高中数学《导数的概念》教案1 新人教A版选修2-2

2019-2020学年高中数学 1.12导数的概念导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】理解导数的概念并会运用概念求导数【重点难点】导数的概念以及求导数一、自主学习要点1 瞬时速度设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f (t )，当 时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率 趋近于常数，这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．要点2 瞬时变化率函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0Δy Δx＝ 称为f (x )在x 0处的瞬时变化率． 要点3 导数y ＝f (x )在x ＝x 0处的 称为y ＝f (x )在x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0. 要点4 求导数的步骤由导数定义，我们可以得到求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤：(1)求函数的增量Δy ＝ ； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx； (3)取极限得导数f ′(x 0)＝ .二、合作，探究，展示，点评题型一 瞬时速度例1 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度； (2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2之间的平均速度．思考题1 若本例中物体运动方程改为s ＝3t 2＋2，求解第(1)(2)问．题型二 导数的概念(1)①求y=x 2在点x ＝3处的导数．(2)已知f (x )＝x ·(x －1)·(x －2)…(x －50)，求f ′(0)．思考题2 (1)已知y＝x，则y′|x＝1＝________.(2)已知f(x)＝x3－x2＋2x，则f′(0)＝________. 题型三转化与化归例3 若函数f(x)在x＝a处的导数为A，求li mΔx→0f a＋Δx－f a－Δx2Δx思考题3 设函数f(x)在点x0处可导，求li mΔx→0f x0－Δx－f x0Δx的值．题型四导数的应用例4 枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．思考题4 路灯距地面8 m，一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯，(1)求射影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．题型五利用导数的定义求参数的值例5 设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝( )A．－1 B.12C．1 D.13思考题5 质点按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(s单位：m，t单位：s)．若质点在t＝2时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．三、知识小结对导数概念的理解(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若limΔx→0ΔyΔx存在，则称f(x)在x＝x0处可导，并且导数即为极限值．(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝lim Δx→0f x－f x0x－x0，与概念中的f′(x0)＝lim Δx→0f x0＋Δx－f x0Δx意义相同．。

《导数的概念》教案9（新人教A版选修1-1）课题： 3．1导数的概念（一）-曲线的切线教学目的：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流教学过程：一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课：１．曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.三、讲解范例：例1曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k=∴切线的斜率为2.切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.例2求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.解:k=∴切线的方程为y－4=5(x－1)，即y=5x－1例3求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α.解：∵tanα=∵α∈［0，π，∴α=π.∴切线的倾斜角为π.例4求曲线y=sinx在点()处的切线方程.解：k=∴切线方程是，即例5 y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标. 解：设点P的坐标(x0，x03)∴斜率3=∴3x02=3，x0=±1∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1)四、课堂练习：1．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－22.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.解：k=∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发五、小结：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及斜率的方程六、课后作业：1. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－+2, x＝２处（２）y＝，x＝０处．答案：(1)k=－１２，（２）k=－１七、板书设计（略）八、课后记：。

§1.1.2 导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 3．会求函数在某点的导数。

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念．
（一）、情景引入，激发兴趣
【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。

科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。

(二)、探究新知，揭示概念。

第一课时 导数的背景：曲线的切线与瞬时速度【课时目标】 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义【引入探索】1． 圆的切线直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切。

这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点。

问题：能不能把圆的切线推广为一般曲线的切线呢？（请学生说出推广的结果后，教师引导学生加以剖析）。

2． 曲线的切线 1）观察图形得出：相切可能不止一个交点，有惟一交点的也不一定是相切。

所以对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义。

2）作图，按书上讲解，再用几何画板演示一次。

3）一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P（00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率xy k PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率x y k PQ ∆∆=的极限为k. 例题 P （1,2）是曲线2x y =+1上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.（图略）3．巩固练习 P111练习1，2（处理：学生自求）4．瞬时速度例题 一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？说明：1）上例中，如果运用物理所学地匀变速直线运动地速度公式，可得v t =v 0+at=gt=29.4(m/s)这与上面用平均速度的极限求得的瞬时速度是一样的。

2）这种速度的极限求法适用范围就比较广，只要知道运动的规律（函数表达式），即可求出任一时刻的瞬时速度。

一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，ts ∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，t s ∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 5．巩固练习：P113练习1，2（处理：学生自求）【小结】 瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy ∆∆当x ∆趋近于0时的极限。

