1.4正切函数的图像与性质

1.4.2《正切函数的图象与性质》教学设计【教学目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】 复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.新授课阶段 一、正切函数的图象：当α在第一象限时， 正弦线sinα=BM>0 余弦线cosα=OM>0 正切线tanα=AT>0那么，当α在其他三个象限 的情况呢？请同学们画 出其他三个象限的正切线. 我们将区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭进行八等分，9个点分别为3284πππ---，，,0,,88ππ-3,.482πππ，分别画出其中384ππ--，，,0,,88ππ-3ππ，的正切线， 然后利用描点法画出正切函数的大致图象. MAxO由正切三角比的诱导公式可知：tan()tan παα+= 那么y =tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图象如下：例1 （1）比较tan1670与tan1730的大小;Y =tan α，α∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭π23-π-π2π-2ππ230yx（2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小. 解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730. (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即. 二、正切函数的性质观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T .4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 从图象上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12x x 、，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2=1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2x x π-<-<则cosx 1、cosx 2>0， sin(12x x -)<0,从而tanx 1-ta nx 2<0，y 1<y 2.即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.由奇函数的性质可知，在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上正切函数y=tanx 也是增函数.由于y=tanx 的周期为π，则函数y=tanx 在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增. 除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx ，你还有什么方法能够证明它在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增吗？ 证法2：在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12,x x ，且12x x <,tanx 1-tanx 2=1212tan()1tan tan x x x x -+⋅. 因为120,2x x π-<-<所以tan(x 1-x 2)<0，tanx 1≥0，tanx 2>0.因此1+tanx 1·tanx 2>0.则tanx 1-tanx 2<0, tanx 1<tanx 2, 即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.接下来的证明同前一种方法.[说明]在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭每一个单调区间．．．．．．．上．是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明. 例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质. 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域：R;它是非奇非偶函数; 在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数;令f (x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan[(x+π)+4π]=f(x+4π)， 因此，函数f(x)的周期是π.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+解：1,3tan 24u x y u π=+=令那么， 124u x π=+Q 是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+；13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--;tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2)22k k k Z ππππ-+∈.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+解：()3tan(2)4f x x π=+Q 3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++()2f x π=+，2T π∴=周期.变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期. 解：1()3tan()24f x x π=+Q 13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2)f x π=+，2T π∴=周期.（||T πω=周期） 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，. y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π], 所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈. ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f(x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π.课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容： 正切函数y=tanx 的性质：定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域：全体实数R 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=π 奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx 的周期是π的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.作业 见同步练习 拓展提升1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)，其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上).6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域.参考答案 1.C 2.D 3.C4. tan2<tan3<tan15.(1)(4)(5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭。

