高中数学(北师大版)教学设计必修一2-2-3映射

2.3 映射两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：x→y.谈重点映射定义的理解(1)映射中的集合A和B是非空集合，它们可以是数集、点集或由图形组成的集合以及其他元素的集合．(2)映射是一种特殊的对应，其特殊性在于：集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，这种集合A中元素的任意性和集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心．对应关系常用图示或文字描述的方式来表达．(3)对应有“方向性”，即“从A到B的对应”与“从B到A的对应”一般是不同的，因此，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．(4)映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的像，即映射可以是“多对一”或“一对一”，但不能是“一对多”．(5)映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原像，也就是由像组成的集合C⊆B.【例1－1】给出下列四个对应，其中构成映射的是( )．A．(1)(2) BC．(1)(3)(4) D．(3)(4)解析：判断一个对应是否为映射，必须严格根据定义，观察A中每一个元素是否在B中都有唯一的元素与之对应．说明一种对应关系不是映射，只需找到一个反例即可．在(2)中，集合A中的元素3在集合B中没有元素与它对应；在(3)中，集合A中的元素2在集合B中有两个元素4和5与它对应，因此(2)和(3)不是映射，故选B.答案：B解技巧判断映射的技巧映射应满足存在性(即A中每一个元素在B中都有像)和唯一性(即像唯一)．所以，判断一个对应是否为映射，关键是看是否具备：①“一对一”或“多对一”；②A中元素都有像．【例1－2】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N＋，f：x→|x－3|；(2)A＝{x|x≥2，x∈N}，B＝{y|y≥1，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；(3)A＝R，B＝{0,1}，f：x→y＝10 00xx≥⎧⎨<⎩，，，；(4)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝(5)设A＝{矩形}，B＝{实数}，对应关系f为矩形到它的面积的对应；(6)设A＝{实数}，B＝{正实数}，对应关系f为x→1||x.解：(1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3按对应关系f，在B中没有元素和它对应，故(1)不是映射．(2)∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，对任意的x，总有y≥1.又当x∈N时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.∴当x ∈A 时，x 2－2x ＋2∈B .∴对A 中每一个元素x ，在B 中都有唯一的y 与之对应，故(2)是映射．(3)按照对应关系f ，在A 中任意一个非负数，在B 中都有唯一的数1与之对应；在A 中任意一个负数，在B 中都有唯一的数0与之对应，故(3)是映射．(4)对任意的x ∈A ＝{x |x ＞0}，按对应法则f ：x →y＝，存在两个y ∈B ＝{y |y ∈R }，即y =y =与之对应，故(4)不是映射．(5)∵对每一个矩形，它的面积是唯一确定的，∴对于集合A 中的每一个矩形，B 中都有唯一的实数与之对应，故(5)是映射．(6)∵实数0的绝对值还是0，其没有倒数，∴对于A 中的实数0，B 中没有元素与之对应，故(6)不是映射．2．一一映射的概念若从A 到B 的映射满足下列条件：①A 中每一个元素在B 中都有唯一的像与之对应；②A 中的不同元素的像也不同；③B 中的每一个元素都有原像．就称此映射为一一映射．有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作一一对应．映射造出多少个映射？其中有多少个一一映射？分析：可根据映射的定义，构造从集合A 到集合B 的映射，即让A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应．从集合A 到集合B 的映射，若对应关系不同，则所得到的映射不同．最后依据一一映射的概念从中数出一一映射的个数．解：从集合A 到集合B 可构造如下映射(其中的对应关系用箭头表示)：(3)，A 到集合B 能构造出4个映射，其中有2个一一映射．【例2－2】若M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤1}，下列对应关系f ：x →y 是从M 到N 的一一映射的是( )．A ．12y x =B ．13y x = C ．212y x = D ．y ＝(x －1)2 解析：一一映射首先是映射，其次是A 中的不同元素在B 中的像不同，且B 中的每一个元素在A 中都有原像，只有满足这三个条件的对应关系，才是从A 到B 的一一映射．在选项A 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤1，对于集合M 中的每一个元素在N 中都有唯一的像与之对应，且M 中的不同元素的像也不同，N 中的每个元素都有原像，符合一一映射的三个条件；在选项B 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤23，所以集合N 中的元素y ∈213y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭在M 中没有原像；在选项C 中，当0≤x ≤2时，0≤y ≤2，所以集合M 中的元素x ∈{x x ≤2}在N 中没有像；在选项D 中，当x ＝0和2时，都有y ＝1，所以集合M 中的不同元素的像可能相同，故选A.(1)函数包括三要素：定义域、值域、两者之间的对应关系；映射包括三要素：非空集合A 、非空集合B 以及A ，B 之间的对应关系．(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个非空集合中的元素为任意元素，如人、物、命题等都可以．(3)在函数中，对定义域中的每一个数x ，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应，在映射中，对集合A 中的任意元素a 在集合B 中都有唯一确定的像b 和它对应．(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对应；在映射中，对于集合B 中的任一元素b ，在集合A 中不一定有原像．(5)函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射．函数概念可以叙述为：设A ，B 是两个非空数集，f 是A 到B 的一个映射，那么映射f ：A →B 就叫作A 到B 的函数．