19.3《矩形菱形正方形》(第1课时)ppt课件
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1矩形、菱形、正方形PPT课件(沪科版)
19.3 矩形、菱形、正方形(2) 矩形的判定
教学目标： 1.掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选
取适当的定理进行推理计算； 2.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比
思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路． 教学重点：矩形判定的探索、证明和应用． 教学难点： 会选取适当的定理进行推理计算.
证明：∵ AE∥BC， ∴∠1=∠2． A E
∵点D是AC的中点， ∴ DA=DC.
1
∵∠ADE=∠CDF ，
D
∴ △ADE≌△CDF ． ∴ DE=DF. ∴四边形AECF是平行四边形. B
2
FC
∵ AE∥BC， EF∥AB， ∴ AB=EF.
∵ AB=AC， ∴ AC=EF. ∴四边形AECF是矩形.
例3.已知:如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC
的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB．分
别交AE，BC于点E，F.求证:四边形AECF是矩形．
要证AECF是矩形
要证AECF是□
∠AFC=∠90°，
A
1
E
要证DE=DF
要证BF=CF
要证△ADE≌△CDF BF=AE CF=AE
∠1=∠2 AE∥BC
A
D
O
B
C
2.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD是 斜边 AB的中线. 若CD=5cm ，AC=6cm，
则BC= 8 cm.
A
D
┓
C
B
复习引入 1.矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.矩形的对角线具有什么性质？
矩形的对角线相等.
3.它的逆命题是什么？ 你认为它成立吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
教学目标： 1.掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选
取适当的定理进行推理计算； 2.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比
思想，体会类比学习和图形判定探究的一般思路． 教学重点：矩形判定的探索、证明和应用． 教学难点： 会选取适当的定理进行推理计算.
证明：∵ AE∥BC， ∴∠1=∠2． A E
∵点D是AC的中点， ∴ DA=DC.
1
∵∠ADE=∠CDF ，
D
∴ △ADE≌△CDF ． ∴ DE=DF. ∴四边形AECF是平行四边形. B
2
FC
∵ AE∥BC， EF∥AB， ∴ AB=EF.
∵ AB=AC， ∴ AC=EF. ∴四边形AECF是矩形.
例3.已知:如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC
的中点，直线AE∥BC，过点D作直线EF∥AB．分
别交AE，BC于点E，F.求证:四边形AECF是矩形．
要证AECF是矩形
要证AECF是□
∠AFC=∠90°，
A
1
E
要证DE=DF
要证BF=CF
要证△ADE≌△CDF BF=AE CF=AE
∠1=∠2 AE∥BC
A
D
O
B
C
2.已知△ABC中，∠ACB=90°，CD是 斜边 AB的中线. 若CD=5cm ，AC=6cm，
则BC= 8 cm.
A
D
┓
C
B
复习引入 1.矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.矩形的对角线具有什么性质？
矩形的对角线相等.
3.它的逆命题是什么？ 你认为它成立吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形课件 (新版)华东师大版
教学课件
数学 八年级下册 华东师大版
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩 形
第1课时
创设情景 明确目标
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
如果 D AB∥CD
A
D
B
C AD∥BC
四边形
B
C ABCD
ABCD 边 平行四
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等.
边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分.
∴AC=BD， ∴BO=
1 2
BD=
1 2
AC.
总结梳理 内化目标 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的对边平行且相等；
矩形
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对
称轴．
达标检测 反思目标
性质 逆命题 猜想 （修正）
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB.
已知四边形ABCD是矩形 等腰三角形有：
A
D
O
△OAB △ OBC △OCD △OADB
C
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形，
A
D
求证：AC = BD.
证明：在矩形ABCD中
数学 八年级下册 华东师大版
第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩 形
第1课时
创设情景 明确目标
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
如果 D AB∥CD
A
D
B
C AD∥BC
四边形
B
C ABCD
ABCD 边 平行四
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等.
边形的 对角线 平行四边形的对角线互相平分.
∴AC=BD， ∴BO=
1 2
BD=
1 2
AC.
总结梳理 内化目标 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形的对边平行且相等；
矩形
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形是轴对称图形，连接对边中点的直线是它的两条对
称轴．
达标检测 反思目标
性质 逆命题 猜想 （修正）
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB.
