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内心、外心、重心、垂心定义及性质总结
1.内心：
（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：
（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3 重心：
（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
4 垂心：三条高所在直线的交点。
5 重心 : 三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好．
6 垂心 : 三角形上作三高，三高必于垂心交．
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
7内心 : 三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然．
8外心 : 三角形有六元素，三个内角有三边．
作三边的中垂线，三线相交共一点．
此点定义为“外心”，用它可作外接圆．
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．。
平面几何：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外 A B C P P MN'AB CQK P O O O ....S123心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.AA 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B D易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD .∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心∥=∥=.O A A A A 1234H H 12对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连HA 1，AH 交EF 于M .A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ① 又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH ∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.H H HM AB BA ABC C C F12111222DE同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1. 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅AB C D O O O 234O1AααMBCKNE R OQF r P=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2]=21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得Kr r r r O O O 213AO ECBa bcr a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin 2'sin B A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A +.A ...'B 'C 'OO 'ED∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg∠∠ =22B tg A tg =qr.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.Erdos..I P A BCD EFQS例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点 F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO )AB C D E FO KGO A BC DE F I K30°=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③BC O IAOG HO GH GO G H 123112233欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B)+( cos A+ cos B+ cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B.即可.练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)1(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为6.△ABC的边BC=2内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.中学数学几何问题：有关三角形五心的经典试题三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.一、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例1．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.(第26届莫斯科数学奥林匹克) 分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB ，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′.易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例2．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有 CF =2222221c b a -+，AA 'F F 'G E E 'D 'C 'P C B DBE =2222221b ac -+， AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c2⇒a2+c 2=2b 2.二、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. 例3．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称.同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例4．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2.求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①∥=∥=.OA A A A 1234H H 12H H HM AB BA ABC CC F12111222DE又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABHAH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aa sin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.三、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例5．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP A BCPP MN'=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例6．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )AB C K P O O O ....S123=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用). 例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ，△CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题) 证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF 中点P 是△ABC 之内心.(B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅AB C D O O O 234O1AααMBCKNE R OQF r P=αsin /)2(r r r R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心. 五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.(杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2]=21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c ) =41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得Kr r r r O O O 213AO ECBa bcr a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sin B O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin 2'sin B A B A +⋅，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A +.A ...'B 'C 'OO 'ED∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg∠∠ =22B tg A tg =qr.