在函数中，原像的集合称为定义域，像的集合称为值域．(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝11x +；(2)A ＝{三角形}，B ＝{圆}，f ：三角形的内切圆； (3)A ＝R ，B ＝{1}，f ：x →y ＝1；(4)A ＝[－1,1]，B ＝[－1,1]，f ：x →x 2＋y 2＝1.分析：映射是一种特殊的对应，函数是一种特殊的映射，判断两个集合间的对应关系是否为函数时，只需把握两点：一、两个集合是否都是非空数集；二、对应关系是否为映射．解：(1)当x ＝－1时，y 的值不存在，所以不是映射，更不是函数．(2)由于A ，B 不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A 到B 的映射．(3)A 中的每一个数都与B 中的数1对应，因此，(3)是A 到B 的函数，也是A 到B 的映射．(4)取x ＝0，则由x 2＋y 2＝1，得y ＝±1，即A 中的一个元素0与B 中的两个元素±1对应，因此(4)不是A 到B 的映射，也不是从A 到B 的函数．警误区 关系式x ＝1是函数吗？有的同学问：关系式y ＝1是y 关于x 的函数，那么关系式x ＝1是y 关于x 的函数吗？函数是一种特殊的映射，是非空数集间的一种映射．对于关系式x＝1，显然有x∈{1}，y∈R，则1与全体实数建立对应关系，不符合函数的定义，因此，“x＝1”不是y关于x的函数．4．像与原像的求解问题(1)对于一个从集合A到集合B的映射f而言，A中的每个元素x，在f的作用下，在B 中都对应着唯一的元素y，则y称为像，而x叫原像．(2)对于给出原像求像的问题，只需将原像代入对应关系式中，即可求出像．对于给出像求原像的问题，可先设出原像，再代入对应关系式中得到像，而它与已知的像是同一个元素，从而求出原像；也可根据对应关系式，由像逆推出原像．解答此类问题，关键是：①分清原像和像；②搞清楚由原像到像的对应关系．例如：已知M＝{自然数}，P＝{正奇数}，映射f：a(a∈M)→b＝2a－1(b∈P)．则在映射f下，M中的元素11对应着P中的元素________；P中的元素11对应着M中的元素________．∵2×11－1＝21，∴M中的元素11对应着P中的元素21.由2a－1＝11，得a＝6，∴P中的元素11对应着M中的元素6.【例4－1】已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若4和10的原像分别对应6和9，则19在f作用下的像为( )．A．18 B．30 C．272D．28解析：由题意，可知64,910,a ba b+=⎧⎨+=⎩解得a＝2，b＝－8，∴对应关系为y＝2x－8.故19在f作用下的像是y＝2×19－8＝30.答案：B【例4－2】已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(3x－2y ＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的像；(2)求B中元素(1,2)的原像．分析：解答(1)可利用x＝1，y＝2代入对应关系求出3x－2y＋1与4x＋3y－1的值便可，解答(2)可利用方程的观点解方程组321=1431=2x yx y-+⎧⎨+-⎩，，求出x，y的值便可．解：(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9，故A中元素(1,2)的像为(0,9)．(2)令32114312x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，，得6,179.17xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故B中元素(1,2)的原像是69, 1717⎛⎫ ⎪.(1)一般地，若集合A中含有m个元素，集合B中含有n个元素，则从A到B的映射有n m 个，从B到A的映射有m n个．例如：求集合A＝{a，b，c}到集合B＝{－1,1}的映射的个数．按照映射的定义，A中元素可都对应B中同一个元素，即a→－1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→1，共有2个不同的映射；A中元素也可对应B中两个元素，即a→－1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→－1或a→1，b→1，c→－1或a→1，b→－1，c→1或a→－1，b→1，c→1，共有6个不同的映射，综上可知，从A到B的映射共有2＋6＝8＝23个．以后可以根据两个集合中元素的个数直接计算映射的个数．(2)计算满足某些特定要求的映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如用列表法、图像法、数形结合等)．例如，设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，若从M到N的映射f满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求这样的映射f的个数．要确定映射f，则只需要确定M中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)，f(b)，f(c)的值．而f(a)，f(b)，f(c)∈{－1,0,1}，还满足f(a)＋f(b)＝f(c)，因此要确定这样的映射f的个数，则只需要确定由－1,0,1能组成多少个等式( )＋( )＝( )．注意到映射不要求N f(c)的取值情况表示出来．【例5－1】集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有________个．解析：由于f(3)＝3，因此只需考虑剩下的两个元素1和2的像的问题，总共有如图所示的4种可能(也可直接利用公式得到这样的映射共有22＝4个)．答案：4【例5－2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，从A到B建立映射f，使f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，则满足条件的映射共有________个．解析：要确定映射f，则只需确定A中的每个元素对应的像即可，即确定f(a)， f(b)，f(c)的值，而f(a)，f(b)，f(c)∈{1,2}，还满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，所以f(a)，f(b)，f(c)中有一个是2，另两个是3个．答案：3【例5－3】设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的映射的个数为________，从集合A到集合B的一一映射的个数为________．解析：因为集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，所以从集合A到集合B的映射有33＝27个．其中A到B的一一映射有下面6种情形．答案：27 6。

