变量之间的关系知识讲解

领航两个变量之间的关系一、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

领航两个变量之间的关系一、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法◆要点1 变量、自变量、因变量(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3) 利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

BL—01(4) 对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表示速度在减少。

变量间的相关关系讲义变量间的相关关系讲义一、基础知识梳理知识点1：变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。

当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。

相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。

注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。

点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。

知识点2.散点图.1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。

2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。

3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。

如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。

高中数学知识点：变量之间的相关关系变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。

1．函数关系
函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y 都有唯一确定的值和它相对应。

2．相关关系
变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性
相关关系分为两种:
正相关和负相关
要点诠释：
对相关关系的理解应当注意以下几点：
（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系.
（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.
（3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下
可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计.
3．散点图
将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。

通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。

知识梳理：变量之间的关系我们生活在一个变化的世界中，如时间、温度，还有我们的身高、体重等都在悄悄地发生变化. 若能从数学的角度研究变化的量，将有助于我们了解自己、认识世界和预测未来. 为帮助同学们学好本章知识，特作如下知识梳理：一、理解变量、自变量和因变量的概念所谓变量．．，就是处于变化的量. 变量是相对于不变的量而言的.如，（1）小明的体重随年龄的增长而增加. 这里的体重和年龄都是变量；（2）自然界的气温随着季节的变化而变化. 这里的气温和季节都是变量.上述两例中，年龄和季节都是首先变化的量，则称之为自变量．．．；而体重因年龄的增长而增加，气温因季节的变化而变化，则我们把体重、气温称之为因变量．．．. 因此，因变量随自变量的变化而变化，它们都是某一变化过程中的量.二、掌握“变量之间的关系”的三种表示方法1、表格法：通过列表格可以得到变量之间的关系信息，进一步预测其变化趋势，从而作出科学的判断. 一般地，因变量随自变量的变化呈现一定的规律，依据此规律对结论作出预测.2、关系式法：关系式是表示变量之间关系的另一种方法，它能准确地反应出因变量与自变量之间的数值对应关系. 也就是说，当自变量每一个确定的值，因变量就有惟一一个确定的值与它对应.3、图象法：图象是表示变量之间关系的又一种方法，图象能非常直观形象地反映出因变量随自变量的变化的趋势. 其通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量.三、学会用三种方法分析实际问题学会运用“变量之间的关系”的三种表示方法，能作出正确的分析，从中获得相关信息，并加以处理，依据其变化趋势作出预测.例1某试验小组研究表明，玉米的产量与施肥量的关系统计数据如下表：1/ 32 / 3（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当施肥量为40千克/亩时，玉米的产量是多少？如果不施肥呢？（3）依据上表中数据，你认为施肥量是多少时比较适宜？请说明理由.（4）简单分析一下施肥量对玉米产量的影响.解析：（1）上表反映了施肥量与玉米产量这两个变量之间的关系，施肥量是自变量，玉米产量是因变量.（2）由上表知，）当施肥量为40千克/亩时，玉米的产量是401.1千克，如果不施肥玉米的产量是192.4千克.（3）依据上表中数据，认为施肥量在56千克左右时比较适宜.理由是：由上表的数据表明：每亩玉米肥量56千克产量较高，施肥量达80千克，玉米产量增加甚微，再增加玉米产量降低.（4）在一定的范围内（0—56千克），施肥量与玉米产量成正比，但并不是施肥量越多越好，施肥量超出范围会造成玉米烧苗，从而玉米产量降低.例2 如图所示，梯形的上底长是5厘米，下底长是13厘米. 当梯形的高由大变小时，梯形的面积也随之发生变化.（1）在这个变化过程中，自变量是 、因变量是 .（2）梯形的面积y （厘米2）与高x （厘米）之间的关系式为 .（3）当梯形的高有10厘米变化到1厘米时，梯形的面积由 厘米2变化到 厘米2.解析：（1）在这个变化过程中，自变量是梯形的高，因变量是梯形的面积.（2）由梯形的面积公式，得 y =21（5＋13）×x = 9x. 所以，梯形的面积y 与高x 之间的关系式为：y = 9x.（3）当x = 10厘米时，y = 9x = 9×10 = 90（厘米2）；当x = 1厘米时，y = 9x = 9×1= 9（厘米2）.所以，当梯形的高有10厘米变化到1厘米时，梯形的面积由90厘米2变化到9厘米2.13例 3 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?解析：⑴由图象知，第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的，它的体温从最低上升到最高需要12小时.⑵由图象知，前两天12时这头骆驼的体温是39℃，又因在这四天中每昼夜的体温变化情况相同，所以第三天12时这头骆驼的体温仍是39℃.例 4 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。

