三角形的内心、外心、垂心

三角形五心定理（三角形的重心, 外心, 垂心, 内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理, 外心定理, 垂心定理, 内心定理, 旁心定理的总称.之马矢奏春创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点.该点叫做三角形的重心.三中线交于一点可用燕尾定理证明, 十分简单.（重心原是一个物理概念, 对等厚度的质量均匀的三角形薄片, 其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名）重心的性质：1、重心到极点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.2、重心和三角形3个极点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个极点距离的平方和最小.4、在平面直角坐标系中, 重心的坐标是极点坐标的算术平均, 即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3, （Y1+Y2+Y3)/3.二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心, 叫做三角形的外心.外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点, 该点即为该三角形外心.2、若O是△ABC的外心, 则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时, 外心在斜边上, 与斜边的中点重合.4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个极点连向另外两个极点向量的点乘.c1=d2d3,c2=d1d3, c3=d1d2；c=c1+c2+c3.重心坐标：( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c ).5、外心到三极点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点, 该点叫做三角形的垂心.垂心的性质：1、三角形三个极点, 三个垂足, 垂心这7个点可以获得6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线, 且OG∶GH=1∶2.（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一极点距离为此三角形外心到此极点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部份乘积相等.定理证明已知：ΔABC中, AD、BE是两条高, AD、BE交于点O, 连接CO 并延长交AB于点F , 求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此, 垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心, 叫做三角形的内心.内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点.该点即为三角形的内心.2、直角三角形的内心到边的距离即是两直角边的和减去斜边的差的二分之一.3、P为ΔABC所在平面上任意一点, 点I是ΔABC内心的充要条件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心, A、B、C分别为三角形的三个极点, 延长AO交BC边于N, 则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心.旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两极点处的外角平分线交于一点, 该点即为三角形的旁心.2、每个三角形都有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图, 点M就是△ABC的一个旁心.三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点.一个三角形有三个旁心, 而且一定在三角形外.附：三角形的中心：只有正三角形才有中心, 这时重心, 内心, 外心, 垂心, 四心合一.有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心, 重外垂内和旁心, 五心性质很重要, 认真掌握莫记混．重心三条中线定相交, 交点位置真奇巧, 交点命名为“重心”, 重心性质要明了,重心分割中线段, 数段之比听分晓；长短之比二比一, 灵活运用掌握好．外心三角形有六元素, 三个内角有三边．作三边的中垂线, 三线相交共一点．此点界说为外心, 用它可作外接圆．内心外心莫记混, 内切外接是关键．垂心三角形上作三高, 三高必于垂心交．高线分割三角形, 呈现直角三对整,直角三角形有十二, 构成六对相似形, 四点共圆图中有, 细心分析可找清.内心三角对应三极点, 角角都有平分线, 三线相交定共点, 叫做“内心”有根源；点至三边均等距, 可作三角形内切圆, 此圆圆心称“内心”, 如此界说理固然．。

