(完整版)数形结合练习

数形结合1.如图1，大长方形的面积从整体看为S=m（a+b+c），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成：S＝S1+S2+S3＝ma+mb+mc；于是有m（a+b+c）＝ma+mb+mc。

2.如图2，大长方形的面积从整体可以表示成（a+b）（m+n），同时这个大长方形的面积也可以从局部表示成S＝S1+S2+S3+S4＝ma+mb+na+nb；于是有（a+b）（m+n）＝ma+mb+na+nb.。

3.如图3，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形S4旋转到小长方形S3的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成S1+S2+ S3＝(a+b)(a－b)。

于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。

4.如图4：将边长为b的小正方形放到边长为a的正方形的一角，空白部分的面积从整体计算为a2－b2；而如果从局部考虑，其面积可以看作为两个梯形S1+S2之和，其面积为()()()()))((22babababababa-+=-++-+。

于是有(a+b)(a－b)＝a2－b2。

5.如图5，大正方形的面积从整体可以表示为(a+b)2，从局部可以表示为也可以表示为S＝S1+ S2+ S3+S4，同时S＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，于是有(a+b)2＝a2+2ab+b2。

6.如图6，从整体看，这个图形的面积为（a+b）（a+2b），从局部我们可以看出，它分为6部分，这6部分的面积之和为a2+3ab+2b2，所以（a+b）（a+2b）= a2+3ab+2b2。

数形结合例题例1 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2析解：图1的阴影部分面积等于边长为a的正方形面积与边长为b的正方形的面积差，表示为a2-b2．图2中阴影部分是长方形，其中长为a+b，宽为a-b，其面积为（a+b）（a-b）．根据两个图形中阴影部分的面积相等，有a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．例2 如图3是四张全等的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等式________．析解：空白部分的面积可看成是一个正方形，它的边长为a-b，所以面积为（a-b）2；空白部分面积又可看成大正方形面积与四个长方形面积的差，大正方形的面积为（a+b）2，aba －baba －b甲乙每个长方形的面积为ab ，所以空白部分面积为（a +b ）2-4ab ．因此有恒等式（a +b ）2-4ab =（a -b ）2成立．故填（a +b ）2-4ab =（a -b ）2．例3 图4是由一个边长为a 的正方形与两个长、宽分别为a 、b 的小长方形拼接而成的长方形ABCD ，则整个图形可表达出一些等式，请你写出其中任意三个等式______、______、_______．析解：读懂题意，观察图中数据关系是关键，其次利用面积写出代数式，．根据图形的组合特点，由面积间的相等关系，写出符合要求的等式，如：a 2+2ab =a （a +2b ）；a （a +b ）＋ab =a （a +2b ）； a （a +2b ）-a （a +b ）=ab ；a （a +2b ）-ab =a （a +b ）；a （a +2b ）-a 2=2ab ；a （a +2b ）-2ab =a 2．数形结合解题1.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A()222b 2ab a b a +-=- B.()2222b ab a b a ++=+C()()22b a b -a b a -=+D.()ab a b a a -=-22.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--= B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-3.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）A ．2m +3B ．2m +6C ．m +3D ．m +64.七年级学生小明剪出了多张如图⑴中的正方形和长方形的卡片，利用这些卡片他拼成了如图⑵中的大正方形，由此验证了我们学过的公式：2222)(b ab a b a ++=+．现在请你选取图⑴中的卡片（各种卡片的张数不限），并利用它们在图⑶中拼出一个长方形，由此来验证等式：2232)2)((b ab a b a b a ++=++．（请按照图⑴中卡片的形状来画图5.数形结合是一种重要的数学方法，，你能利用这种方法把算式(2a+b)(a+2b)=2a 2+5ab+2b 2的合理性解释清楚吗aa bb⑴（2）（3）。

小学数学数形结合练习题一、判断正误1. 下列图形中，哪个是多边形？A. 长方形B. 圆形C. 五角星D. 弧形答案：A2. 下列图形中，几个图形是直角三角形？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 下列哪个图形是长方体？A. 球B. 圆锥C. 正方体D. 圆柱体答案：C二、选择题4. 请根据图形选择正确的名词。

（1）正方形（2）长方形（3）菱形（4）梯形A. （1）和（4）B. （2）和（3）C. （1）和（3）D. （2）和（4）答案：A5. 下面哪几个图形的边是曲线？A. 圆B. 四边形C. 五边形D. 三角形答案：A三、填空题6. 请根据题图填空。

（1）图中有___个长方形。

（2）图中有___条曲线边。

（3）图中有___个三角形。

（4）图中有___个正方形。

答案：（1）3 （2）2 （3）4 （4）67. 已知边长为5cm的正方形围成一个正方形区域，求这个区域的周长。

答案：20cm四、计算题8.将下列几何图形按照形状分类，并填写正确的图形名称和数量。

（1）矩形 (2）圆（3）梯形 (4）正方形（5）三角形（6）长方形答案：（1）长方形，2个（2）圆，0个（3）梯形，0个（4）正方形，3个（5）三角形，1个（6）长方形，1个9.某学校的操场为长方形，长为50m，宽为30m。

