江苏省2019高考押题金卷数学及答案

一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，将答案填在答题纸上）1．设集合1,0,1A，0,1,2,3B，则AB =_______.【命题意图】本题考查集合交集的概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．【答案】0,1【解析】A B1,0,10,1,2,3=0,1.2. 已知23(,,ia bi a bR i i为虚数单位)，则a b _______.【命题意图】本题考查复数的运算，复数概念等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．【答案】1 【解析】23323,2, 1.i a bi i a bi a b a b i3. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为_______.【命题意图】本题考查圆锥体积、圆锥展开图等基础知识，意在考查基本运算能力．【答案】33π4. 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为_______.【命题意图】本题考查古典概型概率基础知识，意在考查学生的基本运算能力和逻辑推理能力. 【答案】13【解析】从中4个球中任取两个球共有6种基本事件，其中两个球颜色相同包含两种基本事件，故概率为21=63.5.下图是一个算法流程图，则输出的x 的值是_______.【命题意图】本题考查算法流程图、简单的不等式运算基础知识，意在考查基本概念，以及基本运算能力．【答案】59.【解析】第一次循环：3,7xy，第二次循环：13,33xy，第三次循环：59,151x y，结束循环，输出59.x 6. 已知双曲线22221(0)x y a b ab-=>>的一个焦点为(3,0)，直线10x y --=与双曲线右支有交点，则当双曲线离心率最小时双曲线方程为_______.【命题意图】本小题主要考查双曲线的离心率，双曲线标准方程等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．【答案】22154xy-=7. 若实数,x y 满足约束条件22,1,1,xy x y xy ≤≥≥则目标函数2z xy 的最小值为_______.【命题意图】本题考查线性规划求最值基础知识，意在考查学生的基本运算能力．【答案】1【解析】可行域为ABC 及其内部，其中(3,4),(1,0),(0,1),A B C 直线2z x y 过点(0,1)C 时取最小值1.8.设等比数列n a 的前n 项和为n S ，若,63,763S S 则987a a a _______.【命题意图】本题考查等比数列的性质及求和等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力．【答案】448.【解析】由题意得1237a a a ，45663756a a a ，所以789568448a a a 9. 将函数()3cos sin y x x x =+??的图像向左平移()0m m >个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.【命题意图】本题考查三角函数图像与性质等基础知识，意在考查基本运算能力.【答案】610. 若实数,x y 满足0x y，且22log log 1xy ，则22xy xy的最小值为_______.【命题意图】本题考查基本不等式求最值基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力以及运算求解能力．【答案】4【解析】因为22log log 12x y xy ，所以222()24()4,xy xy xy x y xyxyxy当且仅当时2,2xy xy ，即13,13x y 取等号，因此22x y xy的最小值为4.11.若函数()ln |31|f x x 在定义域的某个子区间(1,1)k k上不具有单调性，则实数k 的取值范围为_______.【命题意图】本题考查函数的图象和性质的综合运用等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】)35,34[]32,1(. 【解析】函数()yf x 的图象如图，1113k k 或121133k k ，解得213k或4533k.12. 已知实数,,a b c 满足222abc ，0c，则2b ac的取值范围为_______.【命题意图】本题考查三角函数最值等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力．【答案】33[,]3313. 已知圆22:2C xy，直线:240l x y ，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C上的点Q ，使得45OPQ（O 为坐标原点），则0x 的取值范围为_______.【命题意图】本题考查正弦定理、直线与圆的位置关系基础知识，意在考查运用数形结合思想、分析问题和解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】8[0,]5【解析】在OPQ中，设OQP，由正弦定理，得sin45sin 0OP OQ ，即s in 222OP ，得2sin 2OP ，即2)22(202x x ，解得5800x .14.已知函数2()f x ax ，若存在两条过点(1,2)P 且相互垂直的直线与函数()f x 的图像都没有公共点，则实数a 的取值范围为_______.【命题意图】本题考查函数与方程、函数图像与性质基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】1(,)8二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（本小题满分14分）已知(cos ,sin ),(cos ,sin )ab ．（1）若67，求a b 的值；（2）若4,58a b，且0,2，求tan()的值．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、两角和与差的三角函数、同角三角函数关系式等基础知识，意在考查分析问题和解决问题的能力、基本运算能力．16. （本小题满分14分）如图，在正三棱锥111ABCA B C 中，E ，F 分别为1BB ，AC 的中点.（1）求证：//BF 平面1A EC ；（2）求证：平面1A EC 平面11ACC A .【命题意图】本题考查线面平行及面面垂直的判定定理等基础知识，意在考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力、推理论证能力.【解析】（1）连接1AC 交1A C 于点O ，连接OF ，F 为AC 中点，111//=2OF CC OF CC 且，E 为1BB 中点，111//=2BE CC BE CC 且，//=BE OF BE OF 且，四边形BEOF 是平行四边形，………4分//BF OE ，又BF平面1A EC ，OE 平面1A EC ，//BF 平面1A EC .……7分2019-2020年高考原创押题卷（江苏卷）数学（解析版）含解析（1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB，DPC，问点P 在何处时，tan()最小？【命题意图】本题考查解三角形、两角和的正切公式、基本不等式的应用等基础知识，意在考查学生转化与化归能力，分析问题和解决问题的能力，以及运算推理能力．【解析】(1)如图作AN CD 于N ．因为m CD m ABCD AB 15,9,//,所以m NC m DN9,6.设AN x DAN ＝，＝，因为45CAD ,所以45CAN.在Rt ANC 和Rt AND 中，因为069tan,tan(45-)=xx，………………………4分所以()91tan 451tantan x＝－＝,化简整理得215540x x －－＝，BCADP(第17题图)解之得12)183(x x ＝，＝－舍去．所以BC 的长度是18 m ． (7)分(2)设BP t ＝，所以915PC=18-t,tan =,tan =18tt………………………9分则tan tan 66135013501tan t 9151(an14527722789127)518t t t tan t t t t t ＋＝＝＝-＝-………14分63013502)27(1350)27(tt,当且仅当1350t+27=27t ，即t =156-27时，()tan ＋取最小值．……15分答：P 在距离B 点m )27615(时,()tan ＋最小．………………………16分18. （本小题满分16分）已知椭圆C :22221(0)x y a b ab, 经过点P 3(1,)2，离心率是32.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．【命题意图】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，意在考查基本的运算能力、分析问题和解决问题的能力．将①②代入③，得225161204mm k，解得65m或2m（舍）．综上，直线l 经过定点6(,0).5…………………14分19. （本小题满分16分）已知函数()xf x e ，2()1(,)g x axbx a b R .[学科网]（1）若0a，则a ，b 满足什么条件时，曲线()yf x 与()yg x 在0x 处总有相同的切线？（2）当1a时，求函数()()()g x h x f x 的单调减区间；（3）当0a 时，若()()f x g x 对任意的x R 恒成立，求b 的取值的集合.【命题意图】本小题主要考查利用导数求切线方程，利用导数求单调区间及最值，不等式恒成立等基础知识，考查学生转化与化归能力、综合分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力．（2）由1a ，21()xxbx h x e，2(2)1()xxb xb h x e，2(2)1(1)((1))()xxxb x b x x b h x ee，………7分由()0h x ，得11x ，21x b ，当0b 时，函数()y h x 的减区间为(,1)b ，(1,)；当0b 时，函数()yh x 的减区间为(,)；当0b时，函数()yh x 的减区间为(,1)，(1,)b . ………10分（3）由1a ，则()()()1xx f x g x ebx ，()xx eb ，①当0b 时，()0x ，函数()x 在R 上单调递增，又(0)0，(,0)x 时，()0x ，与函数()()f x g x 矛盾，………12分②当0b 时，()0x ，ln xb ；()0x ，ln xb ，函数()x 在(,ln )b 单调递减；(ln ,)b 单调递增，20.（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a ，622S .