三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. . 一、外心一、外心. .三角形外接圆的圆心，简称外心三角形外接圆的圆心，简称外心..与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理定理. .例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上外接圆上. . 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点的外心，点 N 是△P ′PC 的外心的外心..有 ∠∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上外接圆上. . 由于由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似相似. .分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外后再由外 心性质可知心性质可知∠∠PO 1S =2=2∠∠A ， ∠∠QO 2P =2=2∠∠B ， ∠∠SO 3Q =2=2∠∠C . ∴∠∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360=360°°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360=360°°将△将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =21∠PO 1S =∠A ；同理有∠同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心..掌握重心将每掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题及中线长度公式，便于解题. .例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点是任意一点..证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和中，其中一个面积等于另外两个面积的和. .分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交相交..从A ，C ，D ，E ，F 分别分别 作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′，′， D ′，E ′，F ′. 易证易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，′，22EE ′=AA ′+CC ′，′，∴∴EE ′=DD ′+FF ′. 有有S △PGE =S △PGD +S △PGF . 两边各扩大两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似的新三角形相似..其逆亦真其逆亦真. .分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′围成的三角形简记为△′..G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF .(1)a 2，b 2，c 2成等差数列Þ△∽△′△∽△′. .若△若△ABC 为正三角形，易证△∽△′为正三角形，易证△∽△′. . 不妨设不妨设a ≥b ≥c ，有，有CF =2222221c b a -+，BE =2222221ba c -+，AD =2222221a c b -+. 将将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得，分别代入以上三式，得 CF =a23，BE =b 23，AD =c23.∴∴CF :BE :AD =a23:b 23:c23=a :b :c .故有△∽△′故有△∽△′故有△∽△′. . (2) (2)△∽△′△∽△′Þa 2，b 2，c 2成等差数列成等差数列. . 当△中当△中a ≥b ≥c 时，时， △′中△′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∵△∽△′， ∴DD S S '＝(aCF )2.据据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有AA 'FF 'G E E 'D 'C'P C B DDD SS '=43.∴∴22aCF =43Þ3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2Þa 2+c 2=2b 2.三、垂心三、垂心三角形三条高的交战，三角形三条高的交战，称为三角形的垂心称为三角形的垂心..由三角形的垂心造成的四个等由三角形的垂心造成的四个等((外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利圆三角形，给我们解题提供了极大的便利. .例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心的垂心..求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置四点共圆，并确定出该圆的圆心位置.. 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A Ð=2R ÞA 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4. 但∠但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2.易证易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2， 故得故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称成中心对称. .同理，同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称点成中心对称..故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上在同一个圆上..后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称成中心对称..由O ，M 两点，Q 点就不难确定了点就不难确定了. .例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心的中心..一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.分析：只须证明分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可即可..设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外 接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)，①① 又又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②② 而而ABHAH Ðsin =2R ÞAH 2=4R 2cos 2A ,∥=∥=H H HMAB BA ABC C C F12111222D EAa sin =2R Þa 2=4R 2sin 2A .∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. . ③③ 由①、②、③有由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2) =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1.四、内心四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心三角形内切圆的圆心，简称为内心..对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：下面一个极为有用的等量关系： 设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心之外心((内心的等量关系之逆同样有用内心的等量关系之逆同样有用). ).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3，O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形为矩形. . (1986 (1986，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题，中国数学奥林匹克集训题) )证明见《中等数学》证明见《中等数学》199219921992；；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切内切..试证：EF中点P 是△ABC 之内心之内心. .分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？ 如图，显然如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上平分线上..易知AQ =a sin r. ∵∵QK ·AQ =MQ ·QN ， ∴∴QK =AQQN MQ ×=asin /)2(r r r R ×-=)2(sin r R -×a .由由Rt △EPQ 知PQ =r ×a sin .∴∴PK =PQ +QK =r ×a sin +)2(sin r R -×a =R 2sin ×a . ∴∴PK =BK .a利用内心等量关系之逆定理，即知利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心这内心. .A B C D O O O 234O 1AααMBC KNEROQ Fr P五、旁心五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心旁心常常与内心联系在一起，旁心常常与内心联系在一起， 旁心还与三角形的半周长关系密切旁心还与三角形的半周长关系密切. .例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p . 式中式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周表示半周. .分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c )=41[(a +b )2-c 2] =21ab ；(p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ). ①① 观察图形，可得观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证由①及图形易证. .例1010．．M 是△ABC 边AB 上的任意一点上的任意一点..r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径半径..证明：11q r ·22q r =qr .(IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sinA=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B з2'sin AK r r r r O O O 213AOE CBabcA ...'B'C'O O 'ED=A ′B ′·2''sin 2'sin2'sinB A B A +×，O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有亦即有11q r ·22q r =2222B tgCNB tgCMA tgA tgÐÐ=22B tgA tg =qr .六、众心共圆六、众心共圆这有两种情况：(1)(1)同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；同一点却是不同三角形的不同的心；(2)(2)(2)同一图形出现了同一图形出现了同一三角形的几个心同一三角形的几个心. .例1111．．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF .分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心的内心..从而有ID =CD =DE ，IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用利用 不不等式有：等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS .∴∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI )=AD +BE +CF . I 就是一点两心就是一点两心. . 例1212．△．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心的重心..证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.=2:1.设设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心重心. . 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证：易证： E rdos..I P ABCD EFQ S A BCD E F O KGDG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴∴DG :GK =DE :EF ÞGE ∥MF . ∵∵OD 丄AB ，MF ∥AB ， ∴∴OD 丄MF ÞOD 丄GE .但OG 丄DE ÞG 又是△ODE 之垂心之垂心. . 易证易证OE 丄CD . 例1313．△．△ABC 中∠C =30=30°，°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有利用内心张角公式，有 ∠∠AIB =90=90°°+21∠C =105=105°，°，°，∴∠∴∠DIE =360=360°°-105-105°×°×°×3=453=453=45°°. ∵∠∵∠AKB =30=30°°+21∠DAO =30 =30°°+21(∠BAC -∠BAO ) =30 =30°°+21(∠BAC -60-60°°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴∴AK ∥IE .由等腰△由等腰△AOD 可知DO 丄AK ， ∴∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高的一条高. . 同理同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE . 例1414．锐角△．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心分别是外心、重心、垂心..设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距，重心到三边距 离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：求证：11·d 垂+2+2··d 外=3=3··d 重. 分析：这里用三角法分析：这里用三角法..设△ABC 外接圆外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . . 易知易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ). ①① ∵∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ， 同样可得同样可得BH 2·CH 3. ∴∴3d 重=△ABC 三条高的和三条高的和 =2 =2··(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ) ②② ∴∴BCHBH Ðsin =2=2，，O ABCDEFIK30°B CO IA O G H O G H G O G H 1231122331 =( 2。