变量之间的关系及常见题型一、基础知识1、常量：在（变化过程中）一组数据中或者关系式中数值保持不变的量；2、变量：数值发生变化的量（在一变化过程中一般有两个变量）（1）自变量：在一定范围内主动发生变化的变量；（2）因变量：随自变量的变化而变化的变量。

二、表示方式1、表格法（1）一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量；（2）从表格中可以获取一些信息，发现因变量随自变量的变化存在一定规律；2、关系式（1）表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫关系式；关系式一般用含自变量的代数式表示因变量的等式（2）能利用关系式进行计算；3、图像法（1）水平方向的数轴（横轴）表示自变量；竖直方向的数轴（纵轴）表示因变量；（2）利用图像尽可能地获取自变量因变量的信息，特点是直观。

练习：1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）A、明明B、电话费C、时间D、爷爷2上述问题中，第五排、第六排分别有个、个座位；第排有个座位3、据世界人口组织公布，地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势，即随时间的变化，地球上的人口数量在逐渐地增加，如果用t表示时间，y表示人口数量，是自变量，是因变量。

（2）随着自变量的变化,因变量变化的趋势是什么?（3）你认为入学儿童的人数会变成零吗?50≤x ≤30） 提出概念所用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y)47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？（4）从表格中可知，当时间x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x 在什么 范围内，学生的接受能力逐步降低？（5） 根据表格大致估计当时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？6 下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：时间（分） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 温度（℃） 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100（2）上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（3）水的温度是怎样随时间变化的？（4）根据表格，你认为13分钟、14分钟时水的温度是多少？（5）为了节约能源，在烧开水时，你认为应在几分钟左右关闭煤气？巩固练习：一、选择题（每小题3分，共24分）1．我们都知道，圆的周长计算公式是c=2πr ，下列说法正确的是（ ）A. c ，π，r 都是变量B. 只有r 是变量C. 只有c 是变量D. c ，r 是变量 2．一汽车以平均速度60千米/时速度在公路上行驶，则它所走的路程s （千米）与所用的时间t （时）的关系式为（ ）A.t s +=60B. t s 60=C. 60ts = D. t s 60= 3．雪撬手从斜坡顶部滑了下来，下图中可以大致刻画出雪撬手下滑过程中速度—时间变化情况的是（ ）4．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，说明温度随者海拔的升高而降低，已知某地面温度为20℃，且每升高1千米温度下降6℃，则山上距离地面h 千米处的温度t 为（ ） A. 206t h =- B. 206h t =- C. 206h t -=D. 206th -=5．根据图示的程序计算变量y 的对应值，若输入变量x 的值为-1，则输出的结果为（ ）D C B A 时间时间时间速度速度速度时间速度0000100A. –2B. 2C. –1D. 06．如下图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在 同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t ，正方形除去圆部分的面积为S （阴影部分），则S 与t 的大致图象为（ ）7．星期天，小王去朋友家借书，下图是他离家的距离y （千米）与时间x （分钟）的图象，根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A ．小王去时的速度大于回家的速度 B ．小王在朋友家停留了10分钟C ．小王去时所花的时间少于回家所花的时间D ．小王去时走上坡路，回家时走下坡路8．如图，四边形ABCD 是边长为2cm 的正方形，动点P 在ABCD 的边上沿A B C D →→→的路径以1cm/s 的速度运动（点P 不与A D ，重合）．在这个运动过程中，APD △的面积2(cm )S 随时间()t s 的 变化关系用图象表示，正确的为（ ）二、填空题：（每小题3分，共24分）9．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中________是自变量， 是因变量. 10．在体积为20的圆柱中，底面积S 关于高h 的关系式是 ． 11．飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）与滑行时间t （单位：秒）之间的关系是s=60t －1.5t 2，当t=40时，s=______________. 12．小雨拿5元钱去邮局买面值为80分的邮票，小雨买邮票后所剩钱数y （元）与买邮票的枚数x （枚）之间的关系式为 .13．声音在空气中传播的速度y （m/s ）与气温x （ºC ）之间在如下关系：33153+=x y . 当气温x =15 ºC 时，声音的速度y = m/s 。

