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反证法证明
反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，得﹁B﹁A为真；
2.当A为真，B为假，则A→B为假，得﹁B→﹁A为假；
3.当A为假，B为真，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真；
4.当A为假，B为假，则A→B为真，得﹁B→﹁A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假
即关于〉=〈的问题：
大于 -〉反义：小于或等于
都大于-〉反义：至少有一个不大于
小于 -〉反义：大于或等于
都小于-〉反义：至少有一个不小于
即反证法是正确的。
与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A
假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.
但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.
1。
2.2.2 反证法1．反证法是□01间接证明的一种基本方法．假设原命题□02不成立，经过正确的推理，最后得出□03矛盾，因此说明假设□04错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． 2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论□05不成立，即假设结论的反面成立； (2)归谬：从□06假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与□07已知条件矛盾，或与□08假设矛盾，或与□09定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知a ≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一解，适宜用________证明． (2)用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有一个能被5整除”，则假设的内容是________．(3)用反证法证明命题“如果a >b ，则3a >3b ”时，假设的内容是________． 答案 (1)反证法 (2)a ，b 都不能被5整除 (3)3a ≤3b探究1 用反证法证明否定性命题 例1 已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． [证明] 假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<ax 0<1可知0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2， 这与x 0<0矛盾，故假设不成立． 即方程f (x )＝0没有负数根． 拓展提升反证法属于逻辑方法范畴，它的本质体现在“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．【跟踪训练1】 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1. 证明 假设a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝1. 因为ad －bc ＝1，所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＝ad －bc . 所以a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0. 所以2a 2＋2b 2＋2c 2＋2d 2＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0. 所以(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋d )2＋(a －d )2＝0. 所以a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0， 所以a ＝b ＝c ＝d ＝0，所以ad －bc ＝0，这与ab －bc ＝1矛盾，从而假设不成立，原命题成立， 即a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋cd ≠1.探究2 用反证法证明“至多”“至少”型命题例2 已知a ，b ，c 是互不相等且均不为0的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．[证明] 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0， ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0，∴a ＝b ＝c . 这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证． 拓展提升常见结论词与反设词列表如下：【跟踪训练2】 求证下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax－2a ＝0至少有一个方程有实根时实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 证明 若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－－4a ，a －2－4a 2<0，4a 2＋8a <0.解得－32<a <－1.所以若三个方程至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32.探究3 用反证法证明唯一性命题例3 用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行． [证明] 由两条直线平行的定义可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行． 假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b ，这与假设b ∩b ′＝A 矛盾，所以假设错误，原命题成立．拓展提升证明“唯一性”命题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．【跟踪训练3】已知直线m与直线a和b分别交于A，B且a∥b，求证：过a，b，m有且只有一个平面．证明∵如图，a∥b，∴过a，b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a，b，m有一个平面α.假设过a，b，m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a，b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a，b，m有且只有一个平面．1.“否定结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：弄清结论本身的情况；找出结论的全部相反情况；正确否定上述结论.2.反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定“结论的反面是正确的”是错误的.3.在反证法证题的过程中，经常画出某些不合常理的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观，这与用直接法通过图形找到证题的途径是完全不一样的.1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三个内角都不大于60°B ．假设三个内角都大于60°C ．假设三个内角至多有一个大于60°D ．假设三个内角至多有两个大于60° 答案 B解析 “至少有一个不大于”的否定为“都大于”，所以选B. 2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数答案 C解析 假设两个数都不是正数，则其和必为负数或零．所以选C.3．命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________． 答案 无解或至少两解解析 方程解的情况有：①无解；②唯一解；③两个或两个以上的解．4．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．答案 {a |a ≤－2或a ≥－1}解析 假设两个一元二次方程均无实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝a －2－4a 2<0，Δ2＝a2－－2a，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得a 的取值集合为：{a |－2<a <－1}，所以其补集为{a |a ≤－2或a ≥－1}，即为所求的a 的取值范围．5．如果非零实数a ，b ，c 两两不相等，且2b ＝a ＋c ，求证：2b ＝1a ＋1c不成立．证明 假设2b ＝1a ＋1c 成立，则2b ＝a ＋c ac ＝2bac.故b 2＝ac . 又b ＝a ＋c2，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝ac ，即(a －c )2＝0，所以a ＝c ，这与a ，b ，c 两两不相等矛盾，因此2b ＝1a ＋1c不成立．。
