电磁感应导轨电路中的电容问题

难点挑战Җ㊀浙江㊀徐华兵㊀㊀电容器具有隔直流㊁通交流 的特点,可以理解为电容器具有 通变化的电流 的特点．实际教学中我们会发现学生对回路中电流变化的定量问题通常感觉难处理,本文就此类问题的解决办法进行剖析㊁归纳,以飨读者．１㊀电容器放电模型１ １㊀基础模型㊀图１如图１所示,电阻可忽略的光滑金属导轨与电动势为E 的电源相连,质量为m ㊁电阻为R的金属棒放在导轨上,一电容通过单刀双掷开关与导轨相连．先将开关扳向左侧给电容器充电,再将开关扳向右侧让电容器通过导体棒放电．１ ２㊀电容器电压和电荷量变化规律当开关与左侧电源接触时,电容器充电,电容器两极板间获得一个恒定的电压,充电时间很短(数量级一般为１０－６s )．稳定后电容器两端电压U ＝E ,电荷量Q ０＝C U ＝C E ．当开关与右侧导轨接触时,电容器通过金属棒放电,有电荷通过金属棒,棒在安培力的作用下向右加速运动．电容器两极板电荷量减少,电压减小;金属棒速度增加,感应电动势增加．当棒切割磁感线产生电动势与电容器两极板间电压相等时,棒匀速运动．电容器不再放电,两极板间电压恒定,此时电容器两极板间电压U ＝B l v m ,电荷量Q ＝C U ＝C B l v m ．导体棒感应电动势㊁电荷量与时间关系图线如图２㊁３所示．图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３１ ３㊀导体棒的运动规律根据牛顿第二定律有B I l ＝m a ,通过棒的电流逐渐减小,棒的加速度逐渐减小,棒做加速度减小的加速运动,最终以某一最大速度v m 匀速运动．对棒应用动量定理有B I l Δt ＝m v m －０,即有B l (C E －C B l v m )＝m v m －０,解得v m ＝B l C Em ＋B ２l ２C．１ ４㊀电路中的能量转化规律放电过程,电容器储存的电场能减少,棒的动能增加,而系统整个过程中的总能量应守恒．棒获得的动能E k m ＝１２m v ２m ＝m (B l C E)２２(m ＋B ２l ２C )２．电容器减少的能量ΔE ＝１２C E ２－１２C (B L v m )２＝C E ２(m ２＋２m B ２l ２C )２(m ＋B ２l ２C )２．从能量表达式中可以看出,电容器减少的能量比棒获得的能量要多,多余的能量转化为整个回路产生的热量和回路向外辐射的电磁波．而回路产生的热量和电磁辐射能E 损＝ΔE －E k m ＝C E ２(m ２＋２m B ２l ２C )２(m ＋B ２l ２C )２－m (B l C E )２２(m ＋B ２l ２C )２＝C E ２m２(m ＋B ２l ２C )．１ ５㊀典型例题剖析例１㊀电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度,其原理可用来研制新武器和航天运载器．电磁轨道炮原理图如图４所示,图中直流电源电动势为E ,电容器的电容为C ．２根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l ,电阻不计．炮弹可视为一质量为m ㊁电阻为R 的金属棒MN ,垂直放在２个导轨间处于静止状态,并与导轨良好接触．首先开关S 接１,使电容器完全充电．然后将S 接至２,导轨间存在垂直于导轨平面㊁磁感应强度大小为B 的匀强磁场(图中未画出),MN 开始向右加速运动．求:(１)磁场的方向;(２)MN 刚开始运动时加速度a 的大小;(３)MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量Q ．图４当开关拨向２时,电容器通过金属棒放电,金属棒在磁场中做加速度减小的加速运动,当金属棒MN 两端的电压和电容器两极板间的电压相等时,金属棒达到最大速度．(１)由左手定则可以判断磁场方向应垂直于导轨平面向下．(２)电容器完全充电后,两极板间电压为E ,当开。

