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实验5采样采样定理给定了一些条件，在这些条件之下，一个带限的连续时间信号能够完全用它的离散样本表示。
所得到的离散时间信号)(][nT x n x c =包含了在连续时间信号中的全部信息。
只要这个连续时间信号是充分在频率上带限的，即T j X c π≥Ω=Ω,0)(。
当满足这一条件时，原连续时间信号能够完全用样本][n x 之间的内插予以重建。
如果][n x 满足采样定理，就有可能完全在离散时间域中处理][n x 而得到另一个序列，这个序列本该以不同的采样率对)(t x c 采样而得到。
这个处理称为采样率转换。
离散时间系统的灵活性对于连续时间LTI 系统的实现提供了一种强有力的手段，这就是连续时间信号的离散时间系统处理。
在这一技术中，一个带限的连续时间输入被采样，用一个离散时间系统所得到的样本，然后将这个离散时间系统的输出样本进行内插，给出连续时间输出信号。
本章练习将研究涉及信号采样和重建中的许多问题。
注意，该章用Ω代表连续时间频率变量，而用ω代表离散时间频率变量。
§5.1由欠采样引起的混叠目的这个练习讨论信号经采样后其频谱的变化以及由于欠采样而在而在带限内插重建信号上引起的混叠效果。
相关知识如果一个连续时间信号)(t x 每隔T 秒采样一次，那么信号的样本就形成了离散时间序列)(][nT x n x =。
奈奎斯特采样定理说的是，如果)(t x 的带宽小于s π=Ω2，即2,0)(s c j X Ω≥Ω=Ω，那么)(t x 就完全可以由它的样本)(nT x 予以重建。
带限内插或信号重建是最容易将)(t x 首先乘以冲激串后而看出来的 ∑∞-∞=-=n p nT t nT x t x )()()(δ 用一个截止频率2s Ω的理想低通滤波器对)(t x p 滤波，就能从)(t x p 中将)(t x 恢复出来。
定义)(t x r 为低通过滤)(t x p 而得到的重建信号。
若)(t x 的带宽大于2s Ω，那么样本)(nT x 就不能完全确定)(t x ，)(t x r 一般说来不等于)(t x 。
课程思政优秀案例——《信号与系统》：连续时间信号的时域抽样一、课程和案例的基本情况课程名称：信号与系统授课对象：电子信息类专业本科二年级学生课程性质：专业核心课程课程简介：我们已进入以信息化和智能化为主要特征的新工科时代，信号与系统课程是电子信息类专业重要的专业基础课程，为相关专业提供了重要的基础理论。
该课程主要阐述信号的时域分析和变换域分析，以及信号与系统的作用机理。
该课程具有“原理深厚、方法多元、应用广泛”等特点，蕴含了丰富的课程思政元素，课程思政与课程教学深度融合，启发了学生的辩证思维能力，熏陶了学生的科学探索精神，厚植了学生的家国情怀。
思想价值引领贯穿于课程教学全过程，课程教学改革取得了显著成效，形成了“名课程、名教材、名团队”协同推进的良好格局。
该课程囊括了各类课程称号（图1）。
图1 课程教学改革成果课程教学改革和建设水平处于全国领先地位，示范引领，为推进全国信号与系统课程建设发挥了重要作用。
牵头组织成立了覆盖全国50多所高校的“信号处理课程群”虚拟教研室，牵头撰写了“全国信号与系统课程思政教学指南”。
建设了该课程的中文和英文MOOC，选学人数约30万。
编著的教材发行20多万册，被全国200多所高校选用。
应邀在全国性教学会议做大会特邀报告20多次，在40多所高校做专题报告。
案例简介：该案例的教学内容为“连续时间信号的时域抽样”，处于课程教学的中间阶段，紧随连续信号和离散信号的时域分析和频域分析。
主要阐述“为何要进行信号抽样、信号抽样的理论分析、抽样定理的本质内容、抽样定理的工程应用”，其为连续信号的数字化分析与处理提供了理论支撑，是课程教学的重点内容之一。
没有信息化就没有现代化，而信息化的基础是数字化。
信号的时域抽样正是阐述信号数字化的基本原理和方法，其架设了现实的模拟世界与虚拟的数字世界之间的桥梁，为信息化和智能化奠定了重要的理论基础。
本讲内容的教学目标：知识传授：※了解信号的时域抽样对信息化时代的重要意义；※理解信号时域抽样定理的基本原理和本质内容；※掌握实际工程应用中常见信号的时域抽样方法。
实验一 连续时间信号的采样一、实验目的进一步加深对采样定理和连续信号傅立叶变换的理解。
二、实验原理采样定理如果采样频率sF 大于有限带宽信号)(t x a 带宽0F 的两倍，即2F F s >则该信号可以由它的采样值)()(s a nT x n x =重构。
否则就会在)(n x 中产生混叠。
该有限带宽模拟信号的02F 被称为乃魁斯特频率。
熟悉如何用MATLAB 语言实现模拟信号表示严格地说，除了用符号处理工具箱(Symbolics)外，不可能用MATLAB 来分析模拟信号。
然而如果用时间增量足够小的很密的网格对)(t x a 采样，就可得到一根平滑的曲线和足够长的最大时间来显示所有的模态。
