2021版一轮复习名师导学物理文档：第4章 第4节 万有引力与天体运动

第4节 万有引力与航天知识点1 开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．2．开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．开普勒第三定律 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T 2＝k .知识点2 万有引力定律1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引．(2)引力的方向在它们的连线上．(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为引力常量，G ×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定．3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用．(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离．知识点3地球同步卫星及宇宙速度1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期一样，即T＝24 h＝86 400 s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度一样．(4)高度一定：据G Mmr2＝m4π2T2r得r＝3GMT24π2×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．(5)速率一定：运行速度v＝2πrT＝3.07 km/s(为恒量)．(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．2．三种宇宙速度比拟宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，假设7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物体绕地球运行(环绕速度)第二宇宙速度这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，假设11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物体绕太阳运行(脱离速度)第三宇宙速度这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，假设v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间运行(逃逸速度)1．正误判断(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)(3)第一宇宙速度与地球的质量有关．(√)(4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)(5)地球同步卫星可以定点于北京正上方．(×)(6)假设物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，那么物体可以绕太阳运行．(√)2．(对开普勒三定律的理解)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( )【导学号：96622070】A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．一样时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【答案】 C3．(对万有引力定律的理解)关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的选项是 ( )A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的【答案】 C4．(卫星运行及宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．对于其中的5颗同步卫星，以下说法中正确的选项是( ) 【导学号：96622071】A ．它们运行的线速度一定不小于7.9 km/sB ．地球对它们的吸引力一定一样C ．一定位于赤道上空同一轨道上D ．它们运行的加速度一定一样【答案】 C5．(同步卫星的特点)由于通讯和播送等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的()A．质量可以不同B．轨道半径可以不同C．轨道平面可以不同D．速率可以不同【答案】 A[核心精讲]1．重力加速度法利用天体外表的重力加速度g和天体半径R.(1)由G MmR2＝mg得天体质量M＝gR2G.(2)天体密度：ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR.2．卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.(1)由G Mmr2＝m4π2rT2得天体的质量M＝4π2r3GT2.(2)假设天体的半径R，那么天体的密度ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3.(3)假设卫星绕天体外表运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，那么天体密度ρ＝3πGT2，可见，只要测出卫星环绕天体外表运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．[题组通关]1．(2021 ·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b〞的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b〞绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A.110 B ．1 C ．5 D ．10B 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得：M ＝4π2r 3GT 2.由此可得：M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．2．(2021·全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．地球外表重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2·g 0－g g 0B.3πGT 2·g 0g 0－gC.3πGT 2D.3πGT 2·g 0gB 物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，ρ＝M 43πR 3，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )，应选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．[名师微博]两点提醒：1．估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．2．区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体外表附近的卫星才有r ≈R .[核心精讲]1．三类卫星(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星．(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(3)近地卫星是在地球外表附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.2．四个分析“四个分析〞是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系．[师生共研]●考向1卫星各运行参量的比拟(多项选择)(2021·江苏高考)如图4-4-1所示，两质量相等的卫星A、B 绕地球做匀速圆周运动，用R、T、E k、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．以下关系式正确的有()图4-4-1A．T A＞T BB．E k A＞E k BC．S A＝S BD.R3AT2A＝R3BT2BAD 不同高度处的卫星绕地球做圆周运动，R A ＞R B .根据R 3T 2＝k 知，T A ＞T B ，选项A 、D 正确；由GMm R 2＝m v 2R 知，运动速率v ＝GMR ，由R A ＞R B ，得v A ＜v B ，那么E k A ＜E k B ，选项B 错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星绕地球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于不同卫星，S A 不一定等于S B ，选项C 错误．●考向2 发射速度及宇宙速度的分析与计算(多项选择)(2021 ·广东高考)在星球外表发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球外表做匀速圆周运动；当发射速度到达2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，以下说法正确的有( )A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B ．探测器在地球外表受到的引力比在火星外表的大C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大BD 探测器在星球外表做匀速圆周运动时，由G Mm R 2＝m v 2R ，得v ＝GM R ，那么摆脱星球引力时的发射速度2v ＝2GMR ，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M ，半径为R ，那么地球的质量为10M ，半径为2R ，地球对探测器的引力F 1＝G 10Mm (2R )2＝5GMm 2R 2，比火星对探测器的引力F 2＝G Mm R 2大，选项B 正确；探测器脱离地球时的发射速度v 1＝2G ·10M 2R ＝10GM R ，脱离火星时的发射速度v 2＝2GMR ，v 2<v 1，选项C 错误；探测器脱离星球的过程中克制引力做功，势能逐渐增大，选项D 正确．1．第一宇宙速度是卫星绕行星做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小发射速度．2．第二宇宙速度是卫星脱离行星所需的最小发射速度，大小为第一宇宙速度的2倍．[题组通关] 3．(2021 ·山东高考)如图4-4-2所示，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以一样的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的选项是( ) 【导学号：96622072】图4-4-2A ．a 2>a 3>a 1B ．a 2>a 1>a 3C ．a 3>a 1>a 2D ．a 3>a 2>a 1D 空间站和月球绕地球运动的周期一样，由a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 知，a 2>a 1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm r 2＝ma ，可知a 3>a 2，应选项D 正确．4．(2021·江苏高考)地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，那么航天器在火星外表附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A ．3.5 km/sB ．5.0 km/sC ．17.7 km/sD ．35.2 km/sA 由G Mm r 2＝m v 2r 得，对于地球外表附近的航天器有：G Mm r 2＝m v 21r ，对于火星外表附近的航天器有：G M ′m r ′2＝m v 22r ′，由题意知M ′＝110M 、r ′＝r 2，且v 1＝7.9 km/s ，联立以上各式得：v 2≈3.5 km/s ，选项A 正确．[核心精讲]1．卫星轨道的渐变当卫星由于某种原因速度突然改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．(1)当卫星的速度逐渐增加时，G Mmr2<mv2r，即万有引力缺乏以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GM r可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度逐渐减小时，G Mmr2>mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GM r可知其运行速度比原轨道时增大．2．卫星轨道的突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图4-4-3所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：图4-4-3(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进展第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．[师生共研]●考向1卫星轨道渐变时各物理量的变化分析(多项选择)2021年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进展了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．以下说法正确的选项是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用BC 第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝m v 2r 减小，做近心运动，近心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．●考向2 卫星轨道突变前后各物理量间的变化分析(多项选择)如图4-4-4所示，地球卫星a 、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A 处与圆形轨道相切，那么( )图4-4-4A ．卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短B ．两颗卫星分别经过A 点处时，a 的速度大于b 的速度C ．两颗卫星分别经过A 点处时，a 的加速度小于b 的加速度D ．卫星a 在A 点处通过加速可以到圆轨道上运行AD 由于卫星a 的运行轨道的半长轴比卫星b 的运行轨道半径短，根据开普勒定律，卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短，选项A 正确；两颗卫星分别经过A 点处时，a 的速度小于b 的速度，选项B 错误；两颗卫星分别经过A 点处，a 的加速度等于b 的加速度，选项C 错误；卫星a 在A 点处通过加速可以到圆轨道上运行，选项D 正确．航天器变轨问题的两个结论1．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．2．航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．[题组通关]5．2021年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件．如图4-4-5所示，一块陨石从外太空飞向地球，到A点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，那么以下说法中正确的选项是()【导学号：96622073】图4-4-5A．陨石正减速飞向A处B．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小C．陨石绕地球运转时速度渐渐变大D．进入大气层陨石的机械能渐渐变大C陨石进入大气层前，只有万有引力做正功，速度增大，A错误；进入大气层后，空气阻力做负功，机械能减小，D错误；由GMmr2＝mv2r＝mω2r得：v＝GMr，ω＝GMr3，故随r减小，v、ω均增大，B错误，C正确．6．(多项选择)如图4-4-6所示是飞船进入某星球轨道后的运动情况，飞船沿距星球外表高度为100 km的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时，点火制动变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的B点时，飞船离星球外表高度为15 km，再次点火制动，下降落到星球外表．以下判断正确的选项是()图4-4-6A ．飞船在轨道Ⅱ上的B 点受到的万有引力等于飞船在B 点所需的向心力 B ．飞船在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中，动能增大C ．飞船在A 点点火变轨瞬间，速度增大D ．飞船在轨道Ⅰ绕星球运动一周所需的时间大于在轨道Ⅱ绕星球运动一周所需的时间BD 由飞船在轨道Ⅱ上的运动轨迹可知，飞船在B 点做离心运动，B 点的万有引力小于所需的向心力，A 错误；从A 到B 的运动过程中万有引力做正功，由动能定理可知，动能增大，B 正确；由题可知在A 点制动进入椭圆轨道，速度减小，C 错误；由开普勒第三定律可得，D 正确．[典题例如](多项选择)如图4-4-7所示，A 是地球的同步卫星，B 是位于赤道平面内的近地卫星，C 为地面赤道上的物体，地球半径为R ，同步卫星离地面的高度为h ，那么( )图4-4-7A ．A 、B 加速度的大小之比为⎝⎛⎭⎪⎫R ＋h R 2B ．A 、C 加速度的大小之比为1＋hR C ．A 、B 、C 速度的大小关系为v A >v B >v CD ．要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上运行至少需要对B 卫星进展两次加速【解题关键】关键信息信息解读A是地球的同步卫星A的角速度等于地球的自转角速度C为地面赤道上的物体C的角速度等于地球自转角速度C的圆周运动半径为R B是位于赤道平面内的近地卫星B的轨道半径为RBD根据万有引力提供向心力可知GMmr2＝ma，得a A＝GM(R＋h)2，a B＝GMR2，故a Aa B＝⎝⎛⎭⎪⎫RR＋h2，选项A错误；A、C角速度一样，根据a＝ω2r得a A＝ω2(R＋h)，a C＝ω2R，故a Aa C＝1＋hR，选项B正确；根据GMmr2＝mv2r得v＝GMr，可知轨道半径越大线速度越小，所以v B>v A，又A、C角速度一样，根据v＝ωr可知v A>v C，故v B>v A>v C，选项C错误；要将B卫星转移到A卫星的轨道上，先要加速到椭圆轨道上，再由椭圆轨道加速到A卫星的轨道上，选项D正确．赤道外表的物体、近地卫星、同步卫星的比照比拟内容赤道外表的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力线速度v1＝ω1R v2＝GMRv3＝ω3(R＋h)＝GMR＋hv1<v3<v2(v2为第一宇宙速度)角速度ω1＝ω自ω2＝GMR3ω3＝ω自＝GM(R＋h)3ω1＝ω3<ω2向心加速度a 1＝ω21Ra 2＝ω22R ＝GMR 2a 3＝ω23(R ＋h )＝GM(R ＋h )2a 1<a 3<a 2[题组通关]7．(2021·四川高考)国务院批复，自2021年起将4月24日设立为“中国航天日〞.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，那么a 1、a 2、a 3的大小关系为( )图4-4-8A ．a 2>a 1>a 3B ．a 3>a 2>a 1C ．a 3>a 1>a 2D ．a 1>a 2>a 3D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G Mm 1(R ＋h 1)2＝m 1a 1，即a 1＝GM (R ＋h 1)2，对于东方红二号，有G Mm 2(R ＋h 2)2＝m 2a 2，即a 2＝GM(R ＋h 2)2，由于h 2>h 1，故a 1>a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2r ，故a 2>a 3，所以a 1>a 2>a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误．。

