三角形的各个心总结与归纳

高中数学三角形四心如何归纳梳
理
高中数学三角形四心（重心垂心外心内心）如何归纳梳理？ -
其实任何事物命名时，通常都有其独特的意图，三角形的心、心、重心也不例外。

用心感受它们的字面意思，你就能区分它们:
1、垂心：因为有“垂”字，要记住是垂线的交点，即三角形高的交点。

2、外心：因为有“外”字，要记住是三角形外接圆的圆心。

由于三角形的三个顶点均在外接圆上，因而连接圆心和三个顶点，分别构成了三个三角形，并且这三个三角形均为等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，底上的高为底边的垂直平分线。

因而不难看出，这里外接圆的圆心，即“外心”便是原三角形各边垂直平分线的交点。

3、内心：因为有“内”字，要记住是三角形内切圆的圆心。

由这个内切圆的圆心向各对边做垂线，再连接该圆心与三角形的三个顶点，由切线长定理和三角形全等，易得圆心与三角形三个顶点的连线，分别平分了三角形的三个内角。

因而不难看出，这里的内切圆圆心，即“内心”便是原三角形各角平分线的交点。

4.重心:对于形状规则的物体，重心通常是其几何中心，也可以说是对称中心。

从三角形三条中线相交形成的交点开始，连接三角形三个顶点形成的三个三角形面积相等。

换句话说，这
个交点就是它的几何中心，也就是重心。

需要注意的是，几何中心只是形状规则、密度均匀的物体的重心。

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。

二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。

该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。

三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心：三条内角平分线交于一点。

即三角形内切圆的圆心。

性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S 三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S 四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）如图：△ABC 的中线AD 、BE 交于G （G 为重心），求证：AG=2GD证明：取C0的中点H ，取BO 中点G ，连接GH则GH=1/2BC 且GH//BC [中位线定理]又E 是AB 的中点，D 是AC 中点则ED=1/2BC 且ED//BC [中位线定理]则 GH=ED 且GH//ED则角EDO=角OGH又角DOE=GOH 且ED=HG所以△DEO 全等于△GHO所以DO=GO ---> DO=GO=BG --->BO:OD=2∶1 --->AG=2GD 二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S 三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S 四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

（即内切圆圆心）诠释：（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

（2）一个三角形有且只有一个内切圆。

2．内心定理：（1）三角形三个内角的平分线必交一点；（2）内心到三条边的距离都相等；证明：设∠A 平分线与∠B 平分线交于O 点，则O 点到AB ，AC 的距离相等；O 点到BC ，BA 距离相等，所以角形周长一半 [ s=1/2*（a+b+c ）]。

三角形的内心，外心，重心，垂心，旁心及性质1.垂心：〈1〉定义：是三角形三条高的交点。

〈2〉性质：[性质1] 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

[性质2] 三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

[性质3] 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

[性质4] △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。

[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。

[性质6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

[性质7] 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

[性质8]设O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.[性质9] 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即AH+BH+CH = 2（r+R）。

[性质10] 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

[性质11] 设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1 H2H3.[性质12] 三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

2.内心〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心。

即AE、BF、CD分别平分角BAC、角ABC、角BCA，且AE、BF与CD相交于点O，点O即为△ABC的内心。

〈2〉性质：[性质1] 三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.[性质2] ∠BOC=90°+∠BAC/2。

[性质3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD 3.重心：〈1〉重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。

三角形各心性质一、关键信息1、三角形的内心定义：三角形三条内角平分线的交点。

性质：内心到三角形三边的距离相等。

相关公式：内心到三角形三边的距离等于内切圆的半径。

2、三角形的外心定义：三角形三条边的垂直平分线的交点。

性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。

相关公式：外接圆半径 R 与三角形边长的关系。

3、三角形的重心定义：三角形三条中线的交点。

性质：重心将每条中线分为 2:1 的两段。

相关公式：重心坐标公式。

4、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点。

性质：垂心与三角形三个顶点构成的三角形的外接圆相同。

二、三角形内心的详细性质11 内心是三角形内切圆的圆心。

111 三角形的面积可以表示为三角形周长与内切圆半径乘积的一半。

112 若三角形的三边分别为 a、b、c，内切圆半径为 r，则三角形面积 S ＝（a ＋ b ＋ c)r ／ 2 。

三、三角形外心的详细性质21 外心是三角形外接圆的圆心。

211 若三角形的三个顶点坐标分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3,y3)，外心坐标为 O(x0, y0)，则可以通过相关公式计算外心坐标。

212 外接圆半径 R 与三角形的边长关系可以通过正弦定理表示：a／ sinA ＝ b ／ sinB ＝ c ／ sinC ＝ 2R 。

四、三角形重心的详细性质31 重心将每条中线分为 2:1 的两段，即重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的两倍。

311 设三角形的三个顶点坐标分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3,y3)，则重心坐标为 G(（x1 ＋ x2 ＋ x3) ／ 3, （y1 ＋ y2 ＋ y3) ／ 3) 。

五、三角形垂心的详细性质41 垂心与三角形的三个顶点构成的三角形的外接圆相同。

411 锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部。

以上协议详细阐述了三角形各心的性质，希望对您有所帮助。

三角形的四心定义及其性质总结
三角形是几何图形中最常见的形状，许多几何中的问题都与它有关。

三角形的形态也极其复杂，可以根据它的内部特征和外部特征来分类。

其中，四心定义及其性质决定了三角形的结构特征，在几何图形学中非常重要，下面就四心定义及其性质进行总结。

四心定义是指重心、内心、外心和垂心四种中心，它们对三角形的特征有着重要的影响，如重心是三角形内任何两点连线的重点，内心是三角形内角平分线交点；外心是三角形外接圆的圆心；垂心是三角形内角垂线的交点。

