电磁感应中的杆导轨类问题大模型解题技巧

题型二（V0=0）轨道水平光滑，杆cd质量为m，电 阻不计，两导轨间 距为L,拉力F恒 疋
题型一（V0M0）杆cd以一定初速 度vo在光滑水平 轨道上滑动，质量 为m,电阻不计， 两导轨间距为L
杆以速度v切割磁 感线产生感应电 动势E=BLv，电 流I=BRv,安培力
2 2
F=BIL=BRv。杆
做减速运动：
产生感应电流T求出回路的电能
⑵闭合开关S-导体棒变加速运动-产生的感应电动势不断增大-达到电源的路端电压
T棒中没有电流-由此可求出电源与电阻所在回路的电流
(3)导体棒在外力作用下运动—回路中形成充电电流 顿第二定律列式分析。
【答案】：见解析
【解析】：(1)导体棒切割磁感线，E=BLv
导体棒做匀速运动，F=F安，又F安二BIL，其中I
的输出功率。
(3)如图3所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C,导体棒在水平拉力的作用
下从静止开始向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图4所示，已知t1时刻
电容器两极板间的电势差为U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。
【思路点拨】：
(1)导体棒匀速运动T受力平衡T求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势
r」
7
□
/
/d
K
F
•
Ll
L.__
F
■
■
J
外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求cd的最大加速度和最大速 度。
【答案】见解析
【解析】：分析金属杆运动时的受力情况可知， 金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、
摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：F—mgsin9-F安一f=ma

“单杆＋导轨”模型1. 单杆水平式（导轨光滑) 物理模型动态分析 设运动过程中某时刻棒的速度为v ，加速度为a ＝F m －错误!，a 、v 同向，随v 的增加,a 减小，当a ＝0时，v 最大，I ＝错误!恒定收尾状态 运动形式 匀速直线运动力学特征 a ＝0，v 最大，v m ＝错误! (根据F=F 安推出，因为匀速运动，受力平衡）电学特征I 恒定注：加速度a 的推导，a=F 合/m （牛顿第二定律），F 合=F —F 安,F 安=BIL ，I=E/R整合一下即可得到答案。

v 变大之后,根据 上面得到的a 的表达式，就能推出a 变小这里要注意，虽然加速度变小，但是只要和v 同向,就是加速运动，是a 减小的加速运动（也就是速度增加的越来越慢，比如1s 末速度是1，2s 末是5，3s 末是6，4s 末是6。

1 ，每秒钟速度的增加量都是在变小的)2。

单杆倾斜式(导轨光滑）物理模型动态分析 棒释放后下滑，此时a ＝g sin α，速度v ↑E＝BLv↑I＝错误!↑错误!F＝BIL↑错误!a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，v最大注：棒刚释放时,速度为0，所以只受到重力和支持力,合力为mgsin α收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征a＝0，v最大，v m＝错误!（根据F=F安推出）电学特征I恒定【典例1】如图所示,足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L＝1.0 m，导轨上放有垂直导轨的金属杆P，金属杆质量为m＝0。

1 kg，空间存在磁感应强度B＝0。

5 T、竖直向下的匀强磁场。

连接在导轨左端的电阻R＝3.0 Ω，金属杆的电阻r＝1。

0 Ω，其余部分电阻不计。

某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F,金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v－t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数μ＝0.5。

在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3∶5。

电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] 如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。

重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。

[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12m v m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4。

[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g sin α，B L[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。

现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。

第九章解题模型练 电磁感应中的“导
轨+杆”模型
练出高分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
►题组1 “导轨＋单杆”模
型1. 如图 1 所示，开口向下的导线框固定在
竖直平面内,上端有一开关，线框处于与
其平面垂直的匀强磁场中,磁场的宽度为
h.一导体棒开始时静止于 A 位置,然后释
放,导体棒刚进入磁场时，闭合开关 S.用
导轨 MN、PQ 竖直放置,一磁感应强度为 B 的
匀强磁场垂直穿过导轨平面,导轨的上端 M 与
P 间连接阻值为 R 的电阻,质量为 m、电阻为 r
的金属棒 ab 紧贴在导轨上.现使金属棒 ab 由静
止开始下滑,经时间 t 下落距离 h 后达到最大速
图4
度,导轨电阻不计,重力加速度为 g.以下判断正确的是 ( )
定,i 恒定;下降 h 之后,E=0,i=0,a=g,v 要增加,所以 A 对,D 错; 如棒进入磁场时,就有 mg=B2Rl2v,则 a=0,h 之后,a=g 恒定,C 对; h 之后,Ek 应随 x 增加而变大,B 错. 答案 AC
练出高分
1