第4课时 万有引力与航天 考纲解读 1.掌握万有引力定律的内容、公式及应用.2.理解环绕速度的含义并会求解.3.了解第二和第三宇宙速度．．【知识要点】1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T 2 (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G， 天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . (2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3； ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．1．第一宇宙速度又叫环绕速度．推导过程为：由mg ＝mv 21R ＝GMm R 2得： v 1＝ GM R＝gR ＝7.9 km/s. 2．第一宇宙速度是人造地球卫星在 环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． 3．第一宇宙速度是人造卫星的 速度，也是人造地球卫星的 速度． 注意 (1)两种周期——自转周期和公转周期的不同．(2)两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度．(3)两个半径——天体半径R 和卫星轨道半径r 的不同．(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v 2＝ km/s ，使物体挣脱 引力束缚的最小发射速度．(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v 3＝ km/s ，使物体挣脱 引力束缚的最小发射速度．【典型例题】例1 1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21 D ．可求月球、地球及太阳的密度 例2(2013·广东·14)如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M 和2M 的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．甲的向心加速度比乙的小B ．甲的运行周期比乙的小C ．甲的角速度比乙的大D ．甲的线速度比乙的大例3 某人在一星球表面上以速度v 0竖直上抛一物体，经过时间t 后物体落回手中．已知星球半径为R ，那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表面，抛射速度至少为( )A.v 0t R B. 2v 0R t C. v 0R t D.v 0Rt【拓展训练】1．(2013·江苏单科·1)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积2．2013年6月13日，神舟十号与天宫一号成功实现自动交会对接．假设神舟十号与天宫一号都在各自的轨道做匀速圆周运动．已知引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．由神舟十号运行的周期和轨道半径可以求出地球的质量B ．由神舟十号运行的周期可以求出它离地面的高度C ．若神舟十号的轨道半径比天宫一号大，则神舟十号的周期比天宫一号小D ．漂浮在天宫一号内的宇航员处于平衡状态3．一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的14，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的( ) A ．向心加速度大小之比为4∶1 B ．角速度大小之比为2∶1C ．周期之比为1∶8D ．轨道半径之比为1∶24．随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想．假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经时间t 后小球回到出发点．已知月球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．月球表面的重力加速度为v 0tB ．月球的质量为2v 0R 2GtC ．宇航员在月球表面获得v 0R t的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动 D ．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为 Rt v 0 5．小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍．某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图1所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回．当第一次回到分离点时恰与航天站对接．登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g 0，月球半径为R ，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )A ．4.7πR g 0B ．3.6πR g 0C ．1.7πR g 0D ．1.4πR g 06．2012年，天文学家首次在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P ，这个行星围绕某恒星Q 做匀速圆周运动．测得P 的公转周期为T ，公转轨道半径为r .已知引力常量为G ，则( )A ．恒星Q 的质量约为4π2r 3GT 2B ．行星P 的质量约为4π2r 3GT2 C ．以7.9 km/s 的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面D ．以11.2 km/s 的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面7．一行星绕恒星做匀速圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则( )A ．恒星的质量为v 3T 2πGB ．行星的质量为4π2v 3GT 2C ．行星运动的轨道半径为vT 2πD ．行星运动的加速度为2πv T8．我国于2013年6月11日17时38分发射“神舟十号”载人飞船，并与“天宫一号”目标飞行器对接．如图3所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道，各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h 1和h 2(设地球半径为R )，“天宫一号”的运行周期约为90分钟．则以下说法正确的是( )A ．“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为h 2h 1B ．“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比为R ＋h 22R ＋h 12C ．“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大D ．“天宫一号”的线速度大于7.9 km/s9．2014年10月8日，月全食带来的“红月亮”亮相天空，引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n 圈所用时间为t ，如图4所示．已知月球半径为R ，月球表面处重力加速度为g 月，引力常量为G .试求：(1)月球的质量M ；(2)月球的第一宇宙速度v 1；(3)“嫦娥三号”卫星离月球表面的高度h .(3)计算物体在前3 s 内和前6 s 内的位移大小．。