高二导数精讲一 导数的概念 （一）导数的定义1.导数的原始定义：设函数在处附近有定义，当时，与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2.导函数的定义：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个(),x a b ∈，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数. （二）导数的实际意义1.导数的几何意义：是曲线上点处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点处的切线方程为. 2.导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率. （三）概念部分题型：1.利用定义求函数的导数 主要有三个步骤： （1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数()0''limx y y f x x∆→∆==∆2.利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程. 二 导数的运算（一）常见函数的导数1. 2. 3. 4. 5.6()11log 'log ln a ax e x x a== 7. 8.()cos 'sin x x =-（二）导数的四则运算 1.和差：()'''u v u v ±=± 2.积： ()'''uv u v uv =+ 3.商：（三）复合函数的导数1.运算法则复合函数导数的运算法则：2.复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层.求复合函数的导数的方法步骤：（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量；（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数.三 导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间1.导数和函数单调性的关系：（1）若()'0f x >在上恒成立，则在上是增函数，()'0f x >的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若()'0f x <在上恒成立，则在上是减函数，()'0f x <的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：① 确定的定义域； ② 计算导数； ③ 求出()'0f x =的根；④ 用()'0f x =的根将的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：若()'0f x >，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；若()'0f x <，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. （二）利用导数求解函数极值与最值1.极值与最值的定义（1）极大值：一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=，是极大值点.（2）极小值：一般地，设函数在附近有定义，若对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点.（3）函数的最大值和最小值：在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值.2.极值的性质（1）极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.3.判别是极大、极小值的方法：若满足()0'0f x =，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且若在两侧满足“正右负”，则是的极大值点，是极大值；若在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.4.求函数的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数；（2）求方程()'0f x =的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查在方程根左右的值的符号，若左正右负，则在这个根处取得极大值；若左负右正，则在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都为正或都为负，则在这个根处无极值.5.利用导数求函数的最值步骤（1）求在内的极值；（2）将的各极值与()(),f a f b 比较得出函数在上的最值.（三）利用导数求解证明不等式主要方法为将不等式左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数，通过对求导，根据的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明. 一. 导数的几何意义（一）利用导数的几何意义求切线方程1.（2015·赣州市十二县联考）函数()23ln f x x x =+ ）A.B.C.D.2.（2015·山西省二诊）函数()2sin f x x x =-的零点个数为________3.求过点且与曲线相切的直线方程．4.已知函数()32454f x x x x =-+-.（1）求曲线在点处的切线方程； （2）求经过点的曲线的切线方程.5.函数的曲线上点处的切线与直线310x y -+=的夹角为，则点的坐标为________6.若曲线上点处的切线平行于直线210x y -+=，则点的坐标为________7.（2016·全国丙卷）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程为____________ 8.（2017·上饶模拟）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A.1 B. C . D .9.（2016全国Ⅱ）若直线是曲线的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则________10.（2015河南洛阳模拟）曲线在点处的切线为.若直线与轴的交点分别为，则△OAB 的周长的最小值为________11.（2015·豫南九校二联）若函数，则在点处的切线方程为____________12.已知函数的导函数为，且()()()31'103x x f x f ef x -=⋅-⋅+，则____________13.（2016·山东）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有性质.下列函数中具有性质的是（ ） A. B. C. D.14.（2016·江南十校二模）已知直线是曲线与曲线的一条公切线，若直线与曲线的切点为，则点的横坐标的取值范围（ ）A. B. C . D .15.（2016河北唐山模拟）若函数，函数，则()()221212x x y y -+-的最小值为________（二）利用导数的几何意义求参数1.（2015·宝鸡市质检一）已知直线与曲线切于点，则________2.（2016·广东揭阳模拟）若曲线在点处的切线与直线230x y -+=平行，则 ________3.（2015·大同市高三调研）已知函数()()2,mxf x m n R x n=∈+在处取到极值2，则的解析式为________4.（2015·河北省5名校高三监测）若曲线()21:0C y ax a =>与曲线存在公共切线，则实数的取值范围（ ） A. B.C.D.5.已知在时有极值，则________6.（2015·河北唐山模拟）已知函数()()2,sin2x xf x ae xg x bx π=+=+，直线与曲线切于点且与曲线切于点.（1）求的值和直线的方程. （2）求证：.二. 单调性相关（一）判断函数的单调性 1.函数()()3x f x x e =-的单调递增区间为（ ）A.B.C.D.2.函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D.3.已知函数()24ln f x x x a x =++，若在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围（ ）A.B.C.D.4.函数()ln f x x x =-在区间上的最大值为________5.（2016·淮南二模）函数2cos y x x =+________6.已知函数定义域为，且函数的图象关于直线对称， 当()0,x π∈时，()'sin ln 2f x f x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭（其中是的导函数），若，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.（二）应用导数研究函数的极值1.（2016·河北名校模拟）若函数在处取得极值，则________2.函数的极值点是（ ） A. B. C.或或 D.3.已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D.4.（2017·福州质检）若函数()32132x a f x x x =-++在区间上有极值点，则实数的取值范围（ ）A.B .C.D.（三）函数单调性求参数范围 （一）分参1.函数在上单调递增，则实数的取值范围________2.（2015·沈阳市四校联考）已知函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-，总有()0f x ≥成立，则实数取值集合为________3.已知函数()22ln 2x f x ax x =+-，若在区间上是增函数，则的取值范围________4.若函数()()()1ln 10,01xf x ax x a x-=++≥>+在区间上单调递增，则的取值范围________5.已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax 在上是减函数，则正实数a 的取值范围（ ）A. B. C. D.6.（2016吉林白山三模）若关于的不等式有解，其中，则实数的最小值为________7.