三角形的各个心总结与归纳

高中数学三角形四心如何归纳梳
理
高中数学三角形四心（重心垂心外心内心）如何归纳梳理？ -
其实任何事物命名时，通常都有其独特的意图，三角形的心、心、重心也不例外。

用心感受它们的字面意思，你就能区分它们:
1、垂心：因为有“垂”字，要记住是垂线的交点，即三角形高的交点。

2、外心：因为有“外”字，要记住是三角形外接圆的圆心。

由于三角形的三个顶点均在外接圆上，因而连接圆心和三个顶点，分别构成了三个三角形，并且这三个三角形均为等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，底上的高为底边的垂直平分线。

因而不难看出，这里外接圆的圆心，即“外心”便是原三角形各边垂直平分线的交点。

3、内心：因为有“内”字，要记住是三角形内切圆的圆心。

由这个内切圆的圆心向各对边做垂线，再连接该圆心与三角形的三个顶点，由切线长定理和三角形全等，易得圆心与三角形三个顶点的连线，分别平分了三角形的三个内角。

因而不难看出，这里的内切圆圆心，即“内心”便是原三角形各角平分线的交点。

4.重心:对于形状规则的物体，重心通常是其几何中心，也可以说是对称中心。

从三角形三条中线相交形成的交点开始，连接三角形三个顶点形成的三个三角形面积相等。

换句话说，这
个交点就是它的几何中心，也就是重心。

需要注意的是，几何中心只是形状规则、密度均匀的物体的重心。

三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。

二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。

该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。

三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心：三条内角平分线交于一点。

即三角形内切圆的圆心。

性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S 三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S 四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）如图：△ABC 的中线AD 、BE 交于G （G 为重心），求证：AG=2GD证明：取C0的中点H ，取BO 中点G ，连接GH则GH=1/2BC 且GH//BC [中位线定理]又E 是AB 的中点，D 是AC 中点则ED=1/2BC 且ED//BC [中位线定理]则 GH=ED 且GH//ED则角EDO=角OGH又角DOE=GOH 且ED=HG所以△DEO 全等于△GHO所以DO=GO ---> DO=GO=BG --->BO:OD=2∶1 --->AG=2GD 二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S 三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S 四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

（即内切圆圆心）诠释：（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

（2）一个三角形有且只有一个内切圆。

2．内心定理：（1）三角形三个内角的平分线必交一点；（2）内心到三条边的距离都相等；证明：设∠A 平分线与∠B 平分线交于O 点，则O 点到AB ，AC 的距离相等；O 点到BC ，BA 距离相等，所以角形周长一半 [ s=1/2*（a+b+c ）]。

三角形的内心，外心，重心，垂心，旁心及性质1.垂心：〈1〉定义：是三角形三条高的交点。

〈2〉性质：[性质1] 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

[性质2] 三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

[性质3] 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

[性质4] △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。

[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。

[性质6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

[性质7] 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

[性质8]设O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.[性质9] 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即AH+BH+CH = 2（r+R）。

[性质10] 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

[性质11] 设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1 H2H3.[性质12] 三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

2.内心〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心。

即AE、BF、CD分别平分角BAC、角ABC、角BCA，且AE、BF与CD相交于点O，点O即为△ABC的内心。

〈2〉性质：[性质1] 三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.[性质2] ∠BOC=90°+∠BAC/2。

[性质3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD 3.重心：〈1〉重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。

三角形各心性质一、关键信息1、三角形的内心定义：三角形三条内角平分线的交点。

性质：内心到三角形三边的距离相等。

相关公式：内心到三角形三边的距离等于内切圆的半径。

2、三角形的外心定义：三角形三条边的垂直平分线的交点。

性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。

相关公式：外接圆半径 R 与三角形边长的关系。

3、三角形的重心定义：三角形三条中线的交点。

性质：重心将每条中线分为 2:1 的两段。

相关公式：重心坐标公式。

4、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点。

性质：垂心与三角形三个顶点构成的三角形的外接圆相同。

二、三角形内心的详细性质11 内心是三角形内切圆的圆心。

111 三角形的面积可以表示为三角形周长与内切圆半径乘积的一半。

112 若三角形的三边分别为 a、b、c，内切圆半径为 r，则三角形面积 S ＝（a ＋ b ＋ c)r ／ 2 。

三、三角形外心的详细性质21 外心是三角形外接圆的圆心。

211 若三角形的三个顶点坐标分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3,y3)，外心坐标为 O(x0, y0)，则可以通过相关公式计算外心坐标。

