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数形结合初中数学题
数形结合是初中数学中一个重要的概念,是指将数与形结合起来进行思考和推理。
以下是一些数形结合的初中数学题:
1. 一个圆的半径是2,它的面积是多少?
2. 一根长度为6cm的棒,它的周长是多少?
3. 一张桌子上有n个苹果,它们的重量之和是20千克,每个苹果的重量是多少?
4. 一个矩形的长和宽相等,高是4cm,它的面积是多少?
5. 一个三角形的三个底之和等于12,求这个三角形的高的值。
6. 一根长度为10cm的棒,它的重心在它的5cm直径的截面的中心,那么这个棒的质量是多少?
7. 一个正方形的边长是5cm,它的周长是多少?
8. 一个圆的半径是3cm,它在平面上的位置是A,它在立体空间的坐标是多少?
这些题目通过将数形结合,提供了更多的思考方法和解决问题的思路。
学生可以通过理解这些题目,掌握数形结合的概念和技巧,提高自己的数学思维能力。
小学数学数形结合练习题题目一：数形结合的认知训练1. 看图填空：(a) 在图中，将所有的三角形标记一下。
(b) 将你周围的物体，如书桌、椅子等尽可能多地找出正方形、长方形和圆形，并分别写下它们的名称。
2. 计算下列各图形的周长和面积：(a) 根据提供的边长，计算正方形的周长和面积。
(b) 根据提供的长和宽，计算长方形的周长和面积。
(c) 根据提供的半径，计算圆形的周长和面积。
(d) 尝试设计一个你认为面积最大的正方形，画出它的示意图，并计算周长和面积。
3. 图形转换：(a) 请将以下图形按照标号进行旋转，并写出每个旋转后的图形名称。
图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形(b) 请将以下图形按照标号进行翻转，并写出每个翻转后的图形名称。
图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形4. 找规律：(a) 请观察以下数字序列，找出其规律，并写出下一个数字：1, 4, 9, 16, ...(b) 请观察以下形状序列，找出其规律，并画出下一个形状：△, □, ○, ▽, ...5. 图形拼凑：(a) 使用提供的拼图块，组合成一个正方形。
(b) 使用提供的拼图块，组合成一个长方形。
(c) 使用提供的拼图块，组合成一个圆形。
6. 图形推理：给出以下图形的排列顺序，请写出图形编号，并解释其排列规律。
图1：▽图2：□ 图3：○ 图4：△题目二：数形结合的实际应用1. 实际问题运用：(a) 小明家花园的形状是长方形，长为8米，宽为5米，他要在花园的四周围上一圈砖。
砖的规格是2米长、1米宽，请问他需要多少块砖？如果砖的价格是每块20元，他需要多少钱？(b) 小红的家有一个圆形的花坛，直径是3米。
她想在花坛周围种植一圈花草，每株花草之间的间距是20厘米。
她需要多少株花草？题目三：数形结合的解决问题能力训练1. 智力题：(a) 小明手上有12枚硬币，其中有一个是假币，假币的重量比真币轻。
小明有一个天平，最多能使用3次天平，能否找出假币？如果能，请写出解决方法；如果不能，请解释原因。
1. 题目：一个正方形的边长为2cm，一条与其边平行的线段将该正方形分成两个小正方形和两个等边三角形。
求线段的长度。
答案：线段的长度为2√2 cm。
2. 题目：一个圆的半径为3cm，在圆的内部画一个正方形，且正方形的四个顶点分别位于圆的四个切点上。
求正方形的面积。
答案：正方形的面积为18 cm²。
3. 题目：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm和5cm，将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为6cm，顶边长度为2cm。
求截面的高度。
答案：截面的高度为3cm。
4. 题目：一个球的体积为36πcm³，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求球的半径。
答案：球的半径为3 cm。
5. 题目：一个正方体的表面积为96 cm²，将其剖开后得到的截面是一个正方形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为4 cm。
6. 题目：一个圆柱的底面积为16πcm²，高度为10 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等腰梯形，底边长度为8cm，顶边长度为2cm。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
7. 题目：一个圆锥的底面积为9πcm²，高度为12 cm。