七年级变量间的关系知识点在七年级数学学习中，变量是一个重要的概念。

变量是可以赋值而不是具体的数字或者对象，因此它可以用来表示一组不同的数值或者自然语言中的实体。

在本篇文章中，我们将会详细讨论七年级中变量间的关系知识点。

一、变量的定义和使用在代数表达式中，我们通常使用字母来表示一个变量。

这个变量可以代表任意实数，我们可以将其赋值为特定的数字或表达式，来求得代数式的值。

例如：设 a = 2，则 a + 3 = 5b = 4，则 b - 1 = 3我们用变量来存储一组数字，这些数字可以是实数、整数、分数等。

通过变量的方式，我们可以轻松地对表达式进行变化和操作，大大方便了数学问题的解决。

二、变量间的关系1. 变量的相等关系在使用变量的时候，我们经常会碰到一些等式。

比如：2x + 1 = 5y - 3 = 2这里的“=”代表两边的值相等。

这种关系被称为“等式”。

在等式中，我们可以将其中一个变量用另一个变量表示出来，从而建立两个变量之间的关系。

例如：2x + 1 = 52x = 4x = 2由此可见，不同变量之间可以建立相等和不等的关系。

2. 变量的大于小于关系有时候我们需要判断两个变量之间的大小关系。

比如：3x + 2 > 5x - 1y + 4 < 2y - 3这里的“>”和“<”分别代表“大于”和“小于”，用于判断两个变量之间的大小关系。

我们可以通过移项、合并同类项、化简等方法，将不等式变形为关于变量的简单形式。

3x + 2 > 5x - 1-2x > -3x < 3/23. 变量之间的比例关系变量之间的比例关系在我们的日常生活中也经常出现。

比如：小明比小红高出 10 厘米，小明的身高是小红身高的 1.2 倍。

这里的“高出”“身高”“倍数”等词汇涉及到了变量之间的比例关系。

我们可以通过设置比例、计算比例中的变量，来解决涉及到变量间的比例关系的问题。

小明比小红高出 10 厘米，小明的身高是小红身高的 1.2 倍。

变量之间的关系讲解【根底知识】知识点一：有关变量的根本概念1、变量：在某一过程中发生变化的量,其中包括自变量与因变量.2、自变量是最初变动的量,它在研究对象反响形式、特征、目的上是独立的；3、因变量是由于自变量变动而引起变动的量,它“依赖于〞自变量的改变.4、常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量^知识点二：变量的表示方法1 .列表法采用数表相结合的形式,运用表格可以表示两个变量之间的关系.列表时一般第一行代表自变量,第二行代表因变量,选取能代表自变量的一些数据,并按从小到大的顺序列出,再分别求出对应的因变量的值.优点：直观,可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值,缺点：具有局限性,只能表示因变量的一局部.2 .图象法对于在某一变化过程中的两个变量,把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出这些点,这些点所组成的图形就是它们的图象〔这个图象就叫做平面直角坐标系〕.它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法.特点：非常直观.缺乏之处是所画的图象是近似的、局部的,通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的.表示的步骤是：①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值.一般给出的数越多,画出的图象越精确.②描点：在用图象表示变量之间的关系时,通常用水平方向的数轴〔横轴或x轴〕上的点来表示自变量,用竖直方向的数轴〔纵轴或y轴〕上的点来表示因变量.③连线：根据自变量从小到大的顺序, 用平滑的曲线把所描的各点连结起来. 注意：a.认真理解图象的含义,注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义〔坐标〕^3 .关系式法〔解析法〕关系式〔即解析式〕是利用数学式子来表示变量之间关系的等式,利用关系式,可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值,也可以因变量的值求出相应的自变量的值.注意：三种表示方法的关系表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系,关系式可以列出表格,画出图象,表格、图象却不一定有相应的关系式.但是,关系式确实定也是根据表格、图象所提供的信息,用从特殊到一般的数学思想,经过类比、比拟和归纳,从而猜测得出结论进行验证后的结果.知识点三：事物变化趋势的描述对事物变化趋势的描述一般有两种：1 .随着自变量x的逐渐增加〔大〕,因变量y逐渐增加〔大〕〔或者用函数语言描述也可：因变量y 随着自变量x的增加〔大〕而增加〔大〕〕；2 .随着自变量x的逐渐增加〔大〕,因变量y逐渐减小〔或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加〔大〕而减小〕注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样,可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加〔大〕,因变量y逐渐增加〔大〕等等. 知识点四：估计〔或者估算〕对事物的估计〔或者估算〕有三种：1.利用事物的变化规律进行估计〔或者估算〕.例如：自变量x每增加一定量, 因变量y的变化情况；平均每次〔年〕的变化情况〔平均每次的变化量=〔尾数—首数〕/次数或相差年数〕等等；2 .