（1）求n S ；（2）若从{}n a 中抽取一个公比为q 的等比数列{}nk a ，其中11k ，且12nk k k ，*n k N .①当q 取最小值时，求{}n k 的通项公式；②若关于*()n nN 的不等式16nn S k 有解，试求q 的值.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列综合应用，等差数列前n 项和公式，数列单调性等基础知识，意在考查学生灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d ，解得23d， (2)分所以(5)3nn n S . ………4分（2）①因为数列}{n a 是正项递增等差数列，所以数列}{n k a 的公比1q ，若22k ，则由382a ，得3412a a q，此时932)34(223k a ，由)2(32932n ，解得*310N n ，所以22k ，同理32k ；……6分若42k ，则由44a ，得2q，此时122n k n a ，另一方面，2(2)3nk na k ，所以2(2)23nnk ，即1322n nk ，………8分所以对任何正整数n ，n k a 是数列}{n a 的第2231n 项．所以最小的公比2q ．所以2231nnk ．………10分附加题部分21.【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．．其中两题．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，AD 与⊙O 相切，割线DM 与⊙O 相交于点M ，N ，若∠B=30°，AC=1，求DM DN【命题意图】本题主要考查切割线定理等基础知识，意在考查学生平面几何推理证明和逻辑思维能力.B ．【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知曲线C ：1xy，若矩阵22222222M对应的变换将曲线C 变为曲线C ，求曲线C 的方程.【命题意图】本题考查矩阵与向量乘积、相关点法求轨迹方程等基础知识，意在考查运算求解能力．【解析】设曲线C 一点(,)x y 对应于曲线C 上一点(,)x y ，22222222x xyy ，2222xy x ，2222xy y ，……5分2xy x，2yx y，122x y y x x y，曲线C 的方程为222y x.…10分C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系下，已知圆O ：cos sin 和直线2:sin()42l ，（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当0,时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．【命题意图】本题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，直线与曲线位置关系等基本内容. 意在考查转化与化归能力、基本运算能力，方程思想与数形结合思想.D ．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63abcabc≥．【命题意图】本题考查利用均值不等式证明不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．【解析】因为a b c ，，均为正数，由均值不等式得22223()abc abc ≥3，………………２分因为13111()abc abc≥3，所以223111(()abc abc)≥9．…………………………………５分故22222233111(()()abcabc abc abc)≥39．（当且仅当c b a 时取等号）又32233()9()22763abc abc ≥，（当且仅当433abc 时取等号），所以原不等式成立．…………………………………10分【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22.如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且13PM BN PABD．（1）求证：MN ⊥AD ；（2）求MN 与平面P AD 所成角的正弦值．【命题意图】本题考查向量数量积，向量垂直，直线与平面所成角等基础知识，意在考查运算求解能力，逻辑思维能力．（2）设平面PAD 的法向量为(,,),n x y z (3,3,0),(3,0,3),ADAP由0,0,n AD n AP得330,330.x y x z取1,z 得1, 1.xy23.设集合5,4,3,2,1S，从S 的所有非空子集中，等可能地取出一个.（1）设S A，若A x，则A x6，就称子集A 满足性质p ，求所取出的非空子集满足性质p 的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望E.【命题意图】本题考查子集定义及性质、古典概型及离散型随机变量分布列和期望等基础知识，意在考查分析问题和解决问题能力，运算求解能力，逻辑思维能力．【解析】可列举出集合S 的非空子集的个数为：31125个.（2分）（1）满足性质p 的非空子集为：3，5,1，4,2，5,3,1，4,3,2，5,4,2,1，5,4,3,2,1共7个，所以所取出的非空子集满足性质p 的概率为：317p.（6分）（2）的可能值为1，2，3，4，5.1234 5P 3113123143183116（9分）31129311653184314331223111E .（10分）。

2019年徐州市高考数学押题卷09-05-221.复数12i i -倒数的虚部为 .答案：13- 解析：111223,33i i i i i i i -=+=∴=-2． 用如下方法从1004名工人中选取50代表：先用简单随机抽样从1004人中剔除4人，剩下的1000人再按系统抽样的方法选取50人．则工人甲被抽到的概率为50225． 3.扇形OAB 半径为2，圆心角∠AOB ＝60°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 ．答案：34.观察下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，...，由此猜测第n 个不等式为 ．（*n ∈N ） 答案：++++51311(11n ...)121-+n ≥+++614121(1n (21)+5.已知函数()3log 2+⋅=x x x f （x ＞0），直线l 与函数()x f 相切于点()m A ,1．则直线l 的方程为 ．（写成直线方程一般式）答案：012ln 3)2(ln =-+-y x6.如图（1）是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列24{}n n+（*n ∈N ）的项，则所得y 值中的最小值为 ． 答案：2444n x n n n+==+≥，本算法程序的算法功能是求分段函数2(5)5(5)x xyx x⎧<=⎨≥⎩的函数值，且在[4,)+∞上是增函数，故当4x=时得y的最小值16．7.锐角三角形ABC中，边长,a b是方程220x-+=的两个根，且2sin()0A B+-=，则c边的长是．分析：本题主要考查诱导公式的使用和余弦定理等知识．由2sin()0A B+-=可得：23sin=C，解得3π=C或32π=C，由ABC∆是锐角三角形，可知3π=C．由韦达定理：2,32==+abba，因此623412)cos1(2)(cos22222=⨯-=+-+=-+=CabbaCabbac，故6=c．8.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB1，BC1上的点，且满足AM＝BN，有下列4个结论：①MN⊥AA1；②MN∥AC；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN⊥BB1D1D。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ . 2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ .3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 ▲ .开始x ←1，S ←0x ←x+1S ←S+结束输出Sx ≥4YN2x13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分） 如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值； （3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．数学Ⅰ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求,A B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|21|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L 令n n n n M A B C =U U .从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n ≥，求概率()P x n ≤（用n 表示）2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6} 2.23.54.[1,7]-5.536.710 7.2y x =± 8.169.10 10.411.(e, 1)12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以3c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =.因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ∥平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ∥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1∥平面ABC . 又因为BE ∥平面ABC ，所以CC 1∥BE .因为C 1C ∥平面A 1ACC 1，AC ∥平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ∥平面A 1ACC 1.因为C 1E ∥平面A 1ACC 1，所以BE ∥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2∥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2∥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∥BF 1E =∥B .