学生们要在操场上划分一个正方形区域作为足球场，求这个足球场的边长和面积。

答案：边长为30m，面积为900m²。

总结：通过以上数学练习题，我们复习了几何图形的分类和形状判断，以及计算周长和面积的方法。

希望同学们能够通过这些练习题加深对数学知识的理解，提升自己的数学水平。

加油！。

1 / 2数形结合练习一．选择题：1．向高为 H 的水瓶中灌水，注满为止，假如灌水量 v 与水深 h 的函数关系以以以下图，那么水瓶的形状是2．已知定义在R 上的偶函数 f(x)在（ 0， +∞）上是增函数且 f( 1)＝0 则知足3f (log 1 x) ＞0 的 x 的取值范围是8（A ）{ 1} ∪(2, +∞ ) （ B ）(0,1)（C ）(0, 1)∪ (2, +∞) （D ） (2, +∞ )2223．方程 lgx=sinx 的根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）无数个4．函数 y ＝a|x|和 y= x+a 的图像恰巧有两个公共点，则实数 a 的取值范围为（A ）(1, +∞ ) （ B ）(－1, 1) （C ）(－∞ , －1) （D ）(－∞ , － 1)∪(1, +∞) 5．已知 0<a<1，方程 a |x| | log a x | 的实数根的个数是（A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3 个 （D ）以上都有可能 ．若不等式2－log a ＜ 0在 (0, 1 内恒建立 ,则 a 的取值范围是6x x )2（A ）[ 1, 1)（ B ） (0, 1)（C ） ( 1, 1) （D ）(0, 1)1616167．代数式 x 2 y 2 x 2( y 1)2( x 1) 2 y 2(x 1) 2( y 1)2 的最小值为（A ）2 （B ）2 2（ C ）4 （D ）4 2．函数 ＝ sin2x+acos2x 图像的一条对称轴为 x ＝－，那么 a 等于8 y8（A ） 2（ B ）－ 2（ C ）1 （D ）－ 19．直线 y=a （a ∈R ）与曲线 y ＝ cot(ωt)，（ω＞ 0）的相邻两交点之间的距离是（A ）k（B ）2（ C ） （D ）以上都不对二．填空题：1．已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 分别为（－ 1，1）和（ 2, 2），若直线 l ：x+my+m=0 与 PQ 的延伸线订交，则 m 的取值范围是 . 2．若直线 l ：y ＝kx+1 与曲线 c ：x ＝y 2 1 只有一个公共点，则实数 k 的取值1范围是.3．函数 y=23x 的值域是1x4．若 a ∈ (0,1) ，则T＝ sin(1+a) ， T =sin(1－ a), T =cos(1+a) 的大小关系1232为．5．方程 |x－ |2x+1||=1 的不一样样样实根的个数为.6．函数 u＝2x 15 2x 的最大值是.三．解答题：．已知+十 3的最大值 .）, 求 2a b14a+9b＝10（a，b∈6 R2．假如对于x 的方程sinx+acosx= 2 恒有解，务实数 a 的取值范围3．已知函数 f(x)=ax2－c 知足一 4≤f(1)≤－ 1，－ 1≤f(2)≤5，求 f(3)的范围．4．已知 a ≥0, b≥0, a+b=1，求证：a1b 1≤2.225．若 A={ x| －2≤x≤a} ， B={ y| y＝2x+3，x∈A}, C＝{ z| z=x2, x∈ A} ，若 C B，求 a 的值．6．已知抛物线 C：y＝－ x2+mx－1，点 A（3，0）， B(0, 3), 求抛物线 C 与线段AB 有两个不一样样样交点时 m 的范围．22 / 2。

高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。

数形结合的题目1. 已知一个圆的面积为 $\pi$，求它的周长。

解：圆的面积为$\pi r^2$，所以$r=1$。

周长为$2\pi r=2\pi$。

2. 在一个边长为 $1$ 的正方形中，一只苍蝇从一个角爬到另一个角，求苍蝇爬行的最短距离。

解：由于正方形的两条对角线相等，所以苍蝇从一个角到另一个角的最短距离为对角线的长度，即 $\sqrt{2}$。

3. 已知一个等边三角形的周长为 $6$，求其面积。

解：设该三角形的边长为 $a$，则 $a\times 3=6$，即 $a=2$。

由于该三角形是等边三角形，所以它的高等于边长的一半，即$\frac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\sqrt{3}$。

所以该三角形的面积为$\frac{1}{2}\times 2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$。

4. 在一个正方形中，一条对角线被分成两段，比为 $3:4$。

求正方形的边长。

解：设正方形的边长为 $a$，则对角线的长度为 $\sqrt{2}a$。

由于对角线被分成的两段比为 $3:4$，所以两段分别为$\frac{3}{7}\sqrt{2}a$ 和 $\frac{4}{7}\sqrt{2}a$。

根据勾股定理，我们得到$(\frac{3}{7}\sqrt{2}a)^2+(\frac{4}{7}\sqrt{2}a)^2=(\sqrt{2}a)^2$，化简得 $a=7$。

5. 已知半径相等的两个圆相切，其中一个圆的面积为$16\pi$，求另一个圆的面积。

解：由于两个圆相切，所以它们的切点处连线的长度等于两个圆的半径之和，即 $r+r=2r$。

设另一个圆的面积为 $S$，则$S=\pi(2r)^2-\pi r^2=3\pi r^2$。

设第一个圆的面积为 $16\pi$，则 $\pi r^2 = 16\pi$，即 $r=4$。

所以另一个圆的面积为 $3\pir^2=3\times 16\pi=48\pi$。

小学数学数形结合练习题题目一：数形结合的认知训练1. 看图填空：(a) 在图中，将所有的三角形标记一下。

(b) 将你周围的物体，如书桌、椅子等尽可能多地找出正方形、长方形和圆形，并分别写下它们的名称。

2. 计算下列各图形的周长和面积：(a) 根据提供的边长，计算正方形的周长和面积。

(b) 根据提供的长和宽，计算长方形的周长和面积。

(c) 根据提供的半径，计算圆形的周长和面积。

(d) 尝试设计一个你认为面积最大的正方形，画出它的示意图，并计算周长和面积。

3. 图形转换：(a) 请将以下图形按照标号进行旋转，并写出每个旋转后的图形名称。

图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形(b) 请将以下图形按照标号进行翻转，并写出每个翻转后的图形名称。

