水果的各有多少人?
【补充4】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组，其中参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，两个小组都参加的有多少人?
【补充5】学校开设了自然和趣味数学两门选修课，每个同学至少要选一门，二(3)班共有48人，有30人选了自然课，有13人两门都选了，那么选趣味数学课的同学有多少人？
三年级奥数《重叠问 题》 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
第九讲：重叠问题 【知识要点】： 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部 分，从而找出解答方法。 【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面； 从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意画出下图。 从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ] ＝[ ]面。 【课堂反馈1】 1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友 共有多少人？ 2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这 一行座位有多少个？ 【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从 右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？【思路导航】根据题意画出下图。 由图可看出： 小明的位置从左数第____个，从右数第____个，说明横行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]个人； 从前数第_____个，从后数第_____个，说明竖行有[ ]＋[ ]－[ ]＝[ ]人。 所以做操的同学共有：[ ]×[ ]＝[ ]人。 【课堂反馈2】 1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左 数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2 个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
重叠问题简析 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。 数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 例题1六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 思路导航：根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行彩旗共有8＋10－1=17面。 例题2 同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 思路导航：根据题意，画出下图：
由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。 例题3把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？ 思路导航：把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。 例题4一次数学测试，全班36人中，做对第一道聪明题的有21人，做对第二道聪明题的有18人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 思路导航：根据题意，画出下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。 例题5三（1）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？ 思路导航：根据题意，画出下图： +
重叠问题 1、学校组织看文艺表演，冬冬的座位从左数是第7个，从右数是第10个，这一行座位有多少个？ 2、为庆祝六一，小朋友们排成方形的鲜花队，无论从前、从后数，还是从左、从右数，李丽都在第5个，鲜花队一共有多少个小朋友？ 3、同学们排成方形的队伍跳集体舞，无论从前从后数，还是从左从右数，赵英都是第4个。跳集体舞的一共有多少个同学？ 4、三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。已知参加音乐组的有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人。三（5）班共有学生多少人
5、三（1）班订《数学报》的有32人，订《语文报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三（1）班有学生多少人？ 6、、三（1）班有学生55人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已知参加跳绳的有36人，参加踢毽子的有38人。两项都参加的有几人？ 7、三（5）班有42名同学，会下象棋的有21名同学，会下围棋的有17名同学，两种都不会的有10名同学。两种都会下的有多少名同学？ 8、学校乐器队招收了42名新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都不会的有3名。两项都会的有多少名？
9、三（6）班有学生55人，参加学校绘画比赛的有20人，既参加绘画比赛又参加书法比赛的有12人，两项比赛没参加的有14人。参加书法比赛的有多少人？ 10、乐器兴趣小组有４２人其中会弹钢琴的有２７人，既会弹钢琴又会弹古筝的有１６人，两项都不会的只有１人。会弹古筝的有多少人？ 11、同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个；从前数是第5个，从后数是第6个。做操的同学一共有多少个？ 12、三（4）班有学生56人，做对第一道思考题的有29人，做对第二道思考题的有27人，两道题都做错的有7人。两道思考题都做对的有几人？
