信号与系统常用变换对及性质梳理

常用傅里叶变换对双边拉普拉斯变换与Z变换性质基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性收敛域ROC：对于来说，使得的傅里叶变换收敛；或者的拉普拉斯变换收敛！因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。

稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。

单边拉普拉斯变换和z变换性质卷积的性质与卷积对：1、微分性质： ， 是微分器。

推广： 。

2、积分特性：,是积分器。

3、求和特性：4、卷积的时不变：区分的筛选特性：；取样特性：；5、常用卷积对：常用公式及概念：1、欧拉公式：(a); (b); (c)2、复数的表示方法：其中：实部；虚部③其中：的模；相角3、洛必达法则若函数和满足下列条件：（1）或者 ；（2）在点的某去心邻域内两者都可导，且；（3），（可为实数，也可为），则有4、等比数列求和等比数列通式：等比数列求和公式：，()5、有理函数与有理数有理函数：通过多项式的加减乘除得到的函数。

有理数：有理数是一个整数a和一个非零整数b的比。

（有理数是整数和分数的集合，有理数的小数部分是有限或为无限循环的数。

不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。

）6、系统的因果性：系统的响应不应出现在激励之前。

系统的响应与未来值有关。

对于线性系统，若是因果系统则满足：时。

一个线性系统的因果性就等效与初始松弛条件。

7、系统的记忆性：系统的响应与过去的输入有关。

如果一个线性时不变系统的单位冲激响应或单位脉冲响应，在或时有或，则该系统是无记忆的。

8、系统的可逆性：对于一个系统，当且仅当存在一个逆系统与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统是可逆的。