三角形的内心，外心，重心，垂心，旁心及性质分别是指什么？1.垂心：〈1〉定义：是三角形三条高的交点。

〈2〉性质：[性质1]锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

[性质2]三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

[性质3]垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

[性质4]△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。

[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。

[性质6]△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

[性质7]三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

[性质8]设O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC,∠BCO=∠HCA.[性质9]锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即AH+BH+CH=2（r+R）。

[性质10]锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

[性质11]设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA,AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1H2H3.[性质12]三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

2.内心〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点即内接圆的圆心。

交于点O，点O即为△ABC的内心。

〈2〉性质：[性质1]三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r. [性质2]∠BOC=90°+∠BAC/2。

[性质3]在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD3.重心：〈1〉重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。

三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）=++；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形内心外心重心垂心重心、外心、内心、垂心、中心统称为三角形的"五心"，由于三角形的五心处在特殊的位置上，因而它们具有丰富而独特的性质，这些性质是解与五心相关问题的基础。

内心是三角形角平分线的交点。

一、三角形的内心和内心的性质1、“内心”是三角形的角平分线交点，也是三角形的内切圆的圆心。

2、内心性质（1）三角形的任一个顶点和它的内心的连线必定平分这个角。

（2）内心到三角形三条边的距离相等，而且都等于这个三角形的内切圆的半径长。

（3）设一个三角形ABC的内心为“O”，内切圆半径为r，三条边长分别为a、b、c，则三角形ABC的面积S=(1/2)x(a+b+c)xr。

即三角形的面积等于三角形周长与其内切圆半径乘积的一半。

三角形的内切圆和“内心”二、三角形的外心和外心的性质1、“外心”是三角形的垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

【注】垂直平分线也叫“中垂线”。

2、外心性质（1）三角形的任意一条边的中点和外心的连线必定在这条边的垂直平线上，所以也必定垂直平分这条边。

（2）外心到三角形三个顶点的距离相等，而且都等于这个三角形的外接圆的半径长。

三、三角形的重心和重心的性质1、“重心”是三角形中线的交点。

2、重心性质（高频考点）（1）三角形顶点与重心的连线必定在三角形的一条中线上。

（2）延长三角形的一个顶点与重心的连线，使得交于这个顶点的对边上一点，则这个交点为边上的中点。

（2）三角形的重心把三角形的任意一条中线分成两条线段，其中重心到三角形顶点的线段长是另一条线段长的2倍。

【注】三角形的三条中线长不一定相等，但在任何一条中线上，重心到顶点的线段和重心到顶点对边中点连线的线段长的比值都是2：1.四、三角形的垂心和垂心的性质1、垂心是三角形高线的交点。

2、垂心性质（1）三角形的顶点与垂心的连线必定在三角形的一条高线上。

（2）三角形任何一个顶点和垂心的连线必定垂直于这个顶点的对边。

五、三角形的中心和中心的性质1、三角形的“四心”（内心、外心、重心、垂心）重合后的点称为这个三角形的中心。

三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆的外心。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量||||(AC AB AP =λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆的垂心。