将它剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为3 cm。
8. 题目：一个正方体的表面积为150 cm²，将其剖开后得到的截面是一个等边三角形。
求正方体的边长。
答案：正方体的边长为5 cm。
9. 题目：一个圆柱的底面积为25πcm²，高度为8 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆柱的半径。
答案：圆柱的半径为2 cm。
10. 题目：一个圆锥的底面积为16πcm²，高度为6 cm。
将它剖开后得到的截面是一个正方形。
求圆锥的半径。
答案：圆锥的半径为2 cm。
华罗庚数形结合的题目可能涉及数学中的代数与几何的结合，特别是在解析几何和代数几何等领域。
这些题目通常要求学生能够将数学问题中的数值与相应的几何图形结合起来，以便更直观地理解和解决问题。
以下是一些华罗庚数形结合思想的题目示例：
1. 已知直线y = 2x + 3 与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B。
求线段AB 的中点坐标。
2. 在直角坐标系中，点P(2, -3) 关于x 轴的对称点Q 的坐标是什么？
3. 设直线l 的斜率为k，且经过点P(a, b)。
求直线l 的方程。
4. 已知圆的半径为r，圆心在原点(0, 0)。
求该圆的方程。
5. 平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，且AB = 3, BC = 4。
求平行四边形的高。
6. 在直角三角形中，两个锐角的正切值分别是3 和4。
求这个三角形的面积。
7. 已知椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
求椭圆的标准方程。
8. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3) 到原点O(0, 0, 0) 的距离是多少？
9. 已知双曲线的实轴长度为2a，虚轴长度为2b。
求双曲线的标准方程。
10. 平行线l1: 2x + 3y + 1 = 0 和l2: 2x - 3y + c = 0 之间的距离是多少？
这些题目要求学生能够将数学中的数值与几何图形相结合，从而更直观地理解问题和解题过程中的几何意义。
二年级数形结合练习题小学数学练习题一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个图形是长方形？A. △ABCB. ○OC. □DEFGD. ☆PQR2. 2个200元= _______ 元。
A. 100元B. 200元C. 300元D. 400元3. 前面是○ 表示“是”，前面是 ×表示“不是”。
以下哪个答案是对的？○ 苹果是水果。
○ 数字2是偶数。
×篮球是食品。
A. ○ ○ ○B. ○ ○ ×C. ○ × ○D. × × ×4. △ABC 中的直角是∠_____。
A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. 无法确定5. 用□ 中的数字填空。
700 ÷ 7 ＝□A. 70B. 7C. 10D. 16. 用图中矩形的表达式填空。
（图表达式：用数字表示×号的个数）3 × 5 = □A. 3B. 5C. 8D. 157. 一个数字，这个数字的个位数是2，十位数是8。
这个数字是__________。
A. 28B. 82C. 208D. 2808. 用最少的货币，给出25元。
A. 2张10元和5张1元B. 3张5元和10张1元C. 1张20元和5张1元D. 2张10元和15张1元9. 用图表示6 - 3 = □（图表达式：用数字表示圆圈和减号的个数）A. 1B. 2C. 3D. 610. 根据图形找到规律，选择一个合适的图形来填空。
□ △☆△☆☆☆☆△A. □B. ☆C. △D. 无法确定二、填空题（每题6分，共30分）1. 用图中的图形填空。
100 ÷ 50 = □A. □B. △C. ☆D. 无法确定2. 用图中的图形表示45 ÷ 5 = □A. □B. ☆C. △D. 无法确定3. 以下哪个数是奇数？A. 12B. 22C. 17D. 304. 请用最少的图形，找到两个数的差。
A. ☆ - ☆ = □B. △ - △ = □C. △ - ☆ = □D. ☆ - □ = □5. 用图像表示7 + 8 = □（图表达式：用数字表示图形的个数）A. □B. △C. ☆D. 无法确定三、计算题（每题10分，共20分）1. 28 ÷ 4 = □2. 56 ÷ 7 = □四、应用题（60分）今天小明看到体育场Ⅰ和体育场Ⅱ都有人在锻炼。