因为F 2A =F 2B ，所以∥A =∥B ， 所以∥A =∥BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2∥x 轴，所以EF 1∥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置. 当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+，9），此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令，得或．列表如下：(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==．所以的极大值1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下： 所以当3x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max ()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N.②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m . 当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：+–因为ln 2ln82663=<=，所以max ()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k„，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅰ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅰ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <–13： 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4nnnn n n n x x x x n +=++++≥L ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=， 从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB ≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n>当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当Xn >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

高考数学精品复习资料2019.5高考原创押题卷(二)参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i .棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B ＝{x |1＜x ≤3}，则A ∪B ＝________. {x |－1≤x ≤3} [由x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2. ∴A ＝{x |－1≤x ≤2}，又集合B ＝{x |1＜x ≤3}， ∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤3}．]2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝1－b i ，则(a ＋b i)8＝________. 16 [由a ＋i ＝1－b i 可得a ＝1，b ＝－1，从而(a ＋b i)8＝(1－i)8＝(－2i)4＝16.] 3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s 2＝________.65[数据160,162,159,160,159的平均数是160，则该组数据的方差s 2＝15(02＋22＋12＋02＋12)＝65.]4．若双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________．4 [∵双曲线x 2＋my 2＝1过点(－2，2)， ∴2＋4m ＝1，即4m ＝－1，m ＝－14，则双曲线的标准方程为x 2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据下列的伪代码，可知输出的结果S 为________． i ←1While i ＜100 i ←i ＋2S ←2i ＋3End While Print S205 [该程序的作用是输出满足条件i ＝2n ＋1，n ∈N ，i ＝i ＋2≥100时，S ＝2i ＋3的值．∵i ＋2＝101时，满足条件，∴输出的S 值为S ＝2×101＋3＝205.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13 [设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ωx ＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，∴利用五点作图法可得φ＝π6.∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝27－12k 7，k ∈Z .∵ω＞0，∴当k ＝0时，ω＝27， ∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E -A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图219 [连结B 1D 1，设B 1D 1∩A 1C 1＝F ，再连结BF ，平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF ，连结BD ，因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线，又根据B 1F ═∥12BD ，所以EF EB ＝12，所以E 是△A 1BC 1的重心，那么点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以V 1＝13SA 1B 1C 1D 1×13BB 1，而V 2＝SA 1B 1C 1D 1×BB 1，所以V 1V 2＝19.]9．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大， BD 的斜率最小，此时最小值为1， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 此时AD 的斜率k ＝32＋11＝52， 即1≤y ＋1x ≤52，故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n＝3n＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1qb 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1(q ′)2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3， ∴a 3b 3＝a 1q 2b 1(q ′)2＝9.]11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (x,0)，0≤x ≤2， ∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当x ＝32时，有最小值，最小值为－14， 当x ＝0时，有最大值，最大值为2， 则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363 [设椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sin π12， |BF |＝2c cos π12，由椭圆定义得 2c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即 e ＝c a ＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc 2的最大值为________．32 [由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos C sin C ，即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos C sin C ，∴sin (B ＋A )sin A sin B ＝cos C sin C ，即sin C sin A sin B ＝cos C sin C，∴sin 2C＝sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c22ab ，整理得a 2＋b 2＝3c 2，∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立．]14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(x－4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4)[由题意得，f (x )＝(x －4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为关于x 的方程|f (x )－m |＝1(m ∈R )，即f (x )＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f (x )共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧ m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧ 0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. (1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6的值．[解] (1)∵α为锐角，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，23π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. 4分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋π6＝45. 6分(2)又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos α＋⎭⎪⎫π6＝－35. 