关键能力·题型突破考点一电磁感应中的电路问题【典例1】(2020·大同模拟)在水平放置的两条平行光滑直金属导轨上放有一与其垂直的金属棒ab，匀强磁场与导轨平面垂直，磁场方向如图所示，导轨接有R1=5 Ω和R2=6 Ω的两定值电阻及电阻箱R，其余电阻不计。

电路中的电压表量程为0～10 V，电流表的量程为0～3 A。

现将R调至30 Ω，用F=40 N的水平向右的力使ab垂直导轨向右平移，当棒ab达到稳定状态时，两电表中有一表正好达到满偏，而另一表未达到满偏。

下列说法正确的是( )A.当棒ab达到稳定状态时，电流表满偏B.当棒ab达到稳定状态时，电压表满偏C.当棒ab达到稳定状态时，棒ab的速度大小是1 m/sD.当棒ab达到稳定状态时，棒ab的速度大小是2 m/s【通型通法】1.题型特征：明确电源，区分内外电路。

2.思维导引：(1)切割磁场线的导体相当于电源。

(2)清楚串并联电路的特点，灵活运用闭合电路欧姆定律。

【解析】选B、C。

假设电压表满偏，则通过电流表的电流为I==2 A<3 A，所以电压表可以满偏，此时电流表的示数为2 A，故A错误，B正确；棒ab匀速运动时，水平拉力F与安培力大小相等，有F A=BIL=F，感应电动势E=U+IR1=(10+2×5)V=20 V，又E=BLv，解得v==1 m/s，故C正确，D错误。

1.五个等效：2.解题流程：【加固训练】(多选)如图所示，边长为L、不可形变的正方形导线框内有半径为r 的圆形磁场区域，其磁感应强度B随时间t的变化关系为B=kt(常量k>0)。

回路中滑动变阻器R的最大阻值为R0，滑动片P位于滑动变阻器中央，定值电阻R1=R0、R2=。

闭合开关S，电压表的示数为U，不考虑虚线MN右侧导体的感应电动势，则( )A.R2两端的电压为B.电容器的a极板带正电C.滑动变阻器R的热功率为电阻R2的5倍D.正方形导线框中的感应电动势为kL2【解析】选A、C。

专题三电磁感应中的电路及图像问题一、电磁感应中的电路问题1.对电源的理解：在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就是电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等。

这种电源将其他形式的能转化为电能。

2.对电路的理解：内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成。

3.解决电磁感应中的电路问题三步曲：(1)确定电源。

利用E＝n ΔΦΔt或E＝BL v求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向。

(2)分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图。

(3)利用电路规律求解。

主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解。

[复习过关]1.如图1甲所示，面积为0.1 m2的10匝线圈EFG处在某磁场中，t＝0时，磁场方向垂直于线圈平面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示。

已知线圈与右侧电路接触良好，电路中的电阻R＝4 Ω，电容C＝10 μF，线圈EFG的电阻为1 Ω，其余部分电阻不计。

则当开关S闭合，电路稳定后，在t＝0.1 s至t＝0.2 s这段时间内()图1A.电容器所带的电荷量为8×10－5 CB.通过R的电流是2.5 A，方向从b到aC.通过R的电流是2 A，方向从b到aD.R消耗的电功率是0.16 W解析线圈EFG相当于电路的电源，电动势E＝n ΔBΔt·S＝10×20.2×0.1 V＝10 V。

由楞次定律得，电动势E 的方向是顺时针方向，故流过R 的电流是a →b ，I ＝E R ＋r＝104＋1A ＝2 A ，P R ＝I 2R ＝22×4 W ＝16 W ；电容器U C ＝U R ，所带电荷量Q ＝C ·U C ＝10×10－6×2×4 C ＝8×10－5 C ，选项A 正确。