这样就可以进行近似分析。
令t∆是栅网的间隔且sT t <<∆，则)()(t m x m x a G ∆=∆可以用一个数组来仿真一个模拟信号。
不要混淆采样周期s T 和栅网间隔t ∆，因为后者是MATLAB 中严格地用来表示模拟信号的。
类似地，付利叶变换关系也可根据（2）近似为：∑∑Ω-∆Ω-∆=∆≈Ωmj G mtm j G a em x t t em x j X )()()(现在，如果)(t x a （也就是)(m x G ）是有限长度的。
则公式（3）与离散付利叶变换关系相似，因而可以用同样的方式以MATLAB 来实现，以便分析采样现象。
三、实验内容 A 、100021()ta X t e-=的采样：1、 以10000s F =样本/秒采样1()a X t 得到1()X n 。
Dt=0.00005; t=-0.005:Dt:0.005; xa=exp(-1000*abs(2*t));Ts=0.0001;n=-50:1:50;x=exp(-1000*abs(n*2*Ts)); K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X);w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1)subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x1(n)');title('离散信号');hold onstem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.1毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X);xlabel('以pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)');title('连续时间傅立叶变换');上面的图中，把离散信号)(1n x 和1()a X t 叠合在一起以强调采样。
信号与系统实验四-信号的采样及恢复实验四信号的采样及恢复⼀、实验⽬的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进⾏抽样和恢复的基本⽅法；3、通过实验验证抽样定理。
⼆、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进⾏抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产⽣不同波形的原因，提出改进措施。
（1）)102cos()(1t t x ?=π（2）)502cos()(2t t x ?=π（3）)1002cos()(3t t x ?=π2、产⽣幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。
3、对连续信号)4cos()(t t x π=进⾏抽样以得到离散序列，并进⾏重建。
（1）⽣成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。
（2）以10=sam f Hz 对信号进⾏抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利⽤抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =??=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。
)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？（3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。
4、利⽤MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。
三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。
四、实验原理对连续时间信号进⾏抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。
采样信号)()()(t s t f t f s ?=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。
其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f π⼤于等于2倍的原信号频率m f 时，即m s f f 2≥（抽样时间间隔满⾜ms f T 21≤），抽样信号的频谱才不会发⽣混叠，可⽤理想低通滤波器将原信号从采样信号中⽆失真地恢复。