8分 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3－sin α＋⎭⎪⎫π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝35×45－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝2425.14分16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D 是AB 的中点．图4(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD . [证明] (1)连结AC 1，设交A 1C 于点O ，连结OD . 2分 ∵四边形AA 1C 1C 是矩形，∴O 是AC 1的中点．在△ABC 1中，O ，D 分别是AC 1，AB 的中点， ∴OD ∥BC 1.4分又∵OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .6分(2)∵CA ＝CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB .又∵在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ，交线为AB ， CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B . 10分∵AP⊂平面A1B1BA，∴CD⊥AP.∵BB1＝2BA，BB1＝AA1，BP＝14BB1，∴BPBA＝24＝ADAA1，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，12分从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，∴AP⊥A1D.又∵CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴AP⊥平面A1CD. 14分17．(本小题满分14分)如图5，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2(km)，沿湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.图5(1)求S关于θ的函数关系式；(2)试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos θ的值，若不存在，说明理由．[解](1)在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OP cos θ＝10－6cos θ，从而△CDP的面积S△CDP ＝34CP2＝32(5－3cos θ). 4分又因为△COP的面积S△COP ＝12OC·OP sin θ＝32sin θ，所以S＝S△CDP ＋S△COP－S扇形OBP＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512.6分注：当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin θ0，cos θ0＝1±10512.(2)存在．由(1)知，S ′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)， 令S ′＝0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝16.当0＜θ＜θ0时，S ′＞0， 所以当θ＝θ0时，S 取得最大值.10分或因为0＜θ＜π，所以存在唯一的θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝16.当0＜θ＜θ0＜π时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．此时cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝－356，cos θ0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6－π6＝1－10512. 14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ab c＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，4分所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 6分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23， 10分 则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0， 所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x . 联立⎩⎨⎧ y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6x 06－3y 0，y ＝3(2y 0－3)6－3y 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3(2y 0－3)6－3y 0. 13分 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(2y 0－3)6－3y 023＝9(3－y 20)＋3(4y 20－43y 0＋3)3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上. 16分19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k (n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列. 4分设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧ a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝2n ＋n (n －1)2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n . 6分 (2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2.所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3， 10分当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3.于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n (n －1)2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2).14分 又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *. 16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x ⎝⎛13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于x 的不等式f (x )＜－43e x 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(2)讨论函数f (x )极值点的个数．[解] (1)由f (x )＜－43e x ，得e x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋(a ＋4)x －2a －4＜－43e x ， 即x 3－6x 2＋(3a ＋12)x －6a －8＜0对任意x ∈(－∞，2)恒成立，即(6－3x )a ＞x 3－6x 2＋12x －8对任意x ∈(－∞，2)恒成立， 4分因为x ＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3(x －2)＝－13(x －2)2， 记g (x )＝－13(x －2)2，因为g (x )在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0，所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞). 6分(2)由题意，可得f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f (x )只有一个极值点或有三个极值点．令g (x )＝13x 3－x 2＋ax －a ，①若f (x )有且仅有一个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即g (x )为单调递增函数或者g (x )极值同号．(ⅰ)当g (x )为单调递增函数时，g ′(x )＝x 2－2x ＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g (x )极值同号时，设x 1，x 2为极值点，则g (x 1)·g (x 2)≥0，由g ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝0有解，得a ＜1，且x 21－2x 1＋a ＝0，x 22－2x 2＋a ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ， 10分所以g (x 1)＝13x 31－x 21＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a )－x 21＋ax 1－a ＝－13(2x 1－a )－13ax 1＋ax 1－a ＝23[(a －1)x 1－a ]，同理，g (x 2)＝23[(a －1)x 2－a ]，所以g (x 1)g (x 2)＝23[(a －1)x 1－a ]·23[(a －1)x 2－a ]≥0，化简得(a －1)2x 1x 2－a (a －1)(x 1＋x 2)＋a 2≥0，所以(a －1)2a －2a (a －1)＋a 2≥0，即a ≥0，所以0≤a ＜1.所以，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点；②若f (x )有三个极值点，则函数g (x )的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得a ＜0.综上，当a ≥0时，f (x )有且仅有一个极值点，当a ＜0时，f (x )有三个极值点. 16分。