1、2、2、3映射学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、要求学生理解映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”；2、映射由三个部分组成：集合A,集合B及对应法则f，称为映射的三要素；3、会利用映射的定义解决一些简单的问题.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，自学教材22页内容，回答问题（映射）材料：给出以下对应关系如右：<1>这三个对应关系有什么共同特点？<2>像材料中的对应我们称为映射，请你结合教材给出映射的定义；映射定义中的“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？<3>你能举出几个生活中映射的例子吗？结论：<1>①都有三部分组成：A、B、f；②集合A、B均为非空集合；③集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；<2>一般地，设A、B是两个的集合,如果按某一个确定的，使对于集合A中的，在集合B中都有的y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.记作“”；“都有唯一”包含两层意思：一是，二是，也就是说有且只有一个的意思，即是或；函数是特殊的映射，映射是函数的推广.三、【练习与巩固】1、自学教材第22页例7，然后完成练习一练习一：<1>你能理解例7中的解题思路吗？试述之；<2>图(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？2、根据今天所学知识，然后完成练习二练习二：设f：A→B是A到B的映射，其中A→B={(x,y)|x,y∈R}，f:(x,y)→(x-y，x+y)，求：(1)A中元素(-1，2)在B中对应的元素；(2)在A中什么元素与B中元素(-1，2)对应？四、【课堂作业】1、必做题：教材第23页练习4；2、选做题：教材第24页习题1.2A组第10题.1、2、2、3映射学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、要求学生理解映射的对应是一种特殊的对应，元素之间的对应必须满足“一对一或多对一”；2、映射由三个部分组成：集合A,集合B及对应法则f，称为映射的三要素；3、会利用映射的定义解决一些简单的问题.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生明确本节课的任务，从而能激发学生学习的兴趣.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读材料，自学教材22页内容，回答问题（映射）材料：给出以下对应关系如右：<1>这三个对应关系有什么共同特点？<2>像材料中的对应我们称为映射，请你结合教材给出映射的定义；映射定义中的“都有唯一”是什么意思？函数与映射有什么关系？<3>你能举出几个生活中映射的例子吗？结论：<1>①都有三部分组成：A、B、f；②集合A、B均为非空集合；③集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素与之对应；<2>一般地，设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f：A→B”；“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思，即是一对一或多对一；函数是特殊的映射，映射是函数的推广.【教学效果】：通过举例学习，学生能分辨出哪一些是映射，哪一些不是映射，达到了教学目标.需要注意的是，讲解的时候举反例是必要的.三、【练习与巩固】1、自学教材第22页例7，然后完成练习一练习一：<1>你能理解例7中的解题思路吗？试述之；<2>图(1)，(2)，(3)，(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映射？2、根据今天所学知识，然后完成练习二练习二：设f：A→B是A到B的映射，其中A→B={(x,y)|x,y∈R}，f:(x,y)→(x-y，x+y)，求：(1)A中元素(-1，2)在B中对应的元素；(2)在A中什么元素与B中元素(-1，2)对应？【教学效果】：学生们都能顺利的完成练习一，练习二需老师讲解.四、【课堂作业】1、必做题：教材第23页练习4；2、选做题：教材第24页习题1.2A组第10题.五、【小结】这节课主要学习的是映射.映射在高考中的要求不是很高，了解定义，理解函数是特殊的映射即可.学习完之后要达到能分辨出哪些是映射，哪些不是映射.哪些是函数，哪些不是函数.六、【反思】这节课符号比较多，学生学习起来比较艰涩，课前要引导学生做好预习.。