图1：正方形图2：长方形图3：三角形图4：圆形4. 找规律：(a) 请观察以下数字序列，找出其规律，并写出下一个数字：1, 4, 9, 16, ...(b) 请观察以下形状序列，找出其规律，并画出下一个形状：△, □, ○, ▽, ...5. 图形拼凑：(a) 使用提供的拼图块，组合成一个正方形。

(b) 使用提供的拼图块，组合成一个长方形。

(c) 使用提供的拼图块，组合成一个圆形。

6. 图形推理：给出以下图形的排列顺序，请写出图形编号，并解释其排列规律。

图1：▽图2：□ 图3：○ 图4：△题目二：数形结合的实际应用1. 实际问题运用：(a) 小明家花园的形状是长方形，长为8米，宽为5米，他要在花园的四周围上一圈砖。

砖的规格是2米长、1米宽，请问他需要多少块砖？如果砖的价格是每块20元，他需要多少钱？(b) 小红的家有一个圆形的花坛，直径是3米。

她想在花坛周围种植一圈花草，每株花草之间的间距是20厘米。

她需要多少株花草？题目三：数形结合的解决问题能力训练1. 智力题：(a) 小明手上有12枚硬币，其中有一个是假币，假币的重量比真币轻。

小明有一个天平，最多能使用3次天平，能否找出假币？如果能，请写出解决方法；如果不能，请解释原因。

第五十二讲数形联合A组一、选择题1. 已知函数 f(x)＝ x2＋ e x－1(x<0) 与 g(x)＝ x2＋ ln( x＋ a)的图象上存在对于y 轴对称的点，则 a 2的取值范围是 ()A.－∞，1－∞，e) C.－1， eD.－ e，1e B.(e e答案： B分析：由题意可得，当x>0 时， y＝ f(－ x)与 y＝ g(x)的图象有交点，即g(x)＝ f(－ x)有正解，即 x2＋ln( x＋ a) ＝ (－x)2＋ e－x－12有正解，即 e－x－ ln(x＋ a)－12＝ 0 有正解，令 F(x)＝ e－x－ ln(x1－x－1－x1＋a)－，则 F′(x)＝－ e<0，故函数 F(x)＝ e－ ln(x＋ a)－在 (0，＋∞)上是单一递减2x＋ a2的，要使方程g(x)＝ f(－ x)有正解，则存在正数 x 使得 F(x) ≥0，即 e－x－ln( x＋ a)－1≥0，所以2e x1 e x1x 在(0，＋∞)上单一递减，所以e 011a≤e2x ，又y＝ e2a< e20＝ e2，选B.2. 函数 f(x)= 1 x 2 (| x |1)，假如方程 f(x)=a 有且只有一个实根，那么 a 知足 ( )| x |(| x |1)A. a<0B.0≤ a<1C.a=1D.a>1答案： C分析：由图知 a=1 时，图象只有一个交点，应选 C.3.已知圆 C：( x－3)2＋( y－4)2＝1和两点 A(－m,0)，B( m，0)( m>0)，若圆 C上存在点 P，使得∠ APB＝90°，则 m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案： B分析 . 依据题意，画出表示图，以下图，则圆心 C 的坐标为 (3,4) ，半径 r ＝ 1，且 | AB | ＝2m .1因为∠ APB ＝ 90°，连结 OP ，易知 | OP |＝ 2| AB | ＝m .要求 m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离 .22因为 | OC | ＝ 3 ＋ 4 ＝ 5，所以 | OP |max ＝ | OC | ＋ r ＝ 6，1224. 设平面点集 A ＝ {( x ，y )|( y － x ) · ( y －x ) ≥ 0} ， B ＝ {( x ， y )|( x － 1) ＋( y － 1) ≤1} ，则 A∩B 所表示的平面图形的面积为 ( ) 334πA. 4πB.5πC.7πD.21答案： D 分析：因为对于会合A ， ( y － x ) y － x ≥ 0，y － x ≥0，y － x ≤0，所以1或1其表示的平面地区如图 .y －x ≥ 0y － x ≤ 0，对于会合 B ， ( x － 1) 2＋ ( y －1) 2≤ 1 表示以 (1,1) 为圆心， 1 为半径的圆及其内部地区，其面积为π .12由题意意知 A ∩ B 所表示的平面图形为图中暗影部分，曲线y ＝ x 与直线 y ＝x 将圆 ( x －1) ＋( － 1) 2＝1 分红1， 2， 3，4四部分 . 因为圆 ( x － 1)2＋( y－ 1) 2＝1 与 y ＝ 1 的图象都对于直ySSSSx线 y ＝ x 对称，进而 S ＝S ， S ＝ S ，而 S ＋ S ＋ S ＋ S ＝π，所以 S＝S ＋S ＝ π暗影 2.1234123424二、填空题5. 