绝密★启用前2019年高考数学押题预测卷02（江苏卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{1,3,}A a =，{4,5}B =，若{4}AB =，则实数a =____________．2．已知i 是虚数单位，a ∈R ，若(1i)(i)2a -+=，则实数a =____________．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数分别为9.1，9.3，9.2，x ，9.4，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x =____________．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的y 的值为3，则输入的x 的值为____________．2Read If 0Then sin Else2End If Print x x y x y x x y>←←+5．函数()422x x f x =--的定义域为____________．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为____________．7．已知函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(0,4]上，2cos ,023()3log (),242x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，则1(())2f f -=____________．8．在一个不透明的袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从袋子中随机取2个小球，则取出的小球标注数字之和为3的倍数的概率为____________． 9．若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕ=+><<π的图象经过点(,2)6π，且相邻两条对称轴之间的距离为2π，则()4f π-=____________． 10．设球与圆锥的体积分别为1V ，2V ，若圆锥的母线长是其底面半径的3倍，且球的表面积与圆锥的侧面积相等，则12V V =____________． 11．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*n ∈N ，2nnS S 是非零常数，则称数列{}n a 为“和等比数列”．若数列{}n b 是首项为3，公差为(0)d d ≠的等差数列，且数列{}n b 是“和等比数列”，则公差d =____________．12．已知函数21,0()(1),0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，设函数()()()()g x f x f x k k =--+∈R ，若函数()g x 在R 上恰有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为____________．13．已知圆22:1O x y +=，点00(,)P x y 在直线:3240l x y +-=上，若在圆C 上总存在不同的两点A ，B ，使得OA OB OP +=，则0x 的取值范围为____________．14．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，b ，c成等差数列，则3sin sin A C+的最小值为____________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11A B B C ⊥，1C C BC =． （1）求证：AB平面11A B C ；（2）求证：平面11A BC ⊥平面11A B C ．16．（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )αλα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，其中0λ>，02αβπ<<<，且向量+a b 与向量-a b 互相垂直． （1）求实数λ的值； （2）若45⋅=a b ，tan 2β=，求tan α的值． 17．（本小题满分14分）某景区拟规划种植一批菊花，为了美观，将种植区域（区域①）设计成半径为1千米的扇形EAF ，设EAF θ∠=，其中42θππ<<．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域②）和休闲区（区域③），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD ，其中点E ，F 分别在边BC 和CD 上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元． （1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求θ的最大值；（2）试问：当θ的值为多少时，种植区、观赏区和休闲区的年总收入最大？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22114:x C y +=，椭圆222221(0):x y C a b a b+=>>，点P在椭圆2C 上，椭圆2C 与椭圆1C 1，且椭圆2C 与椭圆1C 的离心率相同． （1）求椭圆2C 的标准方程；（2）①射线PO 与椭圆1C 依次交于A ，B 两点，求证：||||PA PB 为定值； ②过点P 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若直线1l ，2l 与椭圆1C 均有且只有一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有111(1)2(1)n n nn n n n n n a q a q a a a q a +++-+=-，且10n n a a ++≠，其中12a =，0q ≠．记21123n n n T a qa q a q a -=++++，(1)n n n n b q T q a =+-．（1）若1q =，求2019T 的值； （2）①求数列{}n b 的通项公式；②若数列{}n c 满足11c =，且当2n ≥时，121n b n c -=-，是否存在正整数k ，t ，使得1c ，1k c c -，t k c c -成等比数列？若存在，求出所有的正整数k ，t 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()(1)e x f x x =-，2()g x mx kx =-，其中m ∈R 且0m ≠，k ∈R ．（1）若函数()f x 与()g x 有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k 的值； （2）当0m >，0k =时，求证：函数()()()F x f x g x =+有两个不同的零点； （3）若1m =，设函数2()()1()e ex xf xg xh x '+=+，若存在实数,,[0,1]a b c ∈，使得()()()h a h b h c +<，求k 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。

2019年高考数学原创押题预测卷01（江苏卷）数学·参考答案1．(5,1]--2．2-3．2π34．65．(1,2)(2,3] 6．127．258．39．1210．211．4-12．(3,3)13．5814．22(1,)(,1)33--（2）由2cos 4A =-，14sin 4A =，得23cos22cos 1A A =-=-，7sin22sin cos A A A ==-，（11分）所以πππ321cos(2)cos2cos sin2sin 3338A A A -++=-=.（14分）16．（本小题满分14分）【解析】（1）因为D ，E 分别为PB ，BC 的中点，所以DE ∥PC ，（3分）又DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，故DE ∥平面PAC ．（6分）（2）因为AP =AB ，PD =DB ，所以AD ⊥PB ，（8分）因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ，又BC ⊥AB ，BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥平面PAB ，又AD ⊂平面PAB ，所以AD ⊥BC ，（11分）又PB ∩BC =B ，PB ，BC ⊂平面PBC ，故AD ⊥平面PBC ，因为DE ⊂平面PBC ，所以DE ⊥AD ．（14分）17．（本小题满分14分）【解析】（1）由圆柱的底面半径为2cm x ，可知半球的半径为3cm x ，设圆柱的高为cm h .∵工艺品的体积为334πcm ，∴3214π(3)π(2)34π23x x h ⨯+=，∴217922h x x =-，（2分）∴工艺品的表面积为22214π(3)2π(2)π(3)2π(2)S x x h x x =⨯+++2217935π4π()x x x =+-=2217π()x x+，（5分）学-科网∵0x >，且217922h x x =->，∴35103x <<，∴32251()17π(),(0,3S x x x x =+∈.（7分）（2）由（1）知，3322234π(1)51()17π(2)(03x S x x x x x -=-=<<'，（8分）令()0S x '=，得1x =，列表如下：x (0,1)1351(1,)3()S x '-0+()S x ↘51π↗∴()S x 在(0,1)上单调递减，在351(1,3上单调递增，∴min ()(1)51πS x S ==，此时4h =，（12分）答：按照圆柱的高为4cm ，圆柱的底面半径为2cm ，半球的半径为3cm 设计，工艺品的表面积最小，为251πcm .（14分）18．（本小题满分16分）【解析】（1）由题意得，22222233114a b c a a b c +⎧=⎪⎪⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，（4分）所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（6分）（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ．联立方程，得2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得224(2)4x kx ++=，即22(14)16120k x kx +++=，所以1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+，（10分）由22(16)48(14)0k k ∆=-+>，即22163(14)0k k -+>，即2430k ->，得234k >．