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人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节主要讲述了圆中垂直于弦的直径的性质。
通过这一节的学习，学生能够理解并掌握垂直于弦的直径的性质，并能运用这一性质解决相关问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的基本概念和性质有所了解。
但是，对于圆中垂直于弦的直径的性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步探究和理解新知识。
三. 教学目标1.理解并掌握圆中垂直于弦的直径的性质。
2.能够运用垂直于弦的直径的性质解决相关问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质。
2.如何运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考和讨论，让学生自主发现和理解垂直于弦的直径的性质。
2.例题讲解法：通过讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备典型例题和练习题。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过回顾圆的基本性质和概念，引导学生进入新的学习内容。
2.呈现（10分钟）展示圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生观察和思考。
3.操练（15分钟）讲解典型例题，让学生掌握运用垂直于弦的直径的性质解决问题的方法。
4.巩固（10分钟）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）通过解决实际问题，让学生运用所学知识解决实际问题。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，引导学生理解垂直于弦的直径的性质。
7.家庭作业（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）板书本节课的主要内容和重点。
人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节的内容，是在学生已经掌握了垂径定理和圆周角定理的基础上进行教学的。
本节课主要让学生了解并证明圆中垂直于弦的直径的性质，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这一性质在解决圆的相关问题中有着重要的作用。
教材通过引导学生观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的相关知识有一定的了解。
但是，对于证明圆中垂直于弦的直径的性质，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，采取适当的教学策略，引导学生克服困难，掌握这一性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆中垂直于弦的直径的性质，能够运用这一性质解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的美妙。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆中垂直于弦的直径的性质。
2.教学难点：证明圆中垂直于弦的直径的性质。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、圆规、直尺等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习垂径定理和圆周角定理，引出本节课的内容——圆中垂直于弦的直径的性质。
2.探究新知：引导学生观察、思考、探索，发现垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
3.证明性质：分组讨论，每组选择一种证明方法，证明圆中垂直于弦的直径的性质。
4.应用拓展：出示相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。
5.课堂小结：回顾本节课所学内容，总结垂直于弦的直径的性质及证明方法。
6.布置作业：布置适量作业，巩固所学知识。
人教版 数学 九年级 上册你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新知3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.素养目标 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 圆的轴对称性知识点 1（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.●O说一说（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？BOACDE 是轴对称图形．大胆猜想 已知：在⊙O 中，CD 是直径， AB 是弦， CD ⊥AB ，垂足为E ．【思考】左图是轴对称图形吗？满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？证明：连结OA 、OB .则OA ＝OB ．又∵CD ⊥AB ，∴直径CD 所在的直线是AB 的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD 的对称点，即⊙O 关于直线CD 对称.BOACDE 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.如图，AB 是⊙O 的一条弦, 直径CD ⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?线段: AE =BE弧: AC=BC, AD=BD ⌒⌒⌒⌒理由：把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点A 与点B 重合，AE 与BE 重合，AC 和BC ,AD 与BD 重合．⌒⌒⌒⌒·O A BDEC垂径定理及其推论知识点 2u 垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵ CD 是直径，CD ⊥AB ，∴ AE =BE ,⌒⌒ AC =BC ,⌒⌒AD =BD .u 推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD 没有过圆心ABOCDE OABCAB D COE ABOECØ垂径定理的几个基本图形：ABOCDE ABOED ABOCABOD C归纳总结【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？一条直线过圆心垂直于弦平分弦平分线所对的优弧平分弦所对的劣弧具备其中两条其余三条成立DOABE C举例证明其中一种组合方法.已知:求证：① CD 是直径② CD ⊥AB ，垂足为E③ AE =BE④ AC =BC ⑤ AD=BD⌒⌒⌒⌒证明猜想如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使AE=BE.（1）CD ⊥AB 吗？为什么？（2）（2）由垂径定理可得AC =BC ， AD =BD.⌒⌒⌒⌒（1）连接AO,BO ,则AO =BO ,又AE =BE ， OE =OE∴△AOE ≌△BOE （SSS ），∴∠AEO =∠BEO=90°，∴CD ⊥AB .证明举例⌒AC 与BC 相等吗？ AD 与BD 相等吗？为什么？⌒⌒⌒DO ABE C证明：思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.u 垂径定理的推论·OABC DØ特别说明：圆的两条直径是互相平分的.归纳总结例1 如图，OE ⊥AB 于E ，若⊙O 的半径为10cm ,OE =6cm ,则AB = cm .·OABE 解析：连接OA ，∵ OE ⊥AB ，∴ AB =2AE =16cm .16∴22221068AE OA OE=-=-=cm.素养考点 1垂径定理及其推论的计算如图， ⊙ O 的弦AB ＝8cm ，直径CE ⊥AB 于D ，DC ＝2cm ，求半径OC 的长.·O ABE CD解：连接OA ，∵ CE ⊥AB 于D ，∴ .1184(cm )22AD AB ==⨯=设OC =x cm ，则OD = x -2,根据勾股定理，得解得 x =5，即半径OC 的长为5cm.x 2=42+(x -2)2，巩固练习例2 已知：⊙O 中弦AB ∥CD ,求证：AC ＝BD .⌒⌒.MC D ABON 证明：作直径MN ⊥AB .∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .则AM ＝BM ，CM ＝DM （垂直于弦的直径平分弦所对的弧）AM －CM ＝BM －DM.∴AC ＝BD.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒平行弦夹的弧相等利用垂径定理及推论证明相等素养考点 2解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结O OOAA AB BBCC D E M N如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，求证: 四边形ADOE是正方形．·又 ∵AC = AB,∴ AE = AD.∴ 四边形为正方形.证明：∵OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴∠OEA =∠EAD =∠ODA =90°.∴四边形ADOE 为矩形，AE = AC ,AD = AB.2121巩固练习例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?素养考点 3垂径定理的实际应用解：如图，用AB 表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O ，半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC 垂足为D ，与弧AB 交于点C ，则D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高.∴ AB =37m ，CD =7.23m.解得 R ≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.R 2=18.52+(R -7.23)2 ∴ AD = AB =18.5m ，OD =OC -CD =R-7.23.OA 2=AD 2+OD 2如图a 、b,一弓形弦长为 cm ，弓形所在的圆的半径为7cm ，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿.64 D CBOAD OAB图a图b5cm 或12cm 巩固练习在圆中有关弦长a ,半径r , 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.Ø涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a ，弦心距d ，弓形高之间有以下关系：Ø弓形中重要数量关系2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭d+h=rOABC ·归纳总结探究新知A BCD Oh rd 2a已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB =8cm ，则AC 的长为（ ）A ．25cm B ．45cmC ．25cm 或45cmD ．23cm 或43cm C 连接中考1. 已知⊙O 中，弦AB =8cm ，圆心到AB 的距离为3cm ，则此圆的半径为 .5cm基础巩固题2. ⊙O 的直径AB =20cm, ∠BAC =30°则弦AC = .103.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之14cm或2cm间的距离为 .已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点. 你认为AC 和BD 有什么关系？为什么？证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ， 则AE ＝BE ，CE ＝DE . ∴ AE －CE ＝BE －DE. 即 AC ＝BD ..ACDBOE 能力提升题如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ,点O 是弧CD 的圆心),其中CD =600m,E 为弧CD 上的一点,且OE ⊥CD ，垂足为F ,EF =90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.●OCDE F┗,CD OE ⊥ 11600300(m).22CF CD ∴==⨯=222,OC CF OF =+()22230090.R R =+-设这段弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m.根据勾股定理，得解得R =545.∴这段弯路的半径约为545m .拓广探索题垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三”垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