专题1.4.3正切函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正切函数的图象】正切函数Rxxy∈=tan，且()zkkx∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”（1）复习单位圆中的正切线：AT=tanα（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈)2,2(ππ-的图象步骤是：①作直角坐标系，并在x=2π-的左侧作单位圆②把单位圆的右半圆分成8份，（每份8π）.分别在单位圆中作出正切线；③把横坐标从2π-到2π也分成8份④把正切线的端点移到对应的位置；⑤把上面的点连成光滑的曲线．由于tan （x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x ∈)2,2(ππ-的图象左、右移动kπ个单位（k ∈z ）就得到y=tanx （x ∈R 且x≠kπ+2π）的图象.【知识点2 正切函数的性质】 1．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， 2．值域：R由正切函数的图象可知，当()2x k k z ππ<+∈且无限接近于2k ππ+时，tan x 无限增大，记作tan x →+∞（tan x 趋向于正无穷大）；当()2x k k z ππ>-+∈，tan x 无限减小，记作tan x →-∞（tan x 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此tan x 可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线,2x k k z ππ=+∈为正切函数的渐进线．3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-． 要点诠释：观察正切函数的图象还可得到：点,0()2k k z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭是函数tan ,y x x R =∈，且2x k ππ≠+的对称中心，正切函数图象没有对称轴5．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增要点诠释：正切函数在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．【知识点3 正切型函数的性质】1．定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2. 值域：(),-∞+∞3．单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．要点诠释：若0ω<，一般先用诱导公式化为0ω>，使x 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当()2k k z πϕ=∈时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为||T πω=．【考点1 正切函数的定义域】 【例1】求下列函数定义域． （1）tan 2xy =（2）11tan y x=-．【分析】（1）根据正切函数的定义域，写出该函数的定义域即可； （2）根据分母不为0，结合正切函数的定义域，求出该函数的定义域． 【答案】解：（1）∵y ＝tan ， ∴﹣+k π＜＜+k π，k ∈Z ，即﹣π+2k π＜x ＜π+2k π，k ∈Z ，∴函数y 的定义域是{x |﹣π+2k π＜x ＜π+2k π，k ∈Z }； （2）∵y ＝，∴1﹣tan x ≠0， ∴tan x ≠1，∴x +k π，k ∈Z ；∴函数y 的定义域是{x |﹣+k π＜x ＜+k π，且x ≠+k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了正切函数的定义域的应用问题，是基础题目． 【变式1-1】求下列函数的定义域 （1）tan(2)4y x π=-；（2）1tan y x=；（3）y = 【分析】（1）由2x ﹣≠，k ∈Z ，求得x 的范围得答案；（2）由正切函数本身有意义且分式的分母不为0求得x 的范围得答案； （3）由根式内部的代数式大于等于0求解x 的范围得答案． 【答案】解：（1）由2x ﹣≠，k ∈Z ，得x ≠，k ∈Z ．∴y ＝tan （2x ﹣）的定义域为{x |x ≠，k ∈Z }；（2）由，得x ，k ∈Z ．∴y ＝的定义域为{x |x ，k ∈Z }；（3）由1+tan x ≥0，得k π﹣，k ∈Z ．∴y ＝的定义域为[k π，），k ∈Z ．【点睛】本题考查与正切函数有关的函数定义域的求法，是基础题． 【变式1-2】求下列函数的定义域①y②y③y =【分析】根据函数的解析式，列出关于自变量的不等式（组），求出解集即可．