①又0OA OB ⋅≤，所以12120OA OB x x y y ⋅=+≤ ，又212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，所以1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414kk k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++224(4)014k k -=≤+，所以24k ≥．②（14分）综合①②可知，24k ≥，即2k ≥或2k ≤-，所以k 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞ .（16分）19．（本小题满分16分）【解析】（1）因为1,3a b ==，所以32()34f x x x =++，从而2()36f x x x ='+.①令()0f x '=，解得2x =-或0x =，列表：x 4-(4,2)--2-(2,0)-0(0,2)2()f x '+-+()f x 12-8424所以max ()24f x =，min ()12f x =-.（4分）（2）当[1,4]x ∈时，不等式322044ax bx a x ≤++≤等价于240(4a x b x ≤++≤，（11分）令24()h x x x =+，则33388()1x h x x x='-=-，所以当(1,2)x ∈时，()0h x '<，此时()h x 单调递减；当(2,4)x ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增，故min max ()3,()5h x h x ==.（14分）若0a =，则04b ≤≤，此时04a b ≤+≤；若0a ≠，则034054a b a b ≤+≤≤+≤⎧⎨⎩，从而2(3)(5)[4,8]a b a b a b +=+-+∈-，综上可得，48a b -≤+≤.（16分）20．（本小题满分16分）【解析】（1）因为数列{}n a 的前n 项的和2n n S n =+，所以当1n =时，113a =；当2n ≥时，11221(1)(2)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++++，当1n =时，上式也成立，所以数列{}n a 的通项公式为2(1)(2)n a n n =++.（4分）学科-网（2）因为对任意正整数n 都有11,n n nb b a +成等比数列，所以11n n nb b +=，即1(1)(2)n n n n b b +++=，所以12(2)(3)n n n n b b ++++=，两式相除，得对任意正整数n 都有231n n b n b n ++=+，即231n n b b n n +=++，（7分）当n 为奇数时，112n b b n =+，所以12(1)(1)22n b b n n =+=+，当n 为偶数时，213n b b n =+，而12232b b ⨯=，所以2322b =，所以*22(1)(1),32n b b n n n =+=+∈N ，则1222(2)(1)222n n b b n n +-=+-+=，故数列{}n b 为等差数列.（10分）（3）因为2232(1)321n n c b n n =-=+-=-，所以521,2(5)129,21m m k c m c m m c k +=-=+-=+=-，若存在正整数,m k ，使得5,,m m k c c c +成等比数列，则2(29)(21)(21)m m k +=--，即2(29)2121m k m +-=-，则501021k m m =++-，（13分）因为,m k 都是正整数，所以211,5,25m -=，即1,3,13m =时，对应的61,23,25k =.所以存在161m k ==⎧⎨⎩或323m k ==⎧⎨⎩或1325m k ==⎧⎨⎩，使得5,,m m k c c c +成等比数列.（16分）21．B ．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）【解析】（1）消去方程3cos sin x y αα==⎧⎪⎨⎪⎩（α为参数）中的参数α，可得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2分）由2πcos()124ρθ+=-，得cos sin 2ρθρθ-=-，将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式可得2x y -=-，所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．（5分）（2）由题意可得直线1l 的倾斜角为π4，且过点(1,0)M -，所以直线1l 的参数方程为21222x y ⎧⎪⎪⎨=-+=⎪⎪⎩（t 为参数），（7分）把参数方程代入方程2213x y +=，整理得22220t t -=，设A ，B 两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则121t t =-，所以12||||||1MA MB t t ⋅==，即点M 到A ，B 两点的距离之积为1．（10分）22．（本小题满分10分）【解析】如图，在平面SCD 内作DE CD ⊥，交SC 于点E ，又侧面SCD ⊥底面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.易得(1,0,0)A ，1(,1,0)2B ，(0,1,0)C ，(0,0,0)D .由cos SDC ∠=11312112+-=-⨯⨯，得2π3SDC ∠=，所以点S 的坐标为13(0,,22-，则13(1,,22SA =- ，133(,,222SB =- ，33(0,,22SC =- ，13(0,,22SD =- ，(1,0,0)DA =.（4分）（1）设平面SAB 的法向量为(,,)x y z =n ，则00SA SB ⎧⋅⎪=⎨⋅⎪⎩= n n ，即130221330222x y z x y z +-⎧⎪⎪⎨=+-=⎪⎪⎩，取3z =，得63(,3)55=n ，则30||5=n .设SC 与平面SAB 所成的角为θ，则9310102sin |cos ,|||2023035SC θ-===⨯n .（7分）（2）设平面SAD 的法向量为(,,)a b c =m ，则00SA DA ⎧⋅⎪⎨⎪⎩=⋅= m m ，即130220a b c a +-==⎧⎪⎨⎪⎩，取3b =，则3)=m ，||3=m ，所以93105|cos ,|2523305+==n m ，故平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为105.（10分）23．（本小题满分10分）【解析】（1）记“该游客游览i 个景点”为事件,0,1i A i =，则021111()(1)(1)(1)(1322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，31213212115()(1)(1(1)3232224P A =⨯-+-⨯⨯-=，所以该游客至多游览一个景点的概率为01151()()P A P A +=+=.（4分）（2）由题意知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，01(0)()24P X P A ===，15(1)()24P X P A ===，1222332112113(2)C (1)(1C ((1)P X ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，223333211217(3)C ((1)(1)C ()3223224P X ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，3211(4)()3212P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 01234P12452438724112（8分）故1597213()0123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（10分）。

高考数学精品复习资料2019.5江苏省20xx 届高考数学压轴卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在题中横线上）1.若集合{|1,}A x y x x R ，{|||1,}B x x x R ，则A B．2.若复数512im （i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m．3.若原点(0,0)和点(1,1)在直线0x y a的异侧，则a 的取值范围是．4.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为.5.右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为．6.从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 . 7.若53sin 且是第二象限角，则tan()4.8.正四棱锥PABCD 的底面边长为23cm ，侧面积为283cm ，则它的体积为 .9.已知双曲线)0,0(12222ba by ax 的一条渐近线的方程为02y x ，则该双曲线的离心率为 .10.不等式组3,0,2xx y xy所表示的区域的面积为 .11. 已知ABC 外接圆的半径为2，圆心为O ，且2ABAC AO ，||||AB AO ，则CA CB 的值等于．结束开始n ←1 ，x ←1x ←xx+1y ←2y 1 输出x N（第5题）n > 5 Y n ←n 1。