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-2.容斥原理之重叠问题（二） 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1 A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数， C 1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容； 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一 切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下： 教学目标 知识要点 7-7-3.几何中的重叠问题 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．
三年级奥数重叠问题集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
重叠问题 解答重叠问题要用到数学问题中的一个重要原理-----------包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题时，必须要从条件入手认真的分析，有时还要画出示意图，借助图形去思考，找出哪些是重复的，重复了几次明确求得是哪部分，从而找出解题的方法。 1.同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数是第4个，从右面数是第3个，从前面数是第5个，从后面数是第6个。做操的同学共有多少人 2.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数，从后数，从左数，从右边数都是第3个。共有多少个同学跳舞 3.为庆祝六一，同学们排成每行人数相同的鲜花队。小华的位置是从左数第2个，从右数是第4个，从前数是第3个，从后数是第5个。鲜花队共有多少人 4.三（4）班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会。梅梅的位置是从前数是第6个，从后数是第5个，从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人 5.把两块同样长的模板如下图这样钉在一起，使其成为了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分的长度是16厘米。这两块木板各长多少厘米 6.把两段一样长的纸条黏在一起，使其成为一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分的长度是6厘米。原来两段纸条各长多少厘米
7.把两块同样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板，中间重叠部分长11厘米。这两块木板各长多少厘米 8.学校进行大扫除，由于鸡毛掸子不够长，为了能够掸掉灰尘，小明想了一个好办法，将鸡毛掸子和木棒绑在一起，使其从头到尾共长180厘米，其中鸡毛掸子长85厘米，鸡毛掸子与木棒重叠部分长20厘米。木棒有多长 9.一次数学测试，全班36人中做对一道题的有21人，做对两道题的有18人，没人至少做对了一道题。两道题都做对的有几人 10.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一项比赛。已知参加赛跑的学生有36人，参加跳绳的学生有38人。两项比赛都参加的学生有几人 11.两块相同的木板各长75厘米，钉成了一块长130厘米的木板。中间重合部分的长度是多少厘米 12.三（5）班有42名同学，会下象棋的同学有21名，会下围棋的同学有17名，两种棋都不会下的同学有10名。两种都会下的同学有多少名 13.三（1）班订《数学报》的学生有32人，订《阅读报》的学生有30人，两种报纸都订的学生有10人，全班学生没人至少订了一种报纸。三（1）班有学生多少人 14.三（4）班做完语文作业的学生有37人，做完数学作业的学生有42人，两种作业都做完的学生有31人，没人至少做完一种作业。三（4）班共有学生多少人 15.两块木板各长90厘米，如下图这样钉成一块木板，中间重合部分的长度是15厘米。这块钉在一起的木板总长度是多少厘米
三年级奥数- 第一讲找规律填数 【学法指导】 寻找一列数的变化规律，再根据这样的规律填上适当的数，这样的问题我 们叫作“找规律”。在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律: 1. 从相邻两数的和、差、积、商考虑，或将和、差、积、商依次写下来 成新的一列数，通过对这列数的变化规律的分析，找出规律，推断出所要填 的数。 2. 有时要将一列数分成两列数，分别考虑它们的变化规律。 3. 对于那些分布在某些图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数 在图形中的特殊位置有关。这是我们解决这类问题的入手点 【经典例题1】 找出下面各数的排列规律，并根据规律在括号里填出适当的数。 （1）2，5，8，11，14，( ) ，（）. (2) 1 ，2，4，7，11，16，( ). (3) 4 ，12 ,36 ,108 ，( ) ,972. (4) 1 ，2，6，24，120，( ) ，5040. 思路点拨 (1) 比较相邻两个数的差。发现后一个数总比前一个数大3。 (2) 比较相邻两个数的差。发现前 6 个数每相邻两个数的差依次是1，2，3，4，5，由此可以推算第7 个数比第6 个数16 大6。 （3）比较相邻两个数的商，发现后一个数总是前一个数的 3 倍。 （4）比较相邻两个数的商，发现前 5 个数每相邻两个的商依次是2,3,4,5 ，由 此可以推算第 6 个数是第5 个数120 的6 倍。 完全解题 （1）2，5，8，11，14，( 17 ) ，（20 ）. (2) 1 ，2，4，7，11，16，( 22 ). (3) 4 ，12 ,36 ,108 ，( 324 ) ,972. (4) 1 ，2，6，24，120，( 720 ) ，5040.
小学奥数重叠问题专题 日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。 重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。下面小编给大家分享解决重叠的方法。 1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。 3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的部代表集合和集合之间的关系。这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。 4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。 5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。 . .
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。 . .