212 外接圆半径 R 与三角形的边长关系可以通过正弦定理表示：a／ sinA ＝ b ／ sinB ＝ c ／ sinC ＝ 2R 。

四、三角形重心的详细性质31 重心将每条中线分为 2:1 的两段，即重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的两倍。

311 设三角形的三个顶点坐标分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3,y3)，则重心坐标为 G(（x1 ＋ x2 ＋ x3) ／ 3, （y1 ＋ y2 ＋ y3) ／ 3) 。

五、三角形垂心的详细性质41 垂心与三角形的三个顶点构成的三角形的外接圆相同。

411 锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外部。

以上协议详细阐述了三角形各心的性质，希望对您有所帮助。

三角形的四心定义及其性质总结
三角形是几何图形中最常见的形状，许多几何中的问题都与它有关。

三角形的形态也极其复杂，可以根据它的内部特征和外部特征来分类。

其中，四心定义及其性质决定了三角形的结构特征，在几何图形学中非常重要，下面就四心定义及其性质进行总结。

四心定义是指重心、内心、外心和垂心四种中心，它们对三角形的特征有着重要的影响，如重心是三角形内任何两点连线的重点，内心是三角形内角平分线交点；外心是三角形外接圆的圆心；垂心是三角形内角垂线的交点。

四心定义的性质也极其复杂，其中最重要的性质有：
1、重心的性质：重心是三角形内任何两点连线的重点，同时也
是三角形三条边的重点，所有三角形的重心都在三角形内部，而且重心到三角形内角的距离都相等，构成了三角形的等腰三角形。

2、内心的性质：内心是三角形内角平分线的交点，由内心和三
角形的三个顶点构成的三条线段相等，所以又称之为等边三角形；内心到三角形三个顶点的距离都相等，也构成了三角形的等腰三角形。

3、外心的性质：外心是三角形外接圆的圆心，同时也是三角形
三条外边中点的重点，所有三角形的外心都在三角形外部。

4、垂心的性质：垂心是三角形内角垂线的交点， three medians of a triangle are concurrent at the orthocenter，以又称之为
正切点，垂心到三角形三个顶点的距离都不相等。

总之，四心定义及其性质是了解三角形结构特征不可或缺的知识，
在几何图形学中发挥着重要作用。

例如它可以帮助我们判断一个三角形是等腰三角形还是等边三角形，也可以用来求取一个三角形的边长、面积等其他参数。

三角形的各个心总结与归纳在几何学中，三角形是基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。

而与三角形相关的概念之一就是“心”。

三角形的各个心是指与三角形内部特殊关系有关的点，包括重心、垂心、外心和内心。

本文将对三角形的各个心进行总结与归纳，以便更好地理解与运用这些概念。

1. 重心：三角形的重心是指三条中线的交点，它被定义为三个顶点的平均值。

设三角形的三个顶点分别为A、B和C，三个中点分别为D、E和F，连接重心G。

根据重心的定义，我们可以得到以下结论：- 重心所在的直线叫做重心线，重心线同时也是三角形的中位线；- 在等边三角形中，重心与垂心、外心和内心重合；- 重心将重心线分成两段，其中一个段的长度是另一个段长度的两倍。