2.2.2 反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．[基础自测]1．思考辨析(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )[答案](1)√(2)×(3)√2．“a<b”的反面应是( )【导学号：48662082】A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案]D3．用反证法证明“如果a＞b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．[答案]3a≤3b4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③[反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．][合作探究·攻重难]成等差数列.【导学号：48662083】[证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，如图∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．【导学号：48662084】[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；成立.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性[跟踪训练2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？提示：设词吗？提示：2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋，a －2－4a 2<0，a 2＋4×2a <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32<a <12，a >13或a <－1，⇒－32<a <－1，－2<a <0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解． －－a ，a －2－4<0，4a 2＋8a <0，a 2－－，a －2－4a 2≥0，a 2＋4×2a ≥0，1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )【导学号：48662085】A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________.【导学号：48662086】③①②[根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．]5. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明]假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。
2.2.2 反证法[课时作业][A组基础巩固]1．命题“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )A．a＜b B．a≤bC．a＝b D．a≥b解析：“a＞b”的否定应为“a＝b或a＜b”，即a≤b.故应选B.答案：B2．用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( )A．a，b，c，d全都大于等于0B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0.答案：A3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．答案：D4．给定一个命题“已知x 1＞0，x 2≠1且x n ＋1＝x 3n ＋3x n3x 2n ＋1，证明对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应是( )A ．对任意正整数n 有x n ≤x n ＋1B ．存在正整数n 使x n ≤x n ＋1C ．存在正整数n 使x n ＞x n ＋1D ．存在正整数n 使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1解析：“对任意正整数n 都有x n ＞x n ＋1”的否定为“存在正整数n 使x n ≤x n ＋1”． 答案：B5．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2解析：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2，b ＋1b＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ≤－2，c ＋1c ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1c ≤－2， ∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ≤－6， ∴三数a ＋1b 、c ＋1a 、b ＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C.答案：C6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________________________________________________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”． 答案：没有一个是三角形或四边形或五边形7．△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内的一点，∠APB >∠APC ，求证∠BAP <∠CAP .用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP <∠CAP 的对立面是∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP .答案：∠BAP ＝∠CAP 或∠BAP >∠CAP8．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.答案：③①②9．已知a ≥－1，求证以下三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．证明：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋＜0a －2－4a 2＜0a 2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12a ＞13或a ＜－1－2＜a ＜0⇒－32＜a ＜－1，这与已知 a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．10．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．证明：假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．[B 组 能力提升]1．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中一位获奖，有人走访了这四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的，同理可推出乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：C2．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定解析：分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC >∠BAD ，∠ADC >∠ABD ，△ABD与△ACD 不可能相似，与已知不符，只有当∠ADB ＝∠ADC ＝∠BAC ＝π2时，才符合题意．答案：B3．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，∴不存在n 使a n ＝b n .答案：04．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，因为a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数， 所以(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)也为奇数． 即(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)为奇数． 又因为a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，所以a 1＋a 2＋...＋a 7＝1＋2＋...＋7，故上式为0. 所以奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋...＋7)＝0. 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)5．已知a ，b ，c 都是小于1的正数，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14，即(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14.∵a ，b ，c 都是小于1的正数，∴－a b ＞12，－b c ＞12，－c a ＞12，∴－a b ＋－b c ＋－c a ＞32.(*)又∵－a b ≤1－a ＋b2，－b c ≤1－b ＋c2，－c a ≤1－c ＋a2，∴－a b ＋－b c ＋－c a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a2＝3－a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c 2＝32(当且仅当1－a ＝b,1－b ＝c,1－c ＝a ，即a ＝b ＝c ＝12时，等号成立)，与(*)式矛盾．∴假设不成立，原命题成立，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 中至少有一个不大于14.6．求证：抛物线上任取四个不同点所组成的四边形不可能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，在抛物线上任取四个不同点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则y 2i ＝2px i (i ＝1,2,3,4)，于是直线AB 的斜率为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2py 1＋y 2， 同理：k BC ＝2p y 3＋y 2，k CD ＝2p y 4＋y 3，k DA ＝2py 1＋y 4. 假设四边形ABCD 为平行四边形， 则有k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，即有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋y 1＝y 4＋y 3 ①y 3＋y 2＝y 1＋y 4 ②①－②得y 1－y 3＝y 3－y 1， ∴y 1＝y 3，同理y 2＝y 4，则x 1＝y 212p ＝y 232p＝x 3，同理x 2＝x 4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 3y 1＝y 3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 4y 2＝y 4.显然A ，C 重合，B ，D 重合．这与A ，B ，C ，D 为抛物线上任意四点矛盾，故假设不成立．∴四边形ABCD 不可能是平行四边形.。