利用图象：首先根据假设干个对应组值,作出相应的图象,再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值；3 .利用关系式：首先求出关系式,然后直接代入求值即可^知识点五：两种图像的区别 ---平行于横轴的意义1、v-t 〔速度与时间〕说明：线段.■OA表示汽车正在加速行驶:/ \/Jt.X_L——OC p T线段AB 表小汽车正在匀速行驶,线段BC 表小汽车正在减速行驶；线段CD 表不 汽车停止了行驶.1、s-t (距离与时间)1 .某校办工厂现在年产值是 15万元,方案以后每年增加 2万元.(1) 写出年产值y (万元)与年数 x 之间的关系式.(2) 用表格表示当x 从0变化到6 (每次增加1) y 的对应值. (3)求5年后的年产值.说明：线段OA 表小汽车正在离开出发地,线段AB 表小汽车停止了行驶(V=0, S 不变)线段BC 表示汽车正在返回出发地,线段CD 表示汽车已经回到了出发地并停止了. (S=0, V=0) 注意：理解平行于横轴的线段的不同含义(在这段时间内因变量不变)、 知识点六：变化速度的比拟在相同时间内因变量变化速度的比拟,哪一支图像更陡一些,这支图像代表 的因变量的变化会更快一些.1、增长速度2 .如图10,反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图.(1) 图中反映了哪两个变量之间的关系？⑵.超市离家多远？ (2) 小明到达超市用了多少时间？⑸.小明往返花了多少时间？ (3) 小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？(4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少?甲图像更陡,所以甲增长的更快.2、下降速度3 .如图,它表示甲乙两人从同一个地点出发后的情况.到十点时,甲大约走了13千米.根据图象答复：甲图像更陡,所以甲速度下降的更快. 【例题讲解】（1）甲是几点钟出发？（2）乙是几点钟出发,到十点时,他大约走了多少千米?（3）到十点为止,哪个人的速度快？（4）两人最终在几点钟相遇？（5）你能将图象中得到信息,编个故事吗？【随堂练习】-、选择题1.下面的图表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高处d落下时,反弹高度b与的是〔〕A. b=2d B, b=2 C, b=d+25 D, b = d-252 .皮球从空中落下时从地面弹起的高度y 〔米〕与其下落的高度x 〔米〕存在一定的关系.下表是一组试验数据.以下能表示这种关系的是〔〕卜落的局度x 〔米〕50100150200弹起的高度y 〔米〕2550751002A. y=x B,y=2x C, y=x-251D, y=2x33 .三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水,如果平均每天流入库区的水量为am ,平均每天流出的水量限制为bm 3,当蓄水水位低于135m时,b<a；当蓄水水位到达135m时,b=a,设库区的蓄水量y〔m3〕是随时间t 〔天〕变化而变化4 .如图是反映两个变量关系的图,以下的四个情境比拟适宜该图的是〔〕A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系B, 一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系C, 一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系D,踢出的足球的速度与时间的关系5.如图,射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运发动在自行车比赛中所走路程与6.如图,以下图是汽车行驶速度〔千米/时〕,和时间〔分〕的关系图,以下说法其中正确的个数为〔〕〔1〕汽车行驶时间为40分钟；〔2〕 AB表示汽车匀速行驶；〔3〕在第30分路程〔千米〕钟时,汽车的速度是 90千米/时；〔4〕第40分钟时,汽车停下来了 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个某校办工厂今年前5个月每月生产某种产品总量〔件〕与时间〔月〕的关系如以下图所示,那么对于该厂生产这种产品的说法正确的选项是〔〕A. 1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量逐月减少B. 1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月每月生产总量与 3月持平C. 1月至3月每月生产总量逐月增加,4、5两月均停止生产D. 1月至3月每月生产总量不变,4、5两月均停止生产如图、是某地一天的气温随时间变化的图像,根据图像可知,在这一天中最高气温与到达最高气温的时刻分别是〔〕A. 14 C, 12 时B. 4 C, 2 时C. 12C, 14 时D. 2 C, 4 时〔不超过局部仍按每立方米2元计算〕.现假设该市某户居民某月用水X 立方米 水费为y 元,那么y 与x 的函数关系用图象表示正确的选项是〔〕10.甲乙两同学约定游戏规那么：甲先骑自行车到终点后跑步回起点,而乙那么跑步到 终点后骑自行车回起点,两人同时出发,最后两人同时回到起点.甲骑自行车速度比乙骑自行车速度快,假设某人离开起点的距离与所用时间的关系 可用图象表示,那么以下选项正确的选项是〔〕2004年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民 用水收费标准：①假设每月每户居民用水不超过4立方米,那么按每立方米2元计算;②假设每月每户居民用水超过4立方米,那么超过局部按每立方米4.5元计算13 .