结论2：若点O 为△ABC 所在的平面内一点，满足222222AB OC CA OB BC OA +=+=+， 则点O 为ABC ∆的垂心。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=。

三角形的内心外心与垂心三角形是几何学中常见的形状，具有许多重要的性质和特点。

其中，内心、外心和垂心是三角形的三个重要点，它们在三角形的研究和应用中扮演着重要的角色。

本文将介绍并探讨三角形的内心、外心和垂心的定义、性质以及在几何学和实际生活中的应用。

一、内心内心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条边相切。

具体来说，内心是三角形的三条角平分线的交点，记作I。

对于任意三角形ABC，其内心I满足以下性质：1. 内心到三角形三边的距离相等，即IA = IB = IC。

2. 三角形的内心是内切圆的圆心，该圆称为内切圆。

内切圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为内心I。

3. 内心是三角形内角平分线的交点，即∠BAI = ∠CAI，∠CBI =∠ABI，∠ACI = ∠BCI。

内心的性质使得它在几何学和实际生活中具有重要的应用。

例如，在导航系统中，我们可以利用内心与三个信号源的距离来确定自身的位置，从而实现定位的功能。

二、外心外心是三角形外部的一个特殊点，它与三角形的三个顶点都相切。

具体来说，外心是三角形的三条中垂线的交点，记作O。

对于任意三角形ABC，其外心O满足以下性质：1. 外心到三角形的三顶点的距离相等，即OA = OB = OC。

2. 三角形的外心是外接圆的圆心，该圆称为外接圆。

外接圆与三角形的三条边都相切于一个点，且该点即为外心O。

3. 外心是三角形三条中垂线的交点，即AO ⊥ BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。

外心的性质使得它在许多几何学问题的解决中发挥了重要的作用。

例如，在设计建筑物或道路的过程中，我们需要确定三个支撑点的位置，使得它们能够稳定地支撑结构物。

此时，我们可以利用外心的位置来确定这三个支撑点的最佳位置。

三、垂心垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的三条高线相交。

具体来说，垂心是三角形的三条高线的交点，记作H。

对于任意三角形ABC，其垂心H满足以下性质：1. 垂心到三角形的三个顶点的距离相等，即HA = HB = HC。

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

三角形的垂心、重心、内心与外心三角形是我们初中数学学习中的重要内容之一，它的性质和特点十分丰富有趣。

本文将介绍三角形的垂心、重心、内心和外心，探讨它们在三角形中的重要地位和作用。

一、三角形的垂心垂心是指三角形三条边上的垂线交于一点的点，它通常用H表示。

垂心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：1.1 垂心与三角形的垂线垂心H到三角形三边的连线分别称为三角形的垂线，分别记为AH、BH和CH。

垂心到三角形三边的垂线具有以下性质：（1）垂心H到三角形三边的垂线长度相等；（2）垂心H到三角形三边的垂线互相垂直。

1.2 垂心与三角形的重要性质垂心H具有以下重要性质：（1）垂心H到三角形三个顶点的距离之和最小；（2）垂心H是三角形内心I和外心O的连线中点；（3）垂心H是三角形外接圆和九点圆（即三角形的三个中线的中点连成的圆）的圆心。

二、三角形的重心重心是指三角形三条中线交于一点的点，它通常用G表示。

重心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：2.1 重心与三角形的中线重心G到三角形的三个顶点分别连接线段，则这三条连线称为三角形的中线，分别记为AD、BE和CF。

重心到三角形的三条中线具有以下性质：（1）重心G到三角形三条中线的长度成比例关系，即AG：GD = BG：GE = CG：GF = 2：1；（2）重心G到三角形三条中线的交点是重心G本身。

2.2 重心与三角形的重要性质重心G具有以下重要性质：（1）重心G到三角形三个顶点的距离之和最小；（2）重心G是三角形垂心H和外心O的连线中点；（3）重心G是三条中线的交点，同时也是三角形的质心（三个顶点的重心）。

三、三角形的内心内心是指三角形的三条角平分线交于一点的点，它通常用I表示。

内心与三角形的性质密切相关，具有以下几个重要特点：3.1 内心与三角形的角平分线内心I到三角形的三个顶点分别连接线段，则这三条连线称为三角形的角平分线，分别记为AI、BI和CI。