六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心.例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学试验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ). 不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA=2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF .I 就是一点两心.Erdos..I P A BCD EFQS例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD .(加拿大数学奥林匹克训练题)分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点 F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设 CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：DG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF .∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .(1988，中国数学奥林匹克集训题)分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有 ∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°. ∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO )AB C D E FO KGO A BC DE F I K30°=30°+21(∠BAC -60°) =21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂. 求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆 半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3=cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH sin =2，∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③BC O IAOG HO GH GO G H 123112233欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B·cos C+cos C·cos A+cos A·cos B)+( cos A+ cos B+ cos C)=sin B·sin C+sin C·sin A+sin A·sin B.即可.练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.(1982，澳大利亚数学奥林匹克)2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.(1989，捷克数学奥林匹克)3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，O2，O3.求证：△O1O2O3与△ABC有公共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.(IMO-7)1(AB+AC)，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为6.△ABC的边BC=2内心.试证：过A，M，N三点的圆与直线GI相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作△ABC.(第7届莫斯科数学奥林匹克)8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：(1)△AEF与△ABC有公共的内心；(2)△AEF与△ABC有一个旁心重合.1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结1.内心：（1）三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
（2）性质：到三边距离相等。
2外心：（1）三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
（2）性质：到三个顶点距离相等。
3重心：（1）三条中线的交点。
（2）性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2 倍。
4垂心：三条高所在直线的交点。
5重心：三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好.6垂心：三角形上作三高，三高必于垂心交.高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.7内心：三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然.8外心：三角形有六元素，三个内角有三边.作三边的中垂线，三线相交共一点.此点定义为“外心”，用它可作外接圆.“内心” “外心”莫记混，“内切” “外接”是关键.保安员服装管理规定一、目的为加强保安队伍的职业化、正规化建设，规范公司保安制服的领用、发放和管理，特制定以下规定:二、范围本规定明确了公司保安制服领用、发放范围，收费及折旧办法等。
三、职责1.财务部负责公司制服的采购。
2.管理部内勤负责公司制服的保管、发放及制服发放名单的统计核实工作。
3.管理部负责员工着装的检查工作。
四、管理内容与要求1.保安制服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶,腰带1条，领带1条；配饰有：硬肩章、软肩章、胸号、胸徽、帽徽及领带夹等。
1）夏装包括：短袖衬衣、夏裤。
2）春秋装包括：长袖衬衣、春秋套装。
3）冬装包括：棉衣。
2.特勤服分类：共分夏装、春秋装、冬装三种，其中含附件有：帽子1顶；配饰有：肩章、背章、胸号、胸徽、腰带、帽徽等八件套。
1）夏装包括：短袖衬衣、夏裤。
1 / 3 三角形内心的性质及其应用一．基础知识三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列优美的性质：性质1：设I 为ΔABC 的内心，则I 到ΔABC 三边的距离相等；反之亦然。
性质2：设I 为ΔABC 的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
性质3：设I 为ΔABC 的内心，BC = a, AC = b, AB = c, I 在BC 、AC 、AB 上射影分别为D 、E 、F ；内切圆半径为r,令p = (a+b+c) /2 , 则⑴S ΔABC = p r ; ⑵2ABC S r a b c∆=++ ； ⑶AE = AF = p-a ,BD = BF = p-b , CE = CD = p-c ; ⑷ abcr = p·AI·BI·CI .性质4：三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若I 为ΔABC 的∠A 平分线AD （D 在ΔABC 的外接圆上）上的点，且DI = DB ，则I 为ΔABC 的内心。
性质5：设I 为ΔABC 的内心，BC = a, AC = b, AB = c, ∠A 的平分线交BC 于K ，交ΔABC的外接圆于D ，则AI AD DI b c KI DI DK a+=== 性质6：过ΔABC 内心I 任作一直线，分别交AB 、AC 于P 及Q 两点，则AB AC AC AB AB AC BC AP AQ+=++ 或sin sin sin sin sin AB AC B C A B C AP AQ∠+∠=∠+∠+∠ 性质7：设ΔABC 的内心为I ，ΔABC 内一点P 在BC 、CA 、AB 上的射影分别为D 、E 、F ，当P 与I 重合时，和式BC CA AB PD PE PF++的值最小。
2 / 3性质8：设I 1为ΔABC 的内心，R 为ΔABC 的外接圆的半径，则sin sin sin sin sin sin 222222IA IB IC B C A C B A ==∠∠∠∠∠∠ 二、综合应用：例1．如图，D 是ΔABC 的内心，E 是ΔABD 的内心，F 是ΔBDE 的内心。
三角形的内心与外心的性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，而三角形的内心和外心则是这个图形中具有重要性质的点。
本文将介绍三角形内心和外心的定义、性质以及它们在解决几何问题中的应用。
一、三角形的内心内心是指三角形内一个特殊的点，它与三角形的三个顶点之间的距离之和最短。
我们将这个点称为三角形的内心，用I来表示。
内心具有以下性质：1. 内心是三角形的内切圆的圆心。
所谓内切圆，是指与三角形的三条边相切于各边的中点，且与三边的交点构成的圆。
2. 内心到三角形的三条边的距离相等。
这是因为内切圆相切于三边的中点，所以到各边的距离相等。
3. 内心所在的直径和三角形的内角平分线重合。
因此，通过内心可以得到三角形内角平分线的重要性质。
二、三角形的外心外心是指三角形外接圆的圆心，此圆恰好与三角形的三个顶点共线。
我们将这个点称为三角形的外心，用O来表示。
外心具有以下性质：1. 外心位于三角形的三边的垂直平分线交点上。
所谓垂直平分线，是指与三边垂直且通过三边中点的直线。
2. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
外心是外接圆的圆心，而外接圆与三个顶点相切，所以到各个顶点的距离相等。
3. 外心所在的直径和三角形的外角平分线重合。
因此，通过外心可以获得三角形外角平分线的重要性质。
三、内心和外心的应用内心和外心是三角形中非常重要的点，它们在解决几何问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 定位：内心和外心可以用来定位三角形在平面坐标系中的位置，帮助我们准确地画出三角形。
2. 证明：内心和外心可以用来证明三角形性质。
通过利用内心和外心所在的直径与角平分线重合的性质，可以推导出许多三角形性质的定理。
3. 问题求解：内心和外心在解决三角形相关问题时提供了有用的信息。
例如，通过外心可以确定三角形的外接圆半径和外接圆心坐标，从而帮助我们计算三角形的面积和周长。
总结：三角形内心和外心是基于三角形内切圆和外接圆的特殊点。
它们具有许多重要的性质，可以应用于几何证明、问题求解等方面。
三角形心的性质及其应用主讲老师：刘汉斌一、基础知识：1. 设G 是△ABC 的重心，AG 交BC 于D ，则 ⑴BD ＝DC ；⑵AG ∶AD ＝2∶3； ⑶AD2＝41(2AB 2＋2AC 2－BC 2)；(三角形中线公式)⑷31S △ABC ＝S △GBC2. 设⊙O(R)是△ABC 的外接圆，则⑴OA ＝OB ＝OC ＝R ；⑵∠BOC ＝2∠A 或2(180︒－∠A)⑶S △ABC ＝R 4abc3. 设△ABC 的内切圆⊙I(r)与AB 切于P,AI 的延长线交外接圆于D ，则：⑴∠BIC ＝90︒＋2A∠；⑵AP ＝r ·ctg 2cb a 2ac b 2A ++=-+=∠－a ； ⑶DB ＝DI ＝DC ；⑷S △ABC ＝21ah a＝pr ＝2cb a ++·r(p 为三角形的半周长)＝)c p )(b p )(a p (p ---(海伦公式)＝21ab ·sinC ＝21bc ·sinA ＝21ac ·sinB＝R 4abc4. 设O 、G 、H 分别是△ABC 的外心、重心和垂心，OD ⊥BC 于D ，AH 的延长线交外接圆于H 1，则： ⑴AH ＝2 OD ；⑵H 与H 1关于BC 成轴对称； ⑶S ⊙HBC ＝S ⊙ABC ；⑷O 、G 、H 三点共线，且OG ∶GH ＝1∶2(欧拉定理) 5. 设△ABC 在∠A 内的旁切圆⊙I 1(r 1)与边AB 的延长线切于P 1，则：⑴∠BI 1C ＝90︒－2A∠；⑵S △ABC ＝r 1·2ac b -+；⑶AP 1＝r 1ctg 2cb a 2A ++=∠；(4)BP 1＝2cb a -+；⑸∠AI 1B ＝2C∠二、例题例1.设凸四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，△OAB 、△OBC 、△OCD 、△ODA 的重心分别为E 、F 、G 、H ，则S EFGH ∶S ABCD ＝__________. 解：如图，设E'，F'，G'，H'分别是边AB ，BC ，CD ，DA连结E'F'，F'G'，G'H'，H'E'. 则四边形EFGH ∽四边形E'F'G'H'且9432S S 2H G F E EFGH ==)(''''由图易见，S E'F'G'H'＝21S ABCD于是92S 2S 94S S H G F E H G F E ABCDEFGH==''''''''E'例2.已知BD 和CE 是△ABC 的两条中线，求证：BD 2＋CE2＞89BC 2证法一：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c则由三角形中线公式 BD 2＝41(2AB 2＋2BC 2－AC 2) CE2＝41(2AC 2＋2BC 2－AB 2)∴ BD 2＋CE2＝41(4BC 2＋AB 2＋AC 2)＝41(4a 2＋b 2＋c 2)＝81[8a 2＋(b ＋c)2＋(b －c)2] ≥81[8a 2＋(b ＋c)2] ＞81(8a 2＋a2)＝89a 2(∵ b ＋c ＞a)即 BD 2＋CE 2＞89BC 2证毕！证法二：设CE 、BD 交于G ，连结AG 并延长交BC 于F ，则在△GBC 中，由三角形中线公式 GF2＝41(2BG 2＋2CG 2－BC 2)得 BG 2＋CG 2＝2GF2＋21BC 2即 (32BD)2＋(32CE)2＝2GF2＋21BC 2∴ 94(BD 2＋CE 2)＝2GF2＋21BC 2∴ BD 2＋CE2＝89(4GF 2＋BC 2) ＞89BC 2证毕！ABCDFG例3.凸四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于P，△PAB与△PCD的外心分别为O1、O2，求证：四边形PO1OO2为平行四边形.证明：如图，延长O2P交AB于E，作O2H⊥PD于H，O2G⊥PC于G连结HG，则HG∥CD∴∠3＝∠PHG又O2、H、P、G四点共圆所以：∠PHG＝∠PO2G＝∠3即∠3＋∠4＝90︒……⑴但∠4＝∠2，∠3＝∠1∴∠1＋∠2＝90︒∴ PE⊥AB由O、O1是AB中垂线上的点得：OO1⊥AB∴ PO2∥OO1同理可证：PO1∥OO2即证得：PO1OO2是平行四边形证毕！例4.△ABC中，若∠A、∠B、∠C的平分线与外接圆分别交于P、Q、R，则AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋AB证明：(利用三角形两边之和大于第三边)∵ AI＋BI＞AB(I为△ABC之内心)BI＋CI＞BCCI＋AI＞AC∴ 2(AI＋BI＋CI)＞AB＋BC＋CA ⑴又∵ PB＝PI＝PC (内心性质)∴ 2PI＞BC，2QI＞AC，2RI＞AB ⑵⑴＋⑵:AP＋BQ＋CR＞BC＋CA＋证毕！P例5.设I 是△ABC 的内心，CI 的延长线与边AB 和外接圆分别交于D 和K ，求证:1DK IDID CI CI1IK 1ID 1=-=-⑵⑴证明：⑴连结KB ，如图有∠2＝∠3＝∠1 ∠BKD ＝∠BKC于是可得：△KDB ∽△KBC∴ BC BDBK DK =，而BK ＝IK∴ BC BDIK DK = …………⑴又在△BDC 中，由内分定理IC IDBC BD = …………⑵由⑴⑵:IC 1ID IK ID IK IC ID IK DK =⋅-=，即 ⇒ CI 1IK 1ID 1=- 证毕！⑵由⑴证得：DK ID1DK ID DK ID CI DK IK ID CI +=+==，即∴ DKID ID CI -＝1证毕！例6.已知△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆半径，试求∠A 的度数.解：⑴如果垂心在三角形内，如图⑴作OD ⊥BC 于D ， 由OD ＝21AH ＝21BO ＝21R可知 ∠OBD ＝30︒ 从而 ∠BOD ＝60︒ 即 ∠A ＝60︒⑵如果垂心在三角形外， 如图⑵作OD ⊥BC 于D 由OD ＝21AH ＝21R连结BO 并延长交⊙O 于E ，连结CE 可知 ∠OBD ＝30︒∴∠BEC＝60︒从而∠BAC＝∠A＝180︒－∠BEC＝180︒－60︒＝120︒例7.已知△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边切于D ，DE 是⊙I的直径，AE 的延长线交BC 边于F ，求证：BD ＝CF.证明：设AB ＝c,AC ＝b,BC ＝a则BD ＋b ＝21(a ＋b ＋c)∴ BD ＝21(a ＋c －b)下面仅需证明 CF ＝21(a 为此，作FI 1⊥BC 交AI I 1G ⊥AC 于G ，即仅需证明I 1是△ABC 旁切圆在∠A 内的旁心. 事实上，由IHGI AI AI IE F I 111==(H 是AC 边与⊙I 的切点)但 IE ＝IH 可知 I 1F ＝I 1G 即I 1确是旁心∴ CF ＝21(a ＋c －b)A1即 BD＝CF 证毕！例8.若从⊙O 的外切四边形的各顶点向⊙O 的任一切线作垂线AA ’、BB ’、CC ’、DD ’，则DO BO COAO DD BB CC AA ⋅⋅=⋅⋅''''证明：设切线l 与AB 、CD 、BC 分别交于E 、F 、G ，则(DOFsin B OE sin OD OB COFsin AOE sin OC OA 'DD 'B B 'CC 'AA )2()1()2(DOFsin OD COF sin OC S S DF CF 'DD 'CC (B OE sin OB AOEsin OA S S S S B E AE'B B 'AA OCD OCF OBE OAE'BEA 'AEA ∠⋅∠⋅∠⋅∠⋅=⋅⋅⨯∠∠===∠∠====∆∆∆∆∆∆ 同理： 而∠AOE ＝∠AOB ＋∠BOE ∠DOF ＝∠DOC －∠COF ∠BOE ＝∠COF∴ ∠AOE ＋∠DOF ＝∠AOB ＋∠DOC ＝180︒∴ sin ∠COF ＝sin ∠BOE sin ∠AOE ＝sin ∠DOF即得DO BO CO AO DD BB CC AA ⋅⋅=⋅⋅''''证毕！例9.已知⊙I 1是△ABC 在∠A 内的旁切圆，与AB 、AC 、BC 的切点分别为D 、E 、F ，且I 1F 交DE 于N ，AN 交BC 于M. 求证：BM ＝MC证明：∵ ACMAB MS S MC BM ∆∆= …………⑴＝βαβαsin sin sin sin sin sin ⋅∠⋅∠=ABC ACB AC AB (正弦定理)而I 1DBF 与I 1ECF 分别共圆 ∴ ∠ABC ＝∠DI 1F∠ACB ＝∠EI 1FACBAB CAE AD ACBAB CS S NE DN AE AD S S NE DN N EI NDI AEN ADN 11∠∠=⋅⋅⋯⋯∠∠==⋯⋯⋅⋅==sin sin sin sin sin sin sin sin βαβα∆∆∆∆由⑵⑶且又代入⑴得：MC BM＝1A即：BM＝MC 证毕！三、练习题1. 设P 是△ABC 内任意一点，G 是它的重心，若PG 的延长线分别与边BC 、CA 、AB 或其延长线交于A'、B'、C'，则在G C PC G B P B G A P A '','',''中至少有一个不大于1，也至少有一个不小于1.