（2017·云南师大附中月考）若函数()323f x x tx x =-+在区间上单调递减，则实数的取值范围（ ）A. B.C.D.8.若函数()2sin f x x x =+对任意的恒成立，则的取值范围________（二）半分参1.（2018内蒙古呼和浩特市研）已知函数()3232f x x x mx m =-+--，若存在唯一的正整数，使得()00f x >，则的取值范围（ ）A.B. C.D.2.（2017课标3）已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则（ ）A.B.C.D.13.（2015·全国卷Ⅰ改编）设函数，若存在唯一的整数使得()00f x <，则a 的取值范围________三）不分参——讨论单调性 1.（2017·郑州质检）已知函数. （1）求函数的单调区间；2.已知函数()()21ln 0f x x a x a x=-+->.讨论的单调性.3.（2017·桂林、崇左联考）已知函数()()()21ln 02x f x a x a x a =-++>.（1）当时，求曲线在点处切线的斜率； （2）求函数的极值．4.（2016·重庆一中高三模拟）已知函数()()22ln a f x a x x a R x=++∈.（1）讨论的单调性；5.已知函数，讨论函数的单调性.6.（2016·江门模拟）已知函数()()ln 1ax f x x x a=+-+，是常数，且，讨论零点的个数.7.（2017·河南、河北、山西省质检(二)）已知函数. （1）判断函数的单调性；8.（2017届山东省济宁市高三3月模拟考试）已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若()2,0x ∀∈-，()0f x ≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论函数的单调性．9.（2014高州市模拟）已知函数()()21ln f x x b x =-+，其中为常数.（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；10.（云南省师范大学附属中学2018届高三高考适应性月考）已知函数()2ln f x x x b x =++.（1）若，求过原点与相切的直线方程； （2）判断在上的单调性并证明.（四）端点 1.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，()0f x ≥恒成立，求实数的取值范围.2.（2016·全国甲卷）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若当()1,x ∈+∞时，，求实数的取值范围.3.已知函数()sin 2cos xf x x=+.（1）求的单调区间； （2）如果对，都有()f x ax ≤，求实数的取值范围.4.（2015·山西省三诊）已知函数. （1）当时，求函数的单调区间；（2）令，若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.5.（2015·临川一中高三检测）已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0, 2.7182a e >=）.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；三．三次函数1.（2016·潍坊模拟）方程3269100x x x -+-=的实根个数（ ） A.3B.2C.1D.02.设函数()23252x f x x x =--+，若对任意，都有，则实数的取值范围________3.若函数()33f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数的取值范围________4.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则________5.已知函数()3221f x x bx cx =+++有两个极值点，且，则的取值范围（ ）A.B.C.D.6.（2017·开封一模）已知函数()331f x ax x =-+对总有()0f x ≥成立，则实数的取值范围________7.（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知函数()32f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）A.()00,0x R f x ∃∈=B.函数图象是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则()0'0f x =8.（2014蓟县校级一模）已知函数. （1） 若在处取得极值，求实数的值；（2） 在（1）的条件下，若关于的方程在上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；四. 图象1.（2015·长春名校联考）若函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能为（ ）2.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ） A.函数有极大值和极小值B.函数有极大值和极小值C.函数有极大值和极小值D.函数有极大值和极小值3.（2015·山东潍坊模拟）已知，为的导函数，的图象是（ ）4.（2016·江西师大模拟）设曲线上任一点处切线斜率为，则函数()2y x g x =的部分图象可能为（ ）5.设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数()'y xf x =的图象可能是（ ）五．构造函数（一）运算法则构造1.已知是定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，则（ ）A. B. C. D.2.（2015·烟台市高三检测）已知定义在上的函数满足()()0f x f x -+=，当(),0x ∈-∞时，不等式恒成立，若，则的大小关系为（ ） A. B. C.D.3.（2015·淄博市高三统考）已知定义在上的函数的导函数为，且()()'f x f x <，，则不等式的解集为（ ） A. B.C.D.4.（2015·衡水中学四调）已知定义在上的函数，是它的导数，且恒有()()'tan f x f x x <⋅，则下列说法正确的是（ ）A. B. C.D.5.已知为上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于，当时，有（ ）A.B.C.D.6.（2016·甘肃张掖一模）函数在定义域内可导，若，且当(),1x ∈-∞时，，设()()10,,32a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A.B.C.D.7.（2016·湖南衡阳二模）是定义在()(),00,ππ-的奇函数，其导函数为，且，当()0,x π∈时，，则关于的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A.B.C.D.8.函数的导函数为，对，都有()()2'fx f x >成立，则（ ）A. B. C.D.与()22ln3f的大小不能确定9.设函数是定义在2上的可导函数，其导函数为，且，则不等式()()()220182018420x f x f ++-->的解集为（ ）A .B.C.D .10.（2016·兰州高三诊断）已知函的导函数为，若，且，则下列结论正确的是（ ）A.在()0,6上单调递减 B.在()0,6上单调递增C.在()0,6上有极小值D.在()0,6上有极大值11.（2016·江门模拟）函数的导函数为，若，且，则（ ）A.的最小值为B.的最大值为C.的最小值为D.的最大值为 12.若定义在上的函数满足，则不等式 （为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B.C.()(),00,-∞+∞D.13.（2016·郑州模拟）定义在上的奇函数满足()30f =，且不等式在上恒成立，则函数的零点个数为（ ） A.4B.3C.2D.114.（2018·太原模拟）定义在上的函数的导函数为，且，则不等式()11230x f x e--+>的解集为________15.（2016·河北唐山模拟）已知函数，若存在，使得，则实数b 的取值范围（ ）A. B. C. D.变式：已知函数，若对，使得恒成立，则实数b 的取值范围（ ）A. B. C. D.16.（2016·福建漳州八校模拟）已知函数是函数的导函数，， 且()()3'3f x f x =-，则()()4'f x f x >的解集为（ ）A.B.C.D.17.已知函数，满足()()2'e xfx f x x+=，，则当时，则（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值18.（2015·深圳市五校一联）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集为（ ） A. B.C. D. 19.设函数是函数的导函数，，且，则()()()3201520152730x f x f +++->的解集为________20.若满足，则时，（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值 （二）现象构造1.已知定义域为的函数满足f (4)＝－3，且对任意的总有()'3f x <，则不等式()315f x x <-的解集为________ 2.（2016·衡水中学模拟）已知函数，，且的导数，则不等式 的解集为________ 3.（2015·焦作市调研）定义在上的函数满足：，且对任意的，都有，则不等式()lg 1lg 2x f x +>的解集为________4.已知定义域为的函数满足()12015f -=，对任意的，都有()2'3f x x <成立，则不等式()32016f x x <+的解集为（ ） A. B.C. D. 5.已知定义在上的奇函数的导函数为，在上()2'0x f x ->，若()()()333131f m m f m m -+≥+-，则实数的取值范围（ ） A.B. C.D.6.已知函数的定义域为，是的导数．，对，有()f x e '≤-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），不等式()2215ln 24f x x x x <-的解集为（ ） A. B. C. D.。

