矩形课件1

A EF D
证法二：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD
OA＝OＣ＝1 AC 2
,
OＢ＝OD=
∴OA=OB=OC=OD
1 2
BD
B
O
C
又AE=DF,∴OE=OF OB=OC
在ΔBOE与ΔCOF中 ∠BOE=∠COF
OE=OF
∴ΔBOE≌ΔCOF(SAS)
∴BE=CF
第26页，共30页。
（2011山东滨州）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除
外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分
线于点E,交∠BCA相邻的外角平分线于点F，连接AE、AF. 那
么当点O运动到何处(hé chǔ)时，四边形AECF是矩形？并证明你的
结论.
A
解:当点O运动到AC的中点 （或OA=OC）时， 四边形 AECF是矩形.证明如下: ∵CE平分∠BCA ∴∠1=∠2.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明： ∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
B
C
∠A +∠B =180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
★性质定理1:矩形的四个角都是直角
第6页，共30页。
求证:矩形的对角线相等
已知:如图,AC,BD是矩形(jǔxíng)ABCD的两条对角线.
直角三角形有： Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA
D
O C
Rt△DAB
全等三角形有： Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD

2
四、作业布置：课本53页练习题1.2
A．8 B．6 C．4 D．2
2.矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB： BC=3：4，则它的周长是 28 cm．
三、推理：矩形性质的拓展
思考
如图，矩形ABCD的对角线AC， BD相交于 点O.我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中， BO是斜边上的中线，BO与AC有什么关系？
解：在矩形ABCD中， AC=BD，OA=OB=OC=OD，
矩形所特有的性质
二、探讨：矩形的性质
例1 长方形ABCD中，已知AB=8，AO=5，则
矩形ABCD的面积
．
解：∵AO=5，∴AC=10， 在直角△ABC中， 已知AB=8、AC=10，∴BC= AC2 AB2 6 ， ∴矩形ABCD的面积为6×8=48.
二、探讨：矩形的性质
练一练
1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交 于点O，则图中等腰三角形的个数是（C ）
3.画一画，量一量
（1）请同学们画一出个矩形，并连接它 的对角线；
（2）分别量出两条对角形的边长； 你发现了什么？
矩形老的师对，我角发线现相了等···.···
AC=BD OA=OB=OC=OD
二、探讨：矩形的性质
总结：矩形的性质：
1.平行四边形所具有的性质，矩形也具备；
2.矩形的四个角都是直角； 3.矩形的对角线相等.
练一练
三、推理：矩形性质的拓展
如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高， CE是中线，求DE长．
解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∠A=30°，AB=8，CD是斜边AB上的高， CE是中线， ∴BC=BE=CE=4， ∴△BCE是等边三角形， ∵CD是斜边AB上的高， ∴CD也是BE边上的中线， ∴ED= 1 EB=2．

初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
结论
由此得到矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形.
初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
中考 试题
例
在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，
交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边
形ABCD成为矩形，还需添加一个条件，这个条件可
以是 AC=BD ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∠ABC，∠CDA，∠BAD，∠BCD
图2-46
结论
三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也 是直角，由此得到：
三个角是直角的四边形是矩形.
四边形中只有两个角 是直角，我想到了下边的图形：
初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)
动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受 到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？ 这样的矩形有多少个？
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于 直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边 AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，
DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
初 中数学 《矩形 的性质 与判定 》优秀 课件北 师大版1 -精品 课件ppt (实用 版)

19.2.1 矩形（1）
向阳中学 刘振华
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 A
D
如果
B
A
D
B
AB∥CD C AD∥BC 四边形ABCD
C ABCD
边
平行形的对角线互相平分； 边形的 性质： 平行四边形的对角相等； 角 平行四边形的邻角互补；
∴AC = BD
C
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
边
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补
对边平行 四个角 对角线互相 中心对称图形 且相等 为直角 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
例1 已知：矩形ABCD的两条对角线相交与O， ∠AOD=120°，AB = 3cm. 求矩形对角线的长 AC = BD
解：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA = OD（ ） OA = OD =
1 2 1 2
AC BD
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠1=30°
A
1 O
D
又∵ ∠BAD=90°（
A O
B
D
∵ ∠AOD=120°∴ ∠AOB=60°
∵OA=OB ∴ △AOB为等边三角形 ∴AB=OA= AC=4cm
2 1
C
cm
在Rt△ABC中， BC= AC - AB =
2 2
8 -4
2
2
=
48
=
4 3

∴四边形ABCD是矩形．
能力提升
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， 延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求 证：四边形NDMB为矩形．
课堂小结
矩形的判定
又∵∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
变式训练
2.如图 ， ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD 是矩形吗？为什么？
A1
O
D
2 B
C
探究新知
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都 是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
这节课我们一起探讨矩形的判定吧.
探究新知
平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法， 那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似我地们，那知我道们“研矩究形矩的形的对角线相等”，它的 性质逆的命逆命题题是是对否角成线立相. 等的四边形是矩形，
你觉得对吗？
C
C
D
C
D
D
A
B
A
BA
BБайду номын сангаас
(有一个角是直角) (有二个角是直角) (有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
证一证
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形.
A
D
B
C
知识归纳
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形ABCD中，∵ ∠A=∠B=∠C=90°,