证明：命题结论可转化为证明：G C PC G B P B G A P A ''''''++＝3为此，连结PA 、PB 、PC 则由共边比例定理：ABCPABGAB PAB GBC PBC ABCPACABC PBCGBC PBC S S 3S S S S G C P C S S 3G B P B S S 3S S G A P A ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=======''''''''三式相加：AB C S 3G C P C G B P B G A P A ∆=++''''''(S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB )＝ABC S 3∆S △ABC ＝3证毕！2. 已知H 是△ABC 的垂心，且AH ＝BC ，试求∠A 的度数.3. 设⊙O(R),⊙I(r)分别是△ABC 的外接圆和内切圆，则IO 2＝R 2－2Rr.(欧拉定理)4. 设G 、I 分别是△ABC 的重心和内心，且CI ⊥GI ，又BC ＝a,CA ＝b,AB ＝c ，求证：b a ab 23c b a +=++. 5. 已知/\ABC 内接于⊙O ，P 、Q 、R 依次是圆弧BC 、CA 、AB 的中点，PR 交AB 于D ，PQ 交AC 于E.求证：DE ＝BD ＋CE6. 设△ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，∠B ＝60°,∠A ＜∠C ，∠A 的外角平分线交⊙O 于E. 求证：IO ＝AE7.在边长为a、b、c的△ABC中，作它的内切圆，并平行于于它的各边作这个圆的切线，再在这些切线从原三角形中截出的三个新三角形中分别作内切圆，试求这四个圆的面积的和.余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bacosAb 2＝a 2＋c 2－2accosBc 2＝a 2＋b 2－2abcosC在△ABD 中，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD·BDcos ∠ADB 在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD·CDcos ∠ADC 而∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴ cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC 于是AB 2＋AC 2＝2AD 2＋2BD 2 ∴ AD2＝21(AB 2＋AC 2－21BC 2)B正弦定理：R 2Csin c B sin b A sin a bB sin a A sin cC sin =====a ＝2RsinAb ＝2RsinBc ＝2RsinC )a 2p 2)(b 2p 2)(c 2p 2(p 241)b a c )(b a c )(c b a )(c b a (41ab 2ab 2b a c ab 2c ab 2b a ab 21ab 2c b a 1ab 21C cos 1ab 21C sin ab 21S 22222222222ABC ---=+--+-+++=----++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-==∆ S △ABC ＝21absinC＝21ab R 2c。
三角形的内心外心与垂心三角形是几何学中常见的形状，具有许多重要的性质和特点。
其中，内心、外心和垂心是三角形的三个重要点，它们在三角形的研究和应用中扮演着重要的角色。
本文将介绍并探讨三角形的内心、外心和垂心的定义、性质以及在几何学和实际生活中的应用。
一、内心内心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条边相切。
具体来说，内心是三角形的三条角平分线的交点，记作I。
对于任意三角形ABC，其内心I满足以下性质：1. 内心到三角形三边的距离相等，即IA = IB = IC。
2. 三角形的内心是内切圆的圆心，该圆称为内切圆。
内切圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为内心I。
3. 内心是三角形内角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI，∠CBI =∠ABI，∠ACI = ∠BCI。
内心的性质使得它在几何学和实际生活中具有重要的应用。
例如，在导航系统中，我们可以利用内心与三个信号源的距离来确定自身的位置，从而实现定位的功能。
二、外心外心是三角形外部的一个特殊点，它与三角形的三个顶点都相切。
具体来说，外心是三角形的三条中垂线的交点，记作O。
对于任意三角形ABC，其外心O满足以下性质：1. 外心到三角形的三顶点的距离相等，即OA = OB = OC。
2. 三角形的外心是外接圆的圆心，该圆称为外接圆。
外接圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为外心O。
3. 外心是三角形三条中垂线的交点，即AO ⊥ BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。
外心的性质使得它在许多几何学问题的解决中发挥了重要的作用。
例如，在设计建筑物或道路的过程中，我们需要确定三个支撑点的位置，使得它们能够稳定地支撑结构物。
此时，我们可以利用外心的位置来确定这三个支撑点的最佳位置。
三、垂心垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条高线相交。
具体来说，垂心是三角形的三条高线的交点，记作H。
对于任意三角形ABC，其垂心H满足以下性质：1. 垂心到三角形的三个顶点的距离相等，即HA = HB = HC。
三角形内心的性质设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．3、r=S/p．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5、∠BIC=90°+A/2．6、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC 内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．10、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形外心的性质设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3、GA=GB=GC=R. 3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 4、R=abc/4S ⊿ABC. 5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
6中等数学内』义的^—个彳主质及应用金羞(西安交通大学附属中学,710043)中图分类号：〇123. 1文献标识码：A 文章编号：1005 - 6416(2019)09 - 0006 - 04(本讲适合高中）众所周知，三角形的“心”多如牛毛.印 度数学家专门做了一个网站——三角形心的 百科全书（https://faculty,/ck6/ encyclopedia/ETC.html)•迄今已经收录了四 万多个三角形的“心”，其中的第一个“心”就 是内心.事实上，三角形所有的“心”中，内心的 性质是最丰富的.考试中与内心相关的题目层出不穷，而涉及到内心的问题多与以下两个性质有关.1知识介绍命题1设/为A仙c的内心，延长4/，与A仙c的外接圆交于点s.证明：SI = SB = SC.类似地，5/= SC.因此，S/ = Sfi= SC.命题1 一般称为内心的性质，是内心的 一个核心性质，许多涉及内心及外接圆的问题都要用命题1解决.命题1等价于S为△ 7B C的外心.命题2设点M在fiC上，M S与△仙C 的外接圆r的第二个交点为yir.则SB2 =SM'-SM.证明如图2.证明如图1，联结fi/.记A仙c的三个内角为 Z A、Z B、Z C.由Z S/5= Z I A B+ Z IBA= \Z A+^Z B,图1Z S B I = Z IBC + Z SBC= ZIBC + ZSAC = j Z A+j Z B,得 S/ = S5.收稿日期=2018-10-31 修回日期:2019 - 06 - 06图2由Z SM'B= Z SCB= Z SBMA SM'B c^A SBM=> SB2 =SM'-SM.【注】1.命题1也可以作为内心的判定，即若点/在线段从上且Sfi= SC= S/，则/为 A仙c的内心.2.三角形的内心和三个旁心是共生的，每一个内心的性质都有对应的旁心性质，有 些人称此四点为三角形的“等心”（因为此四 点到三角形三边的距离显然相等）.若命题1再引人旁心，即若A为A的顶点4所对2019年第9期7的旁心，则SA = Sfi= SC=从A、fi、/、C四点 共圆，且S为此圆圆心，证明类似.这两个命题看起来比较容易，但因结构 很常见，导致应用极为广泛.所谓运用之妙，存乎之心，几何的奇妙之处就在于用简单的结论解决复杂的问题.2应用举例例1设点〇、/分别为不等边A的外心、内心，点关于〇/的对称点为S'，且 s'在Z/IB/的内部•证明：过点/、/?'作A f i/仏 外接圆的切线的交点在上.[1](2017,俄罗斯数学奥林匹克）证明如图3，显然，点F在A外接圆©〇上，A B/B'的外心在直线〇/上.过点/作〇/的垂线，与此交于点五.设份与交于点7\与©0的第二个交点为C，Cfi'与的延长线交于点//.记Z fi'B/ =沃则Z B B'I=Z EIB'=Z G I E= 6.由命题2知GI2 =GB'.GH= GT.GB4 △ c/5'c〇a c///，f i、//、f i'、r四点共圆^Z G H I= Z GIB' = 20=2Z I B B'=2Z G H CZ C H I= e= Z G I E=> /、厂5'、//四点共圆^EB'=E I^ £/?'为厶价&外接圆的切线^过点/、f作外接圆的切线的交点在4C上.例2曼海姆（Manheim)定理：如图4, ©〇'内切©〇于点为©〇上任一点，狀J C为©0的弦，分别与©0'切于点厂F，与40'交于点/•则/为的内心• [2]AP图4证明利用点对圆的幂计算.