第一章预备知识第二节常用逻辑用语2.1必要条件和充分条件常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.本节的内容包括必要条件、充分条件、充要条件，通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．一．教学目标：1、理解必要条件，充分条件，充要条件的概念，2、能够判断命题之间的充分必要关系二. 核心素养1.数学抽象：必要条件，充分条件，充要条件概念抽象概括2.逻辑推理：本节内容依初中所学的定理，研究条件和结论的关系，引出本节知识点，从而体现数学知识的连贯性和逻辑性3. 数学运算：判断命题之间的充分必要关系；利用充分必要关系求参数4.直观想象：讲解本节知识，利用初中所学过的定理，分析它们条件与结论的关系，从而引出抽象概述了充分，必要的概念，这种教学方式让学生更能直接的理解一个命题中，条件与结论的关系5. 数学建模：常用逻辑用语是逻辑思维的基本语言，是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具.，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．重点：充分条件、必要条件的概念．难点：判断命题的充分条件、必要条件。

PPT一：必要条件与性质定理（1）知识引入定理1菱形的对角线互相垂直,即如果四边形为菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直.定理1是菱形的性质定理，即对角线互相垂直是菱形必有的性质.也就是说，如果能确定四边形为菱形,那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直，而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形.思考交流：试用上面的方法分析定理2，定理3定理2如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.定理3如果两个三角形是全等三角形,那么这两个三角形的对应角相等.（2）必要条件的概述：一般地，当命题“若p,则q”是真命题时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q 不成立,p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的.例如,在定理1中，“四边形的对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件.例1:将下面的性质定理写成“若p则q”的形式，并用必要条件的语言表述：(1) 平面四边形的外角和是360°；(2) 在平面直角坐标系中,关于(轴对称的两个点的横坐标相同.解(1) “平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”,所以“外角和为360°”是“平面多边形为四边形”的必要条件；(2)“在平面直角坐标系中，关于(轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“若平面直角坐标系中的两个点关于(轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于(轴对称”的必要条件.二．充分条件与性质判断(1)知识引入定理 4 若a>0, b>0,则ab>0.定理4是说:如果满足了条件a>0, b>0”,一定有结论ab>0. ,但要注意，使得ab>0的条件不唯一，例如，由a<0,b<0,也可以判定ab>0.实际上，定理4告诉我们：只要有了a>0,b>0"这个条件，就可以判定a b>0”.思考交流：试用上面的方法分析定理5，定理6定理5对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理6平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.（2）充分条件概述一般地，当命题“若p则q”是真命题时，称p是q的充分条件.综上，对于真命题“若p,则q”，即p q时，称q是p的必要条件，也称p是q的充分条件例2:用充分条件的语言表述下面的命题：(1) 若a=-b，则|a|=|b|(2) 若点C是线段AB的中点，则|AC|=|BC|(3) 当ac<0时,一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根.解( 1) “a = —b"是"|a|=|b|"的充分条件；（2）“点C是线段AB的中点”是“ | AC | =| BC|的充分条件；（3）“a c<0”是“一元二次方程ax2十bx十c = 0有两个不相等的实数根”的充分条件.三. 充要条件（1）知识引入勾股定理如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的逆定理如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