答案 A2.三根电阻丝如图2连接，虚线框内存在均匀变化的匀强磁场，三根电阻丝的电阻大小之比R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，其余电阻不计。

含容电磁感应问题典例剖析作者：张红香来源：《中学生数理化·自主招生》2019年第03期导体棒切割磁感线运动问题往往涉及变化的安培力导致的连续变化过程，如果在回路中还含有电容器，那么同学们在分析处理时就容易受思维定式的影响，认为含有电容器的电路是不闭合回路，没有电流。

下面通过例题分析，帮助同学们厘清处理含容电磁感应问题的思路。

例1 如图1所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角θ=30度，两导轨间距为L，导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值为R的定值电阻。

一根质量为m的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=√3/2。

一根不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间，另一端跨过定滑轮与质量为4m的重物相连，金属棒与定滑轮间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上。

初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸直状态，重力加速度为g，不计滑轮阻力，以及金属棒和导轨的电阻。

（l）若开关Sl闭合、S2断开，由静止释放重物，求重物的最大速度。

（2）若开关Sl断开、S2闭合，请推导出重物的速度v随时间t变化的关系。

点评：部分同学会因为只知道电容器对电流的作用是“通交流、隔直流”，忽略了电容器可以充电、放电的物理规律而误认为电路中没有电流，从而根据牛顿第二定律4mgmgsinθ-μmgcosθ=5ma和运动学公式w=at，解得a=5.5 m/s2和v=5.5t（ m/s）。

例2 如图2所示，水平面内有两根足够长的平行导轨L1、L2，其间距d=0.5 m，左端接有电容C=2 000 μF的电容器，质量m=20g的导体棒与导轨垂直且接触良好，可在导轨上无摩擦地滑动，导体棒和导轨的电阻不计。

整个空间存在垂直于导轨所在平面的匀强磁场（垂直于纸面向里），磁感应强度B=2T。

现用一沿导轨向右的恒力F1 =0. 44 N作用于导体棒，使导体棒从静止开始运动，经时间t后到达虚线N处，速度v=5 m/s。

电磁感应中的电容器与金属棒相结合的问题黄德利山东省兖州一中272100摘要:部分导体做变速运动产生变化的电流时，高中阶段的闭合电路欧姆定律就无法列式计算，学生感觉无从下手，从而这一类的问题成为高三复习的难点。

通过最近全国各地的一模考试发现，这类问题在各地一模中均有体现。

关键词：电磁感应；电容器;金属棒电容器是一个储存电荷的容器，它可以进行无数次的充放电.在充放电的过程中，可以理解为变化的电流可以通过电容器。

因此，在一些含有电容器的电磁感应电路中，当一部分导体做变速运动产生变化的电流时,高中阶段的闭合电路欧姆定律就无法列式计算，学生感觉无从下手，从而这一类的问题成为高三复习的难点。

通过最近全国各地的一模考试发现，这类问题在各地一模中均有体现。

实际上这类问题，只要认真分析，寻找其中的规律，这类问题其实也很好解决。

下面通过几个例题对与电容器相关的问题分类解决。

一、金属棒做匀加速直线运动例1、。

如图所示,位于同一水平面的两根平行导轨间的距离是L，导线的左端连接一个耐压足够大的电容器，电容器的电容为C.放在导轨上的导体杆cd与导轨接触良好,cd杆在平行导轨平面的水平力作用下从静止开始匀加速运动，加速度为a，磁感强度为B的匀强磁场垂直轨道平面竖直向下，导轨足够长，不计导轨和连接电容器导线的电阻,导体杆的摩擦也可忽略.求从导体杆开始运动经过时间t电容器吸收的能量E＝?解析：据题意,导体杆MN加速切割磁感线，产生的感应电动势且不断增大，电容器两极板间电压随着增大，储存的电能增加，同时由于电容器处于连续充电状态中，电路中有持续的充电电流，故导体杆受到向左的安培力.因电容器在时间t 内吸收的电能可以用克服安培力做的功来量度,所以弄清楚充电电流及安培力的变化规律，就成为解答本题的关键。