第1篇一、实验目的1. 理解信号取样平均原理，掌握信号取样平均方法。
2. 分析信号取样平均对信号的影响，了解其优缺点。
3. 通过实验验证信号取样平均的可行性。
二、实验原理信号取样平均是一种信号处理技术，通过对连续信号进行取样、平均处理，实现对信号的平滑处理。
其原理如下：1. 信号取样：将连续信号在一定时间间隔内进行取样，得到一系列离散的采样值。
2. 信号平均：对采样得到的离散信号进行平均处理，得到平滑后的信号。
信号取样平均的方法有：1. 简单平均法：将连续信号在一定时间间隔内进行取样，得到一系列离散的采样值，然后对采样值进行平均。
2. 加权平均法：对采样值进行加权处理，然后对加权后的采样值进行平均。
三、实验器材1. 信号发生器2. 示波器3. 信号分析仪4. 计算机及信号处理软件四、实验步骤1. 将信号发生器输出信号连接到示波器上，观察信号波形。
2. 将信号发生器输出信号连接到信号分析仪上，观察信号频谱。
3. 设置信号发生器输出信号为正弦波，频率为f0，幅度为A。
4. 将信号发生器输出信号连接到计算机信号处理软件上，进行信号取样平均处理。
5. 观察信号处理软件中处理后的信号波形和频谱。
6. 对比分析处理前后的信号波形和频谱，分析信号取样平均对信号的影响。
五、实验结果与分析1. 信号波形分析实验结果表明，经过信号取样平均处理后，信号波形变得更加平滑，波动幅度减小。
这是因为取样平均可以消除信号中的高频噪声，使信号更加平稳。
2. 信号频谱分析实验结果表明，经过信号取样平均处理后，信号频谱中的高频成分减小，低频成分增大。
这是因为取样平均可以消除信号中的高频噪声，使信号频谱更加集中。
3. 信号取样平均的优缺点优点：（1）可以消除信号中的高频噪声，使信号更加平稳；（2）可以降低信号处理复杂度。
缺点：（1）会降低信号采样频率，增加信号处理时间；（2）对信号进行平均处理，可能损失部分信号信息。
六、实验结论1. 信号取样平均是一种有效的信号处理技术，可以消除信号中的高频噪声，使信号更加平稳。
《信号与系统实验》信号的采样与恢复（抽样定理）实验一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。
2、验证抽样定理。
二、实验设备1、信号与系统实验箱2、双踪示波器三、原理说明1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号抽样而得。
抽样信号f s(t)可以看成连续f(t)和一组开关函数s (t)的乘积。
s (t)是一组周期性窄脉冲，见实验图5-1，T s(t)称为抽样周期，其倒数f s(t)= 1/T s称为抽样频率。
图5-1 矩形抽样脉冲对抽样信号进行傅立叶分析可知，抽样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的信号频率。
平移的频率等于抽样频率f s(t)及其谐波频率2f s、3f s》》》》》》。
当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度(sinx)/x规律衰减。
抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。
2、正如测得了足够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把一系列数据点连起来，得到一条光滑的曲线一样，抽样信号在一定条件下也可以恢复到原信号。
只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。
3、但原信号得以恢复的条件是f s 2，其中f s为抽样频率，为原信号占有的频带宽度。
而f min=2 为最低抽样频率又称“柰奎斯特抽样率”。
当f s<2 时，抽样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中我们无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。
在实际使用中，仅包含有限频率的信号是及少的，因此即使f s=2 ，恢复后的信号失真还是难免的。
图5-2画出了当抽样频率f s>2 （不混叠时）f s<2 （混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。
t f(t)0F()t 0m ωm ω-(a)连续信号的频谱Ts t 0f s (t)F()t0m ωm ω-s ω-s ω（）(b)高抽样频率时的抽样信号及频谱 不混叠图5-2 冲激抽样信号的频谱实验中f s >2 、f s =2 、f s <2 三种抽样频率对连续信号进行抽样，以验证抽样定理——要使信号采样后能不失真地还原，抽样频率f s 必须大于信号频率中最高频率的两倍。
连续时间信号的采样与重构及其实现
信号处理是现代通信系统中至关重要的一环，其中采样与重构是