【答案】解：①∵y＝，∴tan x﹣≥0，∴tan x≥，解得x≥+kπ，且k∈Z；又x≠+kπ，k∈Z，∴函数y的定义域是{x|+kπ≤x＜+kπ，k∈Z}；②∵y＝，∴tan x≥0，∴0＜tan x≤1，解得kπ＜x≤+kπ，且k∈Z；∴函数y的定义域是{x|kπ＜x≤+kπ，k∈Z}；③∵y＝，∴tan x+lg（1﹣tan x）≥0，∴∴0≤tan x＜1，∴kπ≤x＜+kπ，k∈Z；∴函数y的定义域是{x|kπ≤x＜+kπ，k∈Z}．【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是综合题目．【变式1-3】（2019春•城区校级期中）求函数tan()6yx=+的定义域．【分析】由题意可得，，k∈z解不等式即可求解【答案】解：由题意可得，，k∈z∴{x|，且x k∈z}【点睛】本题主要考查了函数定义域的求解，解题的关键是寻求函数有意义的条件 【考点2 正切函数的值域】 【例2】求下列函数的值域： （1）tan y x =，(2x π∈-，]4π； （2）tan()6y x π=+，[3x π∈-，]6π．【分析】（1）利用正切函数的单调性，求得正切函数的值域． （2）利用正切函数的单调性，求得正切函数的值域． 【答案】解：（1）函数y ＝tan x ，在x ∈（﹣，]上单调递增，tan （﹣）的值趋向于﹣∞，tan＝1，故y ＝tan x ，x ∈（﹣，]的值域为（﹣∞，1]． （2）由于函数y ＝tan （x +），在x ∈[﹣，]上单调递增，tan （﹣）＝﹣，tan＝，故y ＝tan （x +），x ∈[﹣，]的值域为[﹣，]．【点睛】本题主要考查正切函数的单调性，正切函数的值域，属于中档题． 【变式2-1】求下列函数的值域 （1）3sin 13sin 2x y x +=+；（2）221tan ()41tan ()4x y x ππ--=+-；【分析】（1）分离常数，利用sin x 的有界性求出函数的值域； （2）利用正切化弦和二倍角公式化简为sin2x ，然后直接求出值域． 【答案】解：（1）＝因为﹣1≤sin x ≤1，所以﹣1≤3sin x +2≤5的值域为（﹣∞，]∪[2，+∞）（2）＝＝cos （﹣2x ）＝sin2x所以的值域为：[﹣1，1]【点睛】本题考查正弦函数的定义域和值域，运用诱导公式化简求值，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．【变式2-3】函数tan y x =在[3π，)(22ππ⋃，2]3π上的值域为 ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出函数y ＝tan x 的值域． 【答案】解：x ∈[，）时，tan x ∈[，+∞）； x ∈（，]时，tan x ∈（﹣∞，﹣]； ∴函数y ＝tan x 在[，）∪（，]上的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 【变式2-4】已知[4x π∈-，]3π，函数2tan tan()1y x x π=--+的值域是 ．【分析】利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性进行求解即可． 【答案】解：y ＝tan 2x ﹣tan （π﹣x ）+1＝tan 2x +tan x +1＝（tan x +）2+， 设t ＝tan x ， ∵x ∈[﹣，]，∴tan （﹣）≤tan x ≤tan，即﹣1≤tan x ≤， 即﹣1≤t ≤，则函数等价为y ＝（t +）2+，对称轴为x ＝﹣， ∵﹣1≤t ≤，∴当t＝﹣时，函数取得最小值，当t＝时，函数取得最大值4+，故函数的值域为[，4+]，故答案为：[，4+]【点睛】本题主要考查函数值域的求解，利用换元法，结合正切函数和一元二次函数的单调性是解决本题的关键．【考点3 正切函数的图象】【例3】画出1tan()23y xπ=-在一个周期内的图象．【分析】先求出周期，列表令分别等于﹣，0，﹣求得对应的x，y值，以这x，y值作为点的坐标，在坐标系中描出，用平滑曲线连接，即得它在一个周期内的闭区间上的图象．【答案】解：周期T＝＝2π，列表：﹣0x﹣y＝tan﹣∞0+∞作图：【点睛】本题主要考查了正切函数的图象和性质，考查了三角函数图象的画法，属于基本知识的考查． 【变式3-1】已知函数2tan(2)3y x π=-+，求定义域、值域和单调区间，并在区间内画出图象．【分析】根据正切函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：y ＝2tan （﹣2x +）＝﹣2tan （2x ﹣），由2x ﹣≠k π，k ∈Z ，即x ≠，即函数的定义域为{x |x ≠}，k ∈Z ，正切函数的值域为R ， 由k π﹣＜2x ﹣＜k π，k ∈Z ， 即＜x ＜，k ∈Z ，即函数的单调递减区间为（，），则对应的函数图象如右图．【点睛】本题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域，值域以及单调性的求解和判断．