长方形白^宽为6cm,那么它的周长L 与长a 之间的关系为14 .声音在空气中传播的速度y 〔m/s 〕与气温x 〔oC 〕之间在如下关系：CD ,与文t 博］A.甲是图〔1〕,乙是图〔2〕; C.甲是图〔1〕,乙是图〔4〕;、填空题：B.甲是图〔3〕,乙是图〔2〕; D.甲是图〔3〕,乙是图〔4〕;11 _________________________________________________ .假设x 是自变量,y 是因变量,那么 y 应随x 的 而 12.某人以每小时 m 千米的速度从甲地向乙地行走,假设甲、乙两地相距S 千米,那么当他行走了 x 小时后,他距乙地还有y 千米,在这个问题中,与 是常量,—是自变量；—是因变量. 7. 8. 9.3 y =-x +331.5 (1)当气温 x=15 oC 时,声音的速度 y= m/s o (2)当气温 地相距x=22 oC 时,某人看到烟花燃放 5s 后才听到声响,那么此人与燃放 间的关系的图象如图.根据图象解决以下问题：(1)谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间? (2)分别求出甲、乙两人的行驶速度 .(3)乙经过几分钟追上甲？这时两人距B 地还有多远？m. 15. 汽车以60km/h 速度匀速行驶,随着时间 也随着变化,那么它们之间的关系式为t (时)的变化,汽车的行驶路程 s 16. 一辆汽车以45km/h 的速度行驶,设行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),那么s 与t 的关系式为,自变量与因变量分别是17. 拖拉机工作时,油箱中的余油量 Q (升)与工作时间t (时)的关系式为Q=4018. 19. 20. 21. 22. 23. —6to 当 t=4 时,Q=小时一个长方形周长为 关系式是,从关系式可知道这台拖拉机最多可工作12, 一边长为x,―,当x=2时,等腰三角形的底角的度数为x, 为.在弹性限度内,一弹簧长度 y (cm)小明某天上午9时骑自行车离开家,15时回家,他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图面积y 随x 的变化而变化,那么y 与x 的y=顶角的度数为y,那么y 关于x 的关系式与所挂物体的质量x (kg)之间的关系(1) (2) (3)(4)(5)(6)图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量? 10时和13时,他分别离家多远？ 他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ 11时到12时他行驶了多少千米？ 他可能在哪段时间内休息,并吃午餐？ 他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？式是y= 2 x+10 ,如果该弹簧最长可以拉伸到20cm ,那么它所挂物体的最大质5量是.一圆锥的底面半径是 5cm,当圆锥的高由2cm 变到10cm 时,圆锥的体积由 3 一〜,cm 变到 3 cm 小雨拿5元钱去邮局买面值为 80分的邮票,小雨买邮票后所剩钱数y (元) 与买邮票的枚数x (枚)之间的关系式为 . 解做题：甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由A 地到B 地,行驶过程中路程与时24.时间/分1 2 3 4 5 6 7卜表是佳佳往妹妹家打长途 的几次收费记载:费/元0.6 1. 2 1. 8 2. 4 3. 0 3. 6 4. 2(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)如果用x表示时间,用y表示费,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么？(3)佳佳某次打所用时间为5分钟,那么需付费多少元？(4)你能帮佳佳预测一下,如果她打用时间是10分钟,那么需付多少电话费？【课后练习】1、如图,L甲、L乙分别表示甲、乙两名运发动在自行车比赛中所走路程与时间的关系,那么它们的平均速度的关系是()A.甲比乙快B,乙比甲快C.甲、乙同速D.不一定信」2、李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行驶,中途由于自行车发生故障,停卜修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,但仍保持匀速行驶, 结果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出表示自行车行驶路程s(km)与行驶时间；(h)关系的示意图,同学们画出的示意图有如下四种,你认为哪幅图能较好地刻画李老师行驶的路程与时间的变化关系()3、某人骑车上路,一开始以某一速度行进,途中车子发生故障,只好伊F来修车,车修好后,因怕耽误上路时间,于是就加快了车速.如用s表示此人离家的距离,t为时间,在下面给出的四个表示s与t的关系的图象中,符合以上情况的是()山……一人申…r「4、某校举行趣味运动会,甲、乙两名学生[/同时从A地到B地,甲先骑自行车到B地后//跑步回A地,乙那么是先跑步到B地,后骑自,,一* 为1口c1Q| J(C)(D)/.1行车回A地(骑自行车速度快于跑上/一步速度),最后两人恰好同时回到A门g 1r '门心'地；甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,假设学生离开A地的距离S与所用时间t的关系用图象表示(实线表示甲的图象,虚线表示乙的图象),那么图中正确的选项是()ji S t L^*本~~/ o r O f °(A)(H)(C)U»5、“龟兔赛跑〞讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟,骄傲起来, 睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还时先到达了终点••….