对于线性时不变系统若是可逆的则必须满足，或。

9、系统的稳定性：对于每一个有界的输入，其输出是有界的。

对于LTI系统稳定的充要条件是：单位脉冲响应是绝对可和或单位冲激响应是绝对可积的。

信号与系统知识点整理信号与系统是电子、通信、自动化等领域中的基础课程之一，主要研究信号的产生、传输、处理和分析等内容。

下面是信号与系统的知识点整理。

1.信号的分类：-连续信号：在时间和幅度上都是连续的信号，如声音、电压波形等。

-离散信号：在时间上是离散的信号，如数字音频、数字图像等。

-周期信号：在一定时间周期内重复出现的信号，如正弦信号、方波等。

-非周期信号：在一定时间段内不重复出现的信号，如脉冲信号、矩形波等。

2.基本信号：-阶跃信号：在其中一时刻突然跃变的信号。

-冲击信号：在其中一时刻瞬间出现并消失的信号。

-正弦信号：以正弦函数表示的周期信号。

-方波信号：由高电平和低电平构成的周期信号。

3.系统的分类：-时不变系统：输出不随时间变化而变化的系统。

-线性系统：满足叠加性质的系统。

-因果系统：输出仅依赖于当前和过去的输入的系统。

-稳定系统：有界的输入产生有界的输出的系统。

4.线性时不变系统的特性：-线性性质：满足叠加性质。

-时不变性：系统的输出只取决于输入信号的当前和过去的值。

-冲激响应：线性时不变系统对单位冲激信号的响应。

5.离散时间系统的表示：-差分方程：用差分方程表示离散时间系统。

-传输函数：用传输函数表示系统的输入和输出之间的关系。

6.离散时间信号的分析：-Z变换：将离散时间信号从时域变换到Z域的方法。

-序列的频率表示：幅度谱、相位谱和角频率。

7.连续时间系统的表示：-微分方程：用微分方程表示连续时间系统。

-传递函数：用传递函数表示系统的输入和输出之间的关系。

8.连续时间信号的分析：-傅里叶级数：将连续时间周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。

-傅里叶变换：将连续时间非周期信号从时域变换到频域。

9.信号处理的应用：-通信系统：对信号进行调制、解调、编码、解码等处理。

-图像处理：对图像进行滤波、增强、压缩等处理。

-音频处理：对音频信号进行降噪、消除回声、变声等处理。

-生物医学信号处理：对生理信号如心电图、脑电图等进行分析和识别。

信号与系统归纳信号与系统是一个重要的学科，涉及到的内容非常广泛。

在这里，我们将对信号与系统进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这一学科。

1. 什么是信号信号是指随时间变化的物理量，例如电压、电流、声音、光线等。

信号可以分为连续信号和离散信号两种类型。

连续信号是在时间轴上连续变化的信号，例如声音信号、电压信号等。

离散信号是在时间轴上不连续变化的信号，例如数字音频信号、数字图像信号等。

2. 什么是系统系统是指对输入信号进行处理并产生输出信号的装置或算法。

系统可以分为线性系统和非线性系统两种类型。

线性系统是指输入和输出之间存在线性关系的系统，例如低通滤波器、加法器等。

非线性系统是指输入和输出之间不存在线性关系的系统，例如非线性失真器、非线性滤波器等。

3. 信号的性质信号具有多种性质，包括周期性、对称性、能量和功率等。

周期性信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号，例如正弦波信号、方波信号等。

对称性信号是指具有对称性质的信号，例如偶对称信号、奇对称信号等。

能量信号是指能量有限、功率为零的信号，例如脉冲信号、有限长的正弦波信号等。

功率信号是指能量为无穷大、功率有限的信号，例如正弦波信号、周期方波信号等。

4. 傅里叶变换傅里叶变换是将一个信号分解成若干个频率成分的方法，常用于信号的频域分析。

傅里叶变换包括连续时间傅里叶变换和离散时间傅里叶变换两种类型。

连续时间傅里叶变换适用于连续信号，离散时间傅里叶变换适用于离散信号。

5. 滤波器滤波器是一种能够分离信号中某些频率成分的系统，是信号处理中常用的工具。

滤波器可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器四种类型。

低通滤波器可以通过滤除高频成分来使得信号变得更加平滑；高通滤波器可以通过滤除低频成分来强化信号中的高频成分；带通滤波器可以通过滤除两端频率成分来保留中间的一定频率范围；带阻滤波器可以通过滤除一定频率范围内的成分来强化其他频率成分。

通过以上的归纳，我们对信号与系统有了更加深刻的理解。

信号与系统-公式总结信号与系统是电子信息类专业中的一门核心课程，主要研究信号的产生、变换、传输和处理过程，以及系统对信号的响应和处理。

信号与系统的学习需要掌握大量的数学知识和公式，下面就是信号与系统中一些重要的公式总结。

1. 信号的分类和表示：- 狄拉克脉冲函数：δ(t)- 单位阶跃函数：u(t)- 奇函数和偶函数性质：x(t) = x(-t) 和 x(t) = -x(-t)- 周期信号的频率和周期关系：f = 1/T2. 傅里叶变换：- 连续时间傅里叶变换（CTFT）：X(jω)= ∫[−∞,∞]x(t)e^(-jωt)dt- 傅里叶反变换：x(t) = (1/2π) ∫[−∞,∞]X(jω)e^(jωt)dω- 周期信号的傅里叶级数展开：x(t) = ∑[k=−∞,∞]c(k)e^(jωk0t) - 频谱为实数的信号的性质：X(jω) = X*(−jω)3. 拉普拉斯变换：- 连续时间拉普拉斯变换（CTLT）：X(s) = ∫[−∞,∞]x(t)e^(-st)dt- 拉普拉斯反变换：x(t) = (1 / 2πj) ∫[σ-j∞,σ+j∞]X(s)e^(st)ds- 零极点的性质：如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)的极点位于左半平面，那么系统是稳定的。

4. Z变换：- 离散时间Z变换（DTZT）：X(z) = ∑[n=−∞,∞]x(n)z^(-n) - Z反变换：x(n) = (1 / 2πj) ∮ X(z)z^(n-1)dz- 零极点的性质：如果X(z)的极点的模都小于1，则系统是稳定的。

5. 系统函数和频率响应：- 系统函数：H(s) = Y(s) / X(s) = L{h(t)}- 系统函数的零极点分解：H(s) = (s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)- 频率响应：H(jω) = |H(jω)|e^(jφ(ω))6. 系统的时域响应和频域响应：- 系统的单位冲激响应：h(t) = L^{-1}{H(s)} 或 h(n) = Z^{-1}{H(z)}- 系统的频域响应：H(s) = ∫[−∞,∞]h(t)e^(-st)dt 或 H(z) =∑[n=−∞,∞]h(n)z^(-n)7. 信号的卷积运算：- 连续时间信号的卷积：y(t) = x(t) * h(t) = ∫[−∞,∞]x(t-τ)h(τ)dτ - 离散时间信号的卷积：y(n) = x(n) * h(n) = ∑[k=-∞,∞]x(k)h(n-k)8. 频域中的乘法和卷积：- 频域乘法：y(t) = x(t)h(t) = x(t) ⊗ h(t)- 频域卷积：y(t) = x(t) * h(t) = X(jω)H(jω)9. 系统的稳定性：- 连续时间系统的稳定性：系统零极点的实部都小于0时，系统是稳定的。

信号与系统的三种变换
信号分为离散信号和连续信号，数字信号和模拟信号，每一种信号的处理都可以用到傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换这三种变换。

这三种变换都有各自的特点和研究范围，傅里叶变换以频率为自变量研究系统的频域特性，拉普拉斯变换以平面坐标形式的复数s为自变量研究复频域特性，Z变换以极坐标形式的复数z为自变量研究离散时间系统的复数域特性。

另外，这三种变换都有相似的性质如:线性、尺度变换、时移性、频移性、卷积定理、时域微分与积分等。

利用傅里叶变换分析信号与系统，将只局限与系统的冲击响应有傅里叶变换的情况，既满足狄利克雷条件。

但还有不满足此条件的信号可以用拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换可以简化计算，通过正变换到复频域在进行各种运算可以得到信号的响应，然后通过反变换再转换为时域里的时间函数，可以简化运算。