第二招 4．如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点O，且∠AOB＝50°，则 ∠ADB＝ 25 °.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8， 则CD＝ 4.8 ．
第1课时 矩形的性质
轻松过招
第三招 6．如图，在矩形ABCD中，点E、F 在BC上，连接AE，DF，BF＝CE. 求证：AE＝DF.
第1课时 矩形的性质
新知导航
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD 是AB边上的中线，则AB的长是 10 ．
第1课时 矩形的性质
轻松过招
第一招
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（C）
A．对角线互相平分
B．邻角互补
C．对角线相等
D．对角相等
2．（202X·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不
一定具有的性质是（ C ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
第1课时 矩形的性质
轻松过招
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（ B ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
第1课时 矩形的性质
轻松过招
60 ．
第1课时 矩形的性质
新知导航
知识点2：对角线相等 【例2】如图，矩形ABCD两对角线交于点O， ∠COD＝120°，AC＝8.求：AD、AB的长及矩形 ABCD的面积． 解：∵∠COD＝120°， ∴∠DCA＝30°∴在Rt△ADC中 ∵AC＝8，∴AD＝4，CD＝4 3 ， ∴AB＝CD＝4 3 . S矩形ABCD＝AD·AB＝4×4 3 ＝16 3

解：∵∠ADF＋∠FDC＝90°， ∠ADF＋∠DAF＝90°， ∴∠DAF＝∠FDC＝30°，∴DA＝2DF. ∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8.
8．如图，E 是矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE ＝ED，P 是对角线 BD 上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD， 垂足分别为 F，G.求证：PF＋PG＝AB.
变式 2 如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE＝BD，连接 AE.如果∠ADB＝30°，求∠E 的度数．
解：连接 AC. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD， 且∠CAD＝∠ADB＝30°，∴∠E＝∠DAE. ∵CE＝BD，∴CE＝CA，∴∠CAE＝∠E. ∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝2∠E＝30°， ∴∠E＝15°.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF. ∵DF⊥AE，∴∠DFA＝90°.∴∠DFA＝∠B. 又∵AE＝AD，∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB.
7．(2018·湖南张家界)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为 F.
(2)若∠FDC＝30°，且 AB＝4，求 AD 的长．
BP＝CP ∴△ABP≌△DCP.∴PA＝PD.
变式 3 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 的中 点，连接 EB，EC.求证：EB＝EC.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°. ∵点 E 是 AD 的中点，∴AE＝DE.
AB＝CD 在△ABE 和△DCE 中，∠A＝∠D
3．如图，设矩形 ABCD 和矩形 AEFC 的面积分别为 S1，S2，则二者的大小关系是 S1＝＝ S2.
4．如图，在△ABC 中，BD，CE 是高，G，F 分别

AA A A OOO O B B B
D DD D
C C CC
一个角是 直角
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具备平行四边形所有的性质
边 A O B C D 角
对边平行且相等 对角相等，邻角互补
A
D
B
C
∴AC = BD
即矩形的对角线相等ຫໍສະໝຸດ 矩形特殊的性质从角上看：
矩形的四个角都是直角． 从对角线上看： 矩形的两条对角线相等．
A
D
O
边
矩形的两组对边分别平行
矩形的两组对边分别相等
B 数学语言
C
∵四边形ABCD是矩形
角
0 ∴ AD ∥ BC ， CD ∥ AB AC= AO= =BC BD CO ， ， CD OD =AB = OB A B C D 90 矩形的四个角都是直角
B
A
D
∠B = ∠D
C
∠A +∠B = 180° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD 证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB (SAS)
对角线 对角线互相平分
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A D

(1)测量四个角是否都是直角 (1)对角线是否相等且互相平分
例1 如图，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交于点O． （1）如果 ABCD是矩形，试问：△OAB是什么样的特殊三角形？ （2）如果△OAB是等腰三角形，其中OA＝OB，试问: ABCD是矩形吗？
解 （1） 如果 ABCD是 矩形，则
矩形的两条对角线还有下面进一步的关系
如图，四边形ABCD是矩形，于 是 BC＝AD，∠CBA=∠DAB=90 0 AB=BA .
△CBA≌△DAB（SAS） 从而 AC＝BD 即矩形的对角线相等.
矩形的对角线相等这一性质受到启发，你能画 出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？
C
（1）△OAD是什么样的特殊三角形？
解: ∵ 矩形ABCD
O
∴ AC=BD
A
B
又
OA 1 AC 2
OD 1 BD 2
∴ OA=OD
又 AOB AOD 180
AOD 180 120 60
∴ △OAD是等边三角形
（2）对角线的长度是多少？
由(1) 知 ∠AOD = 600
D
所以 △OAD是等边三角形
在尘世中消失离别的时候 每一句话都是那么重
缓缓地扣击着我们的心灵 窗被敲开了
我们诉说着回忆中的快乐 回想著一张张可爱的笑脸
院子里，操场上 充满了甜甜的空气
离别的时候 每一句话都是那么轻 轻轻地说着离别时的感言 轻轻的拉着彼此的手 轻轻地在耳际说声对不起
或永远祝福你
离别的时候 每一句话都显得那么悲伤 离别时的感动在顷刻间爆发
D
C
从 而BC=AD，又有
AC=BD，AB=BA
A
B