延长/!0'，与©0交于点记©0、©0'的半径分别为尺、r，Z似/ = 0.显然，/为W的中点，O'E丄/1R利用圆幂定理得2R r-r2 =R2 -(R-r)2=R2 -00'2 =A0'.0'P= A0'-I P-AO'-IO' =^—I P-r2.sin6贝lj/P= 2/?sin (9= fiP.由命题1的逆命题，可知/为△A fiC的 内心.例3已知z4、fi、C、Z)四点共圆，4C与 如交于点P，厶仙/3的外接圆与仙的第二个交点为I A B C P的外接圆与的第二个交点为/△从呢、A的内心分别为中等数学/、厶//与4C交于点K证明M、/C、/、五四点 共圆.[3](第33届中国数学奥林匹克）证明如图5,设E/与A/ID P外接圆的 第二个交点为S，巧与A fiC P外接圆的第二 个交点、为T.^2Z S P A=Z D P A=Z CPB=2 Z CPT三点共线.由命题1得Shin Z ESP= SDsin Z EAPsin Z E A P-s in Z DPS in=~~ZT a d p a p= B P sin Z P B A'Sm ^C J7n= TJsm Z JTPsin乙 BLr4 点 /、■/到S71等距=> SP//"=> Z= Z SPK= z SEA3 4、尺、/、£四点共圆.例4 如图6，M、yv分别为锐角AylfiC 的外接圆©0上弧的中点.过点C作 C/V/M/V，与©〇交于点/V为A/i f ic的内 心.联结/V并延长，与©〇交于点r.(1) 证明:MP.M71=/vp./vr;(2) 在弧不含点C)上任取一个异于 冬只、?1的点1记△/!(?(：、△叫C的内心分别为z、y，证明w、:r、u四点共圆.p(2009,全国高中数学联合竞赛）证明（1)依题意，知分别三点共线.由CP//M/V，得等腰梯形CP/VM.结合命题1知n i= n c= p m,m i= m c= p n.故四边形iV/M P为平行四边形4P/ 平分 7VM4MP-MT= N P-NT.(2)依题意，知iV、Z、m M分别三点共线.由命题1得NX= NC= PM,M Y^M C= PN.再结合⑴即得§ =黑.又 Z Q N T= Z Q M T IA TXN co A TYM=^>Z QXT=Z QYT4 <?、r u四点共圆.【注】点r就是曼海姆定理中两圆切点汉例5设A仙c内心为/，外接圆为©〇,/!/与©0的第二个交点为/)，£为弧B上 一点，F为 BC上一点，且Z BAF= Z CAE< Z&4Z)，C为/F的中点•证明：D C与E/的交 点在©0上.(第 50 届 IM0)2019年第9期9证明如图7,设£：/与Q O的第二个交 点为H，D H分别与B C、A F交于点L J.H由命题 2 得 D/2 =Z)L.Z)//.故Z LID = Z DHI = Z DAE = Z DAF1 [//A y M/z j、/四点共圆=^>Z A JI = ZAHI = Z ABE=z EBC + z ABC = z EAC + Z ABC=Z BAF + Z ABC = Z AFC^JI//LF^四边形/7F L为平行四边形=> Z W平分/F 4点C在Z W上4与£/的交点在®0上•例6如图8，/)为锐角A/l f i C的外接圆不含点4的弧&的中点，点尤在弧巧上，£为弧@中点，点S在弧i上，SZ)与B C、从与X4分别交于点/?、7\/?77//^证明：A/i f i C内心在上.证明设仙与交于点J,s«/与外接圆的第二个交点为k易得 DC2 =DR.DS.由题意得Z S A D= Z SED= Z STJ四点共圆Z E S K= Z DAX=> Z DSK= Z XAE= Z E X A= Z E S A=Z A J T= Z RJD=> DJ2 =DR-DS= DC2^DC= DJ.由命题i的逆命题，知/为A/ifiC的内心，即△w e内心在/^上.练习题1. 证明欧拉一查柏公式：OI2 =R2 -2Rr,其中，0、/分别为A/ifiC的外心、内心，/?、r分别为©〇、©/的半径.提示利用圆幂定理和命题1.2.已知/为△仙C的内心，A/为边/1C 的中点，4/丄/『，C/与外接圆的第二个交点为R求(2017,沙雷金几何奥林匹克）提示延长/妒到点/，使得W= IF/.由命题1得/4丄AT.则 J/1///M.3.已知/为A/lfiC的内心，/^在厶仙C的内部，且Z P B A+Z PCA = Z PBC+ Z PCB.证明且等号成立的充分必要条件为点P与/重合.(第 47 届 IMO)提不先证Z= Z fl/C,则点f*在△/?C/的外接圆上运动，从而结论成立.10中等数学命敬与斛舨ii l Y届C M O命题工作的调查研究何忆捷(华东师范大学数学科学学院，200241)中图分类号:G632.479 文献标识码：A文章编号：1005 -6416(2019)09 -0010-071研究背景及研究问题数学竞赛问题创作对竞赛活动的开展具 有指导作用.高质量的竞赛题对选拔优秀选手，激发广大学生参与热情，以及有效诱发思 维，均有重要价值.因此，数学竞赛命题工作对数学教育，尤其是资优生的培养，具有重要 意义.目前，我国数学竞赛的命题工作主要关注实施层面，而针对命题意图的达成情况、参 赛选手的实际表现、各方对赛题的感受及看法等方面的已有研究和可信记载极少.另外，仅管针对竞赛题创作原则、途径等的探讨较多[1~^]，但对实际创作经历的记录或追溯有待进一步加强.收稿日期:2019 - 06 - 20‘本文是上海市核心数学与实践重点实验室课题“数学 实践”（项目编号〗8dz2271000)的研究成果之一.4•已知fiC为®0的直径，/l为©0上一点，Z4〇S<120°，Z)为弧不含点C)的中 点.过点〇平行于的直线交于点/，04的中垂线与©0交于点£、尺证明：/为 △ C£：F的内心.(第 43 届 IMO)提示先由中垂线得再倒角证明4/=40即可•5.已知©/、©0分别为A/lf iC的内切中国数学奥林匹克（CMO)是我国最高级别的中学数学竞赛活动，组织及评审工作严格规范.第33届CMO于2017年11月举行，比赛分为两天，每天要求参赛选手在4. 5小时内解答三道赛题.赛后研究者对命题人及部分参赛选手进行调查，结合比赛成绩研究下述问题：(1) 试题创作过程的特点；(2) 命题人与参赛选手对各题的难度、优美程度的看法；(3) 命题意图的达成情况.因篇幅关系，试题及解答请参见[5 ].2研究方法及程序本研究对命题人与参赛选手作问卷调查.命题人问卷为开放式，涉及创作动机、来源、时间跨度、对难度及优美程度的看法等圆、外接圆，，为上任意一点，®〇的弦抑W均与©/相切•证明:肌'与©/相切.(第六届中国东南地区数学奥林匹克）提示本题为练习题1的逆命题，利用1中结论及圆幂定理和命题1即得.参考文献：[1]第43届俄罗斯数学奥林匹克（十、十一年级）[J].中等数学,2017(12).[2]单埠主编.数学名题闾典.南京:江苏教育出版社,2002,7.[3]第33届中国数学奥林匹克[J ].中等数学,2018(2).。
第十二章 三角形内心的性质及应用【基础知识】三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，内心有下列有趣的性质： 性质1：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．性质2：设I 为ABC △内一点．I 为其内心的充要条件是：I 到ABC △三边的距离相等．性质3：设I 为ABC △内一点，AI 所在直线交ABC △的外接圆于D ．I 为ABC △内心的充要条件是：ID DB DC ==．证明 如图12-1，必要性：连BI ，由1122DIB A B CBD IBC DBI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，知ID B D D C ==．B充分性：由DB DC =，即知AD 平分BAC ∠．由DI DB =，有DIB DBI ∠=∠，即DBC CBI IAB ABI ∠+∠=∠+∠，而IAB IAC DBC ∠=∠=∠，从而CBI IBA ∠=∠，即BI 平分ABC ∠，故I 为ABC △的内心．性质4 设I 为ABC △内一点，I 为ABC △的内心的充要条件是：1902BIC A ∠=︒+∠，1902AIC B ∠=︒+∠，1902AIB C ∠=︒+∠证明 必要性显然．反正充分性：作ABC △的外接圆，与射线AI 交于点D ，连DB ，DC ，如图12-1由1902AIB ACB ∠=︒+∠，知1902DIB ACB ∠=︒-∠．又IDB ADB ACB ∠=∠=∠，在D I B △中，求得1902DBI ACB ∠=︒=-∠，则D I B D B I ∠=∠，故D B D I =．同样地，DC DI =，即DI DB DC ==，由性质3即证得结论成立．性质5 设I 为ABC △内一点，I 为ABC △的内心的充要条件是：IBC △，ICA △，IAB △的外心均在ABC △的外接圆上．证明 必要性：如图122-，设ABC △的内心，AI ，BI ，CI 的延长线分别交ABC △的外接圆于1A ，1B ，1C ，于是由性质3，知111A B A I AC ==，因此，1A 是IBC △的外心． 图 12-2I 'ABCIC 1B 1A 1A 2B 2C 2同理，1B ，1C 分别是ICA △，IAB △的外心．故必要性获证．充分性：又设I '为ABC △内另一点，I BC '△，I CA '△，I AB '△的外心2A ，2B ，2C 均在ABC △的外接圆上，由22A B A C =，11A B AC =，知2A 与1A 重合．同理2B 与1B 重合，2C 与1C 重合． 由于1A ，1C 分别是IBC △，IAB △的外心，知11A C 垂直平分线段BI '，由此可知I '与I 重合，即I '为ABC △的内心．注 性质5中，三个三角形I BC '△，I CA '△，I AB '△中有两个的外心在ABC △的外接圆上即可． 性质6 一条直线截三角形，把周长l 与面积S 分为对应的两部分：1l 与2l ，1S 与2S ．此直线过三角形内心的充要条件是1122l Sl S =．证明 必要性：如图12-3，设I 是ABC △的内心，过I 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ．记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，内切圆半径为r ，则1()2ABC S a b c r s =++⋅=△，1()2APQ API AQI S S S m n r =+=+⋅△△△．图 12-3A BPQ nIm由111()21()2a b c rS a b c lS m n l m n r ++⋅++===++⋅，有1122l S l S =．充分性：设直线PQ 把ABC △的周长l 与面积S 分为对应的两部分成等比1122l S l S =，且与AB 交于P ，与AC 交Q ，与A ∠的平分线交于I ．记BC a =，CA b =，AB c =，AP m =，AQ n =，I 到AB ，AC 的距离为r ，I 到BC 的距离为d ．由1211()21()2a b c r l l a b c l m n m n r ++⋅+++==++⋅得1211112221122b rc r a dS S S m r n r ⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅ 注意到121211l l S S l S ++=，从而有ad ar =，即d r =，故I 为ABC △的内心，即直线PQ 过内心．性质7 设I 为ABC △的内心，BC a =，AC b =，AB c =，I 在BC ，AC ，AB 边上的射影分别为D ，E ，F ；内切圆半径为r ，令1()2p a b c =++，则（1）ID IE IF r ===，S ABC pr =△；（2）2ABCS r a b c=++△，AE AF p a ==-，BD BF p b ==-，CE CD p c ==-；（3）abc r p AI BI CI ⋅=⋅⋅⋅．证明 仅证（3）．在ABI △中，11sin sin cos 22AI C cAIB B C ==∠∠∠． 类似地还有两式，此三式相乘，即有111tan tan tan 222AI BI CI A B C abc ⋅⋅=∠⋅∠⋅∠=32ABC r r r pr rp a p b p c S p⋅⋅==---△，由此即证． 性质8 设I 为ABC △的内心，BC a =，AC b =，AB c =，A ∠的平分线交BC 于K ，交ABC △的外接圆于D ，则AI AD DI b cKI DI DK a+===． 证明 如图12-1，由AI BA AC AB AC b c KI BK KC BK KC a ++====+及ADC CDK △∽△，有AD AC CDDC CK DK==，亦有AD AC AB AB AC b c DI CK BK CK BK a ++====+，DI CD AC AB AB AC b cDK DK CK BK CK BK a ++=====+． 性质9 过ABC △内心I 任作一直线，分别交AB ，AC 于P 及Q 两点， 则AB AC AC AB AB AC BC AP AQ ⋅+⋅=++或sin sin sin sin sin AB AC B C A B C AP AQ⋅∠+⋅∠=∠+∠+∠． MABCNPQ图 12-4证明 如图12-4，先看一般情形：设M 为BC 上任意一点，直线PQ 分别交AB ，AM ，AC ，于P 、N 、Q ，则APQ MPQ APM AQMAPQABCS S S S AM AN NM AP AQ AN AN S S AB AC+++===⋅⋅⋅△△△△△△ ABM ACMABC AP AQ S S AC BM AB CM AB AC AP AQ AQ BC AP BC S AB AC⋅+⋅==⋅+⋅⋅⋅△△△． ①当N 为ABC △的内心时，由三角形内角平分线性质及合比、等比定理，有BM ABBC AB AC=+，MC AC BC AB AC =+，AM AB AC BCAN AB AC ++=+． 将上述三式代入①式即证得结论．性质10 设ABC △的内心为I ，ABC △内一定P 在BC ，CA ，AB 上的射影分别为D ，E ，F ，当P与I 重合时，BC CA ABPD PE PF++的值最小． 证明 设BC a =，CA b =，AB c =，PD x =，PE y =，PF z =，显然有2ABC ax by cz S ++=△是定值．由柯西不等式，有2()()()a b cax by cz a b c x y z ++++≥++，故2()2ABCBC CA AB a b c a b c PD PE PF x y z S ++++=++≥△（定值）． 其中等号当且仅当a b cax by cz x y z==∶∶∶即x y z ==时成立，此时P 与I 重合． 对于内切圆我们还有如下性质： 性质11 三角形一内（外）角平分线上的点为三角形一顶点的射影的充分必要条件是另一顶点关于内切圆（旁切圆）的切点弦直线与这条角平分线的交点．证明 如图12-5，在ABC △中，内切圆I ⊙切边BC 、CA 、AB 分别于点E 、E 、F ，直线AI 、BI 、CI 为三条内角平分线．图 12-5X ZI YM NS FEDH GTABC仅证直线CI 上的点G ，有CG AG D ⊥⇔、G 、F 三点共线．充分性．由D 、G 、F 共线．联结FI ，11180180909018022AIG AIC B B BFD AFG ⎛⎫∠=︒-∠=︒︒+∠=︒-∠=∠=︒-∠ ⎪⎝⎭（当G 在ABC △外时，为AFG ∠）．于是，A 、F 、G 、I 四点共圆，即90AGI AFI ∠=∠=︒．故CG AG ⊥． 必要性．由CG AG ⊥，联结FI ，由IF AB ⊥，知A 、F 、G 、I 四点共圆，又I 为内心，知1902AIC B ∠=︒+∠，则1180902A F G A I G A I C B ∠=︒-∠=∠=︒+∠．注意到，在等腰BDF △中，1902BFD B BFG ∠=︒-=∠．故D 、G 、F 三点共线．同理，直线CI 上的点H ，CH BH E ⊥⇔、F 、H 三点共线． 直线BI 上的点M ，BM AM D ⊥⇔、E 、M 三点共线． 直线BI 上的点N ，BN CN E ⊥⇔、N 、F 三点共线． 直线AI 上的点T ，AT BT E ⊥⇔、D 、T 三点共线． 直线AI 上的点S ，AS CS D ⊥⇔、S 、F 三点共线． 推论 三角形的一条中位线，与平行于此中位线的边的一端点处的内（外）角平线及另一端点关于内（旁）切圆的切点弦直线，这三条直线相交于一点，且该点为与中位线对应的顶点在这条内（外）交平分线上的射影． 事实上，若设Z 为AB 的中点，则ZM ZB =，且Z M B C ∥，有Z B M △为等腰三角形，从而知ZM 与AC 的交点Y 为AC 的中点，即ZY 为中为线．如图12-5，G 、M 在中位线ZY 上，H 、T 在中位线ZX 上，S 、N 在中位线XY 上．M 、N 、G 、H 、S 、T 均为三条直线的交点．注 在上述性质11及推论中，旁心的情形留给读者推证．性质12 设ABC △的内切圆（旁内圆）I ⊙分别切BC 、CA 、AB 边于点D 、E 、F ，设K 是DI 延长线上一点，AK 的延长线交BC 于点M ，则M 为BC 的中点的充要条件是点K 在线EF 上． 证明 如图12-6，过点K 用ST BC ∥交AB 于点S ，交AC 于点T ，则I K S T ⊥．联结SI 、FI 、TI 、EI ． 充分性．当点K 在EF 上时，注意到F 、S 、I 、K 及I 、E 、T 、K 分别四点共圆，有ISK IFK IEK ITK ∠=∠=∠=，即知SIT △为等腰三角形．图 12-6C 'B 'Q K P M SF ED T IAB C注意到IK ST ⊥，知K 为ST 的中点．又ST BC ∥，故知M 为BC 中点．必要性．当M 为BC 中点时，则知K 为ST 的中点．由IK ST ⊥，知I S I T =，即有Rt Rt ISF ITE △≌△，亦有SIF TIE ∠=．注意到F 、S 、I 、K 及I 、E 、T 、K 分别四点共圆，有SKF SIF TIE TKE ∠=∠=∠=∠，于是E 、K 、F 三点共线．故点K 在直线EF 上．注 若P 为DK 延长线一点，直线AP 交BC 于点Q ，则BQ DC =的充要条件是点P 在I ⊙上． 事实上，过P 作B C BC ''∥分别交AB 于B '，交AC 于C '，如图12-6．充分性．若P 在I ⊙上时，则知B C '为I ⊙的切线．由Rt Rt PIC DCI '△∽△，有PI ID PC DC '⋅=⋅．同理PI ID B P BD '⋅=⋅．从而B P DCPC BD '='． 又由平行线性质，有B P BQ PC QC '='．即DC BQ BD QC =，亦即DC BQBC BC=． 从而BQ DC =．必要性．当BQ DC =，由旁切圆性质（第十六章性质7）知Q 为ABC △的旁切圆的切点．由位似形性质知P 为AB C ''△的旁切圆点，故P 在I ⊙上．性质13 设ABC △的内切圆I ⊙分别切BC 、CA 、AB 边于点D 、E 、F ，L 为劣弧EF 上一点，过点L 作内切圆的切线与BC 所在直线交于点G ，则G 、E 、F 三点共线的充要条件是A 、L 、D 三点共线．证法1 充分性．当A 、L 、D 共线时，如图127-，联结AI 交EF 于点K ，则KI EF ⊥． ① 联结EI 、DI 、KD ，则22ID EI IK IA ==⋅图 12-7BK IREDFL CA G即ID IKIA ID=．又DIK ∠公用，有IDA IKD △∽△，即有IDA IKD ∠=∠． ② 联结IL ，则ILD IDA IKD ∠=∠=∠，知D 、L 、K 、I 四点共圆． 又I 、D 、G 、L 四点共圆，从而I 、D 、G 、L 、K 五点共圆．于是90IKG ILG ∠=∠=︒，即K I K G ⊥． 由①、③可知，G 、E 、F 三点共线．必要性．当G 、E 、F 三点共线时，如图12-7，联结GI 交DL 于点R ，则IR DL ⊥．类似于充分性证明，由22FI ID IR IG ==⋅，得F 、I 、R 、E 四点共圆，又A 、F 、I 、E 四点共圆，即有90IRA IEA ∠=∠=︒，有IR AR ⊥．故A 、L 、D 三点共线．证法2 应用定差幂线定理，并注意AI FE ⊥，GI LD ⊥，则G 、E 、F 三点共线2222AI FG AF AG IF IG ⇔⊥⇔-=-．④ A 、L 、D 三点共线2222GI AD GA GD IA ID ⇔⊥⇔-=-．