一种基本的信号处理技术。
在连续时间信号处理中，采样的作用是将
信号从连续时间域转换为离散时间域。
而重构的作用则是将离散时间
域信号重新转换为连续时间信号，以便于信号的处理和传输。
在采样的过程中，需要将连续时间信号按照一定的时间间隔进行
取样，得到一个离散时间序列。
采样过程中最关键的参数是采样频率，也就是每秒采用的样本数，通常用赫兹（Hz）表示。
采样频率越高，
离散时间序列的准确性就越高，但同时也会增加采样处理的复杂度。
重构的过程则是将离散时间信号恢复成连续时间信号。
由于采样
本身会将连续时间信号进行离散化处理，因此需要进行一定的插值和
滤波处理才能够准确地重构信号。
常见的重构算法包括插值算法、直
接复制算法和最小均方误差算法等。
在实现上，采样和重构的算法都需要借助于一定的数学模型和计
算机技术。
在现代通信系统中，基于数字信号处理技术的采样和重构
算法广泛应用于音频信号、视频信号、图像信号等多种信号处理领域。
数学模型包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等等。
总之，采样和重构是现代通信系统中非常重要的信号处理技术，
对于准确传输和处理信号具有至关重要的作用。
采用数字信号处理技
术可以实现高效的采样和重构，为现代通信系统的发展提供重要的支撑。
实验一 连续时间信号的采样
一、 实验目的
进一步加深对采样定理和连续信号傅立叶变换的理解。
二、实验步骤
1．复习采样定理和采样信号的频谱
采样定理
如果采样频率s F 大于有限带宽信号)(t x a 带宽0F 的两倍，即
02F F s > （1）
则该信号可以由它的采样值)()(s a nT x n x =重构。
否则就会在)(n x 中产生混叠。
该有限带宽模拟信号的02F 被称为乃魁斯特频率。
必须注意，在)(t x a 被采样以后，)(n x 表示的最高模拟频率为2/s F Hz （或πω=）。
2．熟悉如何用MATLAB 语言实现模拟信号表示
严格地说，除了用符号处理工具箱(Symbolics)外，不可能用MATLAB 来分析模拟信号。
然而如果用时间增量足够小的很密的网格对)(t x a 采样，就可得到一根平滑的曲线和足够长的最大时间来显示所有的模态。
这样就可以进行近似分析。
令t ∆是栅网的间隔且s T t <<∆，则
)()(t m x m x a G ∆=∆ （2）
可以用一个数组来仿真一个模拟信号。
不要混淆采样周期s T 和栅网间隔t ∆，因为后者是MATLAB 中严格地用来表示模拟信号的。
类似地，付利叶变换关系也可根据（2）近似为：
∑∑∆Ω-∆Ω-∆=∆≈Ωm
t m j G m t m j G a e m x t t e m x
j X )()()( （3） 现在，如果)(t x a （也就是)(m x G ）是有限长度的。
则公式（3）与离散付利叶变换关系相似，因而可以用同样的方式以MATLAB 来实现，以便分析采样现象。
3．根据提供的例子程序，按照要求编写实验用程序；
三、实验内容
（1）通过例一熟悉用MATLAB 语言实现描绘连续信号的频谱的过程，并在MATLAB 语言环境中验证例1的结果；
例1 令t a e t x 1000)(-=，求出并绘制其付利叶变换。
解：根据傅立叶变换公式有
20100001000)1000
(1002.0)()(Ω+=+==ΩΩ-∞-Ω-∞-Ω-∞∞-⎰⎰⎰dt e e dt e e dt e t x j X t j t t j t t j a a （4）
因为)(t x a 是一个实偶信号，所以它是一个实值函数。
为了用数值方法估计)(Ωj X a ，必须先把)(t x a 用一个栅格序列)(m x G 来近似。
利用05≈-e ，注意)(t x a 可以用一个在005.0005.0≤≤-t （或等效地[-5,5]毫秒）之间的有限长度信号来近似。
类似地从式（4），0)(≈Ωj X a ，当)2000
(2π≥Ω。
由此选： 551025)
2000(21105--⨯=<<⨯=∆t 用MATLAB 实现例1的程序如下：
% 模拟信号
Dt=0.00005; t=-0.005:Dt:0.005; xa=exp(-1000*abs(t));
%连续时间傅立叶变换
Wmax=2*pi*2000;
K=500;
k=0:1:K;
W=k*Wmax/K; Xa=xa*exp(-j*t'*W)*Dt; Xa=real(Xa);
W=[-fliplr(W),W(2:501)];%频率从-Wmax to Wmax
Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:501)];%Xa 介于 -Wmax 和 Wmax 之间
subplot(1,1,1)
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t 毫秒'); ylabel('xa(t)'); title('模拟信号')