第4讲 万有引力与天体运动➢ 教材知识梳理一、开普勒三定律1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个________上．2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的________相等．3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的________的三次方跟________的二次方的比值都相等．二、万有引力定律1．内容：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的大小与物体的质量的乘积成________，与它们之间距离的二次方成________．2．公式：________(其中引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2)． 3．适用条件：公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用，对均匀球体来说，r 是两球心间的距离．三、天体运动问题的分析1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成________运动．2．动力学分析：(1)万有引力提供________，即F 向＝G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 2πT2r .(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于________，即G Mm r 2＝mg (g 为星球表面的重力加速度)．四、三个宇宙速度1．第一宇宙速度(环绕速度)：v 1＝7.9 km/s ，是人造地球卫星的________，也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的________．2．第二宇宙速度(逃逸速度)：v 2＝11.2 km/s ，是卫星挣脱地球引力束缚的________．3．第三宇宙速度：v 3＝16.7 km/s ，是卫星挣脱太阳引力束缚的________．答案：一、1.焦点 2.面积 3.半长轴 公转周期二、1.正比 反比 2.F ＝G m 1m 2r 2 三、1.匀速圆周 2.(1)向心力 (2)物体的重力四、1.最小发射速度 最大运行速度2．最小发射速度 3.最小发射速度【思维辨析】(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．( )(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )(3)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．( )(4)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．( )(5)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．( )(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．( )(7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.( )答案：(1)(×) (2)(×) (3)(√) (4)(×) (5)(×)(6)(×) (7)(√)【思维拓展】为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做了著名的“月－地”实验．请阐述“月－地”实验思路．答案：由于月球绕地球运行的周期T ＝27.3 d ≈2.36×106 s ，月球的轨道半径r ＝60R 地＝3.84×108 m ，故从运动学角度可计算出月球的向心加速度为a n1＝4π2T 2r ＝2.72×10－3 m/s 2① 牛顿设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，地球对它的引力减小到F ，它的向心加速度减小到a n2，既然物体在地面上受到的重力G 和在月球轨道上运行时受到的引力F 都是来自地球引力，那么在引力与轨道半径的二次方成反比的关系成立的情况下，物体在月球轨道上的向心加速度a n2和在地面上的重力加速度g 的关系应为a n2g 地＝F G ＝R 2地r 2＝1602＝13600， 进而从动力学角度可计算出月球轨道上的向心加速度为a n2＝13600g 地＝2.72×10－3 m/s 2②①式与②式的计算结果完全一致，从而证明了物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力、遵循同样规律的上述设想．需要说明的是，月球绕地球的向心加速度a n2＝13600g 地与通常所说月球表面的重力加速度g 月＝16g 地并不矛盾． 已知M 地＝81M 月，R 地＝113R 月，r ＝60R 地，由天文学黄金代换公式GM ＝gR 2可知g 月g 地＝M 月R 2地M 地R 2月＝121729≈16， 即g 月＝16g 地③ 又有a n2＝GM 地r 2＝81GM 月3600R 2地＝81g 月R 2月3600×113R 月2≈1600g 月④ 由③、④式可得a n2＝13600g 地． ➢ 考点互动探究考点一 开普勒行星运动1 [2016·全国卷Ⅲ] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案：B[解析] 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B 正确．(多选)[2016·武汉调研] 水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”．已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( )A ．地球的公转周期大约是水星的2倍B ．地球的公转周期大约是金星的1.6倍C ．金星的轨道半径大约是水星的3倍D ．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据答案：BD [解析] 设水星、地球、金星的公转周期分别为T 水、T 地和T 金，水星两次凌日时间差为t 水，金星两次凌日时间差为t 金，由题意可知，2πT 水－2πT 地t 水＝2π，2πT 金－2πT 地t 金＝2π，解得T 水＝88天，T 金＝225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A 错误，B 正确；由开普勒第三定律可知，R 3金T 2金＝R 3水T 2水，解得R 金R 水＝32252882≈36.5<3，C 错误；理论上发生凌日时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转转道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D 正确．■ 要点总结对开普勒行星运动定律的理解：(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体对应的k 值不同．考点二 万有引力及其与重力的关系1.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反且沿两物体的连线，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．2．万有引力的一般应用：主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：(1)万有引力公式F ＝G m 1m 2r2中的r 应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)对于万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G m 1m 2r 2＝m 1a ，且a ＝ω2r ＝v 2r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r . 3．在地球或其他天体表面及某一高度处的重力加速度的计算：设天体表面重力加速度为g ，天体半径为R ，忽略天体自转，则有mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM R 2或GM ＝gR 2；若物体距天体表面的高度为h ，则重力mg ′＝G Mm （R ＋h ）2，得g ′＝GM （R ＋h ）2＝R 2（R ＋h ）2g . ] 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v ′在火星表面附近环绕火星飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7.设火星与地球表面的重力加速度分别为g ′和g .下列结论正确的是( )A ．g ′∶g ＝1∶4B ．g ′∶g ＝7∶10C ．v ′∶v ＝528 D ．v ′∶v ＝514答案：C[解析] 在地球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得g ＝GM R 2，在火星表面附近，万有引力等于重力，即G M ′m R ′2＝mg ′，解得g ′＝GM ′R ′2，又知M ＝ρV ＝ρ·43πR 3＝43ρπR 3，火星与地球密度之比ρ′∶ρ＝5∶7，半径之比R ′∶R ＝1∶2，联立解得g ′∶g ＝5∶14，选项A 、B 错误；探测器在火星表面附近环绕火星飞行的线速度与探测器在地球表面附近环绕地球飞行的线速度之比v ′∶v ＝g ′R ′gR ＝514·12＝528，选项C 正确，选项D 错误． 1 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m ，距地面高度为h ，地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A ．0 B.GM （R ＋h ）2 C.GMm （R ＋h ）2 D.GM h2 答案：B [解析] 由题意知，飞船处于完全失重状态，飞船所受的重力等于万有引力，即G Mm （R ＋h ）2＝mg ，约去m ，得B 正确． 2 (多选)[2016·新疆适应性检测] 月球是离地球最近的天体．已知月球质量为M ，半径为R ，引力常量为G ，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，以下叙述正确的是( ) A ．把质量为m 的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为GMm R2B ．以初速度v 0竖直上抛一个物体，则物体经时间2πR GM落回原处C ．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地D ．用长为l 的细绳拴一质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为GMml 2R2 答案：AD [解析] 在月球表面，月球对物体的引力等于物体的重力，即mg ＝G Mm R 2，选项A 正确；在月球表面，g ＝G M R2，以初速度v 0竖直上抛的物体落回原处的时间为t ＝2v 0g ＝2v 0R 2GM，选项B 错误；月球周围没有空气阻力，羽毛和铁锤从同一高度被释放后，同时落地，选项C 错误；小球在竖直面内做圆周运动，在最高点时，若mg ＝m v 2l ，则其动能最小，为E k ＝12mv 2＝G Mml 2R2，选项D 正确． ■ 要点总结1．对万有引力和重力的关系要注意以下几点：(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg ≈GMm R2；(2)若考虑地球自转，对在赤道上的物体，有GMm R2－F N ＝F 向，其中F N 大小等于mg ，对处于南北两极的物体，则有GMm R2＝mg . 2．在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．考点三 天体质量及密度的计算1.利用(卫)行星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，解得M ＝4π2r 3GT 2；ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3，R 为中心天体的半径，若为近地卫星，则R ＝r ，有ρ＝3πGT 2.由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出中心天体的质量M .若再知道中心天体的半径，则可算出中心天体的密度．2．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR . 3 [2016·济南模拟] “嫦娥五号”探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R 0A.3∶2 B ．2∶3 C ．4∶1 D ．6∶1 答案：A[解析] 在星球表面附近，万有引力等于重力，即G MmR 2＝mg ，解得星球质量M ＝gR 2G .地球和月球的质量之比M 地M 月＝g g 0·R 2R 20＝961，由密度公式ρ＝M V ，体积公式V ＝43πR 3，联立解得地球和月球的密度之比ρ地ρ月＝M 地M 月·R 30R 3＝32，选项A 正确． [2015·江苏卷] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A. 110B ．1C ．5D ．