数形结合是一种重要的数学思想，通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些适合四年级学生的数形结合经典题目：
1.小明用棋子摆成一个正方形实心方阵，最外边的一层共用96个棋子。
小明摆这个方
阵共用了多少个棋子？
2.小军用棋子摆成了一个空心方阵，最外边的一层共用棋子80个。
最里边的一层共用
棋子48个。
这个空心方阵共有几层？
3.小丽用棋子摆成了一个三角形实心方阵，最外边的一层共用72个棋子。
小丽摆这个
方阵共用了多少个棋子？
4.小华用棋子摆成一个空心三角形，最外边的一层共用96个棋子。
最里边的一层共用
24个棋子。
这个空心三角形共有几层？
5.小明用棋子摆成一个长方形实心方阵，最外边的一层共用88个棋子。
如果最外边一
边有n个棋子，那么这个长方形方阵共有多少个棋子？
这些题目需要学生通过观察图形，理解数形结合的思想，并运用数学公式和推理方法来解决问题。
数形结合的典型例题六年级
以下是一个典型的数形结合的例题，适用于六年级：
小明拿了一张长方形的纸片，它的长度比宽度多5厘米。
他把这张纸片沿着其中一条边对折成两半，使得两个部分的面积相等。
这条边应该在哪里折？
解析：
设长方形的宽为x，则长度为x+5。
根据题目条件，将长方形沿宽折成两半，得到两个矩形，其长度分别为x+5和x+5（因为折叠后两个矩形的长度相等）。
则两个矩形的面积分别为：x(x+5)和x(x+5)。
由题意可知，两个矩形的面积相等，即：
x(x+5) = x(x+5)/2
将等式两边同时乘以2，得：
2x(x+5) = x(x+5)
化简得：
x(x+5) = 0
因此，x=0或x=-5。
由于长方形的宽必须大于0，因此x=-5不符合实际情况。
因此，长方形的宽为0，即折叠线应该在长度的中点处。
第1讲 数形结合同步练习：1. 观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示：（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式. 【答案】见解析【解析】（1）如下图（2）第n 个图形对应的等式为：11⨯=-++n nn n n n 2. 用数形结合的方法求：()()______+++=a b c d e . 【答案】见解析【解析】如图，根据长方形面积可得：()()+++=+++++a b c d e ac ad ae bc bd be3. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），如图（1），把余下部分拼成一个矩形如图（2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( ).555566ed c ba （1）（2）①1×12＝1－12②2×23＝2－23③3×34＝3－34④4×45＝4－45……A .222()2+=++a b a ab bB .222()2-=-+a b a ab bC .22()()-=+-a b a b a bD .22(2)()2+-=+-a b a b a ab b 【答案】C【解析】第一个图形的阴影部分面积为22-a b ，第二个图形的应用部分面积为()()+-a b a b ，可得22()()-=+-a b a b a b .4. 乌龟和兔子从同一起点出发，快跑的兔子在途中休息，直到乌龟从身边跑过一段时间后，兔子再以原来的速度去追赶.根据下图信息可知： （1）兔子的速度是每分多少米？（2）若兔子要在到达终点之前超过乌龟，则比赛路程至少应超过多少米？【答案】（1）30米 （2）210米【解析】⑴ 兔子的速度为（米/分） ⑵乌龟速度为 150305=÷=乌龟v （米/分） 405200⨯=（米）(200150)(305)2-÷-=（分） (402)5210+⨯=（米）5. 平方数也称“正方形数”，若n 为平方数，则可将n 个点排成一个正方形. 例如2164=就是一个正方形数，如下图所示.（1）若研究如下正方形的转折线，可得：24()()()()=+++； 同理可得：25()()()()()=++++（2）若研究如下正方形的虚线斜行，可得：24()()()()()()()=++++++； 同理可得：25()()()()()()()()()=++++++++ 进而推知2=n _______________________;150530÷=（3）根据左表，第一行的数和为1234+++； 根据右表，左上角的311= 第二行的数和为：()1234+++⨯； ()3242(121)2++=++⨯=第三行的和为：()1234+++⨯； ()336963(12321)3++++=++++⨯=第四行的数和为：()1234+++⨯； ()34812161284++++++=综上可知，所有数的和为()2； 综上可知，所有数的和为：()()()33331+++综上两题，可以推断3333123++++=n .