已知函数 y ＝ f ( x )( x ∈ R) ，对函数 y ＝ g ( x )( x ∈ I ) ，定义 g ( x ) 对于 f ( x ) 的“对称函数” 为函数 y＝ h( x)( x∈ I )，y＝ h( x)知足：对随意x∈ I ，两个点( x，h( x))，( x，g( x))对于点( x，f ( x))对称.若 h( x)是 g( x)＝4－x2对于f ( x) ＝ 3x＋b的“对称函数” ，且h( x)> g( x) 恒成立，则实数 b的取值范围是 ________.答案： (210，＋∞ )分析由已知得h x＋ 4－x2) ＝ 6＋ 2－ 4－x 2(x)> ()＝3＋，所以 (.2x b h x x b h g x恒成立，即 6x ＋2－ 4－2> 4－x2，3 ＋> 4－x2恒成立 .b x x b在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋ b 及半圆 y＝2如图所4－x(b示) ，可得>2，即b>2 10，故答案为 (2 10，＋∞ ). 10x2y26．椭圆a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的左、右极点分别是A，B，左、右焦点分别是 F1，F2，若| AF1|，| F1F2 | ， | F1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．【分析】1121122∵ | AF| ＝a－c，|FF|＝ 2c， | F B| ＝a＋c，且三者成等比数列，则| FF|11222c5＝| AF| · | F B| ，即 4c＝( a－c) · ( a＋c) ，得a＝ 5c，∴ e＝a＝5.【答案】5 5三、解答题7. 已知函数f (x) ＝ 2lnx－x2＋( ∈R)．ax a(1) 当＝2时，求f (x) 的图象在x＝ 1处的切线方程；a(2) 若函数g( x)＝ f (x)－ax＋ m在1， e上有两个零点，务实数m的取值范围．e22解： (1)当 a＝2时， f( x) ＝ 2ln x－x＋ 2x，f′ ( x) ＝x－ 2x＋2，切点坐标为 (1 ， 1)，切线的斜率k＝ f ′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2( x－1)，即 y＝2x－1.(2)g( x)＝2ln x－ x2＋ m，2－ 2（x＋ 1）（x－ 1）则 g′( x)＝x－2x＝x.1∵ x∈e，e，∴当 g′( x)＝0时， x＝1.1当 <x<1 时，g′( x)>0 ；e当 1<x<e 时，g′ ( x)<0.故 g ( x ) 在 x ＝ 1 处获得极大值 g (1) ＝ m － 1.112121 1又 g e ＝ m － 2－ e 2， g (e) ＝ m ＋ 2－ e ， g (e) － g e ＝ 4－ e ＋ e 2<0，则 g (e)< g e ，1∴ g ( x ) 在 ， e 上的最小值是 g (e) ． e1g ( x ) 在， e 上有两个零点的条件是eg （ 1）＝ m － 1>0，11 g e ＝ m － 2－e 2≤ 0，1解得 1<m ≤ 2＋e 2 ，1∴实数 m 的取值范围是1，2＋ e 2 .8. 已知函数 f(x)的图象是由函数g(x)＝cos x 的图象经以下变换获得：先将g(x)图象上全部点π的纵坐标伸长到本来的2 倍 (横坐标不变 )，再将所获得的图象向右平移2个单位长度 .(1) 求函数 f(x)的分析式，并求其图象的对称轴方程；(2) 已知对于 x 的方程 f( x) ＋g( x)＝m 在 [0,2 π)内有两个不一样的解α， β.2m 2 ①务实数m 的取值范围；②证明： cos(α－ β)＝－ 1.5解 法一 (1) 将 g(x)＝ cos x 的图象上全部点的纵坐标伸长到本来的2 倍(横坐标不变 )获得 y＝2cos x 的图象，再将 y ＝2cos x 的图象向右平移π y ＝ 2cos x －π 个单位长度后获得的图象，22故 f(x)＝ 2sin x.进而函数 f(x)＝ 2sin x 图象的对称轴方程为πx ＝ k π＋(k ∈ Z ).2(2) ① f(x)＋g(x)＝ 2sin x ＋ cos x ＝ 52sin x ＋ 1cos x ＝ 5sin(x ＋ φ)55此中 sin φ＝ 1， cos φ＝255.依题意， sin(x ＋ φ)＝ m在 [0，2π)内有两个不一样的解α， β，当且仅当m＜ 1，故 m 的取值55范围是 (－ 5， 5).②证明 因为 α， β是方程5sin( x ＋ φ)＝m 在 [0，2π)内的两个不一样的解。