§1.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(0049)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-． 从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一 定义法（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h 的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，求质点在3t =的瞬时速度为．2．求曲线y =f (x )=x 3在1x =时的导数．3．例2中，计算第3h 时和第5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．五．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念六．布置作业。

《导数的概念》教案本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后研究微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有研究极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上研究．所以，让学生通过研究导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后研究极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先研究导数方便学生研究和研究函数．基于学生曾经在高一年级的物理课程中研究了瞬时速率，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速率的极限去得出瞬时速率，再由此笼统出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率界说为导数，这是吻合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：其工夫距离越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速率趋向于一个常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速率；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来研究极限概念积累研究经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从非凡到普通的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速率的根究，笼统归纳综合出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速率的办法；2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生举行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：由物体运动的瞬时速度推理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．复准备体会模型感受当△t→时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．了解导数概念，熟悉求导应用概念的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．通过师生共同小结，使学小结作业生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设想预计时教学内容间（分）（1）提问：请说出函数从x1到回覆题目后了解：（1）复过程应教师活动学生活动教学评价x2的平均变化率公式．（2）提问：如果用x1与增量△x透露表现平均变化率的公式是怎样的？（3）高台跳水的例子中，在时间（1）f(x2)f(x1)．使学生明确函数x2x1的平均变化率表（2）f(x1x)f(x1)．x示．（3）学生在教师的讲述中思考用什么量来1．复准备反映运动员的运动状65段[,]里的平均速率是零，而实际49态．上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运（2）应使学生明确平均速度与瞬时速率的干系，为下一阶段实验活动作铺垫．（4）让学生体会并明确瞬时速率的感化．（5）学生思考．（6）学生寓目视频并思考．（7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？（8）提问：怎样使平均速度更好（7）期望或引导答出设想意图：动状态.让学生理解（4）提问：用一个什么样的量来平均速率与反映物体在某一时刻的运动状态？瞬时速度的（5）提问：我们如何得到物体在5分钟区别与联某一时刻的瞬时速率？比方，要求物系，感受到体在2S的瞬时速度，应该怎么解决？平均速率在（6）我们一起来看物理中测即时工夫距离很速率（瞬时速率）的视频：小时可以近似地透露表现瞬时速度．的表示瞬时速度？“是平均速度”．（9）在学生回答的基础上讲述：（8）学生回答，得出真实的瞬时速率根本没法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；为了使平均速率更好的透露表现瞬时速率，应该让工夫距离尽可能小．“时间间隔越小越好！”（9）学生体会教师所讲结论．（1）向学生提出数学实验任务：已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t+6.5t+10，请你用计算器完成以下表格中t=2秒附近的平均速率的计2．体会模型设计意图：让学生在0.1信息技0.01术平台0.001上，通0.000115分钟过定量分析感受平均速度在工夫间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．