北师大版高中数学目录第一篇：北师大版高中数学目录北师大版高中数学教材分为必修一、二、三和选修一、二五个部分。

主要内容涵盖了初高中数学的基础知识和一些高中数学的重点、难点内容。

下面，我们就来一一梳理一下各个部分的内容。

必修一：函数与二次函数、立体几何这部分内容主要包括函数与二次函数的概念、性质和应用，以及立体几何的基础知识。

其中，函数与二次函数的学习是高中数学的重点之一，对学生系统化掌握高中数学至关重要。

必修二：三角函数、微积分基础、解析几何这部分内容主要包括三角函数的概念、性质和应用，微积分基础知识以及解析几何的学习。

在学习过程中，学生需要较强的数学思维能力和操作能力才能顺利掌握这些知识点。

必修三：数学分析、概率统计这部分内容主要包括数学分析的基础知识和方法，涉及到极限、导数、积分等概念和应用。

还包括概率统计的概念、方法和应用，帮助学生全面了解统计学的概念和实际应用。

选修一：数学分项赛、复变函数这部分内容主要针对学生未来的学习和发展方向进行内容设置，主要包括数学分项赛的相关知识和复变函数的学习。

让学生能够更加深入地了解主观题的解答方法和复杂函数的理论知识。

选修二：线性代数、数学建模、数学交叉问题这部分内容主要包括线性代数的基础知识和应用、数学建模的理论和实践、以及数学交叉问题的探索。

帮助学生成为数学领域的专家，培养创新思维和实践能力。

第二篇：北师大版高中数学教材的教学特点北师大版高中数学教材的教学特点主要有以下几个方面：1. 突出基础知识的普及与应用：北师大版高中数学教材在讲解概念、性质和定理时，注重基础知识的普及，力求让每个学生都能掌握并掌握好。