subplot(2,1,2);
plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);
xlabel('频率（单位：Hz)'); ylabel('Xa(jW)*1000')
title('连续时间傅立叶变换')
图1 例1中的曲线
图1给出了)(t x a 和)(Ωj X a 。
注意为了减少计算量，这里只在]4000,0[π弧度/秒（等效地
[0,2]kHz ）范围内计算了)(Ωj X a ，然后将它复制到]0,4000[π-中去以便于绘图。
所画出的)(Ωj X a 的图与公式（3）相符。
（2）仿照例2用MATLAB 语言实现对连续信号
1000210000.512()()t t a a x t e
x t e --==和的采样；并验证采样定理。
例2 为了研究采样对频域各量的影响，这里用两个不同的采样频率对例1中的)(t x a 进
行采样。
a.以5000=s F 样本/秒采样)(t x a 得到)(1n x 。
求并画出)(1ωj e X 。
b.以1000=s F 样本/秒采样)(t x a 得到)(2n x 。
求并画出)(2ωj e X 。
解：a.因为)(t x a 的带宽是2kHz ，奈魁斯特频率为4000样本/秒。
它比所给的采样频率s F 低，因此混叠将（几乎）不存在。
% 模拟信号
Dt=0.00005;
t=-0.005:Dt:0.005;
xa=exp(-1000*abs(t));
%离散时间信号
Ts=0.0002;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(n*Ts));
%离散时间傅立叶变换
K=500;
k=0:1:K;
w=pi*k/K;
X=x*exp(-j*n'*w);
X=real(X);
w=[-fliplr(w),w(2:K+1)];
X=[fliplr(X),X(2:K+1)];
subplot(1,1,1)
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t 毫秒');
ylabel('x1(n)');
title('离散信号');hold on
stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2毫秒');hold off
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,X);
xlabel('以pi 为单位的频率');
ylabel('X1(w)');
title('离散时间傅立叶变换');
图2 例2 （a ）中的曲线
在图2的上面的图中，把离散信号)(1n x 和)(t x a 叠合在一起以强调采样。
)(1ωj e X 表明它是一个放大了（5000=s F 倍）的)(Ωj X a 曲线。
显然，不存在混叠现象。
b.此时，40001000<=s F 。
因此必然会有明显的混叠出现。
从图3可以看得很清楚，其中)(2ωj e X 的形状和)(Ωj X a 不同了，可以看出这是把互相交叠的)(Ωj X a 的复制品叠加的结果。
% 模拟信号
Dt=0.00005;t=-0.005:Dt:0.005;xa=exp(-1000*abs(t));
%离散时间信号
Ts=0.001;n=-5:1:5;x=exp(-1000*abs(n*Ts));
%离散时间傅立叶变换
K=500;
k=0:1:K;
w=pi*k/K;
X=x*exp(-j*n'*w);X=real(X);
w=[-fliplr(w),w(2:K+1)];
X=[fliplr(X),X(2:K+1)];
subplot(1,1,1)
subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);
xlabel('t 毫秒');
ylabel('x2(n)');
title('离散信号');hold on
stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=1毫秒');hold off
subplot(2,1,2);
plot(w/pi,X);
xlabel('以pi 为单位的频率');ylabel('X2(w)');title('离散时间傅立叶变换');
图3 例2 （b ）的曲线
四、思考题：
1．通过实验说明信号的时域与频域成反比的关系。
2．分别求出1000210000.512()()t t a a x t e
x t e --==和奈奎斯特采样间隔，并与例一的信号的奈奎斯
特采样间隔比较。
五、实验报告要求
1．简述实验原理的目的；
2．结合实验中得到的实验结果曲线与理论结果比较，并分析说明误差产生的原因；
3．总结实验所得主要结论。
4．简要回答思考题。