10答案：B [解析] 题中这颗行星绕其中心天体做圆周运动，其向心力是由中心天体与行星间的万有引力提供，即G M 中心m 行r 2行＝m 行ω2行r 行＝m 行4π2r 行T 2行，可得M 中心＝4π2r 3行GT 2行；同理，地球绕太阳运动，有M 太阳＝4π2r 3地GT 2地；那么，中心天体与太阳的质量之比为M 中心M 太阳＝4π2r 3行GT 2行4π2r 3地GT 2地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 地T 行2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203·⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．■ 规律总结天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题时，首先要掌握基本方法(两个等式：①万有引力提供向心力；②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力)，其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：(1)利用卫星的轨道半径r 和周期T ，可得中心天体的质量为M ＝4π2r 3GT2，并据此进一步得到该天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3(R 为中心天体的半径)，尤其注意当r ＝R时，ρ＝3πGT2.(2)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ，可得天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.热点四 宇宙速度 黑洞与多星系统 1.双星系统系统可视天体绕黑洞做圆周运动黑洞与可视天体构成的双星系统两颗可视星体构成的双星系统图示向心力的来源黑洞对可视天体的万有引力彼此给对方的万有引力彼此给对方的万有引力2.多星系统系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)四星系统图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力另外三星球对其万有引力的合力4 [2015·安徽卷改编] 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4­12­1为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，则下列说法正确的是( )图4­12­1A ．A 星体所受合力大小F A ＝2G m 2a 2B ．B 星体所受合力大小F B ＝7G m 2a2C ．C 星体的轨道半径R C ＝72aD ．三星体做圆周运动的周期T ＝2πa 3GM答案：B[解析] 由万有引力定律可知，A 星体所受B 、C 星体的引力大小为F BA ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2＝F CA ，方向如图所示，则合力大小为F A ＝23G m 2a 2；同理，B 星体所受A 、C 星体的引力大小分别为F AB ＝G m A m B r 2＝G 2m 2a 2，F CB ＝G m C m B r 2＝G m 2a 2，方向如图所示，由F Bx ＝F AB cos 60°＋F CB ＝2G m 2a2，F By ＝F AB sin 60°＝3G m 2a 2，可得F B ＝F 2Bx ＋F 2By ＝7G m 2a2；通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，R C ＝34a 2＋12a 2，可得R C ＝74a ；三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B ＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R C ，可得T ＝πa 3Gm，只有选项B 正确． 多选)[2016·武汉武昌区调研] 太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A 每颗星体的质量均为m ，相邻两颗星体中心间的距离都为R ；某三角形三星系统B 的每颗星体的质量恰好也均为m ，且三星系统A 外侧的两颗星体与三星系统B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G ，则( )A ．三星系统A 外侧两颗星体运动的线速度大小为v ＝Gm RB ．三星系统A 外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝12R 5GmRC ．三星系统B 的运动周期为T ＝4πRR 5GmD ．三星系统B 任意两颗星体中心间的距离为L ＝3125R答案：BCD[解析] 三星系统A 中，三颗星体位于同一直线上，外侧两颗星体围绕中央星体在半径为R 的同一圆轨道上运行，外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的万有引力的合力提供向心力，有G m 2R 2＋G m 2（2R ）2＝m v 2R，解得v ＝5Gm4R，A 错误；三星系统A 中，周期T ＝2πRv＝4πRR 5Gm ，则其角速度为ω＝2πT ＝12R5GmR，B 正确；由于两种系统周期相等，即T ＝4πRR5Gm，C 正确；三星系统B 中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，对其中一颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2Gm 2L 2cos 30°＝m L 2cos 30°4π2T2，解得L＝3125R，D正确．[2016·兰州诊断考试] 北京时间2016年2月1日23∶40左右，激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波．它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是( )A．两个黑洞绕行的角速度相等B．两个黑洞绕行的线速度相等C．两个黑洞绕行的向心加速度相等D．质量大的黑洞旋转半径大答案：A [解析] 对于两个黑洞互相绕转形成的双星系统，其角速度ω相等，周期相等，选项A正确；由于两个黑洞的质量不等，两个黑洞旋转的半径不等，质量较小的黑洞旋转半径较大，质量较大的黑洞旋转半径较小，选项D错误；由v＝ωr可知，两个黑洞绕行的线速度不等，质量小的黑洞线速度较大，选项B错误；两个黑洞绕行时其向心力由两个黑洞之间的万有引力提供，向心力相等，而由于两个黑洞的质量不等，由牛顿第二定律可知，两个黑洞绕行的向心加速度不等，质量较小的黑洞向心加速度较大，选项C错误．■ 方法技巧多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等．(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供．(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的，不能误认为一样．【教师备用习题】1．[2013·福建卷] 设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆．已知引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( )A ．GM ＝4π2r3T 2B ．GM ＝4π2r2T 2 C ．GM ＝4π2r2T3 D ．GM ＝4πr3T2[解析] A 行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即G Mmr2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，解得GM ＝4π2r3T2，A 正确．2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G ＝6.67×10－11N ·m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km ，利用以上数据估算出月球的质量约为( )A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg[解析] D 由万有引力充当向心力，有G Mm （r ＋h ）2＝m 4π2T 2(r ＋h )，可得月球质量M ＝4π2（r ＋h ）3GT2＝7.4×1022kg ，选项D 正确．3．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星­500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，火星的质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度为g ，地球的半径为R ，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响，引力常量为G ，下列说法正确的是( )A ．火星的密度为2g3πGRB ．火星表面的重力加速度是29gC ．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为23D ．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是92h[解析] A 对地球表面上质量为m 的物体，由牛顿第二定律，有G Mm R 2＝mg ，则M ＝gR 2G ，火星的密度为ρ＝19M 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝2g3πGR ，选项A 正确；对火星表面上质量为m ′的物体，由牛顿第二定律，有GM9m ′R 22＝m ′g ′，则g ′＝49g ，选项B 错误；火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比v ′1v 1＝g ′R2gR＝23，选项C 错误；王跃跳高时，分别有h ＝v 202g 和h ′＝v 202g ′，所以在火星上能达到的最大高度为94h ，选项D 错误． 4．[2014·北京卷] 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0.① 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值F 1F 0的表达式，并就h ＝1.0%R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；② 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值F 2F 0的表达式．(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r 、太阳的半径R s 和地球的半径R 三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．[答案] (1)①F 1F 0＝R 2（R ＋h ）20.98②F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2(2)1年[解析] (1)设小物体质量为m . ①在北极地面G MmR2＝F 0 在北极上空高出地面h 处G Mm （R ＋h ）2＝F 1 F 1F 0＝R 2（R ＋h ）2当h ＝1.0%R 时F 1F 0＝11.012≈0.98. ②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有G Mm R 2－F 2＝m 4π2T 2R 得F 2F 0＝1－4π2R 3GMT 2. (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为M S ，地球质量为M ，地球公转周期为T E ，有G M S M r 2＝Mr 4π2T 2E得T E ＝4π2r 3GM S ＝3πr 3G ρR 3S .其中ρ为太阳的密度．由上式可知，地球公转周期T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．5．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，如图所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 1的同步轨道站，求轨道站内质量为m 1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R .(2)当电梯舱停在距地面高度h 2＝4R 的站点时，求舱内质量m 2＝50 kg 的人对水平地板的压力大小．地面附近重力加速度g 取10 m/s 2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s ，地球半径R ＝6.4×103km.[答案] (1)12m 1ω2(R ＋h 1)2 (2)11.5 N [解析] (1)设货物相对地心的距离为r 1，线速度为v 1，则 r 1＝R ＋h 1v 1＝r 1ω货物相对地心的动能为E k ＝12m 1v 21 联立解得E k ＝12m 1ω2(R ＋h 1)2. (2)设地球质量为M ，人相对地心的距离为r 2，向心加速度为a n ，受地球的万有引力为F ，则r 2＝R ＋h 2a n ＝ω2r 2F ＝GMm 2r 22g ＝GM R 2 设水平地板对人的支持力大小为F N ，人对水平地板的压力大小为F ′N ，则F －F N ＝m 2a nF′N＝F N联立解得N′＝11.5 N.。