・用S I、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,那么以下图象中与故事情节相吻合的是()(A)(B)(C)<D)6、如图,以下图是汽车行驶速度〔千米/时〕和时间〔分〕 的关系图,以下说法其中正确的个数为(1) (2) (3) (4)A.7、某气象研究中央观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程. /h. 4h 后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均增速9、某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为 Q1吨,加油飞机的加油油箱余 油量为Q2吨,加油时间为t 分钟,Q1、Q2与t 之间的函数图象如下图,结合 图象答复以下问题：〔1〕加油飞机的加油油箱中装载了 吨油,将这些油全部加给运输飞机需 分钟.〔2〕运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用？请说明理由.速保持不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少 1km/ h,最终 停止.结合风速与时间的图象,答复以下问题.8、一位农民带上假设干千克自产的土豆进城出售.为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数 〔含备用零钱〕的关系,如图,结合图象答复以下问题：〔1〕农民自带的零钱是多少？ 〔2〕求出降价前每千克的土豆价格是多少？〔3〕降价后他按每千克 0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱〔含备用零钱〕10、汽车在行驶过程中,由于惯性作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,我们称这段距离为 刹车距离岁同类车而言,速度越大,刹车距离〞越长；速度越小,“刹车距离〞越短.交警同志在处理交通撞车事故时,通常把 刹 车距离〞作为一重要分析数据,现有一个限速 40km/h 以内的弯道上,甲、乙两车 相向而行,各自发现情况后,同时刹车,但还是相撞了,事故后,现测得甲车的是26元,试问他一共带了多少千克土豆?开始时平均增速 2 km4km/h. 一段时间内风汽车行驶时间为 40分钟；AB 表示汽车匀速行驶；在第30分钟时,汽车的速度是 第40分钟时,汽车停下来了B. 2个C. 3个刹车距离为5m,乙车的刹车距离超过10m,但小于12m,甲车的刹车距离S甲米？何时到达终点？〔2〕摩托车何时开得最快？2〔m〕与车速V甲〔km/h〕有以下关系：S? 二一V甲,乙车的刹车距离S乙〔m〕151与车速V乙〔km/h〕有如下关系：5乙=-V乙,假假设你是一名交警,这次事故谁应4摩托车何时第一次停驶？此时离家多远？摩托车第二次停驶了多长时间？摩托车在11:00到12:00这段时间内的平均速度是多少求摩托车在全部行驶时间内的平均速度？该负主要责任?【拓展练习】1、地向一个如下图的容器中注水,最后把容器注满,在注水的过程中水面的高度h随时间t变化的函数图象大致是〔34.,•就；160 ♦14.■120 ,10.小80 •40 -20时间［时->-►13 14 1511、下页这张曲线图〔图6T2〕表示某人骑摩托车旅行情况,他上午8:00离开家,请仔细观察曲线图, 答复以下问题：〔1〕他从家到达终点共骑了多少千2、的向一个容器中注水,最后把容器注满,在注水过程中,时间t〔s〕的变化规律如下图, 〔图中OABC为一折线〕D水面高度h 〔cm〕随,这个容器的形状是图中⑶(4)⑸(6)为保证航行平安,只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m 时,才能进出该 港.根据题目中所给的条件,答复以下问题：(1)要使该船能在当天卸完货并平安出港,那么出港时水深不能少于 m,卸货最多只能用 小时；(2)该船装有1200吨货,先由甲装卸队单独卸,每小时卸180吨,工作了一段时间后,交由乙队接着单独卸,每小时卸120吨.如果要保证该船能在当天 卸完货并平安出港,那么甲队至少应工作几小时,才能交给乙队接着卸？5、动车出发前油箱内有 42升油,行驶假设干小时后,途中在加油站加油假设干升.油箱中余油量 Q (升)与行驶时间t (小时)之间的函数关系如下图,根据下 图答复以下问题：(1)机动车行驶几小时后加油？加了多少油？(2)试求加油前油箱余油量 Q (L)与行驶时间t (h)之间的函数关系式；(3如果加油站离目的地还有 230公里,车速为40公里/小时,要到达目的地,油 箱中的油是否够用？请说明理由.4、如图,长方形 ABCD 中,当点P 在边AD (不包括A 、D 两点)上从 A 向D 移动时,有的线段的长度和三角形的面积始终保持不变,而有些那么发生了变化.、(1)试分别列举出长度变化与不变化线段的长度、以及面积变化与不变化的二)三角形；L 二1(2)假设长方形的长 AD 为10 cm,宽CD 为4 cm,线段AP 的长度为x cm, 匚口分别写出线段 PD 的长度y (cm)、△ PCD 的面积S ( cm 2)与x (cm)之间的关系式,并指出自变量 x 的取值范围.。