3
4
5
6
7
8
9
2. 如图 2 所示,水平放置的光滑平行金属导
R 消耗的功率 P＝I2 2R，解得 P＝10.24 W.
答案 (1)6 m/s2,方向沿导轨向上 (2)10.24 W
ab 增加的动能之和，ab 克服安培力做的功一定等于电路中产生
的电能，则 B 选项错误，D 选项正确； 当 ab 做匀速运动时，F＝BIl，外力 F 做功的功率等于电路中的 电功率，则 C 选项正确．

电磁感应现象中“杆+导轨”模型梳理作者：董卫刚王梦娜
来源：《中学生数理化·高考理化》2023年第10期
電磁感应现象中的“杆+导轨”模型是近几年高考中的常见考点之一，比如2020年高考全国Ⅰ卷第21题、全国Ⅲ卷第24题，2021年高考全国乙卷第25 题、北京卷第7 题，2022年高考全国甲卷第20题、辽宁卷第15题，2023年高考全国甲卷第25题、湖南卷第14题、辽宁卷第10题等。

涉及“杆+导轨”模型的物理试题几乎涵盖了高中物理所有的核心内容，综合性较强，区分度较高。

下面将涉及“杆+导轨”模型的物理试题进行系统梳理，总结求解此类问题的思路和方法，为同学们的复习备考提供参考。

(1)若涉及变力作用下运动问题，可选用动量守恒和能量守恒的方法解决。
(2)若涉及恒力或恒定加速度，一般选用动力学的观点。若涉及运动时间
问题也可选用动量定理求解。
17
二轮 ·物理
[示例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水 平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导 体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的 质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导 轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能； (3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
×mgsin θ＝ma，解得加速度大小为 2.5 m/s2，B 正确；金属杆滑至底端
的整个过程中，整个回路中产生的焦耳热为 mgh－12mv2m，电阻 R 产生的
13
二轮 ·物理
焦耳热一定小于 mgh－21mvm2 ，C 错误；金属杆达到最大速度后，根据受 力平衡可得 mgsin θ＝F 安＝BIL，得 I＝mgBsiLn θ＝neSv－，得v－＝ρgnseiBn θ， 其中 n 为单位体积的电子数，ρ 为金属杆的密度，所以杆中定向运动的 电荷沿杆长度方向的平均速度与杆的粗细无关，D 正确。 [答案] BD
8
二轮 ·物理
⑦ ⑧
二轮 ·物理
2．单杆“倾斜导轨”模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间距 L，导体棒 质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计(如图)
物理 模型
9
二轮 ·物理
棒 ab 由静止释放后下滑，此时 a＝gsin α，棒 ab 速度 v↑→

热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。

[热点透析]单杆模型初态v0≠0v0＝0示意图质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定续表初态v0≠0v0＝0运动分析导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a ＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量分析动能转化为内能，12m v2＝Q电能转化为动能和内能，E电＝12m v2m＋Q外力做功转化为动能和内能，W F＝12m v2m＋Q外力做功转化为电能和动能，W F＝E电＋12m v2注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。