2021高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与宇宙航行第4讲万有引力与宇宙航行学案年级：姓名：第4讲万有引力与宇宙航行知识点开普勒行星运动定律Ⅰ1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是01椭圆，太阳处在椭圆的一个02焦点上。

开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的03面积。

开普勒第三定律：所有行星的轨道的04半长轴的三次方跟它的05公转周期的二次方的比值都相等，即06a3T2＝k。

2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。

知识点万有引力定律及应用Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与01两物体的质量的乘积成正比，与02两物体间距离的二次方成反比。

2．公式：F＝03G m1m2r2，其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。

公式中的r是两个物体之间的04距离。

3．适用条件：适用于两个05质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。

知识点环绕速度Ⅱ101环绕速度，其数值为027.9 km/s。

2．03地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。

304发射速度，也是人造卫星的最大05环绕速度。

4．第一宇宙速度的计算方法(1)由G Mm R 2＝m v 2R ，解得：v ＝06GM R； (2)由mg ＝m v 2R，解得：v ＝07gR 。

知识点第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ1．第二宇宙速度(脱离速度)使物体挣脱01地球引力束缚的最小发射速度，其数值为0211.2 km/s 。

2．第三宇宙速度(逃逸速度)使物体挣脱03太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为0416.7 km/s 。

知识点牛顿力学的局限性与相对论时空观 Ⅰ1．牛顿力学的局限性 (1)牛顿力学的成就01宏观、02低速、03弱引力的广阔领域，包括天体力学的研究中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就。