一、重叠问题之长度： （1）拼接（对接） （2）搭接 （3）打结 题目1：（搭接正问题：求总长度） 把两段同样是20厘米长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。中间重叠的部分是6厘米，粘好的纸条长多少厘米？ 题目2：（搭接反问题一：等长搭接，求原来长度） 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠的部分是6厘米，原来两条纸条各长多少厘米？ 题目3：（搭接反问题一：不等长搭接，求原来长度） 两根木棍放在一起，从头到尾共长66厘米，其中一根木棍长48厘米，中间重叠部分长12厘米。另一根木棍长是多少厘米？ 题目4：（搭接反问题二：求粘合长度，或重叠长度） 把两段同样是15厘米长的纸条粘合在一起，形成一段24厘米长的纸条，请问中间粘合的长度是多少厘米？ . .
三年级奥数重叠问题教 案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
第三次课重叠问题 一．历史回顾 （1）脑筋急转弯：两个妈妈和两个女儿一起去动物园游玩， 可她们只买了3张票，便顺利地进园了，这是为什么 （2）某校三（1）班一起去上海世博园旅游，以下是团体预约名单： 去中国馆林??洁王江杨明丁一刘方 去台湾馆叶子于丽林西林??洁何冰杨明 数一数，一共有几位学生参加 二．新手上路 解答重叠问题时要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。 另外，必须从条件入手认真分析，有时可以根据条件画一画图来帮助我们思考，找出哪些是重复的，重复了几次明确求的是哪一部分，从而找出解题的方法。 例1：小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人
○○○●○○○○○○ 如图得出以下算式：4＋7－1 = 10（人） 例2：同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人 每排（列）有：（人） 共有：7×7 =49（人） 例3：把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米 （30＋6）÷2 = 18（厘米） 答：原来两段纸条各长18厘米。 例4：三（1）班有学生55人，每人至少参加跳绳和踢毽子比赛的一种，已知参加跳绳的有36人，参加踢毽子的有38人。两项都参加的有几人 三．小头目通关
第5讲找规律(一) 这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。 按一定次序排列的一列数就叫数列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6，… (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，… (4) 1，1，2，3，5，8，13。 一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作a n 。 数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。 许多数列中的数是按一定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发现这些规律。 数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律 是：后项=前项+1，或第n项a n ＝n。 数列(2)的规律是：后项=前项×2，或第n项 数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。 数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的和，即 a 3=1+1=2，a 4 =1+2=3，a 5 =2+3＝5， a 6=3+5=8，a 7 =5+8=13。 常见的较简单的数列规律有这样几类： 第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。 第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。 第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。 例1找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)4，7，10，13，( )，… (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )，… (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )，… (6)2，6，12，20，( )，( )，… 解：通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析，可发现 (1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。 (2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。 (3)的规律是：前项×3=后项。所以应填54，162。 (4)的规律是：前项÷5=后项。所以应填5，1。 (5)的规律是：数列各项依次为 1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 所以应填5×5=25。 (6)的规律是：数列各项依次为 2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，