B D
┓
C
2） 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝，
㎝，
3.如图,矩形的一条对角线 长为8cm,两条对角线的一 个交角为120°,求矩形的边 长.
矩形是轴对称图形
※ 矩形的性质定理1
矩形的四个角都是直角.
※ 矩形的性质定理2
矩形的对角线相等.
※
直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.
第1课时 矩形的性质
情 景 创 设
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质， 同样对于平行四边形来说也有特殊 情况即特殊的平行四边形。这堂课 我们就来研究一种恃殊的平行四边 形—— 矩形
两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角是 直角
矩形
矩形的定义：
O
C
方法小结:如果矩形两对角线的夹角是 60°或120°, 则其中必有等边三角形.
小试身手
1、矩形具有而一般平行四边形 不具有的性质是 ( ） C A.对角相等
B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
小试身手
2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， A BD是斜边AC上的中线
1）若BD=3㎝则AC＝ 6 ㎝
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具备平行四边形所有的性质
边 A O B C D 角
对边平行且相等
对角相等 ,邻角互补
对角线互相平分
对角线
自学探索:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边 形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？

A E B F O H G
C
D
• 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 • ∴AC=BD(矩形的对角线相等) • AO=BO=CO=DO(矩形的对角线互相平分) • ∵AE=BF =CG=DH, • ∴OE=OF=OG=OH • ∴四边形EFGH是平行四边形(对角线互相平 分的四边形是平行四边形) • ∵EO+OG=OF+OH, • 即EG=FH, • ∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四 边形是矩形).
小结
• 小结: 本节我们学习了矩形的三种判定方 法, (1)有一个角是直角的平行四边形是矩 形.(2)有三个角是直角的四边形是矩形.(3) 有三个角是直角的四边形是矩形.
反思
• 我们要用联想的数学思想对待本节内容,也 就是矩形的判定方法不仅仅这三种,可以结 合平行四边形的判定方法找出许多种方法, 不妨你试一 试.
A 1 2 B 2 3 4 E 5 6 G C F
D
H
答案
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC(平行四边形的对边平行) (两直线平行,同旁内角互补) ∴ ∠DAB+ ∠ABC=180 (两直线平行, 同旁内角互补) ∴ ∠1+ ∠2=90 ∴ ∠3=90 ∴ ∠4= 90 同理: ∠5= ∠6=90 ∴四边形EFGH是矩形(有三个角是直角的
动手尝试
• 小提示 我们可以画两条相等的线段，并让它们相 交且互相平分，然后连结这两条线段的端 点，得到的图形是什么图形呢？和你的同 桌交换一下，看看是否成了一个矩形。
科学证明
• 已知：四边形ABCD是平行四边形， AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形。
A C
B
D
• 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， • • 角互补) • 又∵AC=BD,BC=BC, ∴AB//CD 平行且相等） ＡＢ＝ＣＤ(平行四边形的对边

O
C
∴ OA=OC=OB=OD=
1 2
AC=
直角三角形的性质： 直角三角形斜这上的中线等于斜边的一半。
已经:矩形 矩形ABCD的两条对角线相交于点 ∠AOB=60°, 的两条对角线相交于点0, 题1 已经 矩形 的两条对角线相交于点 ° AB = 4cm, 求矩形对角线的长 求矩形对角线的长. A D 解:∵四边形 ∵四边形ABCD是矩形 是矩形 ∴AC = BD( 矩形的对角线相等 OA= OC = OB= OD = ∴ OA= OB ∵∠AOB=60° ° ∵∠ ∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4cm ∴ ∴矩形对角线的长 AC = BD=2OA=8cm. AC BD( 矩形的对角线互相平分 ) O ) B C
题 2．已知直角三角形的周长为 2+
斜边上的中线为 1， ， ， 则这个三角形的面积为 （ ）
解：设直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c. 依题意， 依题意，得 c=2 a+b+c=2+ a+b+c=2+ 6 ∴ a+b= 6
又∵ a2+b2=c2 ∴a2+b2=22=4 ∵a+b= 6 a+b） ∴（a+b） = 6 =6 ∴ab=1
A
D
O
C
∵矩形ABCD， 矩形 ， ∴ ∠BAD＝∠CDA =∠BCD＝∠ABC ＝900 ＝ ∠ ＝
B
矩形性质2:矩形的对角线相等且互相平分． 矩形性质 矩形的对角线相等且互相平分． 矩形的对角线相等且互相平分
是矩形ABCD的对角线 ∵AC，BD是矩形 ， 是矩形 的对角线 ∴ AC＝BD,OA=OC,OB=OD ＝