同样，对于知识点的应用，教材也尽量贴近生活实际，让学生能够很好地理解和应用。

2. 强调实用性：北师大版高中数学教材在讲解实际问题时，强调实用性，引导学生学会应用数学知识去解决实际问题。

同时在对一些数学理论进行讲解时，也会注重实际应用，让学生看到理论知识与实践的重要联系。

高中数学北师大版必修一：2.2.3《映射》双基达标+综合提高1．已知集合M ＝{x |0≤x ≤6}，P ＝{y |0≤y ≤3}，则下列对应关系中不能看作从M 到P 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x解析 选项C 中，集合M 中元素6没有像，不是映射． 答案 C2．已知集合A ＝N ＋，B ＝{a |a ＝2n －1，n ∈Z }，映射f ：A →B ，使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是( )． A ．3 B ．5 C ．17 D ．9解析 利用对应法则转化为解方程．由题意，得2a －1＝17，解得a ＝9. 答案 D3．定义在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则y ＝f (x ＋1)的值域为( )． A ．[a ，b ]B ．[a ＋1，b ＋1]C ．[a －1，b －1]D ．无法确定解析 将函数y ＝f (x )的图像向左平移一个单位得函数y ＝f (x ＋1)的图像，由于定义域均是R ，则这两个函数图像上点的纵坐标的取值范围相同，所以y ＝f (x ＋1)的值域也是[a ，b ]．故选择A. 答案 A4．设集合A 和B 都是自然数集，映射f ：A →B 把A 中的元素n 映射到B 中的元素2n＋n ，则在映射f 下，A 中的元素________对应B 中的元素3.解析 对应法则为f ：n →2n ＋n ，根据题意2n＋n ＝3，可得n ＝1. 答案 15．已知：A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，从A 到B 建立映射f ，使f (a )＋f (b )＋f (c )＝4，则满足条件的映射共有________个．解析 ∵B ＝{1,2}，f (a )＋f (b )＋f (c )＝4， ∴f (a )，f (b )，f (c )当中有一个取2，另两个取1. ∴只有3种对应方法． 答案 36．A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x 、y ∈R }，f ：A →B ，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)． (1)求A 中元素2的像；(2)B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原像． 解 (1)x ＝2时，x ＋1＝2＋1，x 2＋1＝3， ∴2的像是(2＋1,3)．(2)设B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原像为x ， 则⎩⎪⎨⎪⎧32＝x ＋1，54＝x 2＋1，得x ＝12.∴B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54的原像为12. 综合提高限时25分钟7．下列对应是从集合S 到T 的映射的是( )． A ．S ＝N ，T ＝{－1,1}，对应法则是(－1)n，n ∈SB ．S ＝{0,1,4,9}，T ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，对应法则是开平方C ．S ＝{0,1,2,5}，T ＝{1，12，15}，对应法则是取倒数D ．S ＝{x |x ∈R }，T ＝{y |y ∈R }，对应法则是x →y ＝1＋x1－x解析 判断映射方法简单地说应考虑A 中的元素是否都可以受f 作用，作用的结果是否一定在B 中，作用的结果是否唯一这三个方面．很明显A 符合定义；B 是一对多的对应；C 命题中的元素0没有像；D 命题集合S 中的元素1也无像． 答案 A8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)： 表1 映射f 的对应法则原像 1 2 3 4 像3421表2 映射g 的对应法则原像 1 2 3 4 像4312则与f [g (1)]相同的是( )A ．g [f (1)] B ．g [f (2)] C ．g [f (3)] D ．g [f (4)]解析 f (a )表示在对应法则f 下a 对应的像，g (a )表示在对应法则g 下a 对应的像． 由表1和表2，得f [g (1)]＝f (4)＝1，g [f (1)]＝g (3)＝1，g [f (2)]＝g (4)＝2，g [f (3)]＝g (2)＝3，g [f (4)]＝g (1)＝4，则有f [g (1)]＝g [f (1)]＝1.答案 A9．已知集合M ＝{a ，b ，c ，d }，P ＝{x ，y ，z }，则从M 到P 能建立不同映射的个数是________． 解析 集合M 中有4个元素，集合P 中有3个元素，则从M 到P 能建立34＝81个不同的映射． 答案 8110．已知(x ，y )在映射f 作用下的像是(x ＋y ，xy )，则(3,4)的像为________，(1，－6)的原像为________．解析 根据条件可知x ＝3，y ＝4，则x ＋y ＝3＋4＝7，xy ＝3×4＝12，所以(3,4)的像为(7,12)；设(1，－6)的原像为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.所以(1，－6)的原像为(－2,3)或(3，－2)． 答案 (7,12) (－2,3)或(3，－2)11．已知集合A ＝{1,2,3，k}，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，且a ∈N ，k ∈N ，x ∈A ，y ∈B ，映射f ：A →B ，使B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，求a 及k 的值．解 ∵B 中元素y ＝3x ＋1和A 中元素x 对应，∴A 中元素1的像是4；2的像是7；3的像是10，即a 4＝10或a 2＋3a ＝10. ∵a ∈N ，∴由a 2＋3a ＝10，得a ＝2. ∵k 的像是a 4，∴3k ＋1＝16，得k ＝5.∴a ＝2，k ＝5.12．(创新拓展)已知集合A ＝{x |(x －1)(x 2＋3x －4)＝0}，集合B ＝{a ，a ＋5，a 2－2a －5}，映射f ：A →B 是“加2”，求实数a 的值，并判断映射f ：A →B 是不是一一映射？ 解 ∵(x －1)(x 2＋3x －4)＝0，∴x 1＝x 2＝1，x 3＝－4， ∴集合A ＝{1，－4}，∵映射f ：A →B 是“加2”， ∴1＋2＝3∈B ，－4＋2＝－2∈B .①当a ＝3时，a ＋5＝8，a 2－2a －5＝－2， ∴B ＝{3，－2,8}．此时8无原像，∴f ：A →B 不是一一映射． ②当a ＝－2时，a ＋5＝3，a 2－2a －5＝3. ∴B ＝{－2,3}，与B 有三个元素矛盾，∴a ≠－2. ③当a ＋5＝－2时，a ＝－7，a 2－2a －5＝58， ∴B ＝{7，－2,58}，与3∈B 矛盾，∴a ≠－7. ④当a 2－2a －5＝－2时，a 1＝3，a 2＝－1.当a＝3时，B＝{3，－2,8}；当a＝－1时，a＋5＝4，B＝{－2，－1,4}，与3∈B矛盾，则a≠－1. ∴a＝3，B＝{－2,3,8}，映射f：A→B不是一一映射．。