2. 垂心：三角形的垂心是指三条高线的交点，它被定义为三条垂直于边的线的交点。

设三角形的三边AB、BC和CA上分别有高线AD、BE和CF，连接垂心O。

对于垂心，我们可以得到以下结论：- 垂心所在的直线叫做垂心线，垂心线同时也是三角形的高线；- 在锐角三角形中，垂心在三角形的内部；- 在直角三角形中，垂心在三角形的顶点；- 在 obtuse 锐角三角形中，垂心在三角形的外部。

3. 外心：三角形的外心是指三条外接圆的交点，它被定义为三角形外接圆的圆心。

设三角形的三个顶点为A、B和C，三角形的外接圆圆心为O，连接外心O与三个顶点。

外心的一些特性包括：- 外心所在的直线叫做外心线，外心线同时也是三角形的垂直平分线；- 在锐角三角形中，外心在三角形的内部；- 在直角三角形中，外心在斜边上；- 在 obtuse 锐角三角形中，外心在三角形的外部。

4. 内心：三角形的内心是指三条角平分线的交点，它被定义为三角形内角平分线的交点。

设三角形的三个顶点为A、B和C，连接内心I与三个顶点。

我们可以得到以下内心的特点：- 内心所在的直线叫做内心线，内心线同时也是三角形的角平分线；- 内心到三边的距离相等；- 在等边三角形中，内心与重心、垂心和外心重合。