【变式3-2】（2019春•葫芦岛期中）已知函数()2sin f x x =，()g x x =，3(0,)2x π∈． （1）求函数()y f x =与()y g x =的图象的交点；（2）在同一坐标系中，画出()f x ，()g x 的草图，根据图象 ①写出满足()()f x g x >的实数x 的取值范围； ②写出这两个函数具有相同的单调区间．【分析】（1）令f （x ）＝g （x ）解出x 即为图象交点的横坐标；（2）做出函数图象，根据函数图象得出结论．【答案】解：（1）令f（x）＝g（x）得2sin x＝tan x＝，∴cos x＝，或sin x＝0，∵x∈（0，），∴x＝或x＝π．∵f（）＝1，f（π）＝0，∴f（x），g（x）的图象交点为（，1），（π，0）．（2）做出函数的图象如下：①由图象可知f（x）＞g（x）的实数x的取值范围是（0，）∪（，π）．②由图象可知f（x）在（0，）上具有相同的单调性．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．【变式3-3】画出函数|tan|tan=+的图象，并根据图象求出函数的主要性质．y x x【分析】根据函数y的解析式，画出函数y的图象，结合图形求出它的定义域、值域和单调性、周期性即可．【答案】解：∵y＝|tan x|+tan x＝，∴画出函数y＝|tan x|+tan x的图象，如图所示；则该函数的定义域是{x|x≠+kπ，k∈z}，值域是[0，+∞）， 单调递增区间是[k π，k π+），k ∈z ，最小正周期是π．【点睛】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是基础题目．【考点4 正切函数的奇偶性】【例4】判断函数tan sin y x x =-的奇偶性．【分析】求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断． 【答案】解：函数的定义域为{x |x ≠k π﹣，k ∈Z }定义域关于原点对称，则f （﹣x ）＝tan （﹣x ）﹣sin （﹣x ）＝﹣tan x +sin x ＝﹣（tan x ﹣sin x ）＝﹣f （x ）， 则函数y ＝tan x ﹣sin x 为奇函数．【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，求出函数的定义域以及利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．【变式4-1】已知2()sin tan f x x x =+，判断()f x 的奇偶性． 【分析】根据奇偶函数的定义，即可判断． 【答案】解：∵f （x ）＝sin 2x +tan x ，∴f （﹣x ）＝sin 2（﹣x ）+tan （﹣x ）＝sin 2x ﹣tan x ≠﹣f （x ），且f （﹣x ）≠f （x ）， 可得函数f （x ）是非奇非偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，正确运用奇偶函数的定义是关键． 【变式4-2】判断函数1()cos tan sin f x x x x=+的奇偶性． 【分析】先求得函数的定义域关于原点对称，再根据f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得函数f （x ）为奇函数． 【答案】解：由函数f （x ）＝cos x •tan x +＝sin x +，可得sin x ≠0，且cos x ≠0，求得x ≠k π，或x ≠k π+，k ∈z ，即x ≠，k ∈z ，∴故函数的定义域为{x |x ≠，k ∈z }，关于原点对称． 再根据f （﹣x ）＝﹣sin x +＝﹣（sin x +）＝﹣f （x ），可得函数f （x ）为奇函数．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题． 【变式4-3】试判断下列函数的奇偶性． （1）()12cos |tan |:f x x x =-+ （2）22()tan sin f x x x x =-．【分析】确定函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义，即可得出结论． 【答案】解：（1）函数的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，f （﹣x ）＝1﹣2cos （﹣x ）+|tan （﹣x ）|＝1﹣2cos x +|tan x |＝f （x ）， ∴函数是偶函数； （2）函数的定义域为{x |x ≠+k π，k ∈Z }，f （﹣x ）＝（﹣x ）2tan （﹣x ）﹣sin 2（﹣x ）＝﹣（x 2tan x ﹣sin 2x ）＝﹣f （x ）， ∴函数是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，正确运用函数的奇偶性的定义是关键． 【考点5 正切函数的对称中心】【例5】（2018春•铁东区校级期中）函数tan(2)3y x π=+的对称中心为 ．