Z变换是对离散序列进行的一种数学变换，可以用于线性时不变差分方程的求解，从而很方便的求解离散的信号响应，在求解时起到简化作用。

信号与系统是一门很重要的基础课，将应用于很多领域如数字电路，电路设计中队信号的处理与运算等。

总之，学好信号与系统会受益匪浅，对以后的学习有很大帮助。

《信号与系统》知识要点第一章 信号与系统1、 周期信号的判断 （1）连续信号思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果1122T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。

（2）离散信号思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ①2πω为整数时，周期02N πω=；②122N N πω=为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③2πω为无理数时，为非周期序列注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。

2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义连续信号 离散信号信号能量：2|()|k E f k ∞=-∞=∑信号功率： def2221lim ()d T T T P f t t T →∞-=⎰ /22/21lim|()|N N k N P f k N →∞=-=∑⎰∞∞-=t t f E d )(2def（2）判断方法能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律①一般周期信号为功率信号；②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号；③还有一些非周期信号，也是非能量信号。

例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )3、典型信号① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+tt4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c)尺度变换: ()()f t f at →3) 信号的微分和积分注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。

正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。

信号与系统知识点信号与系统是电子工程及相关学科中的重要基础知识，其主要研究对象是信号的产生、传输、处理和分析，以及系统的特性和响应。

本文将探讨一些与信号与系统相关的重要知识点。

一、信号的分类信号是信息的表达方式，可以分为连续信号和离散信号。

连续信号是在时间和幅度上都是连续变化的，如模拟音频信号。

离散信号则是在时间或幅度上存在着间隔，如数字音频信号。

二、信号的表示和性质信号可以用数学函数进行表示，常见的信号类型有周期信号和非周期信号。

周期信号以某种周期性重复出现，如正弦信号；非周期信号则无规则的重复性。

信号还具有幅度、频率和相位等性质，这些性质对信号的分析和处理非常重要。

三、系统的响应系统是对输入信号做出某种处理的过程，系统的响应可以分为时域响应和频域响应。

时域响应是指系统对输入信号随时间的响应过程，可以通过巴特沃斯滤波器等工具进行分析。

频域响应则是指系统对不同频率的输入信号的响应情况，可以通过傅里叶变换等方法进行分析。

四、系统的特性系统的特性是描述系统行为的重要指标，主要包括线性与非线性、时不变与时变、稳定与不稳定等。

线性系统具有叠加性和比例性，输入和输出之间存在着线性关系；非线性系统则没有这种特性。

时不变系统的性质不随时间变化，稳定系统的输出有界且收敛于有限值，而不稳定系统则可能产生无界的输出。

五、卷积与相关卷积和相关是信号与系统分析中常用的运算符号。

卷积表示两个信号的叠加与重叠，它可以用于系统的输入与输出之间的关系描述。

相关则是通过计算信号之间的相似性，用于信号的匹配与识别。

六、傅里叶变换傅里叶变换是信号与系统分析中最重要的数学工具之一。

它可以将信号从时域转换到频域，使得信号的频率特性更加清晰。

傅里叶变换有连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种形式，分别适用于连续信号和离散信号的频域分析。

七、采样与重构采样和重构是数字信号处理中常用的技术。

采样是将连续信号转换为一系列离散的采样点，重构则是通过这些离散采样点还原出原始信号。

信号与系统公式总结在信号与系统的学习过程中，公式总结是非常重要的，它可以帮助我们更好地理解和掌握知识。

下面将对信号与系统中常见的公式进行总结，希望能够对大家的学习有所帮助。

一、基本概念公式总结。

1. 信号的分类：连续时间信号，x(t)。

离散时间信号，x[n]2. 基本信号：单位冲激函数，δ(t)或δ[n]阶跃函数，u(t)或u[n]3. 基本性质：奇偶性，x(t) = x(-t)，x[n] = x[-n]周期性，x(t) = x(t+T)，x[n] = x[n+N]二、时域分析公式总结。

1. 基本运算：时移性质，x(t-t0)或x[n-n0]反褶性质，x(-t)或x[-n]放大缩小，Ax(t)或Ax[n]2. 基本运算公式：加法，x1(t) + x2(t)或x1[n] + x2[n]乘法，x1(t)x2(t)或x1[n]x2[n]三、频域分析公式总结。

1. 傅里叶变换：连续时间信号，X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt)dt。

离散时间信号，X(e^jω) = Σx[n]e^(-jωn)。

2. 傅里叶变换性质：线性性质，aX1(ω) + bX2(ω)。

时移性质，x(t-t0)对应X(ω)e^(-jωt0)。

频移性质，x(t)e^(jω0t)对应X(ω-ω0)。

四、系统分析公式总结。

1. 系统性质：线性性，y(t) = ax1(t) + bx2(t)。

时不变性，y(t) = x(t-t0)对应h(t-t0)。

2. 系统时域分析：离散卷积，y[n] = Σx[k]h[n-k]连续卷积，y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ。

3. 系统频域分析：系统函数，H(ω) = Y(ω)/X(ω)。

五、采样定理公式总结。

1. 采样定理：连续信号采样，x(t)对应x[n]，x[n] = x(nT)。

重建滤波器，h(t) = Tsinc(πt/T)。

六、傅里叶级数公式总结。

1. 傅里叶级数：周期信号的傅里叶级数展开。