【答案】见解析【解析】（1）“天下无双，项数平方”241357=+++；2513579=++++；2135(21)=++++-n n（2）所谓“金字塔数列”241234321=++++++；25123454321=++++++++；()()212311321=++++-++-++++n n n n（3）左图所有数之和为()()()212341234=1234+++⨯++++++； 右图所有数之和为33331234+++；()23333123123++++=++++n n .6. 定义符号“a ”，称作a 的绝对值．绝对值的几何意义是：如下图所示，a 表示数a 的点到原点（下图中的0）的距离；距离不能小于0．如：3到原点距离是3，所以3的绝对值是3；同样3-的绝对值也是3； （1）若1=a 、2=b ，且0>>b a ，则+=a b ．（2）若35980--++-++-=a b b c a c ，则++=a b c ．（3）请问：式子15-+-x x 的最小值是多少？x 取什么样的数时，这个式子能达到最小值？ 【答案】（1）3 （2）12 （3）4，15≤≤x 【解析】（1）由题意可知1=a ，2=b ，故3+=a b .（2）题目叙述“绝对值”的直观几何意义是数轴上线段两端的“距离”，可见绝对值大于等于0，等号成立的条件是绝对值内的数（或式子）等于0. 由于35--a b 、9+-b c 、8+-a c 都大于等于0，而它们的和是0，故只能3509080--=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩a b b c a c ，解此方程组，得345=⎧⎪=⎨⎪=⎩a b c ，故12++=a b c .12342468369124816121234246836912481612（3）15-+-x x 的几何意义是数轴上x 这个点到1这个点的距离，加上x 这个点到5这个点的距离的和. 显然当15≤≤x 时，这个距离和最小，为514-=.7. 计算：22222221234200520062007-+-++-+.【答案】2015028【解析】原式22222222007200654321=-++-+-+(20072006)(20072006)(20052004)(20052004)(32)(32)1=-⨯++-⨯+++-⨯++2007200620052004321=+++++++()120071200720150282=⨯+⨯=8. 如图,大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米,大正方形面积是多少平方厘米?【答案】121【解析】设大正方形变成为a ，小正方形边长为b ，则有：222011940()()202+==⎧⎧⇒⎨⎨=-=⇒+⨯-=⇒-=⎩⎩a b a b a b a b a b a b ，则大正方面积为211121=平方厘米.9. 利用平方差公式速算： （1）10298⨯= ； （2）11411515⨯= ；（3）22864136-= . 【答案】（1）9996 （2）224225（3）728000 【解析】（1）221029810029996⨯=-=； （2）2211411224111151515225225⎛⎫⨯=-=-= ⎪⎝⎭；（3）22864136(864136)(864136)728000-=+⨯-=.10. 一个正方形，如果一边减少25%，另一边增加3米，所得到的长方形与原来正方形面积正好相等，那么正方形面积是多少? 【答案】81【解析】我们由已知画图,设正方形的边长为x 米，则我们可以列方程13344⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭x x x ，那么9=x ．故正方形的面积为81．20厘米深化练习11. 计算：142931440199⨯+⨯+⨯++⨯.【答案】109880【解析】踢三角的应用，(1991994)(12340)3109880++⨯++++÷= .12. 将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个数阵，其中，2在第1个拐角处，3在第2个【答案】10101【解析】显然，拐角总是发生在一个长方形或正方形结束后，例如：第3个拐角32π4π28π87.92-==； 第4个拐角22π231π343⨯⨯=⨯⨯÷；第5个拐角216101203ππ⨯⨯⨯=；第6个拐角2120(5) 4.8ππ÷⨯=； ......则，第13个拐角111133327⨯⨯=；第1260273+===圆柱大圆锥x V V x 个拐角10=x ；则第200个拐角27270=x13. 已知两个完全平方数的差是51，请求出这两个平方数. 