【分析】由2x +＝求得x 值，即可得到函数y ＝tan （2x +）﹣的对称中心．【答案】解：由2x +＝，可得x ＝，k ∈Z ．∴函数y ＝tan （2x +）﹣的对称中心为（，），k ∈Z ．故答案为：（，），k ∈Z ．【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求法，是基础的计算题．【变式5-1】（2018秋•闵行区校级月考）函数3tan(2)13y x π=+-的对称中心坐标是 ．【分析】根据正切函数y ＝tan x 的对称中心坐标为（，0），k ∈Z ，求出即可．【答案】解：函数y ＝3tan （2x +）﹣1中，令2x +＝，k ∈Z ，解得x ＝﹣，k ∈Z ； 所以函数y 的对称中心坐标为（﹣，﹣1），k ∈Z ．故答案为：（﹣，﹣1），k ∈Z ．【点睛】本题考查了正切型函数的对称中心应用问题，是基础题． 【变式5-2】（2018秋•如皋市校级月考）已知函数()tan()f x x ϕ=+，||2πϕ<的图象的一个对称中心为(,0)3π，则ϕ的值为 ． 【分析】由题意可得φ＝，k ∈Z ，结合φ的范围取k 值得答案．【答案】解：∵函数f （x ）＝tan （x +φ）的图象的一个对称中心为，∴φ＝，k ∈Z ， 则φ＝﹣，k ∈Z ． 又，取k ＝0，得φ＝；取k ＝1，得φ＝．∴φ的值为或． 故答案为：或．【点睛】本题考查正切函数的对称性，熟记正切函数的对称中心是关键，是基础题．【变式5-3】（2018秋•荆州区校级月考）函数tan(2)y x k θ=++图象的一个对称中心为(,1)6π-，其中(0,)2πθ∈，则点(,)k θ对应的坐标为 ．【分析】根据正切函数的对称性进行求解，建立方程求出θ与k 即可． 【答案】解：∵y ＝tan （2x +θ）+k 图象的一个对称中心为（），∴k ＝﹣1，由2×+θ＝得θ＝﹣，k ∈Z∵θ∈（0，），∴当k ＝1时，θ＝＝，则点（θ，k ）对应的坐标为（），故答案为：（）【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正切函数的对称性是解决本题的关键． 【考点6 正切函数的单调性及周期性】【例6】（2019春•丰城市校级期中）求3tan()64xy π=-的周期及单调区间．【分析】根据正切函数的周期公式直接求出函数的周期，利用正切函数的单调性直接求出y ＝3tan （﹣）的单调区间． 【答案】解：y ＝3tan （﹣）＝﹣3tan （﹣），∴T ＝＝4π，∴y ＝3tan （﹣）的周期为4π．由k π﹣＜﹣＜k π+，得4k π﹣＜x ＜4k π+（k ∈Z ），y ＝3tan （﹣）在（4k π﹣，4k π+）（k ∈Z ）内单调递增． ∴y ＝3tan （﹣）在（4k π﹣，4k π+）（k ∈Z ）内单调递减．【点睛】本题是基础题，考查正切函数的周期，单调区间的求法，牢记基本函数的单调性是解好函数单调区间的前提，记熟记牢才能得心应手． 【变式6-1】已知3tan 1y x ω=+在(3π-，)4π内是减函数，求ω的取值范围．【分析】由题意可得ω＜0，且≥，解不等式可得． 【答案】解：∵y ＝3tan ωx +1在（﹣，）内是减函数，∴ω＜0，且周期T ＝≥，解得≤ω＜0，∴ω的取值范围为[，0）【点睛】本题考查正切函数的单调性，属基础题． 【变式6-2】已知函数tan y x =在区间(3a π-，)2a π上单调递增，求a 的取值范围． 【分析】根据正切函数的单调性，结合函数y ＝tan x 在区间（﹣，）上单调递增，可得不等式，即可求a 的取值范围．【答案】解：∵函数y ＝tan x 在区间（﹣，）上单调递增，∴﹣≤﹣，≤，∵0＜a ≤1．【点睛】本题考查正切函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正切函数的单调性是关键．【变式6-3】已知函数()(0)xf x πωω> （1）当4ω=时，求()f x 的最小正周期及单调区间； （2）若|()|3f x 3≤在[,]34x ππ∈-上恒成立，求ω的取值范围．【分析】（1）当ω＝4时，根据正切函数的周期公式和单调性即可求f （x ）的最小正周期及单调区间； （2）根据|f （x ）|≤3在x ∈[﹣]上恒成立，建立了周期和最值之间的关系即可．【答案】解：（1）当ω＝4时，f （x ）＝tan，则f （x ）的最小正周期T ＝，由k π＜＜k π+，k ∈Z ，得4k ﹣2＜x ＜4k +2，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为（4k ﹣2，4k +2），k ∈Z ； （2）∵ω＞0， ∴函数f （x ）的周期T ＝，∴若|f （x ）|≤3在x ∈[﹣]上恒成立， 则f （x ）在x ∈[﹣]上为单调递增函数，满足＞﹣＝﹣，∴ω＞，∵|f（）|＞f（），此时满足f（﹣）≥﹣3，即f（﹣）＝tan（﹣×）≥﹣3，即tan（﹣×）≥﹣，则﹣×≥，则≤1，即ω≥π，综上ω≥π．【点睛】本题主要考查正切函数的周期和单调性的应用，综合考查正切函数的图象和性质．。