三角形的“五心”性质归纳总结（二）引言概述：在前文《三角形的“五心”性质归纳总结（一）》中我们介绍了三角形的“五心”性质，包括外心、内心、重心、垂心和旁心。

在本文中，我们将进一步讨论这五个心的性质，并归纳总结它们的重要特点。

正文：一、外心的性质1. 外心是可以通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点来求得的。

2. 外心到三角形的顶点的距离都相等，且等于外接圆的半径。

3. 外心是三条外角平分线的交点，也是三个外接圆的圆心。

4. 三角形的外心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

二、内心的性质1. 内心是可以通过三角形三个顶点的角平分线的交点来求得的。

2. 内心到三角形三边的距离都相等，且等于内切圆的半径。

3. 内心是三条角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。

4. 三角形的内心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

三、重心的性质1. 重心是可以通过三角形三个顶点和三边中点的连线交点来求得的。

2. 重心到三角形三边的距离相等，且等于重心到顶点的距离的三倍。

3. 重心是三条中线的交点，也是三个平行于边的中位线所围成的三角形的重心。

4. 三角形的重心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

四、垂心的性质1. 垂心是可以通过三角形三个顶点到对应高的垂线的交点来求得的。

2. 垂心的一个重要性质是垂心到三个顶点所形成的角度都是直角。

3. 垂心是三条高线的交点，也是三个高的垂线所围成的三角形的垂心。

4. 三角形的垂心不一定存在，只有当三边都有不大于90°的角时垂心才存在。

五、旁心的性质1. 旁心是可以通过三角形三个顶点的外角平分线的交点来求得的。

2. 旁心与对应边的距离相等，且等于旁接圆的半径。

3. 旁心是三条外角平分线的交点，也是三个旁接圆的圆心。

4. 三角形的旁心一般存在两个，只有当三个外角都小于120°时，三角形才存在两个旁心。

总结：通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们发现每个心都具有独特的性质和作用。

三角形五心相关结论与应用汇总三角形的五心分别是外心、内心、重心、旁心和垂心。

这五个点在三角形中各具特点，具有丰富的性质与应用。

1.外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等。

外心是三条中垂线的交点，同时也是三角形上各个边的垂直平分线的交点。

利用外心可以得到三角形的外接圆，进而可以确定三角形的形状。

2.内心是三角形内切圆的圆心，内心到三角形三条边的距离相等。

内心是三条角平分线的交点，同时也是三角形上各个边的角平分线的交点。

利用内心可以得到三角形的内切圆，进而可以确定三角形的形状。

3.重心是三角形三条中线（连接一个顶点和中点）的交点，重心离三角形三个顶点的距离都相等。

重心被认为是一个三角形的质心，可以将三角形视为一个平面上均匀分布的质点系统，重心就是该系统的质心。

在构造平衡结构等问题中，重心具有重要的作用。

4.旁心是指三角形的三个旁切圆的圆心，旁心到三角形对边的距离相等。

旁心到三角形两直角边的距离也相等。

旁心所在的直线与对边垂直，旁心是三角形上各个边的外角平分线的交点。

旁心在三角形的定位中有重要的用途，可以确定一些特殊的旁切圆。

5.垂心是指三角形三个顶点至对边的垂足所在的交点。

垂心到三角形各顶点的线段长度分别相等。

垂心所在的直线与对边垂直。

垂心具有一些特殊的性质，如垂心与外心、内心和重心共线等。

应用方面：1.构造外接圆和内切圆：利用外心和内心，可以分别构造三角形的外接圆和内切圆，确定三角形的形状。

2.求解三角形的位置：通过五心中的旁心，可以确定一些特殊的旁切圆和重心，用于求解三角形的位置。

3.确定三角形的特殊性质：通过五心可以确定一些特殊的线段和角度，进而推导出三角形的一些特殊性质。

4.建立平衡结构：利用重心作为质心，可以构建平衡结构，在建筑、工程等领域具有重要的应用。

5.解决几何问题：五心的性质可以应用于解决各种三角形相关的几何问题，如求解距离、角度、线段的长度等。

总之，三角形的五心具有丰富的性质和应用，可以用于解决三角形相关的几何问题，同时也可以应用于建筑、工程等领域。

正三角形重心中心垂心外心内心的知识点一、知识概述《正三角形重心、中心、垂心、外心、内心》①基本定义：- 重心：说实话，这就像是正三角形的平衡点。

如果把正三角形看作是一块均匀的薄板，从重心这个点吊起来，薄板会水平平衡。

它是三条中线（连接一个顶点和对边中点的线段）的交点。

- 中心：在正三角形里，重心、垂心、外心、内心这四个心是重合的，这个重合的点就叫做中心。

- 垂心：想象一下，从正三角形的每个顶点向对边作垂线，三条垂线的交点就是垂心，这就好比是三角形三条高线（过顶点作对边的垂线段）相交的地方。

- 外心：它是正三角形外接圆的圆心，这个点到三个顶点的距离是相等的。

就像用一个圆刚好把正三角形圈在里面，这个圆的圆心就是外心。

- 内心：这是正三角形内切圆的圆心，内心到三条边的距离相等。

就好像在正三角形里面画一个正好能挨着三条边的圆，这个圆的圆心就是内心。

②重要程度：在三角形相关的几何知识里，这些概念非常重要。

无论是解决几何证明题，还是计算三角形的一些数值，它们都是关键的要素。

就像建房子的基石一样，如果这些概念不清楚，很多关于正三角形更复杂的问题就做不了。

③前置知识：得先把三角形的基础概念搞清楚，像三角形的边、角、顶点这些。

另外，得知道线段的中点怎么找，垂线怎么作，还有圆的一些基本概念，像圆心、半径什么的。

④应用价值：在建筑设计里，如果要设计一个正三角形结构的建筑，这些心的位置可以帮助确定建筑的力学结构平衡点，稳定性布局等。

在机械制造中，处理正三角形形状的零件，这些概念有助于精准定位和设计加工工艺。

二、知识体系①知识图谱：在几何学科里，正三角形的这几个心是三角形性质这一板块的重要内容，和三角形的全等、相似等概念也有着千丝万缕的联系。

②关联知识：和三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识是紧密相联的。

比如说，正三角形内角都是60度，这一性质在研究这几个心的位置关系或者计算与这几个心相关的线段长度时有时候也会用到。

③重难点分析：- 掌握难度：我觉得对于初学者来说还是有点难度的。

中考必备：三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理三角形的五个“心” 一、重心：（又叫中心） 1这点就是三角形的重心。