（3）提问：观察你本人的尝试记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．（4）将学生分四个组，让他们划分完成0.0.－0.－0.－0.0001－0.001－0.01－0.1算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．数学实验记录单（1）2（1）学生在TI－nspireCAS上完成以下操作：（1）应使学生在技术x＞时，在[2，2+x]x＜时，在[2+x，2]内，vh(2x)h(2)x内，vh(2)h(2x)xXvxv平台上（2）学生操作得出如下通过多成效，完成数学尝试记次实验录单（1）的填写：感受到平均速度在t→时趋近于一个常数，并理解这个常数的意你认为运动员在t=2秒处的瞬时速度为（3）让学生讲他所发现m/s．的规律．（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的填写，并观察平均速率的变化趋势，回答教师的提问．义．（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．t=1.6、1.7、1.8、1.9时的尝试记录单（2）的填写，说出他们观察的结果，并将4个结果写列在黑板上．t=1.6v→－9.18t=1.7v→－10.16t=1.8v→－11.14t=1.9v→－12.12t=2v→－13.1在学生实验与观察的基础上指出：当t趋近于时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．3．提炼模型设想意图：使学生认识到平均速度其工夫10间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具（1）提问：你认为通过尝试所得成效（常数）（1）学生思考，也能够就是瞬时速率吗？这个数据到底是精确值还是近似值？（2）让学活泼笔化简t=2对应的平均速度的表达式．（化简结果为 4.9t13.1）（3）引导学生从化简的表达式中发现当△t时， 4.9t13.1－13.1．（4）让学活泼手化简t=1.6对应的平均速率的表达式．（化简结果为 4.9t9.18）开导学生归纳出结论：△t时，平均速率所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是讨论．（2）学生化简t=2处对应的平均速率的表达式，观察当△t时平均速率表达式的变化趋势．（3）学生化简t=1.6处对应的平均速度的表达式，观察当△t时平均速率表达式的变化趋势．（3）学生化简任意时刻应使学生通过动手计算，得到平均速率在t→时趋近于一个常数，而且这个常数就是瞬速t处对应的平均速度的时一个精确值，它与变量△t无关，只与时刻t有关．表达式，观察当△t（5）提问：我们得到了t=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的时平均速率表达式的变化趋向．度．使学生理解极限符号表瞬时速度，能不能用同样的办法，得到t时的瞬时（4）学生根据教师的讲体的极限模速度？解理解平均速度的极限示的意义．启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一的意义．起总结出：型．fh(t t)h(t)t t9.8t 4.9t 6.59.8t 6.5(t0)．（6）教师讲解：用limth t t h t透露表现vXXX数，即所趋近的常h t t h t今后把这个常9.8t 6.5．limXXXt数叫做在t t处，当t趋近于时，平均速度v 的极限．比如，－13.1是在t2处，当△t趋近于时h2tXXX2的极限．XXX（1）给出以下图示：（1）在教师的开导下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间应使学生从“平均速度的极限是瞬时速率”这个具体的模型中笼统（2）针对上述图示，教师在启发后提问：4．形成概念设计意图：完成从运动物体的瞬时速率到5函数瞬时变化率的过渡，形成导数（4）教师给出导数的界说：的概念并给出定义．函数f(x)在x x处的瞬时变化率通过前面的研究，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，普通情形下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？（3）在学生了解了函数的平均变化率与瞬时变化率的干系后提问：函数f(x)在x=x处的瞬时变化率怎样表示？教师介绍如下的的表示方法：函数f(x)在x=x处的瞬时变化率可表示为f(x x)f(x) f．limx x x xlim的关系．出导数（2）回的概念，并能理解导数f(x x)f(x) flim limx x x x称为y f(x)在x x处的导数，记作f(x)或y limf(x x)f(x)，即x x x x答教师的提问．是一个（3）理解函数导数的概念与导数的极限，明确导数的表示．f(x)limxf(x x)f(x)．XXX透露表现方法．（1）提问：你能说说求函数y=f(x)在x=x处的导数的步骤吗？教师在学生说的基础上要总结出步骤．5．应用概念设想意图：让学生进一步了解导数概5念，体会导数≤x≤8).计算第2（h)和第6（h）时，原油温的应用价值，度的瞬时变化率，并说明它们的意义．熟悉求导数的步骤．夸大：第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2小时附近，原油大约以3C/h的速率降落．．．．．（3）提出操演：计算3h时原油温度的瞬时变化率，表述你所得成效的意义．（1）让学生小结并交流．（2）教师总结：6．小结作业本节课研究了导数的概念，在这个过程中我们看设计意图：让学生通过总结，进一步体会导数的意5义及极限的思想，训练学生的归纳综合能力．通过布置作业，巩固所学内容．到：数学使不可能的事情变成现实；思考本节课所学内容，能够彼此之间交流自己的小结，（1）使学生不但能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于常识中的数学思想与办法．（2）分层次提供作业，是为了满足不同层次学生的需求．（1）学生思考并交流求函数在x处的导数的步骤．（1）检查学生是否分明求导数的步骤．（2）检查学生能否准确地求出函数在某点的导。