[考试标准] 知识内容必考要求加试要求说明行星的运动 a 1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节． 2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题． 3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法．4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力．5.不要求分析重力随纬度变化的原因.太阳与行星间的引力 a 万有引力定律 c 万有引力理论的成就 c 宇宙航行 c 经典力学的局限性a一、开普勒行星运动三定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．[深度思考] 判断下列说法是否正确．(1)开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动．( × ) (2)行星离太阳较近时，运动速率比较快，行星离太阳比较远时运动速率比较慢．( √ ) (3)离太阳越远的行星，周期越长．( √ ) 二、万有引力定律1．自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比． 2．万有引力定律的表达式为F ＝G m 1m 2r2.3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用． 4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭称装置测得的，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.三、万有引力理论的成就 1．预言未知星体2．计算天体质量天体质量的计算一般有两条思路：(1)中心天体对卫星的万有引力提供卫星所需的向心力．以计算地球质量为例，若已知月球绕地球运动的周期T 和半径r ，则根据GMm r 2＝m (2πT )2r ，得M ＝4π2r 3GT2.(2)地面(或某行星表面)的物体的重力近似等于物体所受的万有引力．若已知地球半径R 和地球表面的重力加速度g ，由mg ＝GMm R 2得M ＝gR 2G.[深度思考] 当两个物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大吗？为什么？ 答案 不是，此时两个物体不能看成质点了． 四、宇宙航行1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s ，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s. 五、经典力学的局限性1．在经典力学中，物体的质量是不变的，而狭义相对论指出，质量要随着物体运动速度的增大而增大，即m ＝m 01－v 2c2，两者在低速的条件下是统一的．2．经典力学认为位移和时间的测量与参考系无关，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系有关．3．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．4．当物体的运动速度远小于光速c (3×108 m/s)时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别．1．(2016·资阳期末)关于开普勒对行星运动规律的认识，下列说法正确的是( ) A ．所有行星绕太阳的运动都是匀速圆周运动 B ．所有行星以相同的速率绕太阳做椭圆运动C ．对于每一个行星在近日点时的速率均大于它在远日点的速率D ．所有行星轨道的半长轴的二次方与公转周期的三次方的比值都相同 答案 C2．(多选)关于开普勒行星运动的公式R 3T 2＝k ，以下理解正确的是( )A ．k 是一个与行星无关的量B ．若地球绕太阳运动轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运动轨道的半长轴为R 月，周期为T 月，则R 3地T 2地＝R 3月T 2月 C ．T 表示行星运动的自转周期 D ．T 表示行星运动的公转周期 答案 AD3．下面叙述的力，属于万有引力的是( ) A ．马拉车的力B ．月球对登月舱的吸引力C ．钢绳吊起重物，重物对钢绳的拉力D ．地磁场对指南针的吸引力 答案 B4．卡文迪许利用扭秤实验测量的物理量是( ) A ．地球的半径 B ．太阳的质量 C ．地球到太阳的距离 D ．引力常量答案 D5．2012年10月25日，我国再次成功将一颗北斗导航卫星发射升空，并送入绕地球的椭圆轨道．该卫星发射速度v 大小的范围是( ) A ．v <7.9 km/sB ．7.9 km /s< v <11.2 km/sC ．11.2 km /s< v <16.7 km/sD ．v >16.7 km/s答案 B命题点一 万有引力定律的理解和应用例1 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110B ．1C ．5D ．10 解析 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3GT 2，所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒M 太＝r 3恒T 2地 r 3地T 2恒＝(120)3×(3654)2≈1，故选项B 正确．答案 B应用万有引力定律解题的思路和方法 1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T2. (2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR 2＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)．2．天体质量和密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.题组阶梯突破1．(2016·广西模拟)如图1所示为绕太阳运转的各行星轨道示意图，假设图中各行星只受到太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图1A ．水星运行的周期最长B ．地球运行的线速度最大C ．火星运行的向心加速度最小D ．天王星运行的角速度最小 答案 D解析 根据G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2得，向心加速度a n ＝GM r 2，线速度v ＝GMr，角速度ω＝GMr 3，周期T ＝ 4π2r 3GM，天王星的轨道半径最大，周期最长，角速度最小，向心加速度最小，水星的轨道半径最小，线速度最大，故D 正确，A 、B 、C 错误． 2．某行星与地球的质量比为a ，半径比为b ，则该行星表面与地球表面的重力加速度之比为( )A.a bB.ab 2 C ．ab 2 D ．ab 答案 B解析 星球表面上万有引力与重力相等，则地球表面上mg ＝G mMR 2 ①某行星表面上mg ′＝G mM ′r 2 ②由①②两式得g ′g ＝M ′R 2Mr 2＝ab2，故B 正确．3．(2016·广西模拟)两颗行星的质量分别为m 1和m 2，它们绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，若它们只受太阳引力的作用，那么这两颗行星的向心加速度之比为( ) A ．1 B.m 2r 1m 1r 2 C.m 1r 2m 2r 1 D.r 22r 21答案 D解析 万有引力提供行星圆周运动的向心力即：G mM r 2＝ma n ，可得行星的向心加速度a n ＝GMr 2，所以a 1a 2＝r 22r21.4．如图2所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是( )图2A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的cD ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大 答案 D命题点二 宇宙航行和卫星问题例2 宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h 处释放，经时间t 后落到月球表面(设月球半径为R )．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( ) A.2Rh t B.2Rh t C.Rh t D.Rh 2t解析 设月球表面的重力加速度为g ′，由物体“自由落体”可得h ＝12g ′t 2，飞船在月球表面附近做匀速圆周运动可得G Mm R 2＝m v 2R ，在月球表面附近mg ′＝GMm R 2，联立得v ＝2Rht ，故B 正确． 答案 B第一宇宙速度求解和同步卫星的特点1．第一宇宙速度的推导方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GMR＝7.9×103 m/s. 方法二：由mg ＝m v 21R得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度． 2．同步卫星的六个“一定”题组阶梯突破5．关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( ) A ．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍 B ．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播 C ．它以第一宇宙速度运行D ．它运行的角速度与地球自转角速度相同 答案 D解析 由G Mm r 2＝m v 2r 得r ＝GMv 2，可知轨道半径与卫星质量无关，A 错；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B 错；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C 错；所谓“同步”就是卫星保持与赤道上某一点相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D 对．6．若取地球的第一宇宙速度为8 km/s ，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度约为( )A ．16 km /sB ．32 km/sC ．4 km /sD ．2 km/s 答案 A解析 由GMm R 2＝m v 2R ，得v ＝GMR＝8 km/s ，所以该行星的第一宇宙速度v ′＝G ×6M1.5R＝16 km/s ，A 项正确．7．(多选)已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，地球同步卫星的质量为m ，引力常量为G .有关同步卫星，下列表述正确的是( ) A ．卫星距地面的高度为 3GMT 24π2B ．卫星的运行速度小于第一宇宙速度C ．卫星运行时受到的向心力大小为G MmR2D ．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 答案 BD解析 天体运动的基本原理为由万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F 引＝F 向＝m v 2r ＝4π2mr T 2.当卫星在地球表面运行时，F 引＝GMmR 2＝mg (此时R 为地球半径)，设同步卫星离地面高度为h ，则F 引＝GMm(R ＋h )2＝F 向＝ma 向<mg ，所以C 错误、D 正确．由GMm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h得，v ＝GMR ＋h< GM R ，B 正确．由GMm (R ＋h )2＝4π2m (R ＋h )T 2，得R ＋h ＝3GMT 24π2，即h ＝3GMT 24π2－R ，A 错误.(建议时间：30分钟)1．(2016·朝阳区期末)利用如图1所示的装置首先精确测量引力常量的科学家是( )图1A ．第谷B ．牛顿C ．开普勒D ．卡文迪许答案 D解析 牛顿发现万有引力定律后，由英国科学家卡文迪许最先利用扭秤实验较精确测出引力常量G ，故D 正确，A 、B 、C 错误．2．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了引力常量G ，G 的单位是( ) A ．N·m /kg B ．N·m 2/kg C ．N·m /kg 2 D ．N·m 2/kg 2答案 D解析 万有引力定律F ＝G mMr 2，公式中，质量m 的单位为kg ，距离r 的单位为m ，引力F的单位为N ，由公式推导得出，G 的单位为N·m 2/kg 2，故D 正确，A 、B 、C 错误． 3．(2016·宁波质检)地球对月球具有强大的万有引力，为什么不靠在一起，其原因是( ) A ．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等、方向相反，互相平衡了B ．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系里其它星球对月球也有万有引力，这些力的合力等于零C ．地球对月球的万有引力还不算大D ．万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行 答案 D解析 地球对月球的万有引力和月球对地球的万有引力是相互作用力，两个力大小相等、方向相反，作用在两个物体上，不能平衡，故A 错误；月球绕地球做匀速圆周运动，合力不等于零，故B 错误；月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力恰好提供向心力，万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球绕地球运行，故C 错误，D 正确．4．理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．下面对于开普勒第三定律的公式a 3T 2＝k ，下列说法正确的是( )A ．公式只适用于轨道是椭圆的运动B ．式中的k 值，对于所有行星(或卫星)都相等C ．式中的k 值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关D ．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离 答案 C解析 开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．所以也适用于轨道是圆的运动，故A 错误；式中的k 与中心天体的质量有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关．故B 错误，C 正确；已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，故D 错误． 5．开普勒定律告诉我们( )A ．绕太阳运行的天体称为卫星B ．太阳系的八大行星中，离太阳越远的，其周期就越大C ．太阳系的八大行星中，离太阳越远的，其运行速度就越大D ．太阳系的八大行星绕太阳运行的轨迹都是圆 答案 B6．1984年我国第一颗试验同步卫星发射成功到2003年神舟五号载人飞行，我国的航天事业实现了两次质的飞跃．神舟五号历经21小时27分37秒，绕地球运行14圈安全着陆，神舟五号与同步卫星相比( )A ．神舟五号比同步卫星运行时的加速度小B ．神舟五号比同步卫星运行时的速度大C ．神舟五号比同步卫星离地高度大D ．神舟五号与同步卫星在同一轨道平面内 答案 B解析 根据G Mm r 2＝mr 4π2T2得，T ＝4π2r 3GM，由题意知，同步卫星的周期大于神舟五号的周期，则同步卫星的轨道半径大于神舟五号的轨道半径，得知神舟五号比同步卫星离地高度小，故C 错误；根据G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r 得，a n ＝GMr2，v ＝GMr，同步卫星的轨道半径大，则同步卫星的加速度小，速度小，故A 错误，B 正确；同步卫星的轨道平面在赤道的上空，与神舟五号不在同一轨道平面内，故D 错误．7．(多选)(2016·广西模拟)如图2为绕太阳运转的各行星轨道示意图，假设图中各行星只受太阳引力，并绕太阳做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )图2A ．各行星运行的线速度相同B ．各行星运行的角速度相同C ．离太阳越近的行星运行周期越小D ．离太阳越近的行星向心加速度越大 答案 CD解析 根据G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2得，向心加速度a n ＝GM r 2，线速度v ＝GMr，角速度ω＝GMr 3，周期T ＝ 4π2r 3GM，知各行星的线速度、角速度不等；离太阳越近，轨道半径越小，周期越小，向心加速度越大，故C 、D 正确，A 、B 错误．8．宇宙飞船围绕太阳在近似圆周的轨道上运动，若其轨道半径是地球轨道半径的9倍，则宇宙飞船绕太阳运行的周期是( ) A ．3年 B ．9年 C ．27年 D ．81年 答案 C9．已知引力常量为G ，地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，则地球质量为( ) A ．M ＝gR 2B ．M ＝gR 2GC ．M ＝GgRD ．M ＝gRG答案 B解析 设地球表面有一物体质量为m ，由万有引力公式得：GMm R 2＝mg ，解得：M ＝gR 2G .10．地球表面处的重力加速度为g ，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为( ) A ．g B.g 2 C.g4 D ．2g答案 C解析 根据题意有：G MmR 2＝mg ①G mM (R ＋R )2＝mg ′ ② 由①和②得：g ′＝g4故C 正确，A 、B 、D 错误．11．假设地球质量不变，而地球半径增大到原来的2倍，那么从地球上发射人造卫星的第一宇宙速度变为原来的( ) A.2倍 B.22 C.12D ．2倍 答案 B12．2011年9月29日，我国成功发射“天宫一号”飞行器，“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度约为28 000 km /h ，地球同步卫星的环绕速度约为3.1 km/s ，比较两者绕地球的运动( )A ．“天宫一号”的轨道半径大于同步卫星的轨道半径B ．“天宫一号”的周期大于同步卫星的周期C ．“天宫一号”的角速度小于同步卫星的角速度D ．“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度 答案 D解析 “天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度28 000 km /h ≈7.78 km /s ，大于地球同步卫星的线速度，由万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m v 2r ＝m 4π2T 2r ＝mω2r ＝ma n ，得出线速度v＝GMr，可知“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以A 项错误；根据周期公式T ＝ 4π2r 3GM可知“天宫一号”的周期小于同步卫星的周期，所以B 项错误；根据角速度公式ω＝GMr 3可知“天宫一号”的角速度大于同步卫星的角速度，所以C 项错误；根据向心加速度公式a n ＝GMr 2可知“天宫一号”的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，所以D 项正确．13．(多选)质量为m 的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g ，引力常量为G ，不考虑月球自转的影响，则航天器的( ) A ．线速度v ＝GMRB ．角速度ω＝gRC ．运行周期T ＝2πR gD ．向心加速度a n ＝Gm R 2答案 AC解析 由GMm R 2＝m v 2R ＝mω2R ＝m 4π2T 2R ＝mg ＝ma n 得v ＝GMR，A 对；ω＝gR，B 错；T ＝2πR g ，C 对；a n ＝GMR2，D 错． 14．据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G .则该行星的平均密度为( ) A.3πGT 2 B.π3T 2 C.3πb aGT 2 D.3πa bGT 2答案 C解析 万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力G M 地m R 2＝m 4π2RT 2，且ρ地＝3M 地4πR 3，由以上两式得ρ地＝3πGT 2.而ρ星ρ地＝M 星V 地V 星M 地＝b a，因而ρ星＝3πbaGT 2.15．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( ) A ．距地面的高度变大 B ．向心加速度变大 C ．线速度变大 D ．角速度变大 答案 A解析 地球对卫星的万有引力提供向心力，由G mM r 2＝mr (2π)2T 2得：T ＝2πr 3GM，由于周期T 变大，所以卫星距地面的高度变大，A 正确；由卫星运行的规律可知，向心加速度变小，线速度变小，角速度变小，B 、C 、D 错．16．如图3所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面启动后，以g2的加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的1718.已知地球半径为R ，求：图3(1)此时火箭所在位置的重力加速度．(2)火箭此时离地面的高度．(g 为地面附近的重力加速度) 答案 (1)49g (2)R2解析 (1)在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力．取测试仪为研究对象，其先后受力分析如图甲、乙所示，据物体的平衡条件有F N1＝mg 1，g 1＝g ，当升到某一高度时，根据牛顿第二定律有 F N2－mg 2＝m g2，所以F N2＝mg 2＋mg 2＝1718mg ，所以g 2＝49g .(2)设火箭距地面高度为H ， mg 2＝G ·Mm (R ＋H )2，mg ＝GMmR 2， 解得H ＝R 2.。