(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。

现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。

(2)电阻R上产生热量Q=I2Rt=0.075 J
答案：(1)2 T (2)0.075 J
探究三 倾斜轨道
两根足够长的直金属导轨平行放置在倾角为 α 的绝缘斜面上，导轨间距为 L，导轨间连接一电 阻R ，质量为m，电阻为r的金属棒 ab与导轨垂直 并接触良好，其余部分电阻不计，整套装置处 于磁感应强度为 B的匀强磁场中，磁场方向垂直 斜面向下。不计它们之间的摩擦，重力加速度 为g 。
光滑水平放置的金属导轨间距为 L，导轨间连接 一电阻 R，质量为 m，电阻为 r的金属棒ab与导轨 接触良好，其余部分电阻不计。平面内有垂直 纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B
问题3：施加恒定外力 F 后，能量如何变化？能不能 从能量的视角求ab棒的最大速度？
能量角度分析：
v
a
F安
v
E BLv
问题1：施加恒定外力F后，ab棒的加速度 a，速度v 如何变化？
动力学角度分析：
v
a
F安
v
E BLv
E I= Rr
F安 BIL
a
F F安 m
a、v同向
当F安=F时，a=0,速度达到最大vm匀速
解：运动特征：加速度减小的 加速运动，最终匀速。 F=F安=BIL=B2L2Vm/（R+r) 可得：vm=F(R+r)/B2L2
示。(g取10 m/s2)求：
(1)磁感应强度B;
(2)杆在磁场中下落0.1 s的
过程中电阻R产生的热量。
【规范解答】(1)由图像知,杆自由下落0.1 s进入磁场以v= 1.0 m/s做匀速运动产生的电动势E=BLv 杆中的电流I=
E Rr
杆所受安培力F安=BIL 由平衡条件得mg=F安 代入数据得B=2 T

电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。

一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；图1（2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，d图2距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=R v l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反当v 0>22l B maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同 （2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。

电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。

一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒图1（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为d图2BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=Rv l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反 当v 0> 22lB maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同（2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 图4另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。

电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。

根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。

需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。

举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。

根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。

加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。

在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。

需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。

1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。

重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。

电磁感应现象中的杆4导轨模型一、单棒问题、含容式单棒问题三、无外力双棒问题竇力愣况分析动力学观点 *动量现点 运动情况伽能冒观点 牛輛定律 平衡羞件动能定理〕 幡■守恒无外力等距式1¥杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐小的减速运动V1=V2I = 0无外力不等距式» 1杆1做a渐小的减速运动杆2做a渐小的加速运动a= 0I = 0L1V1 = L2V2四、有外力双棒问题题型一阻尼式单棒模型如图。

1 •电路特点：导体棒相当于电源。

4.运动特点：速度如图所示。

a减小的减速运动基本模型运动特点有外力等距式i厂F12杆1做a渐大的加速运动杆2做a渐小的加速运动有外力不等距式杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐大的加速运动最终特征a i=a2, A v 恒定I恒定a i M a2, a i、a2恒定I恒定2•安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。

F B=BII= B+r3.加速度特点：加速度随速度减小而减小,a==5 •最终状态：静止 6.三个规律（1）能量关系：「'• ■ , -0 = Q ,=【典例1】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为 L 的区域内,那么（【答案】B由上述二式可得' ,- •，即B 选项正确。

【典例2】如图所示，AB 杆受一冲量作用后以初速度 V 0=4m/s 沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止. AB 的质量为m=5g 导轨宽为L=0.4m ，电阻为R=2Q ，其余的电阻不计，磁 感强度B=0.5T ,棒和导轨间的动摩擦因数为卩=0.4 ,测得杆从运动到停止的过程中通过导线的（2）动量关系:BII t 0 mv 0（3）瞬时加速度: a ==-有一个边长为a （ a<L ）的正方形闭合线圈以初速V 0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为V （ V<V 0）A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（ v o +v ) /2B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（ V o +V ) /2C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（V o +V ) /2D. 以上情况A B 均有可能，而C 是不可能的【解析】设线圈完全进入磁场中时的速度为对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得:对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得:V x 。

电磁感应中的杆+导轨问题“杆＋导轨”模型是电磁感应问题高考命题的“基本道具”，也是各种考试的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景富于变化，是我们学习中的重点和难点。

导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；轨道可能光滑，也可能粗糙；杆可能有电阻也可能没有电阻；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，多种情景组合复杂，题目形式多变。