⑤ 由ID IF =及222222IG GD ID IF IA AF -===-， 既有2222IG AF IA GD +=+． ⑥而④式22222222IG AF IF AG ID AF IA GD ⇔+=+===+=+⇔⑥⑤式． 故G 、E 、F 三点共线A ⇔、L 、D 三点共线． 【典型例题与基本方法】例1 如图12-8，D 是ABC △的内心，E 是ABD △的内心，F 是BDE △的内心，若BFE ∠的读数为整数，求BFE ∠的最小度数．图 12-8F E DAB解 由性质4，知11111909090(90)112(4)24428BFE BDE BDA ACB ACB ∠=︒+∠=︒+∠=︒+︒+∠=︒+︒+∠．故当4ACB ∠=︒时，BFE ∠的最小度数为113︒．例2 如图12-9，设点M 是ABC △的BC 边的中点，I 是其内心，AH 是BC 边上的高，E 为直线IM 为AH 的交点．求证：AE 等于内切圆半径r ．图 12-9M E IBP HA证明 设P 为内切圆与边BC 的切点，连IP ，设B C a =，CA b =，AB c =，则12M C a =，2a b cPC +-=，222cos 2a b c HC AC C a+-=⋅=． 由IMP EMH △∽△，有2EH HM MC HC a HC b cIP PM MC PC c b a--+====--． 又2()AH a S ABC r a b c ⋅==++△，即AH a b cr a++=． 再由EH b c r a +=（注意IP r =），及AE AH EH =-，有1A E A H E H a b c b c r r r a a +++=-=-=，故A E r =．注（1）此例的逆命题也是成立的，即若AE r =，则M 、I 、E 共线．（2）在图12-9，还可推证有如下结论：①直线MI 平分AP ；②设ABC △的内切圆I ⊙切AC 于Q ，切AB 于L ，则QL 与直线PI 的交点T 的直线AM 上；③设直线PI 交I ⊙于G ，即G 为直径端点，直线AG 交BC 于K ，则BK PC =；④ABC △的外心O 为KI 的中点……这些结论的证明可参见笔者著作《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释》（下册），哈尔滨工业大学出版社2007年元月出版． 例3 如图12-10，设ABC △的外接圆O ⊙的半径为R ，内心为I ，60B ∠=︒，A C ∠<∠，A ∠的外角平分线交O ⊙于E ．证明：（1）IO AE =；（2）2(1R IO IA IC R <++<．图 12-10MIBOAEC证明（1）连BI 并延长交O ⊙于M ，则M 为AC 的中点．连OM ，AM ，OC ，MC ，由60B ∠=︒，则知AOM △，MOC △均为正三角形．由性质3知IM AM MC ==，即知M 为过点A ，O ，I ，C 四点的圆的圆心，且半径为R ，从而此圆与O ⊙为等圆．延长AI 交O ⊙于F ，由题设条件可证F ，O ，E 三点共线．于是12OAI OMI ∠=∠，12AFE EOA ∠=∠，而OAI AFE ∠=∠，故OMI EOA ∠=∠，由此即有IO AE =．（2）连FC ，由性质3知IF FC =，又60AFC B ∠=∠=︒，从而IC IF =， 故2IO AI IC AE AF EF R ++=+>=．又2cos 2sin IO AI IC AE AF R AEF R AEF ++++=⋅∠+⋅∠245)245)275R AEF R R =∠+︒<︒+︒=︒12(14R R ==．（其中60AEF ∠>︒）即证． 例4 如图12-11，在ABC △中，4AB =，6AC =，5BC =，A ∠的平分线AD 交ABC △的外接圆于K ．O ，I 分别为ABC △的外心，内心．求证：OI AK ⊥．图 12-11证明 连接KO 并延长交O ⊙于E ，连AE ，则90KAE ∠=︒，2EKOK=． 因I 为ABC △的内心，由性质8知4625AK AB AC IK BC ++===． 于是OI AE ∥．从而90OIK KAE ∠=∠=︒，故OI AK ⊥． 【解题思维策略分析】1．注意到内心是角平分线的交点例5 如图12-12，设P 为ABC △内一点，APB ACB APC ABC ∠-∠=∠-∠，又设D ，E 分别是APB △及APC △的内心．证明：AP ，BD ，CE 交于一点．图 12-12PM N SED TRABC证明 过P 向三边作垂线，垂足分别为R ，S ，T ．连RS ，ST ，TR ，易知，P ，R ，A ，S ；P ，T ，B ，R ；P ，S ，C ，T 分别四点共圆，则(180)(180)APB ACB ABP BAP B A PAC PBC PRS PRT SRT ∠-∠=︒-∠-∠-︒-∠-∠=∠+∠=∠+∠=∠． 同理，APC ABC RST ∠-∠=∠．由条件APB ACB APC ABC ∠-∠=∠-∠，知SRT RST ∠=∠，亦即RT ST =． 由sin RT PB B =⋅∠，sin ST PC C =⋅∠，知sin sin PB B PC C ⋅∠=⋅∠． 即sin sin PB C AB PC B AC ∠==∠，亦即PB PC AB AC=． 设BD 交AP 于M ，CE 交AP 于N ，则由角平分线性质，有AN AC AB AM NP PC PB MP ===，即AN AMAP AP=，故M ，N 重合，从而AP ，BD ，CE 交于一点．例6 如图12-13，设三角形的外接圆半径、内切圆半径分别为R ，r ，其外心、内心分别为O ，I ．若IO d =，则222d R Rr =-．图 12-13证明 连AI 并延长交O ⊙于D ，作直径DE ，连BD ，BE ，设I ⊙切AB 于F ，连IF ，则IF r =．在Rt EBD △和Rt AFI △中，由BED FAI ∠=∠，知EBD AFI △∽△，从而DE BD AI FI =，即2R BDAI r=． 由性质3，知BD ID =，所以2Rr AI BD AI ID =⋅=⋅．将OI 两端延长交O ⊙于M ，N ，则由相交弦定理，得22()()AI ID MI IN R d R d R d ⋅=⋅=+-=- 故222d R Rr =-．例7 如图12-14，在ABC △中，有一个圆O '⊙内切于ABC △的外接圆O ⊙，并且与AB ，AC 分别相切于P ，Q ．求证：线段PQ 的中点I 是ABC △的内心．图 12-14证明 设AI 的延长线交O ⊙于M ，则O '在AM 上．连O P '，由O P AB '⊥，O A PQ '⊥，有2O P O I O A '''=⋅． ①作两圆连心线OO '交O ⊙于R ，T ，则O R TO O A MO ''''⋅=⋅． ② ①+②并注意到O P O T ''=，有O P TR O A MI ''⋅=⋅ ③再作O ⊙的直径MN ，可知B M B N ⊥，MNB MAB ∠=∠，从而R t R t B M N P O A △∽△，即有O P MN O A BM ''⋅=⋅．比较③，④，注意到MN TR =，故BM MI +． 由性质3，即知I 为ABC △的内心．另证 显然，PQ 的中点I ，圆心O '，BC 的中点M 都在BAC ∠的平分线上，若设2BAC α∠=，O '⊙的半径为r ，则s i n rAO α'=．设直线OO '交O ⊙于R ，T ，且O ⊙的半径为*r ，则，即**(2)s i n (2)/s i nR O O T r r rO M αr r AO r α'⋅-⋅'===⋅-'．由Rt PIO '△，知sin IO αr '=⋅，**sin sin (2)sin 2IM IO O M αr αr r αr ''=+=⋅+⋅-=⋅．由ABM △，知*2sin BM r αBM IM =⋅⇒=，即证．例8 ABC △的A ∠的平分线与ABC △的外接圆交于D ，I 是ABC △的内心，M 是边BC 的中点，P 是I 关于M 的对称点（设点P 在圆内），延长DP 与外接圆相交于点N ．试证：在AN ，BN ，CN 三条线段中，必有一条线段是另两条线段之和．证明 如图12-15，不妨设N 在BC 上，即证BN CN AN +=．图 12-15θθPMNDAB C连BD ，MN ，MD ，CD ，注意到共底ND 的三个三角形面积，即由2BND QND MND S S S +=△△△，及P 在ND 上，且IM MP =，知2MND IND BND CND S S S S ===△△△△．令NAD θ∠=，则NBD NCD θ∠=∠=，于是1sin 2BND S BD BN θ=⋅⋅△，1sin 2CND S CD CN θ=⋅⋅△，1sin 2IND NAD NAI S S S ID AN θ=-=⋅⋅△△△．注意到性质3，知BD CD ID ==，从而由①式即得BN CN AN +=．例9 如图12-16，在ABC △中，O 是外心，I 是内心，30C ∠=︒，边AC 上的点D 与边BC 上的点E 使AD BE AB ==．求证：OI DE ⊥，OI DE =．图 12-16BCD IE AMO证明 连AI 并延长交ABC △的外接圆于M ，连BD ，OM ，OB ，BM ．由I 为内心，知BM CM =．又OC OB =，则OM EB ⊥．由AI 平分BAC ∠，且AB AD =，则AI BD ⊥．从而知OMI ∠与EBD ∠的两组对边分别垂直，且它们都是锐角，因此，OMI EBD ∠=∠． ①由正弦定理，有2sin 2sin 30AB R C R R OB OM =⋅=⋅︒===，又12BAD BMC ∠=的度数=BM 的度数=BOM ∠，从而DAB MOB △≌△，即有BD BM =． 由性质3知BM IM =，从而BD IM =． 又AD BE AB ==，则BE OM =．由①，②，③得OMI EBD △≌，从而知通过旋转90︒和平移可使用两个三角形重合，故OI DE ⊥，OI DE =．2．注意过内心的直线的性质 例10 如图12-17，在R ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，连接ABD △的内心与ACD △的内心的直线，分别与AB 边交于K ，AC 边交于L ，ABC △与AKL △的面积分别记为S 与T ．求证：2S T ≥．