内心、外心、重心、垂心定义及性质总结[借鉴]内心、外心、重心、垂心是几何学中与三角形相关的四个重要概念。

以下是它们的定义及性质总结：1.内心（Incenter）定义：内心是三角形内切圆的圆心。

性质：o内心到三角形三个顶点的距离相等。

o内心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与内切圆半径之差的一半。

o在内心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。

2.外心（Excenter）定义：外心是三角形外接圆的圆心。

性质：o外心到三角形三个顶点的距离相等。

o外心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。

o在外心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。

3.重心（Centroid）定义：重心是三角形三条中线的交点。

性质：o重心到三角形三个顶点的距离与到三条中线的距离相等。

o重心与三角形各边之间的距离等于三角形半周长与外接圆半径之差的一半。

o在重心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的值。

4.垂心（Hypotenuse）定义：垂心是三角形各边上的高线的交点。

性质：o垂心到三角形三个顶点的距离与到三条高的距离相等。

o垂心与三角形各顶点连线所成的角等于三角形内角和的一半。

o在垂心分线上，任意两边的向量之积等于另外两边向量之积的负值。

总结：内心、外心、重心和垂心在几何学中具有特殊的性质和重要性。

这些概念之间的关系可以用于证明定理和解决问题。

对于内心和外心，它们分别与三角形的内切圆和外接圆相关，而重心和垂心则分别与三角形的中线和高的交点相关。

这些概念及其性质在几何学中具有广泛的应用，例如在解决几何问题、绘制图形和证明定理等方面都有重要的应用价值。

三 角 形 “四 心”所谓三角形“四心”是指三角形重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形中心。

一、三角形外心定 义：三角形三条中垂线交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心及三角形边中点连线垂直于三角形这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.3.向量性质：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅+=⋅+=⋅+)()()(，则点O 为ABC ∆外心。

二、三角形内心定 义：三角形三条角平分线交点叫做三角形内心，即内切圆圆心。

ABC ∆内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点及内心连线平分顶角。

2.三角形面积＝⨯21三角形周长⨯内切圆半径． 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量，则动点P 轨迹过ABC ∆内心。

三、三角形垂心定 义：三角形三条高交点叫重心。

ABC ∆重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点及垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.向量性质：结论1：若点O 为ABC ∆所在平面内一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC ∆垂心。

结论2：若点O 为△ABC所在平面内一点，满足222222+=+=+，则点O 为ABC ∆垂心。

四、三角形“重心”：定 义：三角形三条中线交点叫重心。

ABC ∆重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点及重心G 连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心及顶点距离等于它及对边中点距离2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心坐标是三顶点坐标平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=。

三 角 形 的“五 心”所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。

当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心（1个）定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的外心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。

二、三角形的内心（1个）定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. CE CD BD BF AF AE ===,,3. 三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的旁心（3个） 定 义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

性 质：1. 旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

即，到三边距离相等。

2. 三角形有三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫旁心。

四、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。

ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。

直角三角形的垂心在直角顶点上。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

内心、外心、重心、垂心１、内心(1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。

（２）三角形的内心的性质①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r③s＝ (ｒ是内切圆半径)④在Rt△ＡBＣ中,∠C=90°，r=（a＋b－c)/2.⑤∠BOC = ９0 °＋∠A／２∠BＯA = 90＋∠C／2 ∠AOC = 9０+∠Ｂ／２2、外心（1)定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。

（２)三角形的外心的性质①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形,其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合。

③锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合④OＡ=OB＝ＯC＝R⑤∠BOC=２∠BＡC，∠AOB=2∠AＣＢ，∠ＣOＡ＝２∠CBＡ⑥S△ABC=ａbｃ/４Ｒ3、重心(1)三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

（2)三角形的重心的性质①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为２：１。

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为（(X1+X２+X3）/3,(Ｙ1+Y２+Ｙ3)／3);空间直角坐标系——横坐标:(Ｘ1+X2+X３)/３纵坐标:(Y１+Y2+Y３）/3 竖坐标：（Ｚ1+Z2+Z ３)／３⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、垂心(１）定义:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。

（2)三角形的垂心的性质①锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心③垂心Ｏ关于三边的对称点,均在△ABC的外接圆上④△ABC中,有六组四点共圆，有三组(每组四个）相似的直角三角形,且AO·OＤ＝ＢO·ＯE=ＣO·ＯF⑤H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组)。