下面是几种最基本的模型及分析，有兴趣（无兴趣可以无视）的同学可以学习、体会、研究。

需要注意的是：模型中的结论是基于表中所述的基本模型而言，不一定有普遍性，物理情景有变化，结论可能不同，但分析的方法是相同的、有普遍性的。

1．单杆水平式物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，棒ab长为L，质量为m，初速度为零，拉力恒为F，水平导轨光滑，除电阻R外，其他电阻不计动态分析设运动过程中某时测得的速度为v，由牛顿第二定律知棒ab的加速度为a＝Fm －=B2L2vmR，a、v同向，随速度的增加，棒的加速度a减小，当a＝0时，v最大，电流I＝BLv mR不再变化收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征受力平衡，a＝0 电学特征I不再变化2．单杆倾斜式物理模型匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为B，导轨间距为L，导体棒质量为m，电阻为R，导轨光滑，电阻不计动态分析棒ab刚释放时a＝g sin α，棒ab的速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ER↑→安培力F ＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，速度达到最大v m＝mgR sin αB2L2收运动形式匀速直线运动尾状态力学特征 受力平衡，a ＝0电学特征I 不再变化3、有初速度的单杆物理模型杆cd 以一定初速度v 0在光滑水平轨道上滑动，质量为m ，电阻不计，两导轨间距为L动态分析杆以速度v 切割磁感线产生感应电动势E ＝BLv ，电流I ＝BLv R ，安培力F ＝BIL ＝B 2L 2vR.杆做减速运动：v ↓?F ↓?a ↓，当v ＝0时，a ＝0，杆保持静止能量转化情况动能全部转化为内能：Q ＝12mv 24、含有电容器的单杆物理模型轨道水平光滑，单杆ab 质量为m ，电阻不计，两导轨间距为L ，拉力F 恒定动态分析开始时a＝Fm，杆ab速度v?感应电动势E＝BLv，经过时间Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CE′－C E＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa （所以电流的大小恒定）安培力F安＝BLI＝CB2L2a（所以安培力的大小恒定）F－F安＝ma，a＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量转化情况F做的功使其它形式的能E其它一部分转化为动能，一部分转化为电场能E电场能：W F＝E其它=12mv2＋E电场能5、含有电源时的单杆物理模型轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L。