已知四边形ABCD是矩形 等腰三角形有：
A
D
O
△OAB △ OBC △OCD △OADB
C
直角三角形有：
Rt△ABC Rt△BCD Rt△CDA Rt△DAB
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形，
A
D
求证：AC = BD.
证明：在矩形ABCD中
矩形、菱形、正方形PPT教学课件
“壮词”，即内容、情感、形象、语言 等方面都豪放、壮美的作品。
破阵子·为陈同甫赋壮词以寄之 辛弃疾
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。八百里 分麾下炙，五十弦翻塞外声，沙场秋点兵。
马作的卢飞快，弓如霹雳弦惊。了却君 王天下事，赢得生前身后名。可怜白发生！
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营 。
在醉酒之中，我挑亮油灯，端详宝剑，梦醒时，扎在一 起连接的军营都吹响了号角。
小结：
晏殊《浣溪沙》 情感：对岁月的爱惜和对生 命的珍视。
风格：委婉、含蓄。
《破阵子——为陈同甫赋壮词以寄之》 辛弃疾
辛弃疾（1140—1207），字幼安， 号稼轩，历城（今山东济南）人。 他一生以抗金报国自任，但是他所 提出的抗金建议，均未被采纳，并 遭到主和派的打击，曾长期落职闲 居江西上饶、铅山一带。理想不能 实现，遂将满腔忠愤全寄予词。其 词悲壮雄放，词风慷慨悲壮，有不 可一世之概，抒发爱国精神，而又 题材广泛，风格多样，以豪放为主， 技巧繁复，体备刚柔，千汇万状， 热情洋溢，慷慨悲壮，笔力雄厚， 与苏轼并称为“苏辛”。 代表了
晏殊（991-1055），字同叔，北宋临川县文港乡，著名词人。
晏殊自幼聪明，七岁能文，被称为“神童”，十 四岁中进士，历任朝廷要职，五十三岁时，任枢密使 加同中书门下平章事，官居宰相位。六十四岁病逝， 宋仁宗亲临丧事，死后赠司空兼侍中，谥号“元献”。
晏殊知人善任，当世名人范仲淹、孔道辅、欧阳 修等人都出其门下，均受其提拔和重用。晏殊善长诗 词尤工小令，他的词，以情致胜。文词典丽，韵味独 特，又不失清新雅淡，含蓄委婉的艺术风格。 有“导 宋词之先路”的美誉。
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。
听一曲以新词谱成的歌，饮一杯酒。 去年这时节的天气、旧亭台依然存在。
破阵子·为陈同甫赋壮词以寄之 辛弃疾
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。八百里 分麾下炙，五十弦翻塞外声，沙场秋点兵。
马作的卢飞快，弓如霹雳弦惊。了却君 王天下事，赢得生前身后名。可怜白发生！
醉里挑灯看剑，梦回吹角连营 。
在醉酒之中，我挑亮油灯，端详宝剑，梦醒时，扎在一 起连接的军营都吹响了号角。
小结：
晏殊《浣溪沙》 情感：对岁月的爱惜和对生 命的珍视。
风格：委婉、含蓄。
《破阵子——为陈同甫赋壮词以寄之》 辛弃疾
辛弃疾（1140—1207），字幼安， 号稼轩，历城（今山东济南）人。 他一生以抗金报国自任，但是他所 提出的抗金建议，均未被采纳，并 遭到主和派的打击，曾长期落职闲 居江西上饶、铅山一带。理想不能 实现，遂将满腔忠愤全寄予词。其 词悲壮雄放，词风慷慨悲壮，有不 可一世之概，抒发爱国精神，而又 题材广泛，风格多样，以豪放为主， 技巧繁复，体备刚柔，千汇万状， 热情洋溢，慷慨悲壮，笔力雄厚， 与苏轼并称为“苏辛”。 代表了
晏殊（991-1055），字同叔，北宋临川县文港乡，著名词人。
晏殊自幼聪明，七岁能文，被称为“神童”，十 四岁中进士，历任朝廷要职，五十三岁时，任枢密使 加同中书门下平章事，官居宰相位。六十四岁病逝， 宋仁宗亲临丧事，死后赠司空兼侍中，谥号“元献”。
晏殊知人善任，当世名人范仲淹、孔道辅、欧阳 修等人都出其门下，均受其提拔和重用。晏殊善长诗 词尤工小令，他的词，以情致胜。文词典丽，韵味独 特，又不失清新雅淡，含蓄委婉的艺术风格。 有“导 宋词之先路”的美誉。
一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。
听一曲以新词谱成的歌，饮一杯酒。 去年这时节的天气、旧亭台依然存在。
矩形-菱形-正方形-PPT课件
1、一组邻边相等的平行四边形 是菱形 2、对角线互相垂直的平行四边B 形是菱形 3、四条边都相等的四边形是菱形
A D
C
12
•
1．叙述菱形的定义与性质．
•
2．菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积分别是___________、___________．
•
3．菱形周长为80，一对角线为20，则较小的角的度数为______、面积为_______．
猜想：四边都相等的四边形是菱形 。
5
菱形的判定方法：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=BC=CD=DA A
D
B C
四边形ABCD
AB=BC=CD=DA
B
C
菱形ABCD
四边形ABCD是菱形
6
归纳
菱形常用的判定方法：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . （对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 3、有四条边相等的四边形是菱形.