2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点； 证明：找AB 中点F ，AC 中点E ，连接这两条中线交于点O ，连接AO 并延长，交BC 于点D ，可得S三角形ABE =S 三角形ACF =1/2×S 三角形ABC （同底同高），得S 三角形BOF =S 三角形COE （两三角形同减S四边形AEOF ），得S 三角形AOB =S 三角形AOC （都为上面两三角形面积的两倍），得B 到AD 和C 到AD 的距离h 相等（面积相等，底相等），所以S 三角形BOD =S 三角形COD （同底OD ，等高h ），所以BD=CD （面积相等，高相等），即D 为BC 中点，所以三角形三条中线交于一点。

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

证明：方法一△ABC ，AB 、BC 、CA 中点分别为D 、E 、F ，交于一点G 。

∴DF//BC ，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF ∽△ABC, E 为BC 中点，∴H 为DF 中点（可证AH ／AE=DH ／BE=HF ／EC, BE=EC, ∴DH=HF) ∴HF=DF ／2 , BE=BC ／2， 又可由①知HF=BE ／2 ∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH 。

∴△BGE ∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）AA连结AO、BO、CO形成了三个三角形，S三角形ABC = S三角形ABO+ S三角形BCO + S三角形ACO= 1/2*（a+b+c）* r = s*r据海伦公式：S三角形ABC =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以r=S三角形ABC/s三、垂心：1．定义：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

内心、外心、重心、垂心１、内心(1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（２）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s＝ (ｒ是内切圆半径)④在Rt△ＡBＣ中,∠C=90°，r=（a＋b－c)/2.⑤∠BOC = ９0 °＋∠A／２∠BＯA = 90＋∠C／2 ∠AOC = 9０+∠Ｂ／２2、外心（1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（２)三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合④OＡ=OB＝ＯC＝R⑤∠BOC=２∠BＡC，∠AOB=2∠AＣＢ，∠ＣOＡ＝２∠CBＡ⑥S△ABC=ａbｃ/４Ｒ3、重心(1)三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2)三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为２：１。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为（(X1+X２+X3）/3,(Ｙ1+Y２+Ｙ3)／3);空间直角坐标系——横坐标:(Ｘ1+X2+X３)/３纵坐标:(Y１+Y2+Y３）/3 竖坐标：（Ｚ1+Z2+Z ３)／３⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心(１）定义:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2)三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心Ｏ关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上④△ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个）相似的直角三角形,且AO·OＤ＝ＢO·ＯE=ＣO·ＯF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形的四种心
重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点;
内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;
外心:三中垂线的交点;
当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.
一、三角形重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
二、三角形垂心的性质
垂心:三高的交点;
锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
三、三角形内心
1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．
2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
3、（内角平分线分三边长度关系）
⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QA=a/b, CP/PA=a/c, BR/RC=c/b.
四、三角形外心
1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.
3、GA=GB=GC=R.。

专题:三角形的五心三角形五心将在本节详细介绍,其难度较大,望量力而行三角形中有许多重要的特殊点,特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用,在本节中将分别给予介绍． 三角形的“五心"指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心（外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点; 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心(内切圆圆心）． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =错误!(a +b +c )，则r =错误!． 特别的，在直角三角形中,有 r =错误!(a +b －c ）． 3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．上面的证明中,我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2． 4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点，这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组"．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心）． 每个三角形都有三个旁切圆． A 类例题 例1 证明重心定理。

证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF 错误!错误!BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ．又设AD 、BE 交于G ’，同理可证G 'B =2G ’E ，G ’A =2G ’D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G ’、G 重合． 即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．AB COABCDEFG AB CDEFI aIK HEFD ABCMC证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ,因为EF 错误!错误!BC ，HI 错误!错误!BC ，所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ,GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．情景再现1．设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证:四边形GMAN 和△GBCC的面积相等．2．三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍．B 类例题例3 过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N 。

三角形的心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；垂心:三高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称;外心:三中垂线的交点;旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.1三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

证明过程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。

求证：F为AB中点。

证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC= S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。

重心的几条性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+ X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y 1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．2三角形垂心的性质设⊿ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。