简单物理 2014年3月第1页光滑导轨运动过程收尾状态v=0匀速匀速无电阻时匀速匀加速应用动力学和能量观点解决电磁感应中的“导轨＋杆”模型问题RvRFtvtvCvCFtvtvvvttv Fxv1．模型概述“导轨＋杆”模型是电磁感应问题在高考命题中的“基本道具”，也是高考的热点，考查的知识点多，题目的综合性强，物理情景变化空间大，是我们复习中的难点．“导轨＋杆”模型又分为“单杆”型和“双杆”型；导轨放置方式可分为水平、竖直和倾斜；杆的运动状态可分为匀速运动、匀变速运动、非匀变速运动或转动等；磁场的状态可分为恒定不变、均匀变化和非均匀变化等等，情景复杂，形式多变．2．常见模型类型“电—动—电”型“动—电—动”型示意图已知量棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计过程分析S闭合，棒ab受安培力F＝BLER，此时加速度a＝BLEmR，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动棒ab释放后下滑，此时加速度a＝g sin α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝ER↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，v最大，最后匀速运动能量转化通过安培力做功，把电能转化为动能克服安培力做功，把重力势能转化为内能运动形式变加速运动变加速运动最终状态匀速运动，v m＝E′BL匀速运动v m＝mgR sin αB2L2解析 (1)设甲在磁场区域abcd 内运动时间为t 1，乙从开始运动到ab 位置的时间为t 2， 则由运动学公式得L ＝12·2g sin θ·t 21，L ＝12g sin θ·t 22解得t 1＝ L g sin θ，t 2＝ 2Lg sin θ (1分)因为t 1<t 2，所以甲离开磁场时，乙还没有进入磁场． (1分) 设乙进入磁场时的速度为v 1，乙中产生的感应电动势为E 1，回路中的电流为I 1，则12mv 21＝mgL sin θ (1分) E 1＝Bdv 1 (1分) I 1＝E 1/2R (1分) mg sin θ＝BI 1d (1分)解得R ＝B 2d 22m 2Lg sin θ (1分)(2)从释放金属杆开始计时，设经过时间t ，甲的速度为v ，甲中产生的感应电动势为E ， 回路中的电流为I ，外力为F ，则v ＝at (1分) E ＝Bdv (1分) I ＝E /2R (1分) F ＋mg sin θ－BId ＝ma (1分) a ＝2g sin θ 联立以上各式解得 F ＝mg sin θ＋mg sin θ2g sin θL·t (0≤t ≤ Lg sin θ) (1分) 方向垂直于杆平行于导轨向下． (1分) (3)甲在磁场运动过程中，乙没有进入磁场，设甲离开磁场时速度为v 0，甲、乙产生的热 量相同，均设为Q 1，则v 20＝2aL (1分)W ＋mgL sin θ＝2Q 1＋12mv 20 (2分)解得W ＝2Q 1＋mgL sin θ乙在磁场运动过程中，甲、乙产生相同的热量，均设为Q 2，则2Q 2＝mgL sin θ(2分)根据题意有Q ＝Q 1＋Q 2 (1分) 解得W ＝2Q (1分)答案 (1)B 2d 22m 2Lg sin θ(2)F ＝mg sin θ＋mg sin θ 2g sin θL ·t (0≤t ≤ Lg sin θ)，方向垂直于杆平行于导轨向下(3)2Q突破训练3 如图7甲所示，足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 竖直放置，其宽度L ＝1 m ，一匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 之间连接阻值为R ＝0.40 Ω的电阻，质量为m ＝0.01 kg 、电阻为r ＝0.30 Ω的金属棒ab 紧贴在导轨上．现使金属棒ab 由静止开始下滑，下滑过程中ab 始终保持水平，且与导轨接触良好，其下滑距离s 与时间t的关系如图乙所示，图象中的OA 段为曲线，AB 段为直线，导轨电阻不计，g ＝10 m/s 2(忽略ab 棒运动过程中对原磁场的影响)，求：甲 乙图7(1)磁感应强度B 的大小；(2)金属棒ab 在开始运动的1.5 s 内，通过电阻R 的电荷量； (3)金属棒ab 在开始运动的1.5 s 内，电阻R 上产生的热量． 答案 (1)0.1 T (2)0.67 C (3)0.26 J解析 (1)金属棒在AB 段匀速运动，由题中图象乙得：v ＝ΔsΔt ＝7 m/s I ＝BLv r ＋R ，mg ＝BIL 解得B ＝0.1 T (2)q ＝I Δt I ＝ΔΦR ＋r Δt ΔΦ＝ΔS Δt B解得：q ＝0.67 C(3)Q ＝mgs －12mv 2解得Q ＝0.455 J从而Q R ＝Rr ＋R Q ＝0.26 J高考题组1． (2012·山东理综·20)如图8所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R ，匀强 磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B .将质量为m 的导体棒由 静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加 一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好， 图8 不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g .下列选项正确的是 ( ) A ．P ＝2mgv sin θ B ．P ＝3mgv sin θC ．