菱 形（2）
1
菱形的判定方法：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
A
D AB=BC
A
D
B
C
□ABCD
B
C
菱形ABCD
AB=BC □ABCD
四边形ABCD是菱形
2
菱形的判定方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
B
C
□A下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．对
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形
A D
C
12
•
1．叙述菱形的定义与性质．
•
2．菱形的两条对角线长分别是3和4，则周长和面积分别是___________、___________．
•
3．菱形周长为80，一对角线为20，则较小的角的度数为______、面积为_______．
猜想：四边都相等的四边形是菱形 。
5
菱形的判定方法：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
D AB=BC=CD=DA A
D
B C
四边形ABCD
AB=BC=CD=DA
B
C
菱形ABCD
四边形ABCD是菱形
6
归纳
菱形常用的判定方法：
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . （对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 3、有四条边相等的四边形是菱形.
菱 形（2）
1
菱形的判定方法：
一组邻边相等的平行四边形是菱形；
A
D AB=BC
A
D
B
C
□ABCD
B
C
菱形ABCD
AB=BC □ABCD
四边形ABCD是菱形
2
菱形的判定方法：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
B
C
□A下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．对
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形
《矩形、菱形、正方形》PPT课件
由此可以得到:
因为四边形ABCD是矩 形所以AC=BD
∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC= 90°
1.平行四边形是中心对称图形也是轴对称图形.（错 ） 2.矩形是中心对称图形也是轴对称图形.（ 对 ）
3.矩形具有而平行四边形不一定具有的特征是（ B ）
（A）对角线互相平分 （B）对角线相等 （C）两组对角相等 （D）两组对边平行且相等
学学过的长方 形.
如图，BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线，
画出△ABC关于点O对称的图形。
A
D
这个四边形
O
有什么特点?
B
C
图中Rt △CDA可以看成是Rt △ABC绕点O旋转180°得到.
所得到的四边形ABCD是中心对称图形.
点O是一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
②
①
A
D
A
D
一个角是直角
B
C
┓
B
C
☞
矩形的性质:
矩形是特殊的平行四边形,它 具备平行四边形的一切性质:
边: 对边平行且相等. 角: 对角相等;邻角互补. 对角线: 对角线互相平分. 对称性: 平行四边形是中心对称图形.
矩形是特殊的平行四边形,它还具有哪 些特殊性质？
如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡
P,BP:PD=1:3,且AC、BD相交于
点O,则∠AOB的度数是_6_0__°___.
O
P
DB
C
c
3.已知:如图,过矩形ABCD的顶点
作CE//BD，交AB的延长线于E。
说明∠CAE=∠CEA.
O
A
B
E
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最新人教版初中九年级下册数学【矩形、菱形、正方形】教学课件
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OD＝OC． ∵点O关于直线CD的对称点为E， ∴OD＝ED，OC＝EC． ∴OD＝DE＝EC＝CO． ∴四边形ODEC为菱形．
初中数学
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE． 1 求证：四边形ODEC为菱形； 2 连接OE，若BC＝ 2 2 ，求OE的长．
1
求证：四边形OCED是矩形；
2
若AD＝5，BD＝8，计算sin∠DCE的值；
3
在（2）的条件下，求菱形ABCD的面积．
∴（S3）解：1 ∵ACOCB=D3， 24 ABCD 2 ∴AC=6 ．
初中数学
例3 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F， 求证：AP＝EF.