专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。

2。

」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】 因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排 除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】 由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】 依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】 本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】 如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】 作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解． 当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方． 而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】 利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________． 【答案】 (－7，3)【解析】 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________． 【答案】 －2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。

数形结合专项训练一、选择题1．有理数a，b在数轴上的对应点如图1所示，则│a│+│a+b│-│b-a│等于（）A．2b+a B．2b-a C．a D．bba c0a(1) (2)2．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图2所示，则下列关系式中成立的是（）A．c+b>a+b B．bc>ab C．b-c>a-c D．ca>ba3．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2003应在（• ）A．○A位 B．○B位 C．○C位 D．○D位4．a，b为数轴上的两个数，且a在b的右边，那么a+b（）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定5．数轴上表示互为相反数的两个点相互之间的距离是4，这两个数是（）A．0和4 B．0和-4 C．2和-2 D．4和-46．若有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图3所示，则下列结论中正确的是（）A．b>a B．│a│>-b C．│b│>-a D．│a│>│b│(3) (4) (5)7．有一个密码系数，其原理如下面的杠图所示：输入x → x+6 →输出，当输出的结果为10时，则输入的x为（）A．4 B．-4 C．16 D．-16二、填空题8．已知a，b，c•在数轴上的位置如图4所示，•用“<•”或“>•”连接，•则a-b_____0，abc_______0，b_______c．9．数a，b在数轴上的位置如图5所示，则│b│_____│a│．（填“>”“<•”或“＝”）10．m，n都是负数，n比m大，那么在数轴上，m，n都在原点的________侧，m点比n•点距离原点______．11．若x<y<0，则（x+y）（x-y）的符号为______，（x+y）·（x-y）的符号为____，（x-y）（y-x）的符号为_____．三、解答题12．如图所示，小丽在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试确定墨迹盖住的整数共有几个？13．如图所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，•如果小颖输入2后，所得的结果为5，这个计算装置中究竟是怎样进行计算的呢？•若小颖输入的数为x，请你用x表示运算规则．（至少写出三种运算规则）14．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A后，继续向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．（1）写出A，B，C三点表示的数；（2）根据点C在数轴上的位置，说明点C可以看作是蚂蚁从原点出发，•向哪个方向爬行了几个单位长度得到的．答案:1．C [提示：由图可知a<0，a+b<0，b-a>0，所以│a│-│a+b│-│b-a│=-a+（a+b）-（b-a）=-a+a+b-b+a=a，故选C．] 2．B [提示：由图可知，a>0，b>0，因为a>c，所以a+b>c+b，故A错；因为b<a，•所以b-c<a-c，故C错；因为c<b，a>0，所以ca>ba，故D错，因为bc>0，ab<0，所以bc>ab，故选B．]3．B [提示：由图可观察到：A位置的数为4n+2；B位置的数为4n+3；C位置的数为4（n+1）；D位置的数为4n+5（n为自然数），而2003=4×500+3，故2003应在B位置，故选B] 4．D [提示：因为a在b的右边，所以a+b>0或a+b<0或a+b=0，故大小不能确定，应选D] 5．C [提示：因为互为相反数的两个点之间的距离为4，而2和-2既互为相反数，又│2│+│-2│=4，故选C．]6．C [提示：由图可知0<a<1，b<-1，所以b>a错误；│a│-b错误；│a│>│b│也错误，│b│>-a正确，故选A．]7．A [提示：由图可知输入的x与6的和为10，则x=4，故选A．]8．> > > [提示：由图可知，a>0，b<0，c<0，且│a│>│b│．]9．> [提示：从图中可以看到a>0，b<0，所以a>b．]10．左远 [提示：因为m<n<0，所以m，n都在原点左侧，但m点比n点距离原点远．] 11．正负负 [提示：因为x<y<0，所以x+y<0，x-y<0，所以（x+y）（x-y）>0，•即符号为正，同样可得（x+y）（y-x）及（x-y）（y-x）的符号为负．]12．解：原点左边的-1的负号被盖住，-6．3与-1之间有5个整数，0与4．1之间有4个整数，所以共有9个整数．13．解：能用x表示运算规则：如2x+1，x2+1，3x-1．14．解：（1）点A表示4，点B表示6，点C表示-4．（2）点C是蚂蚁从原点出发向左爬行了4个单位长度得到的．。

初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。

解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。

正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。

例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。

解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。

长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。

例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。

解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。

圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。

例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。

解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。

这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。

当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。

希望这些例题能对你有所帮助。

数形结合思想单元测试一、选择题．1．设全集U ＝R ，集合A ＝(1，＋∞)，集合B ＝(－∞，2)。

则ðU (A∩B)＝（ ） A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，1)∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞) D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)解析：涉及数集的运算，画出数轴可求{}A B=/12x x ⋂<<，进而得ðU (A∩B)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)； 2．如图，直线A x ＋B y ＋C ＝0(AB ≠0)的右下方有一点(m ，n )，则A m +B n ＋C 的值（ ） A 与A 同号，与B 同号 B 与A 同号，与B 异号 C 与A 异号，与B 同号D 与A 异号，与B 异号A,D ，不妨设 A>0, 则B<0,C<0,因为点(m ，n )在直线的下方，所以A m +B n ＋C>0,故选B.3．设关于x 的方程sin x +3cos x +a =0在（0,π）内有相异解α、β.则a 的取值范围是（ ）； A (–2,–3)∪(–3,2) B (–2,–3) C (–3,2) D 不确定 解析：作出y =sin(x +3π)(x ∈(0,π))及y =–2a 的图象，知当｜–2a ｜＜1且–2a ≠23时，曲线与直线有两个交点，故a ∈(–2,–3)∪(–3,2).故选A 。

4.方程sin(x –4π)=41x 的实数解的个数是( )A.2B.3C.4D.以上均不对解析：由函数与方程思想知：方程的根转化为对应函数图像的交点的横坐标，分别作出函数y=sin(x –4π)和函数y=41x 的图像，由图像知交点个数为3个，故方程的根有3个。

5.已知f (x )=(x –a )(x –b )–2（其中a ＜b )，且α、β是方程f (x )=0的两根（α＜β)，则实数a 、b 、α、β的大小关系为( )A.α＜a ＜b ＜βB.α＜a ＜β＜bC.a ＜α＜b ＜βD.a ＜α＜β＜b解析：令g (x )= f (x ) +2=(x –a )(x –b )（其中a ＜b ),可知函数f (x )的图像向上平移2个单位可得函数g (x )，而方程g (x )=0的两个跟为a ，b ，结合图像可知α＜a ＜b ＜β。

例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？
分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数
y =2x 2－3x 。

和函数y =2k 的交点个数问题．
解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛
物线，随着k 的变化，易知2k ＝－8
9或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2
5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题3．已知s =
1
322+-t t ，则s 的最小值为 。

分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s |＝1
|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y
－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t
－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.
点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b
++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2
联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．。

小学数形结合练习题
1. 数轴上表示1和2的点的距离是多少？表示-1和2的点的距离是多少？
2. 在一条直线上，有两个点A和B，点A在点B的左边。

现在有4个单位长度的棒，如何用这些棒把A和B连接起来？
3. 将一根绳子绕成一个圆形，然后从圆心处将绳子剪断，拉直后得到的直线长度是多少？
4. 用3个边长为2cm的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少cm？
5. 一个长方形的长是宽的3倍。