当导体棒速度达到v 2时加速度大小为g2sin θD ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功 答案 AC解析 根据I ＝E R ＝BLvR ，导体棒由静止释放，速度达到v 时，回路中的电流为I ，则根据共点力的平衡条件，有mg sin θ＝BIL .对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，使其以2v 的速度匀速运动时，则回路中的电流为2I ，则根据平衡条件，有F ＋mg sin θ＝B ·2IL ，所以拉力F ＝mg sin θ，拉力的功率P ＝F ×2v ＝2mgv sin θ，故选项A 正确，选项B 错误；当导体棒的速度达到v 2时，回路中的电流为I 2，根据牛顿第二定律，得mg sin θ－B I 2L ＝ma ，解得a ＝g2sin θ，选项C 正确；当导体棒以2v 的速度匀速运动时，根据能量守恒定律知，重力和拉力所做的功之和等于R 上产生的焦耳热，故选项D 错误．2． (2012·江苏单科·13)某兴趣小组设计了一种发电装置，如图9所示．在磁极和圆柱状铁芯之间形成的两磁场区域的圆心角α均为49π，磁场均沿半径方向．匝数为N 的矩形线圈abcd 的边长ab ＝cd ＝l 、bc ＝ad ＝2l .线圈以角速度ω绕中心轴匀速转动，bc 边和ad 边同时进入磁场．在磁场中，两条边所经过处的磁感应强度大小均为B 、方向始终与两边的运动方向垂直．线圈的总电阻为r ，外接电阻为R .求：图9(1)线圈切割磁感线时，感应电动势的大小E m ； (2)线圈切割磁感线时，bc 边所受安培力的大小F ； (3)外接电阻上电流的有效值I .答案 (1)2NBl 2ω (2)4N 2B 2l 3ωr ＋R (3)4NBl 2ω3 r ＋R解析 (1)bc 、ad 边的运动速度v ＝ωl2感应电动势E m ＝4NBlv 解得E m ＝2NBl 2ω(2)电流I m ＝E mr ＋R安培力F ＝2NBI m l解得F ＝4N 2B 2l 3ωr ＋R(3)一个周期内，通电时间t ＝49TR 上消耗的电能W ＝I 2m Rt 且W ＝I 2RT解得I ＝4NBl 2ω3 r ＋R .模拟题组3． 如图10，两根足够长光滑平行金属导轨PP ′、QQ ′倾斜放置，匀强磁场垂直于导轨平面，导轨的上端与水平放置的 两金属板M 、N 相连，板间距离足够大，板间有一带电微粒，金属棒ab 水平跨放在导轨上，下滑过程中与导轨接触良好． 图10 现同时由静止释放带电微粒和金属棒ab ，则 ( ) A ．金属棒ab 最终可能匀速下滑 B ．金属棒ab 一直加速下滑C ．金属棒ab 下滑过程中M 板电势高于N 板电势D ．带电微粒不可能先向N 板运动后向M 板运动 答案 BC解析 金属棒沿光滑导轨加速下滑，棒中有感应电动势而对金属板M 、N 充电，充电电 流通过金属棒时金属棒受安培力作用，只有金属棒速度增大时才有充电电流，因此总有 mg sin θ－BIl >0，金属棒将一直加速下滑，A 错，B 对；由右手定则可知，金属棒a 端(即 M 板)电势高，C 对；若微粒带负电，则电场力向上，与重力反向，开始时电场力为0， 微粒向下加速，当电场力增大到大于重力时，微粒的加速度向上，可能向N 板减速运动 到零后再向M 板运动，D 错．4． 如图11所示，足够长的光滑平行金属导轨cd 和ef 水平放置，在其左端连接倾角为θ＝37°的光滑金属导轨ge 、hc ，导轨间距均为L ＝1 m ，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a 、b 质量均为m ＝0.1 kg ，电阻R a ＝2 Ω、R b ＝3 Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B 1、B 2，且B 1＝B 2＝0.5 T ．已知从t ＝0时刻起，杆a 在外力F 1作用下由静止开始水平向右运动，杆b 在水平向右的外力F 2作用下始终保持静止状态，且F 2＝0.75＋0.2t (N)．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s 2)图11简单物理2014年3月第 PAGE \* MERGEFORMAT 7 页(1)通过计算判断杆a的运动情况；(2)从t＝0时刻起，求1 s内通过杆b的电荷量；(3)若t＝0时刻起，2 s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2 J，则这段时间内杆b上产生的热量为多少？答案(1)以4 m/s2的加速度做匀加速运动(2)0.2 C(3)6 J解析(1)因为杆b静止，所以有F2－B2IL＝mg tan 37°而F2＝0.75＋0.2t(N)解得I＝0.4t (A)整个电路中的电动势由杆a运动产生，故E＝I(R a＋R b)E＝B1Lv解得v＝4t所以，杆a做加速度为a＝4 m/s2的匀加速运动．(2)杆a在1 s内运动的距离d＝ eq \f(1,2) at2＝2 mq＝ eq \x\to(I) Δteq \x\to(I) ＝ eq \f(E,R a＋R b)E＝ eq \f(ΔΦ,Δt) ＝ eq \f(B1Ld,Δt)q＝ eq \f(ΔΦ,R a＋R b) ＝ eq \f(B1Ld,R a＋R b) ＝0.2 C即1 s内通过杆b的电荷量为0.2 C(3)设整个电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律得W1－Q＝ eq \f(1,2) mv EMBED Equation.3v1＝at＝8 m/s解得Q＝10 J从而Q b＝ eq \f(R b,R a＋R b) Q＝6 J。