对角线互相垂直平分， 轴对称图形、 每条对角线平分一组对角 中心对称图形
正方形
对边平行， 四条边 都相等
四个角 都是直角
对角线互相垂直平分且 相等，每条对角线平分
一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
初中数学
特殊平行 四边形的 面积计算
平行四边形 矩形 菱形
正方形
平行四边形面积＝底×高
矩形面积＝长×宽
初中数学
变式1 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
(1) 若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH为 平行四边形 ；
(2) 若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH为
菱形
；
对角线相等
初中数学
变式1 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
(1)若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH为 平行四边形 ；
初中数学
例1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， 点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE． 1 求证：四边形ODEC为菱形； 2 连接OE，若BC＝ 2 2 ，求OE的长．
1
求证：四边形OCED是矩形；
2
若AD＝5，BD＝8，计算sin∠DCE的值；
3
在（2）的条件下，求菱形ABCD的面积．
∴（S3）解：1 ∵ACOCB=D3， 24 ABCD 2 ∴AC=6 ．
初中数学
例3 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F， 求证：AP＝EF.
对角线互相垂直平分， 轴对称图形、 每条对角线平分一组对角 中心对称图形
正方形
对边平行， 四条边 都相等
四个角 都是直角
对角线互相垂直平分且 相等，每条对角线平分
一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
初中数学
特殊平行 四边形的 面积计算
平行四边形 矩形 菱形
正方形
平行四边形面积＝底×高
矩形面积＝长×宽
初中数学
变式1 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
(1) 若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH为 平行四边形 ；
(2) 若四边形ABCD是矩形，则四边形EFGH为
菱形
；
对角线相等
初中数学
变式1 如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
(1)若四边形ABCD是平行四边形，则四边形EFGH为 平行四边形 ；
《矩形菱形正方形》课件
03
正方形
正方形是一种特殊的矩形，四条边相等且四个角都是直角。在建筑中，
正方形常用于基础框架、地板和墙面的构造，因为其具有高度的稳定性
和对称性。
艺术领域的应用
矩形
在绘画和设计领域，矩形是一种 重要的构图元素。艺术家利用矩 形的稳定性和平衡感来构建画面 的框架和布局，以实现更好的视
觉效果。
菱形
菱形在艺术中常被用于创作抽象 图案和几何图形。其独特的形状 和对称性为艺术家提供了丰富的 创意空间，可以创造出独特而富
有美感的作品。
正方形
正方形在艺术中常被用于创作基 础图案和结构。其四条等长的边 和四个直角的特点使得正方形成 为艺术家进行创作和构图的基础
单位。
其他领域的应用
矩形
在包装、印刷、广告等领域，矩形因其易于制作和处理的 特性而被广泛应用。例如，包装盒、海报、标志等的设计 常常采用矩形作为基础形状。
菱形
在时尚和服装设计中，菱形常被用于图案和细节设计，如 领口、袖口、口袋等。其独特的形状和对称性可以为服装 增添时尚感和个性化风格。
02 菱形的基本性质
定义与特性
总结词
菱形的定义、特性及与矩形的区别。
详细描述
菱形是一种四边ห้องสมุดไป่ตู้，其两组对边平行 且等长，但不垂直。菱形具有对称性 ，即其两组对角线互相垂直且平分对 方。与矩形相比，菱形的对角线互相 垂直但不互相平分。
菱形的周长与面积
总结词
菱形的周长和面积计算公式。
详细描述
菱形的周长是其四条边的长度之和，而面积则可以通过其两条对角线的长度来计算。具体公式为：周 长 = 4 × 边长；面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。
菱形的对角线性质
矩形菱形与正方形ppt课件
17
类型二 菱形的性质与判定 例2 (2013·黄冈)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH， 求证：∠DHO＝∠DCO.
【思路分析】根据菱形的对角线互相平分可得 OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出 ∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求 出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明 即可．
(1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连结AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四 边形ABFC为矩形．
【思路分析】(1)利用AAS可得 出三角形ABE与三角形FCE全等；
(2)利用对角线相等的平行四边 形为矩形可得出四边形ABFC为矩 形．
14
【答案】证明：(1)∵E是BC中点， ∴BE＝CE. ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.
A．14 C．16
B．15 D．17
6
3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O， 若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( C )
A．24 B．16 C．4 13 D．2 3
7
4．(2013·台湾)如图，四边形ABCD、AEFG均为 正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连 结BG.根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、 ∠4的大小关系为( D )
A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4
8
5．(2013·遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线
AC、
BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点9 ，若
AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝
cm.