如果长和宽各增加2cm，那么新的长方形的周长是原来的多少倍？
答案：
1. 在数轴上表示1和2的点的距离是1，表示-1和2的点的距离是3。

2. 在一条直线上，有两个点A和B，点A在点B的左边。

现在有4个单位长度的棒，可以这样连接A和B：将第一个棒放在点A右边一个单位长度处，第二个棒放在点B左边一个单位长度处，第三个棒放在点B右边一个单位长度处，第四个棒放在点A左边一个单位长度处。

这样就能将A和B连接起来。

3. 将一根绳子绕成一个圆形，从圆心处将绳子剪断后拉直得到的直线长度等于圆的周长。

4. 用3个边长为2cm的正方形拼成的长方形周长是16cm。

5. 一个长方形的长是宽的3倍。

如果长和宽各增加2cm，那么新的长方形的周长是原来的多少倍？
原来的长方形周长为： 2 × (3 + 1) = 8cm
新的长方形周长为： 2 × (3 + 3) = 12cm
所以新的周长是原来的 12/8 = 1.5倍。

六年级数学上册专项练习：数形结合规律（含解析）一、选择题（共3题；共6分）1.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）.A. 86B. 52C. 38D. 742.用火柴棒按下图的方式摆放第12个图形需要（）根小棒.A. 30B. 36C. 393.把一些规格相同的杯子叠起来（如图），4个杯子叠起来高20厘米，6个杯子叠起来高26厘米.n个杯子叠起来的高度可以用下面（）的关系式来表示.A. 6n-10B. 3n+11C. 6n-4D. 3n+8二、填空题（共9题；共14分）4.下图是小明用火柴搭成的1条、2条、3条“金鱼”……则搭6条“金鱼”需要火柴________根.5.一些小棒按下面的方式摆放.摆第7个图形需要________根小棒；摆第10个图形需要________根小棒.6.如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第20个图案需棋子________枚.7.若=1，=2，=3，则=________.8.如图，有一座四层楼房，每个窗户有4块玻璃，分别涂上灰色和白色，每个窗户代表一个数字.每层楼有三个窗户，从左向右表示一个三位数.四个楼层表示的三位数有791，275，362，612.第三层楼表示的三位数是________.9.观察如图，第6个图有________个圆点，第n个图比它前一个图多________个圆点.图序 1 2 3 4 ……点群……圆点数1 5 14 30 ……10.下列图中有大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个……第5幅图中有________个，第n幅图中有________个.11.将一些▲按一定的规律摆放，（如图所示）.图中▲的个数依次是6、10、16 、24……第8个图形共有________个▲.第n个图形中共有________个▲.12.小明用吸管和图钉钉三角形形状（如下图，线段表示吸管，黑点表示图钉）.（1）照样子钉4个三角形，需要________个图钉和________个吸管.（2）小明用100个图钉，同时要再用________根吸管，就能钉成________个三角形.三、解答题（共2题；共9分）13.1张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起.（1）2张桌子拼在一起可坐多少人?3张桌子呢?n张桌子呢?（2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐________人.（3）在（2）中，若改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐________人.14.探索规律.（1）按小方块的摆放规律把表格填写完整.层数 1 2 3 4 …7 …n方块个数5 15 30 ________ …________ …________（2）当所用的小方块达到330个时，搭成的台阶共有________层.答案解析部分一、选择题1.【答案】 A【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：8×10+6=86，所以m的值是86.故答案为：A.【分析】从已给的规律可以得出，右上角的数=左上角的数+4，左下角的数=左上角的数+2，右下角的数=右上角的数×左上角的数-左上角的数.据此作答即可.2.【答案】 C【考点】数形结合规律【解析】【解答】6+3×（12－1）=6+33=39（根）故答案为：C【分析】观察图可知，如果把图形的序数设为n，小棒的个数与图形的序数间的关系为：小棒的个数=6+3×（n－1），以此即可解答.3.【答案】 D【考点】数形结合规律【解析】【解答】1个杯子重叠部分的高度：（26-20）÷2=6÷2=3（厘米）下面没有重叠部分的高度是：20-3×4=20-12=8（厘米）n个杯子叠起来的高度可以用3n+8来表示.故答案为：D.【分析】根据条件“4个杯子叠起来高20 厘米，6个杯子叠起来高26厘米”可知，2个杯子叠起来重叠部分的高度是：26-20=6（厘米），也就是一个杯子上面的重叠部分是3厘米，有几个杯子重叠，就有几个3厘米，再加上下面未重叠的高度就是总高度，据此分析解答.