小学奥数专题-重叠问 题(精华版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数重叠问题专题 日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题。 重叠问题中涉及到的容斥原理是奥数的四大原理之一，是奥数重要知识点。学生学习奥数，一定要掌握容斥原理。下面小编给大家分享解决重叠的方法。 1. 解答重叠问题要用到数学中一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 2. 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次。明确需要要求的是哪一部分，从而找出解答方法。 3. 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合和集合之间的关系。这种图称为韦恩图（也叫文氏图）。 4. 解答重叠问题的常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几 个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结 果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排斥原理，也叫容斥原理。 5. 容斥原理1：如果被计数的对象，被分为A、B两大类，则：被计数对象 的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数-同时属于A类和B类的元素个数。
容斥原理2：如果被计数的对象，被分为A、B、C三大类，则：被计数对象的总个数=A类元素的个数+B类元素的个数+C类元素的个数-同时属于A类和B类元素的个数-同时属于A类和C类元素个数-同时属于B类和C类元素个数+同时属于A类、B类、C类元素个数。
三年级奥数《重叠问 题》
三年级奥数《重叠问 题》 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
第九讲：重叠问题 【知识要点】： 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 【例1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意画出下图。 从图上可以看出，从前数起红旗是第______面，从后数起是第______面，这样红旗就数了______次，重复了______次，所以这行彩旗共有[ ] ＋[ ]－[ ]＝[ ]面。 【课堂反馈1】 1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 【例2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？
三年级找规律填数 例1、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)4，7，10，13，( )，（） (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )； (4)625，125，25，( )，( )； (5)1,2，4，8，16，（），（） (6)1，3，9，27，（），243 (7)35，（），21，14，（），（） (8)64，32，16，8，（），2 例2、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)15, 2, 12, 2, 9, 2，（），（） (2)21, 4，18, 5, 15，6，（），（） (3)10，5，12，6，14，7,( ),( ) (4)1,1,2,1,1,4,1,1,6,( ),( ),( ) 例3、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)18，20，24，30，( )，（）； (2)11，12，14，18，26，( )； (3)1，3，6，10，（），21，28，36，（）. (4)1，2，6，24，120，（），5040。 (5)252, 124，60，28，（），4。 (6)1, 4，9, 16，25, 36，（）。 例4、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： (1)1, 2, 2, 4, 8, ( ) (2)1, 3, 3, 9, ( ) (3)2, 3, 5, 8, 13, ( ),( ) (4)3，7，10，17，27，( )； (5)1，2，2，4，8，32，( )。 例5
(2) 例6、 32， 6，10），（3，9，15）……问：第100个数组内3个数的和是多少？ 例7、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数：（1）37037×3＝111111 （2）37037×6＝222222 （3）37037×9＝333333 （4）37037×( )＝444444 （5）37037×( )＝666666 （6）37037×( )＝999999 综合练习： 1、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： （1）2，5，8，11，（），17，20。 （2）11， 15， 19， 23，( )，… （3）56，49，42，35，( )。 （4）19，17，15，13，（），9，7。 （5）1，3，9，27，（），243。 （6）3，6，12，24，( )。 （7）84，72，60，( )，( )，24，12； （8）1，4，7，10，( )，( )，19，22，25 （9）2，5，8，11，（），17，…… （10）25，20，15，10，（） （11）64，32，16，8，（），2 （12）1，3，9，27，（） 2、找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上合适的数： （1）3，5，3，10，3，15，( )，( )。 （2）2，8，5，6，8，4，( )，( )。
知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。 [ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。 [ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。 [ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长