2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷（终极押题江苏卷）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝34R ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合，，则_________________【答案】【解析】，本题正确结果：2．已知复数满足，则________.【答案】【解析】 解：因为所以所以.3．甲、乙两位同学的5次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为______．【答案】2【解析】由茎叶图可得：甲的平均成绩为，所以方差为；乙的平均成绩为，所以方差为；因此，所以甲稳定，方差为2.故答案为24．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10,那么判断框应该填入的判断是,则实数的取值范围是______．【答案】（36,45]【解析】由题意，模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，可得当时，求得，而当时，求得，要使的输出的结果为，判断框应该填入的判断是时，则.5．函数的定义域为______．【答案】【解析】要使原函数有意义，则：；；原函数的定义域为：．故答案为：．6．欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3 的圆，中间有边长为1的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________．【答案】【解析】由题意可知铜钱所在圆的半径为，所以其面积为，又由中间边长为的正方形，则正方形的面积为，由几何概型的概率公式可得概率为.7．函数的最小正周期为，则函数在内的值域为______．【答案】【解析】函数的最小正周期为，∴，，则在内，，，故答案为：．8．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，则的离心率为__________..【答案】【解析】解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由•0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，又∠BOF=，∴∠BF'F=∵F'F=2c，∴BF=c，BF'=由双曲线定义可知：BF'- BF=2a即∴e=故答案为：9．函数满足，且在区间（-2,2]上，，则的值为_________【答案】1【解析】因为，所以函数的最小正周期为，所以，又在区间（-2,2]上，，所以，所以.故答案为110．如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.11．已知，，若成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，，则，则函数为偶函数，当时，，其导数，则函数在为增函数，则，解可得：，即t的取值范围为；故答案为：12．过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．13．已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ .【答案】【解析】，，，又，故即，所以.又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为，填.14．已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C =B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．16．已知，为钝角且，．求的值；求的值．【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）由题意，因为，为钝角，所以，所以，所以．（2）因为，为钝角，且，．，，，，，．．17．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口沿，方向修建两条小路，休息亭与入口的距离为米（其中为正常数），过修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于、处，已知，．（1）设米，米，求关于的函数关系式及定义域；（2）试确定，的位置，使三条路围成的三角形地皮购价最低．【答案】(1) ，定义域为 (2)见解析【解析】（1）法一：由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为法二：由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则（为常数），所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小，此时y=答：当点距离点米,F距离点米远时，三条路围成地皮购价最低18．椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量. （1）若，求椭圆的标准方程;（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的直线，斜率.【解析】（1）易知，因为，所以为等腰直角三角形，所以b=c，由可知，故椭圆的标准方程为：；（2）由已知得，设椭圆的标准方程为，的坐标为，因为,所以，由题意得,所以，又因为在椭圆上，所以,由以上两式可得，因为不是椭圆的顶点，所以，故，设圆心为，则，圆的半径假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，由相切可知,所以，即，解得故存在满足条件的直线.19．已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1) 见解析(2) (3) 或．【解析】（1）由，知．若，则恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．综上，增区间是，无减区间，增区间是，减区间是（2）由（1）知，当时，．因为对任意都成立，所以，所以．设，（），由，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为．所以，当且仅当，时，取得最大值为．（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围．① 当时，由，，所以有零点．② 当时，若，由，得；若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x)> h(0)=0,所以无零点．③ 当时，，又存在，，所以有零点．综上，的取值范围是或．20．设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x 1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]=，BA的延长线交CD的延长线于点E.如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC BD∠.求证：AE平分DAF【答案】见解析【解析】借助题设条件设法证明：证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以.因为BC BD =，所以. 又，，所以，即AE 平分DAF ∠.B.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且，求矩阵M ．【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，，则．因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则．所以矩阵.C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为，求直线l 被圆C 截得的弦长．【答案】【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t==--化为方程：圆的方程为化为直角坐标系方程：，即，，其圆心()2,2-，半径为∴圆心C 到直线l 的距离为∴直线l 被圆C 截得的弦长为．D.[选修4-5：不等式选讲]设123,,a a a 均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】先将式子进行巧妙变形，再借助基本不等式进行推证：证明：因为123,,a a a 均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）所以.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C 平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，则即取x＝3，则＝(3，－，－1)，设直线BE与平面A1DC所成角为sin＝，所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．23．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为．（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为，因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．。

江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U＝，，，，，集合134{}}35{A B＝，，，＝，，则UA B⋂（）═．2．已知i是虚数单位，若12i a i a R+∈（﹣)(）＝，，则a＝．3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是．5．已知函数22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝．6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x ）＝x ，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且23AB ＝，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB|+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b ：+＝0a b （＞＞）222．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为2，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡．．．指定区域内．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点B作BD CD⊥于点D. 求证：2BC BA BD=⋅．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a bMc d⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()11402MN-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M．C．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2{2x ty t==--（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为42cos4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求直线l被圆C截得的弦长．D．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z、、，满足3x y z xyz++=，求xy yz xz++的最小值．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23题）。