9
类型二 菱形的性质与判定 例2 (2013·黄冈)如图，四边形ABCD是菱形， 对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连结OH， 求证：∠DHO＝∠DCO.
【思路分析】根据菱形的对角线互相平分可得 OD＝OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半可得OH＝OB，然后根据等边对等角求出 ∠OHB＝∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求 出∠OBH＝∠ODC，然后根据等角的余角相等证明 即可．
(1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连结AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四 边形ABFC为矩形．
【思路分析】(1)利用AAS可得 出三角形ABE与三角形FCE全等；
(2)利用对角线相等的平行四边 形为矩形可得出四边形ABFC为矩 形．
14
【答案】证明：(1)∵E是BC中点， ∴BE＝CE. ∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE.
A．14 C．16
B．15 D．17
6
3．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O， 若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( C )
A．24 B．16 C．4 13 D．2 3
7
4．(2013·台湾)如图，四边形ABCD、AEFG均为 正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连 结BG.根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、 ∠4的大小关系为( D )
A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4
8
5．(2013·遵义)如图，在矩形ABCD中，对角线
AC、
BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点9 ，若
AB＝6cm，BC＝8cm，则△AEF的周长＝
cm.
9
矩形、菱形、正方形PPT课件 人教版
考点知识精讲
中考典例精析
举一反三考点训练考点一矩形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．性质：(1)矩形的四个角都是直角； 互相平分且相等 ； (2)矩形的对角线_________________ (3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有 两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有 一个角是直角 的平行四边形
(1)(2011·温州)如图，在矩形ABCD中 ，对 角线AC，BD交于点O.已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图
中长度为8的线段有D (
A ． 2条 C ． 5条
)
B ． 4条 D ． 6条
(2)(2011·佛山)依次连接菱形的各边中点，得到
的四边形是( A A．矩形 ) B．菱形 C．正方形 D．梯形
90°.
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点
，以AD为边作等边三角形ADE. (1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形 AFCE是矩形．
答案：(1)30°
矩形
(2)利用定义判定四边形AFCE为
矩形、菱形、正方形
训练时间：60分钟
分值：100分
一、选择题(每小题4分，共40分) 1．(2011·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的 长是( )
(2)证法一：∵AB＝EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴FA＝FE，FB＝FC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D. 又∵∠AFC＝2∠D， ∴∠AFC＝2∠ABC. ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∠AFC＝2∠D， ∴∠ABF＝∠BAF. ∴FA＝FB. ∴FA＝FE＝FB＝FC. ∴AE＝BC. ∴▱ABEC是矩形．
中考典例精析
举一反三考点训练考点一矩形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．性质：(1)矩形的四个角都是直角； 互相平分且相等 ； (2)矩形的对角线_________________ (3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有 两条对称轴，它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有 一个角是直角 的平行四边形
(1)(2011·温州)如图，在矩形ABCD中 ，对 角线AC，BD交于点O.已知∠AOB＝60°，AC＝16，则图
中长度为8的线段有D (
A ． 2条 C ． 5条
)
B ． 4条 D ． 6条
(2)(2011·佛山)依次连接菱形的各边中点，得到
的四边形是( A A．矩形 ) B．菱形 C．正方形 D．梯形
90°.
6．如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点
，以AD为边作等边三角形ADE. (1)求∠CAE的度数； (2)取AB边的中点F，连接CF、CE，试证明四边形 AFCE是矩形．
答案：(1)30°
矩形
(2)利用定义判定四边形AFCE为
矩形、菱形、正方形
训练时间：60分钟
分值：100分
一、选择题(每小题4分，共40分) 1．(2011·哈尔滨)如图，在矩形ABCD中，对角 线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的 长是( )
(2)证法一：∵AB＝EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形． ∴FA＝FE，FB＝FC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D. 又∵∠AFC＝2∠D， ∴∠AFC＝2∠ABC. ∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∠AFC＝2∠D， ∴∠ABF＝∠BAF. ∴FA＝FB. ∴FA＝FE＝FB＝FC. ∴AE＝BC. ∴▱ABEC是矩形．
八下第9章矩形、菱形、正方形课件
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知:
四边形ABCD是平行四边形,AC=BD
求证:
四边形ABCD是矩形
A
D
证明：在 ABCD中
AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△BAD≌△CDA(SSS)
∴∠BAD=∠CDA
O
B
C
∵AB∥CD
∴∠BAD +∠CDA=180° ∴∠BAD＝∠CDA=90°
∴ ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）
求证:四边形EFGH是矩形
A E
D H
O
F B
G C
例2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,D是AB的中点，DE、DF 分别是△BDC、△ADC的角平分线.求证：四边形DECF是矩形.