四心定义的性质也极其复杂，其中最重要的性质有：
1、重心的性质：重心是三角形内任何两点连线的重点，同时也
是三角形三条边的重点，所有三角形的重心都在三角形内部，而且重心到三角形内角的距离都相等，构成了三角形的等腰三角形。

2、内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，由内心和三
角形的三个顶点构成的三条线段相等，所以又称之为等边三角形；内心到三角形三个顶点的距离都相等，也构成了三角形的等腰三角形。

3、外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，同时也是三角形
三条外边中点的重点，所有三角形的外心都在三角形外部。

4、垂心的性质：垂心是三角形内角垂线的交点， three medians of a triangle are concurrent at the orthocenter，以又称之为
正切点，垂心到三角形三个顶点的距离都不相等。

总之，四心定义及其性质是了解三角形结构特征不可或缺的知识，
在几何图形学中发挥着重要作用。

例如它可以帮助我们判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形，也可以用来求取一个三角形的边长、面积等其他参数。

三角形的各个心总结与归纳在几何学中，三角形是基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。

而与三角形相关的概念之一就是“心”。

三角形的各个心是指与三角形内部特殊关系有关的点，包括重心、垂心、外心和内心。

本文将对三角形的各个心进行总结与归纳，以便更好地理解与运用这些概念。

1. 重心：三角形的重心是指三条中线的交点，它被定义为三个顶点的平均值。

设三角形的三个顶点分别为A、B和C，三个中点分别为D、E和F，连接重心G。

根据重心的定义，我们可以得到以下结论：- 重心所在的直线叫做重心线，重心线同时也是三角形的中位线；- 在等边三角形中，重心与垂心、外心和内心重合；- 重心将重心线分成两段，其中一个段的长度是另一个段长度的两倍。

2. 垂心：三角形的垂心是指三条高线的交点，它被定义为三条垂直于边的线的交点。

设三角形的三边AB、BC和CA上分别有高线AD、BE和CF，连接垂心O。

对于垂心，我们可以得到以下结论：- 垂心所在的直线叫做垂心线，垂心线同时也是三角形的高线；- 在锐角三角形中，垂心在三角形的内部；- 在直角三角形中，垂心在三角形的顶点；- 在 obtuse 锐角三角形中，垂心在三角形的外部。

3. 外心：三角形的外心是指三条外接圆的交点，它被定义为三角形外接圆的圆心。

设三角形的三个顶点为A、B和C，三角形的外接圆圆心为O，连接外心O与三个顶点。

外心的一些特性包括：- 外心所在的直线叫做外心线，外心线同时也是三角形的垂直平分线；- 在锐角三角形中，外心在三角形的内部；- 在直角三角形中，外心在斜边上；- 在 obtuse 锐角三角形中，外心在三角形的外部。

4. 内心：三角形的内心是指三条角平分线的交点，它被定义为三角形内角平分线的交点。

设三角形的三个顶点为A、B和C，连接内心I与三个顶点。

我们可以得到以下内心的特点：- 内心所在的直线叫做内心线，内心线同时也是三角形的角平分线；- 内心到三边的距离相等；- 在等边三角形中，内心与重心、垂心和外心重合。

三角形的“五心”性质归纳总结（二）引言概述：在前文《三角形的“五心”性质归纳总结（一）》中我们介绍了三角形的“五心”性质，包括外心、内心、重心、垂心和旁心。

在本文中，我们将进一步讨论这五个心的性质，并归纳总结它们的重要特点。

正文：一、外心的性质1. 外心是可以通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点来求得的。

2. 外心到三角形的顶点的距离都相等，且等于外接圆的半径。

3. 外心是三条外角平分线的交点，也是三个外接圆的圆心。

4. 三角形的外心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

二、内心的性质1. 内心是可以通过三角形三个顶点的角平分线的交点来求得的。

2. 内心到三角形三边的距离都相等，且等于内切圆的半径。

3. 内心是三条角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。

4. 三角形的内心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

三、重心的性质1. 重心是可以通过三角形三个顶点和三边中点的连线交点来求得的。

2. 重心到三角形三边的距离相等，且等于重心到顶点的距离的三倍。

3. 重心是三条中线的交点，也是三个平行于边的中位线所围成的三角形的重心。

4. 三角形的重心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

四、垂心的性质1. 垂心是可以通过三角形三个顶点到对应高的垂线的交点来求得的。

2. 垂心的一个重要性质是垂心到三个顶点所形成的角度都是直角。

3. 垂心是三条高线的交点，也是三个高的垂线所围成的三角形的垂心。

4. 三角形的垂心不一定存在，只有当三边都有不大于90°的角时垂心才存在。

五、旁心的性质1. 旁心是可以通过三角形三个顶点的外角平分线的交点来求得的。

2. 旁心与对应边的距离相等，且等于旁接圆的半径。

3. 旁心是三条外角平分线的交点，也是三个旁接圆的圆心。

4. 三角形的旁心一般存在两个，只有当三个外角都小于120°时，三角形才存在两个旁心。

总结：通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们发现每个心都具有独特的性质和作用。