解答题押题练A 组1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋bsin A ＋sin B的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积．解 (1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433，所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，(3分)所以a ＋bsin A ＋sin B＝433＋sin A ＋sin B＝433.(6分)(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ， 即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，(7分) 又a ＋b ＝ab ，所以(ab)2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．(12分) 所以S △ABC ＝12absin C ＝12×4×32＝ 3.(14分)2．如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝2EF.(1)求证：BF ∥平面ACE ； (2)求证：BF ⊥BD.证明 (1)AC 与BD 交于O 点，连接EO.正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ， ∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ， ∴EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE.(7分)(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO ⊂平面ACE ， ∴BD ⊥EO ，∵EO∥BF ，∴BF ⊥BD.(14分)3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，旅游人数f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)＝4＋1t ，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)．解 (1)由题意得，w(t)＝f(t)·g(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (115－|t －15|)(1≤t≤30，t ∈N *)．(5分)(2)因为w(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t ＋，＜15，t ∈N*，⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t －，，t ∈N *，(7分)①当1≤t＜15时，w(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (t ＋100)＝4⎝⎛⎭⎪⎫t ＋25t ＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t，即t ＝5时取等号．(10分)②当15≤t≤30时，w(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (130－t)＝519＋⎝ ⎛⎭⎪⎫130t －4t ， 可证w(t)在t ∈[15,30]上单调递减，所以当t ＝30时，w(t)取最小值为40313.(13分)由于40313＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元．(14分)4．如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q(m ，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两上动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．(1)证明 易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)设P(x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－，y 0＝m ＋n ，所以－24＋(m ＋n)2＝1，即m 2＋n 2＝12.故点Q(m ，n)在定圆x 2＋y 2＝12上．(8分)(2)解 设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14. 平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.(10分) 因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)x －(y 2－y 1)y ＋x 1y 2－x 2y 1＝0， 所以O 到直线MN 的距离为 d ＝|x 1y 2－x 2y 1|2－x 12＋2－y 12，(12分)所以△OMN 的面积S ＝12MN·d＝12|x 1y 2－x 2y 1| ＝12 x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22 ＝12x 21＋x 22＝1. 故△OMN 的面积为定值1.(16分)5．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3(n ∈N *)，且a 1，a 2，a 7依次是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；(2)是否存在常数a ＞0且a≠1，使得数列{a n －log a b n }(n ∈N *)是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)n ＝1时，8a 1＝a 21＋4a 1＋3，a 1＝1或a 1＝3.(2分) 当n≥2时，8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3， a n ＝S n －S n －1＝18(a 2n ＋4a n －a 2n －1－4a n －1)，从而(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0因为{a n }各项均为正数，所以a n －a n －1＝4.(6分) 所以，当a 1＝1时，a n ＝4n －3；当a 1＝3时，a n ＝4n －1. 又因为当a 1＝1时，a 1，a 2，a 7分别为1,5,25，构成等比数列， 所以a n ＝4n －3，b n ＝5n －1.当a 1＝3时，a 1，a 2，a 7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分) (2)假设存在a ，理由如下：(12分) 由(1)知，a n ＝4n －3，b n ＝5n －1，从而a n －lon ab n ＝4n －3－log a 5n －1＝4n －3－(n －1)·log a 5＝(4－log a 5)n －3＋log a 5.由题意，得4－log a 5＝0，所以a ＝45.(16分)6．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的方程f(x)＝|f′(x)|；(3)设函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，，＜，求g(x)在x ∈[2,4]时的最小值．解 (1)因为f(x)≤f′(x)，所以x 2－2x ＋1≤2a(1－x)， 又因为－2≤x≤－1，所以a≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋1－max在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋1－＝1－x 2≤32，所以a≥32.(4分)(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a|，所以(x ＋a)2－2|x ＋a|＋1－a 2＝0，则|x ＋a|＝1＋a 或|x ＋a|＝1－a.(7分) ①当a ＜－1时，|x ＋a|＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a≤1时，|x ＋a|＝1－a 或|x ＋a|＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a)；③当a ＞1时，|x ＋a|＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a)．(10分)(3)因为f(x)－f′(x)＝(x －1)[x －(1－2a)]，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，，，＜，①若a≥－12，则x ∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x ＋2a ，从而g(x)的最小值为g(2)＝2a ＋4；(12分)②若 a ＜－32，则x ∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a＜－32时，g(x)的最小值为g(2)＝4a ＋5，当－4＜a ＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a 2， 当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a ＋17.(14分) ③若－32≤a＜－12，则x ∈[2,4]时，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2x ＋2a ， x ∈[1－2a ，4]当x ∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a ＋5； 当x ∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a. 因为－32≤a＜－12，(4a ＋5)－(2－2a)＝6a ＋3＜0，所以g(x)最小值为4a ＋5， 综上所述，[g(x)]min＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a≤－4，1－a 2，－4＜a ＜－2，4a ＋5，－2≤a＜－12，2a ＋4，a≥－12.(16分)。