二、填空题4.【答案】 38【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：搭6条“金鱼”需要火柴38根.故答案为：38.【分析】1条鱼需要火柴6+2根，2条鱼需要火柴6×2+2=14根，3条鱼需要火柴6×3+2=20根，……n条鱼需要火柴6n+2根.据此作答即可.5.【答案】 15；21【考点】数形结合规律【解析】【解答】7×2+1=15（根）；10×2+1=21（根）.故答案为：15；21.【分析】此题主要考查了数形结合的规律，观察图形可得规律：摆第n个图形需要2n+1根小棒，据此列式解答.6.【答案】 62【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：2+3×20=2+60=62（枚）故答案为：62.【分析】规律：棋子的枚数=2+图案个数×3，按照这样的规律计算即可.7.【答案】 9【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：（10+8）÷2=9故答案为：9.【分析】观察已知三个图形中的三个数字，发现用左边两个数字的和除以右边的数字来计算，所以用左边的8与10的和除以2即可.8.【答案】 791【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：第三层楼表示的三位数是791.故答案为：791.【分析】从下往上数，一层和四层最右边的窗户形状相同，那么表示这两层的数字的最后一位相同，所以“362和612”表示这两层，且表示2，那么一层左边的数字就是2，所以一层用275表示.那么第三层楼表示的三位数就是791.9.【答案】 91；【考点】数形结合规律【解析】【解答】观察如图，第6个图有=91个圆点，第n个图比它前一个图多个圆点.故答案为：91；.【分析】此题主要考查了数形结合的知识，关键是找出图形的变化规律，观察可得规律：第n个图比它前一个图多个圆点，据此解答.10.【答案】 9；2n-1【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：第5幅图中：5×2-1=9（个），第n幅图中：（2n-1）个.故答案为：9；2n-1.【分析】规律：平行四边形的个数=图形的个数×2-1，根据规律计算即可.11.【答案】 76；n2+n+4【考点】数形结合规律【解析】【解答】根据分析可知，第8个图形共有4+8×（8+1）=76个▲.第n个图形中共有4+n×（n+1）=n2+n+4个▲.故答案为：76；n2+n+4.【分析】先观察每个图形的最外侧都有4个▲，再观察每个图形内部▲的行数和列数，则有第1个图形中有4+1×2=6个▲，第2个图形中有4+2×3=10个▲，第3个图形中有4+3×4=16个▲，则第n个图形中有4+n×（n+1）=n2+n+4个▲，据此规律解答.12.【答案】（1）6；9（2）197；98【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：（1）照样子钉4个三角形，需要6个图钉和9个吸管；（2）小明用100个图钉，同时要再用197根吸管，就能钉成98个三角形.故答案为：（1）6；9；（2）197；98【分析】图中要钉成n个三角形，需要2n+1根吸管和n+2个图钉.（1）将n=4代入公式作答即可；（2）现在是100个图钉，所以n+2=100，解得n=98，所以可以钉成98个三角形，然后再将n=98代入2n+1就可以得出需要吸管的根数.三、解答题13.【答案】（1）解：2张桌子拼在一起可坐8人，3张桌子拼在一起可坐10人，n张桌子拼在一起可坐2n+4人.（2）112（3）100【考点】数形结合规律【解析】【解答】解：（2）5×2+4=10+4=14（人）14×（40÷5）=14×8=112（人）（2）8×2+4=16+4=20（人）20×（40÷8）=20×5=100（人）故答案为：（2）112；（3）100.【分析】（1）规律：能坐的人数=桌子张数×2+4，根据规律用字母表示；（2）根据规律先计算出5张桌子拼成的1张大桌子能坐的人数，40张桌子能拼成8张大桌子，这样用1张大桌子能坐的人数乘8即可求出坐的总人数；（3）先计算出8张桌子拼成的1张大桌子能坐的人数，40张桌子能拼成5张大桌子，用1张大桌子能坐的人数乘5即可求出可以坐的总人数.14.【答案】（1）50；140；（1+2+3+4+……+n）×5或（1+n）×n× 或1×5+2×5+3×5++n×5（2）11【考点】数形结合规律【解析】【解答】（1）按小方块的摆放规律，填表如下：层数 1 2 3 4 …7 …n方块个数 5 15 30 50 …140 …（1+n）×n×（2）（1+n）×n×=330解：（1+n）×n×5=330×2（1+n）×n×5÷5=660÷5（1+n）×n=132因为11×12=132，所以n=11.【分析】（1）观察图形排列可得规律：当小方块摆放n层时，方块的个数是：（1+n）×n×；（2）根据题意，要求搭成的台阶一共有几层，直接将数据代入字母式子中求值，据此解答.。