教学设计1．1.2 导数的概念教材分析一般地，学习导数概念的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质的理解．本节课，教材将学习导数的概念分为两个阶段：第一阶段是通过大量实例，利用逼近思想直观理解瞬时速度的含义；第二阶段则是将瞬时速度一般化，即通过对瞬时速度的理解来引出导数的概念．整个过程蕴涵了逼近的思想和用已知探求未知的思想方法．课时分配 1课时．教学目标 1．知识与技能目标利用学生对瞬时速度的理解，逐步达到对导数概念和基本方法的直观、准确的理解． 2．过程与方法目标用形象直观的“逼近”方法定义导数，学习和掌握用已知探究未知的思想方法． 3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生运动变化的观点和辩证统一的思想．在对实际问题的分析过程中，体会、感受数学的创造美．重点难点重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 难点：准确理解导数的概念．教学过程引入新课问题1：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，求1 s 到2 s 的平均速度．问题2：物体作自由落体运动的方程是s(t)＝12gt 2，如何求t ＝3 s 这一时刻的速度呢？活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：经过简单运算，学生能够回答出第一个问题．对于第二个问题，可能在理解“瞬时速度”上有难度，感觉无从下手．教师提问：这两个问题在解法上有什么区别和联系？能否从它们的联系上寻找第二个问题的解法？你对“t ＝3 s 这一时刻”怎么理解？学情预测：学生能够利用物理知识解决速度问题，但对某一时刻的速度，未必能从“平均速度”和“瞬时速度”的关系上说清楚．教师提示：我们可以取t ＝3 s 临近时间间隔内的平均速度去“逼近”t ＝3 s 时刻的“瞬时速度”，如在[3,3＋Δt]内或在[3－Δt,3]内，不过时间间隔Δt 要尽可能小．学情预测：经过提示和讨论后，学生应该能从尽可能缩小时间间隔的角度进行感性认识和猜测了．活动成果：师生共同得出如下结论：取一小段时间：[3,3＋Δt]，Δs ＝12g(3＋Δt)2－92g ，Δv ＝Δs Δt ＝g2(6＋Δt)．当Δt →0时，Δv →3g. 设计意图从学生学过并且熟悉的物理问题切入，以平均速度和瞬时速度作对比设计两个问题，使学生有一个思考的台阶，在教师的引导提示下，感性地认识瞬时速度的概念．探究新知在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．运动员的平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度．那么，如何求运动员的瞬时速度呢？提出问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，试探求运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是多少？活动设计：以小组为单位，列好表格，准备好计算器，分别计算时间间隔Δt ＝－0.01，－0.001，－0.000 1，－0.000 01，－0.000 001，…在区间[2＋Δt,2]内的平均速度和Δt ＝0.01，0.001,0.000 1,0.000 01,0.000 001，…时，在区间[2,2＋Δt]内的平均速度．并观察当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值变化情况．活动成果：当Δt<0时，在[2＋Δt,2]这段时间内 v ＝h (2)－h (2＋Δt )2－(2＋Δt )＝4.9Δt 2＋13.1Δt－Δt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝－0.01时，v ＝－13.051；当Δt ＝－0.001时，v ＝－13.095 1； 当Δt ＝－0.000 1时，v ＝－13.099 51； 当Δt ＝－0.000 01时，v ＝－13.099 951； 当Δt ＝－0.000 001时，v ＝－13.099 995 1； ……当Δt>0时，在[2,2＋Δt]这段时间内v ＝h (2＋Δt )－h (2)(2＋Δt )－2＝－4.9Δt 2－13.1ΔtΔt ＝－4.9Δt －13.1.当Δt ＝0.01时，v ＝－13.149； 当Δt ＝0.001时，v ＝－13.104 9； 当Δt ＝0.000 1时，v ＝－13.100 49； 当Δt ＝0.000 01时，v ＝－13.100 049； 当Δt ＝0.000 001时，v ＝－13.100 004 9； ……可以看出，当|Δt|逐渐变小时，平均速度v 的取值逐渐趋近于一个稳定的值－13.1，从物理的角度看，时间间隔|Δt|无限变小时，平均速度v 就无限趋近于t ＝2 s 时的瞬时速度．所以说，运动员在t ＝2 s 时的瞬时速度是－13.1 m/s.为了表述方便，我们用lim t ∆→h (2＋Δt )－h (2)Δt＝－13.1来表示“当Δt →0时，v →－13.1”．提出问题：仍以高台跳水为例，运动员在某一时刻t 0的瞬时速度怎样表示？能用它来表示函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率吗？活动设计：学生独立思考，两名学生板演，其他学生在练习本上试着写出结果，然后教师点评．活动成果：根据上面对瞬时速度概念的探究，可知：运动员在某一时刻t 0的瞬时速度为0lim t ∆→h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt.类似地，函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率可以表示为lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.我们称它为函数f(x)在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x ∆→ ΔfΔx.理解新知例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)，计算第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．学情预测：根据上面所学知识，学生能够求出第2 h 时和第6 h 时原油温度的瞬时变化率，但是在说明它们的意义时可能有困难，或表述不准确．活动设计：学生先独立思考，一名学生板演，其他学生在练习本上试着写出过程和结果．教师适时点评．活动结果：在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δf Δx ＝f (2＋Δx )－f (x 0)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝0lim x ∆→ΔfΔx ＝0lim x ∆→ (Δx －3)＝－3.同理可得：f ′(6)＝5. 在第2 h 时和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3和5.说明在2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．点评：(1)函数f(x)在x ＝x 0处的导数即为函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率； (2)瞬时变化率是平均变化率的极限；(3)Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，x →x 0，所以f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0；(4)由定义知，求f(x)在x 0处的导数的步骤为：求增量Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) 算比值Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 求极限y ′＝0lim x ∆→ ΔyΔx .由导数的定义，我们知道，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r 关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值的增长率等等．设计本例的主要目的还是让学生在实际问题背景中体会导数的产生、导数的意义等．设计意图运用新知例2(1)求函数f(x)＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．思路分析：求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)．解：(1)因为Δf Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx＝3－Δx ，所以f ′(－1)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2Δx ＝0lim x ∆→ (3－Δx)＝3.