图 12-17证明 设AD 与KL 交于E ，由性质9可得AB AD AD AB AB AD BD AK AE ⋅+⋅=++，AD AC AC AD AC AD DC AE AL ⋅+⋅=++．此两式可变为1111BDAK AE AD AB AB AD +=++⋅， ① 1111DCAE AL AD A C AC AD+=++⋅． ② 由ADB CAB △∽△，有AC AB AD BD =，即1BD AB AD AC =⋅． ③ 由ADC BAC △∽△，AB AC AD DC =，即1DC AC AD AB=⋅． ④ 由①，②，③，④得AK AL =，即1145AKO ALO ∠=∠=︒． 又1O 是ABD △的内心，易得11AKO ADO △≌△．从而AK AD =．于是111122sin sin sin cos sin 2S AB AC AB AC T AK AL AD AD B C B B B⋅==⋅=⋅=⋅=≥⋅∠∠∠∠∠， 故2S T ≥．例11 如图12-18，在ABC △中，AB AC ≠，AD BC ⊥，D 为垂足，过Rt ABD △的内心1O 和Rt ACD △的内心2O 的直线啊交AB 于K 交AC 于L ．若AK AL =，则90BAC ∠=︒．图 12-18证明 设KAD α∠=，LAD β∠=，由性质9及正弦定理，有sin sin90sin sin sin90AB ADB B αAK AE ∠⋅+︒⋅=∠++︒，sin90sin sin sin sin90AD ACC C βAE AL︒⋅+∠⋅=∠++︒．将AK AL =，sin AD B AB ∠=，sin ADC AC∠=，代入上述两式，得sin sin sin sin B αC β∠+=∠+．又sin BD αAB =，sin DC βAC =，即有ADBD AD DCAB AB AC AC+=+．而AB =AC， =，亦即2()()0BD DC AD BD DC --⋅=． 因AB AC ≠，知BD DC ≠，从而20AD BD DC -⋅=， 则Rt Rt ABD CAD △∽△，即有B β∠=，C α∠=．又180BAC B C ∠+∠+∠=︒，故90BAC βαB C ∠=+=∠+∠=︒．注 例10，例11的证法见孙哲先生的文章《三角形内心的一个性质与三道几何名题的新证》（《中学数学》1999年第6期）．3．注意内切圆(旁切圆性质的应用)例12 设E 、F 分别为ABC △内切圆I ⊙与边AC 、AB 的切点，M 为BC 的中点，AM 与EF 交于点N ，以BC 为直径的圆M ⊙分别交BI 、CI 于点X 、Y ．证明：NX ACNY AB=． 证明 如图12-19，由题设知X 、Y 分别为C 、B 在角平分线BI 、CI 上的射影，由性质11知，X 、Y 均在内切圆的切点弦EF 所在直线上．又由性质12知，N 、I 、D 三点共线．图 12-19IMN F DX Y BC ATES延长BY 、CX 交于点S ．则I 为SBC △的垂心，即知S 在直线ND 上，又由垂心性质11知I 为DXY△的内心，有1122ABC DBI CYX DYX ∠=∠=∠=∠，即得ABC DYX ∠=∠．同理ACB DXY ∠=∠．于是sin sin sin sin NX XD DYX ABC AC NY DY DXY ACB AB∠∠====∠∠． 例13 已知ABC △的中线AM 交其内切圆Γ于点K ，L ，分别过K 、L 且平行于BC 的直线交圆Γ于点X 、Y 、A 、AY 分别交BC 于P 、Q ．证明：BP CQ =．证明 如图12-20，设内切圆圆心为I ，I ⊙分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，直线DI 交EF 于点T ，则由性质12知点T 在直线AM 上．图 12-20LTPM FZDY I ΓQK XCSEBA设过点K 、L 的两条切线交于点S ，则由性质13知，F 、E 、S 三点共线．由调和点列性质5后的推论8知KA KTAL TL=． ① 设直线YL 交AP 于点Z ，由KX YL ∥知KX AKLZ AL=． ② 注意到等腰梯形YLXK 中KL 为其对角线，两底的公垂线为TI ．从而KX KTYL TL=．再注意到①、②式KX KXLZ YL=，即知L 识YZ 的中点．因此，M 是QP 的中点．故BQ PC =，即有BP CQ =． 例14 设J 是ABC △顶点A 所对旁切圆的圆心，该旁切圆与边BC 切于点M ，与直线AB 、AC 分别切于点K 、L ，直线LM 与BJ 交于点F ，直线KM 与CJ 交于点G ．设S 是直线AF 与BC 的交点，T 是直线AG 与BC 的交点．证明：M 是线段ST 的中点．图 12-21LMF YG JXSKA B C证明 如图12-21，由性质11及其推论，知AF FJ ⊥，AF JG ⊥．设直线FG 分别交AB 、AC 于X 、Y ，则XY 为ABC △的中位线．从而S 关于直线FB 与A 对称，T 关于直线GC 与A 对称，于是SJ AJ TJ ==．注意到Jm ST ⊥，故SM MT =． 【模拟实战】习题A1．已知1O ⊙与2O ⊙相交于A 、B 两点，延长1O A 交2O ⊙于点C ，延长2O A 交1O ⊙于D ．求证：A 是BCD △的内心．2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，CD 是斜边上的高．1O ，2O 分别是ACD △和BCD △的内心．求证：21AO C BO C ∠=∠．3．设ABC △的内切圆I 与AB 、AC 边分别切于点E 、F ，射线BI 、CI 分别交EF 于点M 、N ．试证：四边形AMIN 与IBC 的面积相等．4．在梯形ABCD 中，BC DA ∥，对角线AC 与BD 相交于P ．记PAB △、PBC △、PCD △、PDA△的内切线半径依次为1r 、2r 、3r 、4r ，且13241111r r r r +=+．求证：AB CD BC DA +=+．5．在凸四边形ABCD 中，AC BD AB ==，且AC BD ⊥，垂足为E ．设I 为AEB △的内心，M 为AB边的中点．求证：MI CD ⊥，且12MI CD =．6．设I 为ABC △的内心，A B C '''△是从I 向BC ，CA ，AB 所作垂线的垂足三角形．证明：cot cot cot cot cot cot A B C A B C '''∠+∠+∠≥∠+∠+∠．7．已知AO 是等腰AEF △的底EF 上的高，有AO EF =，延长AE 到B ，使B E A E =，过点B 作AF 的垂线，垂足为C ．求证：点O 是ABC △的内心．8．设ABC △的外接圆半径为R ，内切圆的半径r ，内心为I ，延长AI 交外接圆于D ．求证：2AI ID Rr ⋅=．9．在ABC △中，C ∠的平分线交边AB 及三角形的外接圆于D ，K ，I 是ABC △的内心．求证：（1）111ID IK IC -=；（2）1IC IDID DK-=．10．I 为ABC △的内心，且A '，B '，C '分别为IBC ∠，IAC ∠，IAB ∠的外心．求证：A B C '''△与ABC 有相同的外心．习题B1．在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的平分线分别交外接圆于点P ，Q ，R ．求证： AP BQ CR BC CA AB ++>++．2．四边形ABCD 内接圆，BCD △，ACD △，ABD △，ABC △的内心依次记为A I ，B I ，C I ，D I ．证明：A B C D I I I I 是矩形．3．在锐角ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的平分线延长后分别与ABC △的外接圆交于1A ，1B ，1C ．直线1AA 与B ∠，C ∠的外角平分线相交于0A ，0B ，0C 与此类似．求证：（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 的2倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的4倍． 4．ABC △的A ∠，B ∠，C ∠的内角平分线分别与外接圆交于1A ，1B ，1C ．证明：111A B C △的面积大于或等于ABC △的面积．5．设K 为ABC △的内心，点1C ，1B 分别为边AB ，AC 的中点，直线AC 与1C K 交于点2B ，直线AB 与1B K 交于点2C ．若22AB C ABC S S =△△，求CAB ∠．6．设I 是ABC △的内心，并设ABC △的内切圆与三边BC ，CA ，AB 分别相切于点K ，L ，M ．过B 点平行于MK 的直线分别交直线LM 及LK 于点R 和S ．证明：RIS ∠是锐角．7．在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，连接ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交AB 边于K ，交AC 边于L ，KL 与AD 交于E ．求证：111AB AC AE+=． 8．设ABC △的内心为I ，外接圆分别交AI ，BI ，CI 于A '，B '，C '．证明：IA IB IC I IB IC '''⋅⋅≤⋅⋅． 9．已知等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，又BCD △的内切圆切CD 于E ，F 是DAC ∠的角平分线上一点，且EF CD ⊥，ACF △的外接圆交CD 于G ．证明：AFG △是等腰三角形．10．ABC △具有下面性质：存在一个内部的点P 使10PAB ∠=︒，20PBA ∠=︒，30PCA ∠=︒，40PAC ∠=︒．证明：ABC △是等腰三角形． 11．已知R ，Q 分别是ABC △的边BC ，AB 上的点．并且使AB BR AC CR +=+，CB BQ CA AQ +=+，AR ，CQ 相交于J ，又M 是BC 的中点，I 是ABC △的内心．求证：AJ MI ∥，2AJ MI =．12．在ABC △中，30BAC ∠=︒，70ABC ∠=︒，M 为形内一点，20MAB MCA ∠=∠=︒，求MBA ∠的度数．13．在ABC △，AD 为A ∠的平分线，M ，N 分别为AB ，AC 的中点．若B ∠，MDN ∠，C ∠成等差数值，求证：AB ，BC ，AC 也成等差数值．。