【答案】676和625，或100和49【解析】22()()51-=+-=a b a b a b ，故511+=⎧⎨-=⎩a b a b 或173+=⎧⎨-=⎩a b a b ，解得2625=⎧⎨=⎩a b 或107=⎧⎨=⎩a b ，所以这两个平方数是676和625，或100和49.124356897111215161819201721……14. 六年级（1）班还有班费m （m 为小于400的整数）元，拟为每位同学买1本相册. 某批发兼零售文具店规定：购相册50本起可按批发价出售，少于50本则按零售价出售，批发价比零售价每本便宜2元，班长若为每位同学买1本，刚好用完m 元；但若多买12本给任课教师，可按批发价结算，也恰好只要m 元. 那么该班有______名同学.班费m =______元. 【答案】42， 378【解析】如图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为矩形A 的面积与矩形B 的面积相等，所以矩形A 的长是矩形B 的宽的6倍，设批发价为x 元（图中矩形B 的宽），因此按批发价买了(612)+x 本，则有：(612)+=x x m ，即6(2)+=x x m ，根据题意按批发价买了(612)+x 本应该大于50，所以6>x ，且400<m ，当7=x 时，有679378400=⨯⨯=<m ，当8=x 时，6810480400=⨯⨯=>m .所以7=x ，因此该班有6742⨯= 人，班费有378元15. 某城镇沿环形路上依次排列有五所小学：1A 、2A 、3A 、4A 5A ,它们顺次有电脑15台、7台、11台、3台、14台,为使各校的电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最少?并求出调出电脑的最少总台数． 【答案】12【解析】如图，用A 、B 、C 、D 、E 顺时针排列依次表示一至五所小学且顺次向邻校调给1x ，2x ，3x ，4x ，5x 台电脑，依题意得12233445517113141510+-=+-=+-=+-=+-=x x x x x x x x x x ，得213=-x x ，312=-x x ，419=-x x ，515=-x x ，本题要求12345=++++y x x x x x 111113295=+-+-+-+-x x x x x 的最小值．由绝对值几何意义知，当13=x 时，y 有最小值12，此时有20=x ，31=x ，46=-x ，52=-x ，即一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调出的电脑总台数最少数目为12台．12本2元AB x 21E BA。
数形结合的题目
1. 已知一个圆的面积为 $\pi$，求它的周长。
解：圆的面积为$\pi r^2$，所以$r=1$。
周长为$2\pi r=2\pi$。
2. 在一个边长为 $1$ 的正方形中，一只苍蝇从一个角爬到另一个角，求苍蝇爬行的最短距离。
解：由于正方形的两条对角线相等，所以苍蝇从一个角到另一个角的最短距离为对角线的长度，即 $\sqrt{2}$。
3. 已知一个等边三角形的周长为 $6$，求其面积。
解：设该三角形的边长为 $a$，则 $a\times 3=6$，即 $a=2$。
由于该三角形是等边三角形，所以它的高等于边长的一半，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。
所以该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
4. 在一个正方形中，一条对角线被分成两段，比为 $3:4$。
求
正方形的边长。
解：设正方形的边长为 $a$，则对角线的长度为 $\sqrt{2}a$。
由于对角线被分成的两段比为 $3:4$，所以两段分别为
$\frac{3}{7}\sqrt{2}a$ 和 $\frac{4}{7}\sqrt{2}a$。
根据勾股定理，我们得到
$(\frac{3}{7}\sqrt{2}a)^2+(\frac{4}{7}\sqrt{2}a)^2=(\sqrt{2}a)^
2$，化简得 $a=7$。
5. 已知半径相等的两个圆相切，其中一个圆的面积为$16\pi$，求另一个圆的面积。
解：由于两个圆相切，所以它们的切点处连线的长度等于两个圆的半径之和，即 $r+r=2r$。
设另一个圆的面积为 $S$，则
$S=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2$。
设第一个圆的面积为 $16\pi$，
则 $\pi r^2 = 16\pi$，即 $r=4$。
所以另一个圆的面积为 $3\pi
r^2=3\times 16\pi=48\pi$。