25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？ 分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。 [ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？ 分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。 [ 例5 ] 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？ 分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去 2+2+2=6 13人 22人 8人
第19讲重叠问题 一、知识要点 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 二、精讲精练 【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第8面，从后数起 是第10面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行 彩旗共有8＋10－1=17面。 练习1： 1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。这队小朋友共有多少人？ 2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。这一行座位有多少个？ 3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第8个。这一排共有多少个同学？
【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 由图可看出：小明的位置从左数第4个，右数第3个，说明横行有4＋3－1=6个人；从前数第5个，从后数第6个，说明竖行有5＋6－1=10人，所以做操的同学共有：6×10=60人。 练习2： 1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？ 2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？ 3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？ 【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？ 【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部 分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120 ＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
小学奥数： 知识要点：前面已学过排队问题，从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？这里丽丽被重复数了两次，有时我们也把这类问题叫重叠问题。 [ 例1 ] 洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 分析：由图知道，两块手帕有一边重叠，用3个夹子。三块手帕有两边重叠，用4个夹子，我们发现夹子数总比手帕数多1，因此8块手帕就要用9个夹子。 [ 例2 ] 把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画要多少个图钉呢？ 分析：每排两张画要6个图钉，每排三张画要8个图钉，每排四张画要10个图钉。可以看出，图画每增加一张，图钉就要增加2颗，那么5张画要12个图钉。 [ 例3 ] 有两块一样长的木板，钉在一起，如果每块木板长25厘米，中间钉在一起的长5厘米，现在长木板有多长？
分析：把两块木板钉起来，钉在一起的地方的长度就是重叠的部分。现在的总长就是原来两个总长的和减去重叠的部分。算式：25+25-5=45（厘米）所以现在木板长45厘米。 [ 例4 ] 张老师出了两道题，做对第一题的有13人，做对第二题的有22人，两道题都做对的有8人，这个班一共有多少人？ 分析：做对第一题的13个人里，有8个人也做对第二题，那么做对第二题的22个人里这8个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数和起来，再减去重复数的这8个人。算式：13+22-8=27（人）所以这个班一共有27人。 [ 例5 ] 四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，绳结长度不计，现在这根长绳长多少厘米？ 分析：两根绳有一个结，三根绳有两个结，那么四根绳有三个结。一个结用去1+1=2厘米，那么三个结用去2+2+2=6厘米，绳子总长8+8+8+8=32厘米，减去打结的6 厘米，13人 22人 8人
重叠问题 解答重叠问题要用到数学问题中的一个重要原理-----------包含与排除原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的与中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题时,必须要从条件入手认真的分析,有时还要画出示意图,借助图形去思考,找出哪些就是重复的,重复了几次？明确求得就是哪部分,从而找出解题的方法。 1.同学们排队做操,每行人数同样多。小明的位置从左数就是第4个,从右面数就是第3个,从前面数就是第5个,从后面数就是第6个。做操的同学共有多少人？ 2.同学们排队跳舞,每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数,从后数,从左数,从右边数都就是第3个。共有多少个同学跳舞？ 3.为庆祝六一,同学们排成每行人数相同的鲜花队。小华的位置就是从左数第2个,从右数就是第4个,从前数就是第3个,从后数就是第5个。鲜花队共有多少人？ 4.三(4)班排成每行人数相同的队伍参加学校运动会。梅梅的位置就是从前数就是第6个,从后数就是第5个,从左数、从右数都就是第3个。三(4)班共有学生多少人？ 5.把两块同样长的模板如下图这样钉在一起,使其成为了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米,中间重叠部分的长度就是16厘米。