《指数幂的拓展》教学设计教学设计一、新课导入请同学们回顾复习整数指数幂的定义，并填写下面结果： （1）n a =________________；（2）0a =_____________________(0)a ≠； （3）n a -=____________()0,a n +≠∈N .思考：薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草凋零经测算，薇甘菊的侵害面积S （单位：2hm ）与年数t 满足关系式01.057t S S =⋅，其中S （单位：2hm ）为侵害面积的初始值.根据上述关系式，可以计算出10年后薇甘菊的侵害面积是10201.057hm S ⋅，其中101.057是整数指数幂的形式那么经过15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少？如何表示？这就给我们提出问题：3121.057具有实际意义，那么指数是分数时，指数幂的意义是什么？设计意图：通过举实例引入新课，将数学问题和实际生活紧密结合，从形象到抽象，培养学生数学抽象的学科素养.二、新知探究 1.正分数指数幂.若已知327a =，则3a =，我们也可以用分数指数幂表示为13273a ==. 正分数指数幂：给定正数a 和正整数m ，n （1n >，且m ，n 互素），若存在唯一的正数b ，使得n m b a =，则称b 为a 的mn次幂，记作mn b a =.这就是正分数指数幂.例如，327b =，则237b =.注：我们也把m nam na = 教师讲解例题：例1、把下列各式中的正数b 写成正分数指数幂的形式： （1）520b =；（2）452b =；（3）()3,n m b m n +=∈N ； （4）()39,n m b m n π+=∈N .解：（1）1520b =；（2）542b =；（3）3m n b =；（4）3m nb π=.练习1 把下列各式中的正数x 写成正分数指数幂的形式： （1）564x =；（2）()2345n x n +=∈N .请两名学生到黑板上做练习1，其他学生在练习本上做，然后教师评价. 答案：（1）1564x =；（2）3245nx =. 例2 计算：（1）1327；324.解：（1）因为3327=，所以13273=. （2）因为3248=，所以3248=. 练习2 计算：（1）1532；（2）2327.请两名学生到黑板上做练习2，其他学生在练习本上做，然后教师评价. 答案：（1）15322=；（2）23279=.设计意图：介绍完概念紧跟例题，通过讲解例题，介绍做题方法并加以练习，使学生能够在熟悉的数学情境中了解运算对象，提出运算问题，提高学生的数学运算能力.2.负分数指数幂.请同学们回顾负整数指数幂的定义，能否类似地引入负分数指数幂呢？ 给定正数a 和正整数m ，n （1n >，且m ，n互素），定义1mnm na a-==.通过小组讨论，学生们各抒己见，教师总结.说明：（1）规定了分数指数幂的意义后，指数幂中的指数就从整数推广到了有理数当我们把正整数指数幂推广到有理数指数幂m na 或m na -（1n >，且m ，n互素）时，对底数a 应有所限制，即0a >.（2）对于每一个有理数我们都定义了一个有理数指数与它对应，这样就可以把整数指数函数扩展到有理数指数函数，得到一个定义在有理数集上的指数函数.（3）特殊地，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 例3、把下列各式中的正数b 写为负分数指数幂的形式： （1）532b -=；（2）453b -=；（3）()52,m n b m n π-+=∈N . 解：（1）1532b -=；（2）543b -=；（3）25n mb π-=.练习3 教材第76页练习第1题.请三名学生到黑板上做练习3，其他学生在练习本上做，然后教师评价. 答案：（1）1332b -=；（2）343b -=；（3）32m nb π-=.例4、计算：（1）138-；（2）2327-. 解：（1）因为328=，所以131311828-==. （2）因为23279=，所以23231127927-==. 设计意图：设计小组讨论，让学生自主研究负分数指数幂的定义和归纳分数指数幂的定义，了解熟悉的定理、概念之间的逻辑关系，提升学生的逻辑推理能力.3.无理数指数幂.思考交流：请同学们阅读教材第75页至第76页并回答问题：指数幂中的指数拓展到全体实数后有意义吗？活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容：的方向另一方面从小于的方向.②对表格的观察一方面从上往下看，另一方面从左向右看，注意其关联. ③上述方法实际上是无限接近，最后是逼近. ④对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释. ⑤在③④的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般. 无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂a α（0a >，α是正无理数）是一个确定的实数. 也就是说，无理数可以作为指数，并且指数幂的结果是一个实数，这样指数幂中的指数范围又一次得到推广在数的拓展过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数，我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂拓展到了实数指数幂.说明：（1）正整数指数幂→负整数指数幂→整数指数幂→正分数指数幂→负分数指数幂→分数指数幂→无理数指数幂一实数指数幂.（2）若nmb a =，则我们把b 叫作a 的mn一次幂，记作m n b a =,且mn a =（3）一般地，给定正数a ，对于任意的正无理数α，有1a aαα-=. 这样，指数幂中指数的范围就扩大到了全体实数. 通过上面的论述，我们知道：（1）给定一个正数a ，对任意实数α，指数幂a α都大于0； （2）0的任意正实数指数幂都等于0；（3）0的零指数幂没有意义，任意负实数指数幂我们暂不研究. 三、课堂小结 师生共同回顾总结： 1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的计算. 3.无理数指数幂的概念. 四、布置作业教材第77页习题31-A 组第2题，B 组第1题.板书设计教学研讨本案例的教学设计很好地体现了新课标的要求，知识的形成体现了由具体到一般的过程，培养和提升了学生的数学抽象、数学运算的数学学科素养在例题和习题的设计上，体现了以教师为主导，学生为主体的教学理念，培养了学生自主学习、自主探究的能力结合题目及时总结、归纳解题思路方法，培养学生归纳总结概括能力在内容的处理上，也可以尝试先让学生阅读教材，分组学习或自主学习，发现问题，提出问题，解决问题，然后进行总结归纳提升的方式，这对学生的学习能力有较高要求，对教师驾驭课堂的能力也有较高要求，比如，如何引导学生提出有价值的问题，如何利用好这些问题等，也可以尝试教师先提出问题，让学生带着问题去阅读教材，阅读教材后分组讨论解决问题，然后总结归纳提升.。