第四节万有引力定律及其应用一、开普勒三定律1．内容(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动等．(3)开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．答案：B二、万有引力定律1．内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式F ＝G m 1m 2r2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2.3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 4．天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)基本公式：G Mm r2＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧m v 2r →vmrω2→ωmr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2→T mvω2．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km ，“神舟八号”在运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )A ．“天宫一号”比“神舟八号”速度大B ．“天宫一号”比“神舟八号”周期长C ．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大D ．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大解析：航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2＝ma ，解得v ＝GMr，T ＝4π2r3GM，ω＝GM r 3，a ＝GMr2，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B 正确．答案：B 三、宇宙速度 1．三个宇宙速度(1)意义：是人造地球卫星的最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度．(2)计算方法：由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GM R ，或由mg ＝m v 2R得v ＝gR .3．金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？解析：根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg ＝GMmR 2， 故g 金g 地＝M 金M 地·⎝ ⎛⎭⎪⎫R 地R 金2， 金星表面的自由落体加速度g 金＝g 地×0.82×⎝ ⎛⎭⎪⎫10.952m/s 2≈8.9 m/s 2，由万有引力充当向心力，知GMm R2＝mv 2R，解得v ＝GMR， 所以v 金v 地＝M 金M 地·R 地R 金＝0.82×10.95≈0.93，v 金＝0.93×7.9 km/s ≈7.3 km/s.答案：8.9 m/s 27.3 km/s万有引力作用是宇宙中四种相互作用之一(另外三种分别是电磁相互作用强相互作用和弱相互作用)，万有引力是存在于宇宙中的任何两个物体之间，大到天体之间，小到核子之间，只是对微观粒子这种作用较弱，可以忽略不计．考点一 开普勒三定律(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．典例 (多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功[思维点拨] 按开普勒第二定律，海王星在P 点附近速度较大，可知时间较短． 解析：在海王星从P 到Q 的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C 项正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 04，A 项错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 项错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 项正确．答案：CD开普勒第一定律解决了行星绕太阳运动的轨道问题；第二定律解决运行速率问题；第三定律解决周期问题．可推广到天体绕中心天体运动都遵循此规律．考点二 万有引力定律 1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力； (2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F ＝F向＋mg ，所以mg ＝F －F 向＝GMm R2－mRω2自. 2．地球表面附近(脱离地面)的重力与万有引力物体在地球表面附近(脱离地面)绕地球转时，物体所受的重力等于地球表面处的万有引力，即mg ＝GMm R2，R 为地球半径，g 为地球表面附近的重力加速度，上式变形得GM ＝gR 2. 3．距地面一定高度处的重力与万有引力物体在距地面一定高度h 处绕地球转时，mg ′＝GMm（R ＋h ）2，R 为地球半径，g ′为该高度处的重力加速度．4．万有引力的“两个推论”推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F 引＝0.推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对其的万有引力，即F ＝GM ′mr 2. 典例 (2019·沈阳一模)假设地球是一半径为R ，质量分布均匀的球体．一矿井深度为d ，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－d RB ．1＋d RC.⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫R R －d 2[思维点拨] 由于“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可将物体看成是在半径为R －d 的天体的表面上，求出该中心天体的质量，利用重力近似等于万有引力求解．解析：如图所示，根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知地面与矿井底部之间的环形部分对放在矿井底部的物体的引力为零，设地面处的重力加速度为g ，地球质量为M ，由地球表面的物体m 1受到的重力近似等于万有引力，故m 1g ＝GMm 1R 2，再将矿井底部所在的球体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为g ′，该球体质量为M ′，半径r ＝R －d ，同理可得矿井底部处的物体m 2受到的重力m 2g ′＝GM ′m 2r 2，且由M ＝ρV ＝43ρπR 3，M ′＝ρV ′＝43ρπ(R －d )3，联立解得g ′g ＝1－dR，A 正确．答案：A万有引力定律公式适用条件此公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离，一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离．考点三 天体质量和密度的估算 1.常用的天体质量和密度估算方法mr 4π2 T2利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝gR2G只能得到中心天体的质量密度的估算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2，M＝43ρπR3ρ＝3πr3GT2R3，当r＝R时，ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2，M＝43ρπR3ρ＝3g4πGR－(1)天体半径和卫星的轨道半径．通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期．自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．典例(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A．5×109 kg/m3B．5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3[思维点拨] 先找出符合条件的中心天体的最大体积，然后求出中心天体的质量，进一步求出中心天体的最小密度．解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用．以周期T 稳定自转的星体，当星体的密度最小时，其表面物体受到的万有引力提供向心力，即GMm R 2＝m 4π2T 2R ，星体的密度ρ＝M43πR3，得其密度ρ＝3πGT 2＝3×3.146.67×10－11×（5.19×10－3）2 kg/m 3≈5×1015 kg/m 3，故选项C 正确．答案：C估算天体质量和密度的“四点注意”1．利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量．2．区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星，才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的“R ”只能是中心天体的半径．3．天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． 4．注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用．考点四 卫星的运行规律 1.卫星运行的四个关系GMmr 2＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ma →a ＝GM r 2→a ∝1r2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3越高越慢 2．三类特殊位置的转动比较径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )A．2∶1 B．4∶1C．8∶1 D．16∶1[思维点拨] 根据万有引力提供向心力得到周期的表达式，然后根据周期与半径的关系即可求解．解析：卫星P、Q围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，即GMmR2＝m4π2T2R，则T＝4π2R3GM，T PT Q＝R3PR3Q＝81，选项C正确．答案：C1．卫星运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即GMmr2＝mv2r＝mrω2＝m4π2rT2＝ma n.2．解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动关系的桥梁还是牛顿第二定律．(1)卫星的a n、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化．(2)a n、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定．1.(多选)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆．设卫星、月球绕地球运行周期分别为T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则( )A ．T 卫＜T 月B ．T 卫＞T 月C ．T 卫＜T 地D ．T 卫＝T 地解析：设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r 卫、r 同和r 月，因r 月＞r 同＞r 卫，由开普勒第三定律r 3T2＝k ，可知T 月＞T 同＞T 卫，又同步卫星的周期T 同＝T 地，故有T 月＞T 地＞T 卫，选项A 、C 正确．答案：AC2.如图所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A 、B 是卫星运动的远地点和近地点．下列说法中正确的是( )A ．卫星在A 点的角速度大于B 点的角速度 B ．卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度C ．卫星由A 运动到B 过程中动能减小，势能增加D ．卫星由A 运动到B 过程中引力做正功，机械能增大解析：由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝θt知，卫星在A 点的角速度小于B 点的角速度，选项A 错误；设卫星的质量为m ，地球的质量为M ，卫星的轨道半径为r ，由万有引力定律得G mM r2＝ma ，解得a ＝GMr2，由此可知，r 越大，加速度越小，故卫星在A 点的加速度小于B 点的加速度，选项B 正确；卫星由A 运动到B 的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C 错误；卫星由A 运动到B 的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D 错误．答案：B3．(2019·惠州模拟)假设地球为质量均匀分布的球体．已知地球表面的重力加速度在两极处大小为g 0、在赤道处大小为g ，地球半径为R ，则地球自转的周期T 为( )A ．2πRg 0＋gB ．2πRg 0－gC ．2πg 0＋gR D ．2πg 0－gR答案：B4.如图所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷．如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大解析：设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r ，则物体m 所受的万有引力F ＝G ·ρ·43πr 3·mr2＝43πGρmr ，此处的重力加速度a ＝F m ＝43πGρr ，故选项D 正确． 答案：D5．若地球半径为R ，把地球看作质量分布均匀的球体．某潜艇下潜深度为d ，某近地卫星轨道距离地面高度为h ，则此潜艇所在处与此近地卫星所在处的加速度之比为( )A.R －d R ＋hB.（R －d ）2（R ＋h ）2 C.（R －d ）（R ＋h ）2R3D.（R －d ）（R ＋h ）R2解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等有g ＝G MR2.由于地球的质量为M ＝ρ·43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成g ＝GM R2＝G ·ρ43πR 3R2＝43πGρR .根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故潜艇的重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )，所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm （R ＋h ）2＝ma ，近地卫星的加速度为a ＝GM （R ＋h ）2，所以a g ＝R 2（R ＋h ）2，g ′a ＝（R －d ）（R ＋h ）2R 3，故C 正确，A 、B 、D 错误．答案：C6．(2019·乐山一调)一卫星绕某行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v .假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F .已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为( )A.mv 2GFB.mv 4GFC.Fv 2GmD.Fv 4Gm答案：B7．(2017·北京卷)利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析：根据G MmR 2＝mg 可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量；根据GMm R 2＝mv 2R 及v ＝2πR T 可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量；根据G Mm r 2＝m 4π2T2r ，可知已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量．故选D.答案：D8．(2019·济南模拟)热爱天文科学的某同学从网上得到一些关于月球和地球的信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( )A.3∶2 B C ．4∶1 D ．6∶1解析：在星球表面附近，万有引力近似等于重力，即G Mm R 2＝mg ，解得星球质量M ＝gR 2G .地球和月球的质量之比M 地M 月＝g g 0·R 2R 20＝961，由密度公式ρ＝M V ，体积公式V ＝43πR 3，联立解得地球和月球的密度之比ρ地ρ月＝M 地M 月·R 30R 3＝32.答案：A9．(2019·四川棠湖中学开学考)“墨子号”卫星的工作高度约为500 km ，在轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为s ，与地球中心连线扫过的角度为β(弧度)，引力常量为G .则下列关于“墨子号”的说法正确的是( )A ．线速度大于第一宇宙速度B ．环绕周期为2πtβC ．质量为s 3Gt 2βD ．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 答案：B10．(多选)(2019·烟台期末)我国计划到2020年左右，将完成35颗“北斗三号”卫星的组网，实现全球服务能力．“北斗三号”卫星导航系统空间段由5颗同步卫星和30颗非静止轨道卫星组成．以下关于地球同步卫星的说法正确的是( )A ．同步卫星绕地球运动的周期比月球绕地球运动的周期小B ．同步卫星可以从北半球上方通过C ．同步卫星绕地球运动的线速度比第一宇宙速度小D ．同步卫星绕地球运动的向心加速度大小大于地球表面的重力加速度大小解析：根据万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m 4π2T2r ，可得T ＝4π2r3GM，即轨道半径越大，周期越长，月球和地球同步卫星都绕地球转动，月球的轨道半径更大，则周期较大，A 正确；同步卫星只能位于地球赤道正上方，不能从北半球上方通过，B 错误；由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝GMr，即轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度近似等于近地卫星的线速度，而同步卫星的轨道半径比近地卫星的轨道半径大，则其线速度比第一宇宙速度小，C 正确；由G Mm r2＝ma 得a ＝GMr 2，同步卫星的轨道半径比地球的半径大，故其向心加速度大小小于地球表面的重力加速度大小，D 项错误．答案：AC。