三角形的内心外心重心垂心
三角形的内心是所有角平分线的交点。

它位于三角形的内部，并且是三角形的内切圆的圆心。

内切圆是与三角形的三边都相切的圆。

内心到三角形每条边的距离相等，这个距离称为内切圆的半径。

内心在三角形中具有对称性，它在三角形的几何性质中扮演着重要的角色。

三角形的外心
三角形的外心是所有中垂线的交点。

中垂线是连接三角形一边的中点与对边中点的线段，它垂直于这条边。

外心位于三角形的外部，并且是外接圆的圆心。

外接圆是经过三角形所有顶点的圆。

外心到三角形每个顶点的距离相等，这个距离称为外接圆的半径。

外心是三角形的几何中心，它在解决许多几何问题时非常有用。

三角形的重心
三角形的重心是所有中线的交点。

中线是连接三角形一个顶点与对边中点的线段。

重心将每条中线平分，也就是说，重心到顶点的距离是到对边中点距离的两倍。

重心在三角形的几何学中具有平衡性，它代表了三角形的质心，即如果三角形是由均匀材料制成，重心就是其重量的平衡点。

三角形的垂心
三角形的垂心是所有高线的交点。

高线是从一个顶点垂直于对边的线段。

垂心将每条高线平分，即垂心到顶点的距离是到对边中点距离的一半。

垂心在三角形的几何学中具有对称性，它在解决与垂直性相关的问题时非常有用。

这些特殊点不仅在理论几何学中具有重要性，而且在实际应用中也有广泛的用途，如在建筑设计、工程学、艺术和计算机图形学等领域。

了解这些点的性质和它们之间的关系，可以帮助我们解决更复杂的几何问题。

曲老师推荐中考数学专题之：三 角 形 的“四 心”所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形的垂心内心与外心三角形的垂心、内心与外心三角形是几何学的基础概念之一，而三角形的垂心、内心与外心则是与三角形密切相关的重要点。

本文将详细介绍三角形的垂心、内心与外心的定义、性质以及应用。

垂心（Orthocenter）三角形的垂心指的是三条高线相交所对应的点。

具体来说，垂心是以三条高线为直径的外接圆的圆心。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，而三条高线所对应的垂足分别为D、E、F，那么垂心的坐标为（x,y），满足以下条件：1. 根据垂心定义，垂心到三角形的每条边的距离，都是垂线的最短距离，而三条高线正是三条边上的垂线。

因此，垂心到每条边的距离是相等的。

2. 三个垂足分别位于三角形的三条边上，垂心是三个垂足的交点。

因为任意两条垂线的交点必然位于三角形的内部，所以垂心也位于三角形的内部。

3. 当三角形为锐角三角形时，垂心位于三角形的内部；当三角形为直角三角形时，垂心位于三角形的直角顶点；当三角形为钝角三角形时，垂心位于三角形的外部。

内心（Incenter）三角形的内心是指三角形内切圆的圆心。

内切圆是与三角形的三条边都相切的圆，而内心则是内切圆与三角形的三条角平分线的交点。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，内心的坐标为（x,y），满足以下条件：1. 由内心定义可知，内心到三角形的每条边的距离都相等，且等于内切圆的半径。