这两块木板各长多少厘米？ 6.把两段一样长的纸条黏在一起,使其成为一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米,中间重叠部分的长度就是6厘米。原来两段纸条各长多少厘米？ 7.把两块同样长的木板钉在一起,钉成一块长35厘米的木板,中间重叠部分长11厘米。这两块木板各长多少厘米？ 8.学校进行大扫除,由于鸡毛掸子不够长,为了能够掸掉灰尘,小明想了一个好办法,将鸡毛掸子与木棒绑在一起,使其从头到尾共长180厘米,其中鸡毛掸子长85厘米,鸡毛掸子与木棒重叠部分长20厘米。木棒有多长？ 9.一次数学测试,全班36人中做对一道题的有21人,做对两道题的有18人,没人至少做对了一道题。两道题都做对的有几人？ 10.三(1)班有学生55人,每人至少参加赛跑与跳绳比赛中的一项比赛。已知参加赛跑的学生有36人,参加跳绳的学生有38人。两项比赛都参加的学生有几人？ 11.两块相同的木板各长75厘米,钉成了一块长130厘米的木板。中间重合部分的长度就是多少厘米？ 12.三(5)班有42名同学,会下象棋的同学有21名,会下围棋的同学有17名,两种棋都不会下的同学有10名。两种都会下的同学有多少名？ 13.三(1)班订《数学报》的学生有32人,订《阅读报》的学生有30人,两种报纸都订的学生有10人,全班学生没人至少订了一种报纸。三(1)班有学生多少人？ 14.三(4)班做完语文作业的学生有37人,做完数学作业的学生有42人,两种作业都做完的学生有31人,没人至少做完一种作业。三(4)班共有学生多少人？ 15.两块木板各长90厘米,如下图这样钉成一块木板,中间重合部分的长度就是15厘米。这块钉在一起的木板总长度就是多少厘米？ 16.三年级有107个小朋友去春游,带矿泉水的小朋友有78人,带水果的小朋友有77人,要求矿泉水与水果没人至少带一种。既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 17.三(1)班有学生50人,参加学校绘画比赛的有20人,既参加绘画比赛又参加摄影比赛的学生有12人,两项比赛都没参加的学生有10人。参加摄影比赛的学生有多少人？ 18.三(2)班有学生46人,做对第一道思考题的学生有29人,两道思考题都做对的学生有5人,两道思考题都做错的学生有5人。做对第二道思考题的学生有多少人？
小学奥数之重叠问题 十三、重叠问题 一、知识要点: 在生活中，我们常常会碰到有关重叠的问题。什么是重叠呢,请看下面的图: A,B两个圆圈重叠放在一起，C是它们的重叠部分。 基本关系:联合体=A+B-C AB 重叠体:C=A+B-AB 对这类题目，我们要从信息入手，可以借助作图来分析，找出解题方法。 二、例题学习: 例1:老师出了两道题，在人中，做对第一题的有人，做对第二题的有40312人，每人至少做对一题，两道题都做对的有几人, 8 分析:如图所示:圆表示做对第题的人数，圆表示做对第二题的，两个圆A1B 的重叠部分表示两道题都做对的人数，31人与8人的和中2包含了两道题都做对 的人数，一共是(32+28=59人)，比人多出(59-40=19人)，这就是两道题40 都做对的人数。 解:31+38=59(人) 59-40=19(人) 试一试:教工运动会，参加跳绳比赛的有人，参加踢毽子比赛的有9人，因383病请假的有3人，如果全校教工有人，那么既参加跳绳比赛又参加踢毽子比赛55 的老师有多少人, 例2:校运动会上，四个年级共有人参加了跑步比赛。其中一、二年级共有118
70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加，问:四年 级有多少学生参加跑步比赛, 分析:在(70+65+59=194人)中，一、二、三年级的参赛人数均重复出现了两 次，因此一、二、三年级的参赛人数应是总人数的一半，这样四年级的参赛人数也 就可以算出来了。 解:(70+65+59)?2=97(人) 118-97=21(人) 试一试:某校三年级共有三个班级名学生，一班和二班共有人，二班和12889 三班共有人。三年级各班有多少名学生, 87 三、练一练: 1、有个同学参加“六一”游园活动，其中人要表演舞蹈，有人要参加1802862 合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有5人，那么既不参加合唱，又不表演舞1 蹈的有多少人, 2、三年级一班有人上美术课，其中人没带笔，带油画棒的有28人，带水彩 542 笔的有25人，两种笔都带到有多少人, 3、四年级同学参加语文、数学期终测试，有人语文不及格，有人数学不及 格，65若不及格的同学必须补考，四年级同学最少有多少同学补考,最多有多少人, 、四年级一共有人，一次考试中，语文得优秀的人，数学得优秀的421012015 人，两科都得优秀的人，两科都没得优秀的有多少人, 068 5.少先队员排队去参观蝴蝶展览。从排头数起，小江是第5个;从排尾数起，6 张颖是第8个。张颖的后面排着小江。你知道有多少同学去看蝴蝶展吗, 3 6、180个小朋友平均排成两队去春游。小刚和小明在一个队里。从排头往后 数，
学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课主题 第18讲-重叠问题 授课类型 T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标 ① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段 T （Textbook-Based ）——同步课堂 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-U I ，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B I ，即阴影面积． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进 来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I (意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类 知识梳理 1．先包含——A B + 重叠部分A B I 计算了2次，多加了1次；