第4讲万有引力定律及其应用ZHI SHI SHU LI ZI CE GONG GU知识梳理·自测巩固知识点1 开普勒三定律开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是__椭圆__，太阳处在所有椭圆的一个__焦点__上。

开普勒第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内__扫过的面积__相等。

开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方与__公转周期的二次方__的比值都相等，即a3T2＝k。

(1)对于椭圆轨道，公式a3T2＝k中的a是半长轴，即长轴的一半，注意椭圆轨道的对称性；(2)对于圆轨道，公式a3T2＝k中的a是轨道半径，圆周上的任何位置，万有引力等于向心力；(3)公式a3T2＝k中的k是一个只与中心天体的质量有关的量，与行星的质量无关。

知识点2 万有引力定律1．内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，引力的大小跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。

2．公式：F ＝G m 1m 2r 2，G 为万有引力常量，G ＝__6.67×10－11 N ·m 2/kg 2__。

3．适用条件：适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。

质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球心，也可用此公式计算，其中r 为两球心之间的距离。

思考：卡文迪许把他的实验说成是可以“称量地球的质量”。

阅读教材，怎样通过推导公式来证明卡文迪许的实验是能够称量地球质量的。

[答案] 若忽略地球自转的影响，则mg ＝G Mm R 2，由此得到M ＝gR 2G。

地球表面的重力加速度g 和地球半径R 在卡文迪许之前就已知道，卡文迪许通过实验测得了引力常量G ，所以就可以算出地球的质量M 。

知识点3 人造卫星表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mr ω2＝__mr(2πT)2__ 应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。

基本特征：把天体运动看成是__匀速圆周__运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。