(2)因为Δf ＝Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝6Δx ＋3(Δx)2，所以Δf Δx ＝6＋3Δx ，0lim x ∆→ ΔfΔx ＝6.点评：体会求函数f(x)在任一点处的导数的一般步骤，进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．例3函数f(x)满足f ′(1)＝1，则当x 无限趋近于0时， (1) 0lim x →f (1＋x )－f (1)2x＝__________，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x＝____________.思路分析：因为f(x)在x ＝1处存在导数，所以当x 无限趋近于0时，2x 也无限趋近于0，故lim x →f (1＋x )－f (1)x ＝1， lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝1. 解：(1) lim x →0f (1＋x )－f (1)2x ＝lim x →0 12f (1＋x )－f (1)x ＝12，(2) lim x →f (1＋2x )－f (1)x ＝2lim 2x →0f (1＋2x )－f (1)2x ＝2.点评：理解导数的意义，关键在理解当Δx →0时，Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx 的变化趋势．巩固练习1．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3 C ．4 D ．4.1 2．设函数f(x)可导，则0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．不存在 C.13f ′(1) D ．以上都不对 3．设f(x)＝1x ，则lim x a→ f (x )－f (a )x －a 等于( )A ．－1a B.2a C ．－1a 2 D.1a 2答案：1.D 2.C 3.C 变练演编变式(1)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0＋4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(2)设f(x)在x ＝x 0处可导，若f (x 0－4Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于1，则f ′(x 0)＝__________.变式(3)设f(x)在x ＝x 0处可导，当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx 所对应的常数与f ′(x 0)的关系．活动设计：学生独立完成，教师将所有发现的结果一一列举，再由学生相互之间交流、评价，最后教师给出正确答案．答案：变式(1)：14变式(2)：－14变式(3)：当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋2Δx )－f (x 0－2Δx )Δx ＝4f ′(x 0)设计意图对于函数f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率0lim t ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim t ∆→ ΔfΔx，Δx 表示的意义是一个尽可能小的改变量，是一个广义的概念．通过变练(就是变式训练)演编(就是让学生试着自己编题)，让全班同学通过交流合作的形式，在辨析中加深对导数概念的理解．达标检测1．当自变量x 由x 0增加到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数…… ( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．下列各式中正确的是( ) A ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)2Δx B ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0－Δx )－f (Δx )ΔxC ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)－Δx D ．f ′(x 0)＝0lim t ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx3．设f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 4．y ＝x 3－1，当x ＝2时，0lim t ∆→ΔyΔx＝______. 答案或提示或解答：1.A 2.D 3.A 4.12课堂小结本节课通过大量的实例，引出了瞬时速度、瞬时变化率的概念，进而形成了导数的概念．其中探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法，从特殊推向一般的思想和方法，以及利用所学知识解决实际问题的思想和方法都具有非常重要的作用．布置作业课本习题1.1A2、A3、B1.补充练习1．若f(x)＝x 3，f ′(x 0)＝3，则x 0的值是( )A ．1B ．－1C ．±1D ．3 3 2．设函数f(x)＝mx 3＋2，若f ′(－1)＝3，则m ＝__________.3．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体分别在运动开始及第5秒末的速度．答案：1.C 2.1 3.开始的速度为2米/秒，第5秒末的速度为42米/秒．设计说明本节课从变化率入手，通过大量的实验和学生的广泛参与，用形象直观的逼近思想来理解瞬时速度和瞬时变化率，在此基础上再给出导数定义．这样做可以避免学生因未学习极限的概念而影响对导数的认识，可以使学生更直观形象地理解导数概念，同时还能使学生对逼近思想有一定的了解．教学过程中，从形成导数定义到理解导数内涵都使用了瞬时速度这个具体的物理模型，教学的关键放在了让学生充分经历从平均速度探究到瞬时速度上．整个过程采用的方法都是遵循循序渐进的原则，尊重学生的认知水平和认知规律．另外，本节还选配了一些其他方面的变化率问题，形式丰富的实例有利于学生辨别出它们具有的共同特征，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，从而加深对导数概念的理解．备课资料1．求电流强度问题1设电流通过导线的横截面的电量是Q(t)，它是时间t 的函数，求任一时刻t 0的电流强度．思路分析：我们知道，在直流电路中，电流强度是单位时间内通过导线横截面的电量，即电流强度＝电量时间.在交流电路中，电流大小是随时间而改变的，不能直接按上述公式求任一时刻t 0的电流强度．我们可通过以下方法得到：设在t 0到t 0＋Δt(Δt ≠0)这段时间内通过导线的电量是ΔQ ＝Q(t 0＋Δt)－Q(t 0)． 因此在这段时间内，平均电流强度为I ＝ΔQ Δt.易知，Δt 取值越小，I 就越接近时刻t 0的电流强度I.若当Δt →0时，I 的极限存在，则平均电流强度I 的极限就是时刻t 0的电流强度．因此，我们定义：I ＝0lim t ∆→I ＝0lim t ∆→ΔQΔt ＝0lim t ∆→ Q (t 0＋Δt )－Q (t 0)Δt. 2．导数的表达式问题为了与导数的表达式更吻合，有时我们把x 0＋Δx 记作x ，于是Δx ＝x －x 0，当Δx →0时，有x →x 0，则f ′(x 0)＝0lim x x →f (x )－f (x 0)x －x 0.利用导数定义求导数的难点是有一些比值ΔyΔx的解析式不便于取极限，还需将其变形或化简，以便于计算．2证明若f ′(x 0)存在，则0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝2f ′(x 0)．思路分析：已知f ′(x 0)存在，也即是极限0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx存在且等于f ′(x 0)，只要紧扣导数的定义，并把等式的左端化成f(x)在点x 0处的导数的形式，该题的证明将容易得到．证明：0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)．点评：在导数的结构(定义) 0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx中，函数的增量f(x 0＋Δx)－f(x 0)与自变量的增量Δx 是相应的，即自变量有增量Δx 时，相应的函数的增量是f(x 0＋Δx)－f(x 0)，而在上面的极限中，函数的增量f(x 0－Δx)－f(x 0)所对应的自变量的增量是－Δx(而非Δx)，这一点是至关重要的．因此应该有(易知Δx →0时，－Δx →0)：lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝-0lim x ∆→ f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝f ′(x 0)．(设计者：张春生)。