初三数形结合练习题1. 三角形ABC中，∠ACB = 90°，AB = 3cm，BC = 4cm。

求∠BAC的度数。

解析：根据直角三角形的性质，我们知道∠ACB = 90°。

又已知AB = 3cm，BC = 4cm，因此可以使用勾股定理求解。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

可以表示为：AB² + BC² = AC²。

代入已知数据，得到3² + 4² = AC²。

计算得到9 + 16 = AC²。

最终得到AC² = 25，即AC = 5cm。

接下来，我们可以使用正弦定理来计算∠BAC的度数。

根据正弦定理，∠BAC的正弦值等于对边长度与斜边长度的比值。

可以表示为：sin(∠BAC) = AB/AC。

代入已知数据，得到sin(∠BAC) = 3/5。

可以通过查表或使用计算器得到sin(∠BAC) ≈ 0.6。

因此，∠BAC的正弦值约等于0.6。

为了计算∠BAC的度数，我们可以使用反正弦函数，即：∠BAC = arcsin(0.6)。

通过计算，可以得到∠BAC的度数约为 36.87°。

2. 一个正方形的边长为6cm，求其周长和面积。

解析：正方形的周长即为正方形的四条边的长度之和。

可以表示为：周长= 4 ×边长。

代入已知数据，得到周长 = 4 × 6cm。

计算得到周长 = 24cm。

正方形的面积可以通过边长的平方计算得到。

可以表示为：面积 = 边长²。

代入已知数据，得到面积 = 6cm × 6cm。

计算得到面积 = 36cm²。

因此，该正方形的周长为24cm，面积为36cm²。

3. 计算三角形的面积：已知一个三角形的底边长为8cm，高为5cm。

求其面积。

解析：三角形的面积可以通过底边长和高的乘积的一半来计算。

可以表示为：面积 = (底边 ×高) / 2。

初二数形结合思想练习题1. 问题描述：一辆汽车经过一个路口时，路口的交通灯是红色的。

汽车在路口停了一会儿，等交通灯变绿后才继续行驶。

假设交通灯红色亮灯的时间为30秒，绿色亮灯的时间为60秒，黄色亮灯的时间为10秒。

已知汽车从刚开始等待时交通灯刚好变成红灯，且当交通灯变绿时，汽车马上启动通过路口。

求在一个小时内，汽车有多少次能通过该路口。

2. 解题思路：要求在一个小时内汽车通过路口的次数，可以通过计算每次信号灯周期所用的时间，然后将其乘以每小时的周期数来得到最终结果。

在求解前，需先进行一些假设：每小时交通灯变换的周期数为n。

解题步骤如下：1) 计算一个周期内红灯、绿灯和黄灯所用的时间。

- 红灯：30秒；- 绿灯：60秒；- 黄灯：10秒；2) 计算一个周期所用的总时间。

一个周期所用的总时间 = 红灯时间 + 绿灯时间 + 黄灯时间 = 30秒 + 60秒 + 10秒 = 100秒。

3) 计算一个小时内通过路口的次数。

每小时通过的周期数 = 60分钟 × 60秒 ÷一个周期所用的总时间 = 3600秒 ÷ 100秒 = 36个周期。

汽车通过路口的次数 = 每小时通过的周期数 ×每个周期通过的次数。

4) 计算每个周期通过的次数。

- 红灯：汽车需要停下，不计入通过次数；- 绿灯：汽车可以通过，计入通过次数；- 黄灯：过渡阶段，汽车不计入通过次数。

综上所述，汽车能通过路口的次数应为：汽车通过次数 = 每小时通过的周期数 ×每个周期通过的次数 = 36 × 1 = 36次。

因此，汽车在一个小时内能通过该路口的次数为36次。

3. 结论：在一个小时内，汽车有36次能通过该路口。

通过此题目的解答，学生可以练习数形结合的思想，将数学问题与形状、图形等进行联系，培养他们的综合运算能力和解决实际问题的能力。

这种练习有助于提高学生的数学思维能力，并增强他们对数学的兴趣与学习动力。

五年级数形结合练习题题目1：在平面直角坐标系中，有一条直线y = 2x + 3和一条直线过点(3, 1)且平行于y轴，设与y轴的交点为A。

请问：1.1 若直线y = 2x + 3与y轴的交点为B，求线段AB的长度。

1.2 若平行于y轴直线与y = 2x + 3交于点C，请计算三角形ABC的面积。

1.3 若点A的纵坐标为正数，求直线y = 2x + 3与x轴的交点的横坐标。

题目2：某地区小学五年级的学生进行趣味运动会，田径比赛项目有短跑、长跑和接力赛。

现有45名同学要参加比赛，其中有15名同学只选择一项比赛，20名同学选择两项比赛，10名同学选择三项比赛。

2.1 请问共有多少名同学参加了短跑项目？2.2 若有5名同学只参加了接力赛，求只参加长跑项目的同学人数。

2.3 若一名同学只能选择一项比赛，求他选择长跑项目的概率。

题目3：某校五年级有60名学生，他们的数学成绩分布如下：成绩在80分以上的学生人数为36人；成绩在70分以上但不及80分的学生人数为14人；成绩在60分以上但不及70分的学生人数为6人；成绩在60分以下的学生人数为4人。

请统计以下信息：3.1 学生平均成绩是多少？3.2 成绩在80分以上的学生所占的百分比是多少？3.3 成绩在60分以下的学生所占的百分比是多少？题目4：小明为了每天保证充足的睡眠时间，制定了一份作息计划。

他每晚10点睡觉，早上6点起床。

其中，他计划用1小时做作业，其他时间留给其他活动。

4.1 小明每天能休息多少小时？4.2 若小明每天早上跑步30分钟，那么他在其他时间还剩余多少小时？4.3 若小明做作业的时间减少到40分钟，他的休息时间会增加多少分钟？题目5：一个半径为5cm的圆与一个边长为10cm的边的正方形相切。

请计算：5.1 圆的面积是多少？5.2 正方形的面积是多少？5.3 圆和正方形的外切矩形的面积是多少？题目6：小明参加了一个数学竞赛，其中有10道单选题和5道多选题。

1.下列哪个图形不能完全由三角形拼成？
A.正方形
B.长方形
C.圆形
D.平行四边形
2.在数轴上，点A表示数字5，点B是点A右侧第三个单位长度的点，则点B表示的数
字是？
A. 2
B.7
C.8
D.15
3.一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加到6厘米，面积会增加多少平方厘米？
A. 4
B.12
C.20
D.36
4.直线l上有三个点A、B、C，且AB=BC=4cm，则AC的长度是？
A.4cm
B.6cm
C.8cm
D.无法确定
5.一个圆形花坛的周长是20米，如果在花坛周围每隔2米种一棵树，那么最多可以种
多少棵树（不考虑花坛内部的树）？
A.8棵
B.9棵
C.10棵
D.11棵
6.下列哪个图形不是轴对称图形？
A.等腰三角形
B.平行四边形（非特殊）
C.正方形
D.圆
7.用10根等长的小棒可以摆出多少个不同的三角形？（小棒不能折断）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8.在一个直角坐标系中，点P(3,4)关于x轴对称的点的坐标是？
A.(3,4)
B.(3,-4)
C.(-3,4)
D.(-3,-4)
9.一个长方形的长是宽的3倍，周长是24厘米，则这个长方形的面积是多少平方厘米？
A.12
B.18
C.24
D.36
10.下列哪个描述正确地表示了坐标平面上的点(a,b)到原点(0,0)的距离？
A.|a| + |b|
B. a + b
C.√(a^2 + b^2)
D.a^2 + b^2。