【教学设计】2.2.3 一元二次不等式的解法本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节“2.2.3一元二次不等式的解法”的第1课时。

新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。

一、课标要求二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难点）1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方法的得出和应用方法三个方面的内容。

把教材中的引例生成情境，这样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。

2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。

因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。

此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突破。

教学重点：1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

因此它是本节课的重点内容。

教学难点：等比数列前n项和公式的推导。

【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元二次方程的解法进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．因此它是本节课的难点内容。

3．1 交集、并集一、教材的地位与作用本节通过实例，使学生掌握集合之间的两种运算——交和并。

集合作为一种数学语言，在后续的学习中是一种重要的工具。

因此，在教学过程中要针对具体问题，引导学生恰当使用自然语言、图形语言和集合语言来描述相应的数学内容。

有了集合的语言，可以更清晰的表达我们的思想。

所以，集合是整个数学的基础，在以后的学习中有着极为广泛的应用。

二、教学目标：1. 知识与技能:（1）理解交集与并集的概念；(2)理解“或”、“且”的含义,掌握交集、并集运算.2.过程与方法:①会用符号语言表示交集、并集;②掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集与并集；③逐步学会数形结合法.3.情感态度与价值观:通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯。

三、教学重难点教学重点：交集和并集的概念.教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别.学情分析：学习对象为高一新生，高一学生虽然在智力等各方面都有较之初中的发展，但毕竟刚刚由初中阶段上升而来，对于新的知识朦胧性较大，虽然集合的思想在小学以及初中就有了渗透，但是由于学生之间知识的差异层次较大，再者，一个概念的引入，如想较理性的认识还得靠深入的学习和多一些的训练。

学习习惯：高中级学生经过多年的学习，已经有了自己初级的学习习惯和方法，我们可以充分调动他们的积极性，并且适当帮助他们调整学习方法中的不妥之处。

四、教法学法与教具教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质，采用如下的教学方法：(1)类比发现法。

通过让学生类比实数加法运算引入集合间的运算。

(2)图示法。

利用Venn图和数轴让学生理解集合的交与并。

教具：多媒体.五、教学过程：一、创设情景：1、观察集合A,B,C元素间的关系:A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={5，8}2、观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，C={3，4，5，6，7，8}师：请观察1中A、B、C三个集合的元素，你能发现什么？生：集合C的元素是集合A、B的公共元素.师：请观察2中A、B、D三个集合的元素，你能发现什么？生：集合A与集合B中的元素都是集合D中的元素.师: 我们把集合C叫做集合A与B的交集，把集合D叫做集合A与B的并集这是这节课我们要学习的两个重要概念.二、讲解新课：名称交集并集文字语言一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．记法A B（读作“A交B”）A B（读作“A并B”）符号语言A B=｛x|x∈A，且x∈B｝A B ={x|x∈A，或x∈B}图形语言（一般情形）引导学生自主对交集和并集进行概念的类比、内涵类比、外延类比，重点讲清“且”与“或”的区别与联系，为分析问题、解决问题的实际应用中能迅速、准确地决定取“交”还是取“并”扫清障碍。