设某时刻导体杆切割磁感线的速度为v，产生的感应电动势为E，电容器所带的电荷量为q,两极板间的电压为u,则有：u=E=BLv,q=Cu=CBLv。

专题十六 电磁感应中的电路问题基本知识点解决电磁感应电路问题的基本步骤：1．用法拉第电磁感应定律算出E 的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向：感应电流方向是电源内部电流的方向，从而确定电源正、负极，明确内阻r .2．根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路图．3．根据E ＝Blv 或E ＝n ΔΦΔt结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．例题分析一、电磁感应中的简单电路问题例1 如图所示，足够长的平行光滑金属导轨水平放置，宽度L ＝0.4 m ，一端连接R ＝1 Ω的电阻，导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B ＝1 T 。

导体棒MN 放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。

导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。

在平行于导轨的拉力F 作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度v ＝5 m/s 。

(1)求感应电动势E 和感应电流I ；(2)若将MN 换为电阻r ＝1 Ω的导体棒，其他条件不变，求导体棒两端的电压U 。

(对应训练)如图所示，MN、PQ为平行光滑金属导轨(金属导轨电阻忽略不计)，MN、PQ 相距L＝50 cm，导体棒AB在两轨道间的电阻为r＝1 Ω，且可以在MN、PQ上滑动，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于整个导轨平面，现用外力F拉着AB棒向右以v＝5 m/s的速度做匀速运动。

求：(1)导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向；(2)导体棒AB两端的电压U AB。

二、电磁感应中的复杂电路问题例2如图所示，ab、cd为足够长、水平放置的光滑固定导轨，导体棒MN的长度为L＝2 m，电阻r＝1 Ω，有垂直abcd平面向下的匀强磁场，磁感强度B＝1.5 T，定值电阻R1＝4 Ω，R2＝20 Ω，当导体棒MN以v＝4 m/s的速度向左做匀速直线运动时，电流表的示数为0.45 A，灯泡L正常发光。