这个特性保证了三条角平分线的交点都在内切圆上。

2. 三个角平分线分别经过三角形的三个角的角心（角心是三条角平分线的交点），而内心正是三个角心的交点。

3. 内心到三角形的每条边的距离都比垂心到三角形的每条边的距离要近，因此内心位于垂心的内部。

外心（Circumcenter）三角形的外心是指三角形外接圆的圆心。

外接圆是与三角形的三条边都相切的圆，而外心则是外接圆与三角形的三条垂直平分线的交点。

设三角形的三个顶点分别为A、B、C，外心的坐标为（x,y），满足以下条件：1. 外心定义的第一条性质是外心到三角形的每条边的距离相等，且等于外接圆的半径。

三角形的内心外心与垂心性质三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一。

在三角形中，内心、外心和垂心是三个重要的点，它们分别具有独特的性质和作用。

本文将探讨三角形的内心、外心和垂心的性质以及它们在几何学中的应用。

一、内心内心是指三角形内切圆的圆心，由三角形的三条边所确定。

内心与三角形的顶点连线相交于三角形的角平分线上。

因为内心到三角形三边的距离相等，所以内心是三角形的重心。

内心具有以下几个性质：1. 内心到三角形三个顶点的距离相等。

2. 内心到三角形三个边的距离之和最小。

3. 内心是三角形角平分线的交点，三角形的角平分线经过内心。

内心在几何学中有广泛的应用。

例如，内心是解三角形问题中的重要点之一。

通过利用内心到三边的距离相等的性质，我们可以求解三角形的边长和角度。

此外，内心还与关于三角形面积、垂直平分线和中位线等性质的证明中起到重要的作用。

二、外心外心是指三角形外接圆的圆心，该圆通过三角形的三个顶点。

外心具有以下几个性质：1. 外心到三角形的三个顶点距离相等。

2. 外心到三角形的边的距离最大。

3. 外心是三角形外接圆的圆心，三角形的三边均与外接圆的弧相切。

外心在几何学中也有广泛的应用。

外心的特性使其成为解决三角形问题的重要工具，特别是在涉及三角形的外接圆、直角三角形和旋转问题中。

外心的性质还可以用于判断三角形是否锐角、钝角或直角。

三、垂心垂心是指三角形三条高的交点，垂心可以位于三角形的内部、外部或顶点上。

垂心具有以下几个性质：1. 垂心到三角形三个顶点的距离之和最小。

2. 垂心是三角形的最小外接圆心，即垂心到三角形的三个顶点的距离相等，且最小。

垂心在几何学中也有重要的应用。

在解决涉及高、中位线、外心和内心的问题时，垂心是一个重要的参考点。

此外，在计算三角形的性质，如面积、周长和角度时，垂心的位置和性质也经常被考虑。

总结：三角形的内心、外心和垂心是三个重要的点，它们分别具有独特的性质和作用。

内心是三角形内切圆的圆心，具有与三角形角平分线有关的性质；外心是三角形外接圆的圆心，与三角形的外接圆有关；垂心是三角形三条高的交点，与三角形的高和最小外接圆有关。

三角形的外心内心和垂心分别是什么三角形是我们在数学学习中常见的几何图形，而三角形的外心、内心和垂心则是三角形中非常重要的几个特殊点。

首先，咱们来聊聊三角形的外心。

外心，顾名思义，就是三角形外接圆的圆心。

那什么是外接圆呢？简单来说，就是经过三角形三个顶点的圆。

外心是这个外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等。

那怎么找到三角形的外心呢？对于一个锐角三角形，外心就在三角形的内部；对于直角三角形，外心就在斜边的中点上；而钝角三角形的外心则在三角形的外部。

外心的性质在解决很多与三角形相关的几何问题中都非常有用。

比如，如果知道了三角形三个顶点的坐标，我们就可以通过一些数学方法求出外心的坐标。

接下来，咱们再看看三角形的内心。

内心是三角形内切圆的圆心。

内切圆，就是与三角形三边都相切的圆。

内心有一个很重要的特点，就是它到三角形三边的距离相等。

这距离其实就是内切圆的半径。

那怎么求内心呢？我们可以通过角平分线的交点来确定内心的位置。

内心在实际生活中的应用也不少。

比如在设计一些三角形形状的区域规划时，知道内心的位置和相关性质，可以帮助我们更合理地进行布局。

最后，咱们说说三角形的垂心。

垂心是三角形三条高所在直线的交点。

什么是高呢？从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

对于锐角三角形，垂心在三角形的内部；直角三角形的垂心就是直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形的外部。

垂心的性质在解决一些涉及三角形高和垂直关系的问题时很关键。

通过对三角形外心、内心和垂心的了解，我们可以更深入地理解三角形的性质和特点。

比如，在证明三角形的一些定理时，这些特殊点的性质常常能给我们提供重要的思路。

在解决实际问题中，比如建筑设计、图形绘制等方面，对这些特殊点的准确把握能帮助我们做出更合理、更精确的方案。

再举个例子，如果要计算三角形某个区域的面积，知道内心和相关边长，就能方便地算出内切圆半径，从而求出面积。

总之，三角形的外心、内心和垂心是三角形中非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着重要的地位，在实际应用中也发挥着巨大的作用。