C
F
E
A
D
B
拓展延伸
1. 如何说明平行四边形的四个内角的平分线相交所构成的 四边形是矩形？
D
C
E
G
H
F
对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。（不能直接用）
例1、已知：如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、 H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证四边形EFGH是矩形．
证明：
∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等)
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点
矩形. 矩形. 矩形.
对于任 平意 行四边形，满足哪些条件就可以得到矩形呢？
课堂练习
一、选择题
（1）矩形具有而平行四边形不具有的性质（ D ） A.内角和是360度 B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线相等
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直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
数学语言:
∵在Rt△ABC中, BO是斜边AC上的中线
∴ BO=
1
2 AC
例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于 点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角 线的长？
解：∵ 四边形ABCD是矩形
A
D
o
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
B
C
∵ ∠AOB=60°
我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具 有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质.你能说出矩形 有哪些性质吗?
一、矩形的两组对边分别平行 二、矩形的两组对边分别相等 三、矩形的两组对角分别相等 四、矩形的邻角互补
五、矩形 两条对角线互相平分
E。
四个角都是直角。
且对角线相等。
A
D
O
B
C
矩形猜的想性1 质定理1 矩形的四个角都是直角
㎝，
感悟与收获
1.矩形的定义。 2.矩形的性质。
元素
内角 边 对角线
平行四边形 的性质
对角相等， 邻角互补
对边平行且 相等
对角线互相 平分
矩形的性质
四个角都是直 角 对边平行且相 等
对角线互相平 分且相等
3.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半
D
已知：AC，BD是矩形ABCD的对角线
求证：AC=BD
O
B
C
矩形特殊的性质
从角上看：
矩形的四个角都是直角． 从对角线上看：
矩形的两条对角线相等．
A
D
O
B
C
A
试一试
O 根据矩形的上述性质，你能发现OA、 B
OB、OC、OD有什么关系？
OA=OB=OC=OD ;
(1)图中有几个等腰三角形？几对全等三角形?
(2)若已知AB=6, BC=8，求矩形的面积，周长， 对角线的长度。
（3）若已知BC=8， O到AD的距离为3，求矩形 的面积，周长，对角线的长度。
（4）已知矩形的周长是14,相邻两边的差是1, 那么这个矩形的面积是多少？
探究新知
A
D
O
在Rt△ABC中,
BO=
1 2
AC
B
C
得到：直角三角形的一个性质
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝) 方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
选一选
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ A ）
A 对角线相等
B 对边相等
C 对角相等
D 对角线互相平分
填一填
已知：四边形ABCD是矩形
A
D
求证：∠A= ∠B = ∠C=∠D=900
证明：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AD∥BC
B
C
∴ ∠A+ ∠B=1800
又∵ ∠A＝900
∴ ∠B ＝900
又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等）
∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900
矩猜形想的2性质定理2矩形的对角线相等A
2.矩形ABCD中，已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则OB=_5___ ㎝，若已知∠CAB=40°，
则 ∠OBA=_4_0_°_ ∠AOD=__8_0_° D
C
O
40°
A
B
3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，
BD是斜边AC上的中线
A D
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝
┓
B
(2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 BD＝ 5 ㎝.
想一想
观察平行四边形的框架,回答下列问题: (1) 为什么这个框架会任意”摇摆”? (2) 随着内角的变化情况,平行四边形的边,角,周长 面积等发生了什么变化? (3) 当内角为A
D
B
C
B
C
（１）矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
（２）矩形的表示：矩形ABCD
小学里学过的长方形、正方形都是矩形
想一想： 你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些
东西是矩形的？
议一议
(1) 矩形是不是平行四边形? (2) 平行四边形是不是矩形? (3) 平行四边形的性质矩形具备吗? (4的) 矩性形质是? 否有与平行四边形不同
实质上：矩形是特殊的平行四边形。
矩形的性质的研究