高观点下统一解析电磁感应中3类含电容动力学问题曹鹏(重庆市实验中学 重庆 401320)李力 朱远稼(重庆市清华中学 重庆 400054)(收稿日期:20190421)摘要:含电容的 U 形水平金属框架回路中导体棒切割匀强磁场运动的动力学问题,分 无外力充电式 有外力充电式 放电式 3类情况,通常分别使用不同方法求解,不容易看出它们之间的内在联系从而妨碍对物理意义的认识.本文从更高的观点出发,通过设置最一般化的初始条件参数,建立统一的微分方程,得到一般性结果后,再导出3类情况的特解,能够清楚地看出它们的联系和物理意义.关键词:含电容动力学问题 统一解析 微分方程 特解文献[1~7]研究了含电容的 U 形水平金属框架回路中导体棒做垂直切割匀强磁场运动的动力学问题,文献[6]将这些问题分为 无外力充电式 有外力充电式 放电式 3类情况.虽然相关文献较多,但由于分别使用不同的特殊方法求解,不容易看出这些貌似各异的问题之间存在深刻联系和统一的本质,从而难以准确理解结果的物理意义.本文从更高的观点出发,通过设置最一般化的初始条件参数,建立统一的微分方程,得到一般性结果,再导出3类情况的特解,能够清楚地看出它们的联系和物理意义.1 一般问题的推导一般问题表述如下:如图1所示,水平光滑导轨处在竖直向下㊁大小为B 的匀强磁场中,导轨间距为L ,电容器的电容为C ,初始时刻电荷量为q 0,电阻阻值为R .质量为m ,电阻为r 的导体棒a b 垂直导轨放置,水平向右的恒力F 垂直作用在a b 棒上,初速度v 0水平向右.假设电容器两极板间电压始终小于耐压值,导轨电阻不计,求回路电流㊁导体棒速度分别与时间的关系.图1 含电容器类问题情境图假定初始时刻导体棒的电动势比电容器两极板间的电压大,水平恒力F 比导体棒所受安培力大,取电流逆时针绕向为正方向,在任意t 时刻对全电路有B L v =i (R +r )+qC(1)对电容有i =dq d t (2)对导体棒有F -B i L =md vd t(3)初始条件为v 0u 0=q 0Ci 0=B L v 0-u 0R +r(4)式(1)对时间微商后将式(2)代入得B Ld v d t =(R +r )d i d t +1Ci 化为d v d t =R +r B L d i d t +i C B L把此式代入式(3)得F -B i L =m (R +r )B L d i d t +m C B Li401整理得d i d t +m +C B 2L 2m C (R +r )i =B L Fm (R +r ) d id t+λi =ξ(5)其中 λ=m +C B 2L 2m C (R +r ) ξ=B L F m (R +r )(6)显然一阶线性常系数微分方程式(5)对应的齐次方程的通解为i =C 1e -λt ,检验易得到式(5)的特解为i =ξλ=C B L F m +C B 2L 2(常量)故式(5)的通解为i =ξλ+C 1e -λt =C B L F m +C B 2L2+C 1e -λt (7)因t =0时i =i 0=B L v 0-u 0R +r代入解得C 1=B L v 0-u 0R +r -C B L F m +C B 2L 2=i 0-ξλ故回路电流i =ξλ+i 0-ξæèçöø÷λe -λt =C B L F m +C B 2L 2+B L v 0-u 0R +r-C B L F m +C B 2L æèçöø÷2e -m +C B 2L 2m C (R +r )t (8)将式(8)代入式(3),分离变量后积分ʏv v 0d v =ʏt01m F -B L ξλ+i 0-ξæèçöø÷λe -λéëêêùûúú{}t d t 解得导体棒的速度为v =v 0+F t m -B L m λξt -i 0-ξæèçöø÷λ(e -λt -1éëêùûú)=v 0+F m +C B 2L 2t +C B L m +C B 2L 2[(B L v 0-u 0)- C B L F (R +r )m +C B 2L2]e -m +C B 2L 2m C (R +r )t -()1(9)上述式(8)㊁(9)就是回路电流㊁导体棒速度随时间变化的规律.当然还可以进一步推出导体棒加速度a ㊁电容器电荷量q 随时间变化的规律,此处不再赘述.2 3类特殊情况的解及其物理意义2.1无外力充电式 特殊情况之一如图2所示,初始条件中仅有初速度不为零,在式(8)㊁(9)中令F =0和u 0=0,故电流㊁速度规律分别为i =B L v 0R +re-m +C B 2L 2m C (R +r )t (10)v =v 0+C B 2L 2v 0m +C B 2L2[e -m +C B 2L 2m C (R +r )t -1](11)图2 无外力充电式电流i 随t 时间呈指数衰减,t ңɕ时i ң0,v ңmm +C B 2L 2v 0.