正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。

一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。

2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。

3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。

（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。

§1.4.3 《正切函数的图像与性质》教学设计一、教材分析《正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修二中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材的安排是先研究正切函数的性质，再根据性质来画出图像。

但是我对这节课进行了调整，先由正切线和正切函数部分性质来画出图像，再更加直观的研究正切函数的其他性质。

正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把问题留给学生思考，采用让学生自己选择周期，并比较得出最优区间，激发学生的思考能力。

二、教学目标 1．知识与技能体会类比方法在画正切函数图像发挥的作用，会画正切函数的草图。

通过图像观察性质，培养观察分析、归纳总结的能力。

在对性质进行归纳总结后，还要能对性质进行简单的应用。

2. 过程与方法 引导学生分析正切函数的周期性和在（2,2ππ-）的奇偶性，简化用正切线画正切函数图像的方法，让学生学会思考从本身函数性质入手简化问题，再反过来由图像归纳其性质的研究方法。

3. 情感态度与价值观在画图像过程中，感受其对称美。

三、教学重点与难点 1. 教学重点画正切函数的图像，归纳其性质，会简单应用性质。

2. 教学难点分析并用正切线画出正切函数的图像。

四、教学流程设计 （一）复习引入如何用正弦线作正弦函数图像的呢？引导学生用同样的方法作正切函数图像。

（二）探究用正切线作正切函数图像 师生活动：回顾：正切线的作法师生活动：分析：正切函数x y tan =是否为周期函数？（教师作适当引导，得出正切函数的最小正周期为π，大部分学生会认为是π2）学生活动：思考问题：先作正切函数哪个区间上的图像呢？（可以是()π,0吗？（图像会间断）引发学生思考）[设计意图] 引导学生用类比的思维方法得到先画出正切函数一个周期内的图像，并放手让学生自己去选择区间，从而自然地解释选择的最优区间为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ。

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

1.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的图象与性质思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．()k π，k π＋π，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈ZC [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．]2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z .]3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪－4＜x ＜4，且x ≠0的值域是( )A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域： ①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→求1tan x 的范围 (2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z .【例2】 (1)函数f (x )＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为________．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为________．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2.法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解] ①定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解](1)由⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ， 不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数．(2)函数定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上 →根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→解－π2＋k π＜2x －π4＜k π＋π2，k ∈Z →求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )．2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y ＝lg tan x 的单调递增区间就是函数y ＝tan x (tan x ＞0)的单调递增区间，令k π＜2x －π4＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2＋π8＜x ＜k π2＋3π8(k ∈Z )， 故y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π8，k π2＋3π8，k ∈Z .1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．提醒：y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)只有增区间；y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数在整个定义域上的图象叫正切曲线．正切曲线是由相互平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下无限接近相应的两条直线，且每支曲线都是单调递增的．2．正切函数的性质 (1)正切函数y ＝tan x的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间.1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x 2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.] 3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。