变量之间的关系第一节用表格表示变量之间的关系知识点一变量、自变量、因变量、常量的定义一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量成为变量. 如果有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，两一个变量也有唯一的一个数值与其对应，那么，通常前一个变量叫自变量，后一个变量叫做因变量. 在变化过程中数值始终不变的的那个量叫做常量.注意：（1）常亮与变量往往是相对的，相当于某个变化过程.（2）在某一变化过程中，可能有一个或几个常量，不可能没有变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量.知识点二自变量与因变量的区别与联系自变量与因变量共同存在于一个变化过程中，它们既有区别又有联系.因变量随自变量的变化情况：知识点三从表格中获取信息对变化趋势进行初步预测借助表格可以表示两个变量之间的关系.表示两个变量之间关系的表格，一般第一行表示自变量，第二行表示因变量，从表格中发现因变量随自变量变化存在一定的规律——或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测.用列表法表示两个变量之间的关系时，表格只能提供自变量与因变量对应的部分数据，不能全面反映两个变量之间的关系，想要知道表格中没有出现的自变量与因变量的对应数据，需要对表格中的数据进行分析，从已知部分数据中观察变量的变化规律并依此估计未在表格中出现的数据.例题1. 某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是（）A.y，t和100都是变量 B.100和y都是常量C.y和t是变量D.100和t都是常量练习1. 下表是某报纸公布的世界人口数情况：上表中的变量是（）A.仅有一个，是年份B.仅有一个，是人口数C.有两个变量，一个是人口数，另一个是年份D.一个变量也没有在这三个量中，__________是常量，__________是自变量，__________是因变量.练习4. 在利用太阳能热水器给水加热的过程中，热水器里水的温度随所晒太阳光时间的长短而变化，这个问题中因变量是（）A.太阳光的强弱B.热水器里水的温度C.所晒太阳光的时间D.热水器练习5. 一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（）A．r是因变量，V是自变量B．r是自变量，V是因变量C．r是自变量，h是因变量D．h是自变量，V是因变量练习6. 明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）。

领航两个变量之间的关系、知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法(关系式法) 、图象法◆要点 1 变量、自变量、因变量(1)在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2)在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T 三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T 为自变量，路程为因变量。

◆要点 2 列表法与变量之间的关系(1)列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

(2)从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小◆要点 3 用关系式表示变量之间的关系(1)用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。

(2)写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

(3)利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

◆要点 4 用图象法表示变量的关系(1)图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。

(2)通常用横轴(水平方向的数轴)上的点表示自变量，用纵轴(竖直方向的数轴)上的点表示因变量。

(3)从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

(4)对比看：速度—时间、路程—时间两图象★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段” ①表示速度在增加；“水平线段” ②表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段” ③表示速度在减少。