文献[5]依据能量守恒,用导体棒动能的损失减去电容器末态储能,间接计算出回路产生的焦耳热为Q =m C B 2L 2v 22(m +C B 2L 2)由于此式不含回路电阻(R +r ),不禁让人产生疑问:回路中的能量损失是否为回路电阻上的焦耳热,或是有其他形式的能量损失?为何Q 的表达式与(R +r )无关?如果假设 不计回路电阻(R +r ) ,这样的假设是否合理?文献[1~7]虽有提及但未能对上述问题透彻分析,我们不妨根据式(10)作出定量解析.Q =ʏɕ0i 2(R +r )d t =ʏɕ0(B L v 0)2R +re -2m +C B 2L 2m C (R +r )t d t =(B L v 0)2R +r m C (R +r )-2(m +C B 2L 2)e -2m +C B 2L 2m C (R +r )t ɕ0=m C B 2L 2v 22(m +C B 2L 2)(12)所得结果与文献[5]从能量守恒算出的数值完全一致.众所周知,电流i 衰减为初始值的e -1所需时间(即时间常数)为τ=m C (R +r )m +C B 2L 2ɖ(R +r )而初始功率(B L v 0)2R +r ɖ1R +r从式(12)的运算过程可以看出,二者相乘时(R +r )正好约掉,这就是Q 的表达式与(R +r)无关的原因,501这也在一定程度上掩盖了 电路能量损失为(R +r )上产生的焦耳热 的事实.顺便指出,能量损失大小虽然与(R +r )数值无关,但(R +r )会影响这个暂态过程的趋稳时间.2.2 有外力充电式 特殊情况之二如图3所示,根据初始条件令q 0=0,v 0=0,则式(8)㊁(9)退化为 i =C B L F m +C B 2L21-e -m +C B 2L 2m C (R +r )[]t (13) v =Fm +C B 2L 2t - C 2B 2L 2F (R +r )(m +C B 2L2)2e -m +C B 2L 2m C (R +r )t -[]1(14)当t ңɕ时回路电流㊁导体棒速度分别收尾为i ңC B L Fm +C B 2L 2和v =C 2B 2L 2F (R +r )(m +C B 2L 2)2+F m +C B 2L 2t 这意味着稳定时电流恒定而导体棒做匀加速运动.图3 有外力充电式如果假设回路总电阻R +r =0,则回路电流一直恒为i =C B L F m +C B 2L 2导体棒速度为v =F m +C B 2L 2t表明从初始时刻起便一直做匀加速直线运动.这时导体棒产生的电动势正好等于电容器极板电压,如2013年高考全国新课标Ⅰ卷第25题就属于这种情况,学生可用初等方法求解,如果假设总电阻R +r ʂ0,则初等方法不能求解,题目超出了高考考纲要求.2.3 放电式 特殊情况之三如图4所示,按照初始条件要求,此处令F =0,v 0=0,式(8)㊁(9)退化为 i =-q 0C (R +r)e -m +C B 2L 2m C (R +r )t (15) v =B L q 0m +C B 2L 2[1-e -m +C B 2L 2m C (R +r )t ](16)式(15)中负号表示电流方向为顺时针,即电容器放电,t ңɕ时i ң0 v ңB L q 0m +C B 2L2图4 放电式根据能量守恒,将电容器储能的损失减去导体棒所获动能,可得电路损失的能量即回路产生的焦耳热Q =m q 22C (m +C B 2L 2)表达式仍然与(R +r )无关.其原因与2.1中所述一样,此处不再赘述.可见这一类问题同上述2.1问题类似,不考虑回路电阻(R +r )也是不合理的.3 结束语综上所述,本文从更高的观点出发,通过设置最一般化的初始条件参数,建立统一的微分方程,针对这3类貌似各异的问题,得到了一般性结果,详细分析了3类特解情况的物理意义.这个统一的解析方法得益于建立并求解尽量一般化的初始条件下的微分方程,可见灵活地借助数学语言,能看清楚不同物理现象背后隐蔽而统一的规律与内在联系.参考文献1 黄健康.有无电阻的导体棒都能做匀加速直线运动吗[J ].物理教师,2016(10):62~632 郑金.对两道电磁感应试题的探讨[J ].物理通报,2017(4):26~283 赵林明.对2013年新课标Ⅰ卷高考压轴试题科学性追问的解答[J ].物理教师,2014(3):67~684 黄尚鹏.为什么必须忽略所有电阻[J ].物理通报,2014(3):96~975 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程电磁学篇(第2版)[M ].合肥:中国科学技术大学出版社,2014.417~4186 赵怀彬.电磁感应中电容器问题的三类模型[J ].物理教学,2014(8):49~507 郑金. 电容㊃滑杆 类竞赛题的多解[J ].中学物理教学参考,2011(7):30~32601。