《导数的概念》教学设计一、教材分析《导数的概念》是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修2-2》（人教A版）第一章1.1.2的内容，是在学生学习了变化率的内容后，通过实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。

它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。

教学重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，可以通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点。

二、学习目标1.知识与技能目标①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.2.过程与方法目标3.情感、态度与价值观目标①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度.②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观.三、教学程序（一）创设情境，引入新课[课件投影]播放一段视频林跃在2022年北京奥运会10米跳台夺冠的视频，给出一个思考题：假如在比赛过程中，林跃相对水面的高度h（m）与起跳后的时间t（）存在这样一个函数关系：.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）林跃在这段时间里是静止的吗？（2）你認为用平均速度来描述他的运动状态有什么问题吗？[设计意图]林跃是和我们的学生年纪相仿的国家优秀运动员，他夺冠的经历无疑能让我们的学生感到振奋，这无形中激发了学生的爱国热情。

更重要的是，以此实例能激发学生求知的欲望，从而使学生从“要我学”变成了“我要学”。

通过数值与现实矛盾的产生，使学生意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

[设计意图]通过引导使学生进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法，培养学生的动手操作能力，通过亲自动手算、动脑思，让学生初步感受到逼近的趋势。

高中数学说课稿：高中新教材人教A版选修2《导数概念》说课稿教案模板
高中新教材人教A版选修2《导数概念》说课稿
一、教材分析
导数的概念是高中新教材人教A版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率
问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点
二、教学目标
1、知识与技能：
通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：
①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力
②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法
3、情感、态度与价值观：
通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
三、重点、难点
重点：导数概念的形成，导数内涵的理解
难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵
通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点
四、教学设想（具体如下表）
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