(新课标)河北省衡水重点中学高考数学 课时作业讲解50 理

河北省衡水市重点中学2025届高三最后一卷数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数1,2()21,2,1a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2()()()g x f x bf x c =++有三个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ）A ．12B ．11C ．6D ．32．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米4．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A ．45B ．45-C ．45±D ．355．集合{}|M y y x ==∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．326．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD都是等腰直角三角形，AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A．223πB．283πC．2πD．23π7．设F为双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A．2B．3C．2 D．58．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n的样本.若样本中高中生恰有30人，则n的值为（）A．20B．50C．40D．609．函数的图象可能是下列哪一个？（）A．B．C．D．10．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB．CD．11．已知函数31,0()(),0x x f x g x x ⎧+>=⎨<⎩是奇函数，则((1))g f -的值为（ ）A ．－10B ．－9C ．－7D ．112．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

课时作业(五十八)1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为 ( ) A ．1 B ．4 C ．1或3 D ．1或4答案 A解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.2．直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是 ( )A.7 B ．－77C.77D ．－7答案 A解析 画出图形，根据对称性分析两直线的倾斜角之间的关系，再判断其斜率之间的关系．如图所示，显然直线l 2的斜率为7.3．若ab <0，则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 答案 B解析 k PQ ＝－1b －00－1a＝ab <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.4．已知直线l 的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝15，则直线l 的斜率是( )A ．－43B ．－34C ．－43或－34D ．±43答案 A解析 ∵α为倾斜角，∴0≤α＜π.∵sin α＋cos α＝15，∴sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43.5．两直线x m －y n ＝1与x n －y m＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案 B6．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是 A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12答案 D解析 当2m 2＋m －3≠0时，得m ≠1且m ≠－32.在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0. ∴m ＝2或m ＝－12.7．若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0答案 A解析 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a ，∴1a －1b＝1.∴a －b ＝(a －b )(1a －1b )＝2－b a －a b ＝2＋[(－b a )＋(－ab)]≥2＋2＝4.(当a ＝－b ＝2时取等号)．8．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y －4＝0C ．x ＋2y ＋3＝0D ．x －2y －5＝0答案 B解析 设P (x 0,0)，Q (0，y 0)，∵M (1，－2)为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.即2x －y －4＝0.9．经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过P (1,4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.方法二 设方程为x a ＋y b＝1，将(1,4)代入得1a ＋4b＝1.a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小． ∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.10.已知直线l 1，l 2的方程分别为x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，其图像如图所示，则有( )A ．ac <0B ．a <cC ．bd <0D ．b >d答案 C解析 直线方程化为l 1：y ＝－x a －b a ，l 2：y ＝－x c －d c. 由图像知，－1c <－1a <0，－b a>0>－dc，a >c >0，b <0，d >0.11．直线l 过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则k cos α的取值范围为________．答案 (0,1)解析 由题意可得α∈(π2，π)，∴k ·cos α＝tan α·cos α＝sin α∈(0,1)．12．直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________． 答案 1解析 方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，故a 的值为1.13．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．答案 x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0 解析在3x －y ＋3＝0中， 令y ＝0，得x ＝－3， 即M (－3，0)． ∵直线l 的斜率k ＝3， ∴其倾斜角θ＝60°.若直线l 绕点M 逆时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°＋30°＝90°，此时斜率不存在，故其方程为x ＝－ 3.若直线l 绕点M 顺时针方向旋转30°，则直线l ′的倾斜角为60°－30°＝30°，此时斜率为tan30°＝33. 故其方程为y ＝33(x ＋3)，即x －3y ＋3＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋3＝0或x －3y ＋3＝0.14．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C (3，－3)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B (－2，－1)．∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.15．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x －(2m 2＋m －1)y ＝2m －6. 根据下列条件分别确定实数m 的值． (1)在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是－1.解析 (1)令y ＝0，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3. ②由①式，得m ≠3且m ≠－1.由②式，得3m 2－4m －15＝0.解得m ＝3或m ＝－53.∵m ≠3，∴m ＝－53.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －1≠0， ③m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④由③式，得m ≠－1且m ≠12.由④式，得3m 2－m －4＝0.解得m ＝－1或m ＝43.∵m ≠－1，∴m ＝43.16．如图，过点P (1,2)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解析 设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)， 令y ＝0，得x ＝k －2k，令x ＝0，得y ＝2－k . ∴A 、B 两点坐标分别为A (k －2k，0)，B (0,2－k )． ∵A 、B 是l 与x 轴、y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k －2k >0，2－k >0.∴k <0.S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·k －2k ·(2－k )＝12(4－4k－k )． 由－4k>0，－k >0，得S △AOB ≥12(4＋2－4k－k )＝4.∴S △AOB 最小值为4，方程为2x ＋y －4＝0.1．(2013·衡水调研卷)设s ，t 为正整数，直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t2s x －y ＝0的交点是(x 1，y 1)，对于正整数n (n >1)，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 与直线l 2的交点记为(x n ，y n )，则数列{x n }的通项公式为x n ＝( )A.2sn ＋1 B.sn ＋1C.3s n ＋1D.4s n ＋1答案 A解析 直线l 1：t 2s x ＋y －t ＝0和l 2：t 2s x －y ＝0的交点是(s ，12t )，过点(0，t )和(x n －1,0)的直线l 的方程为y ＝－tx n －1x ＋t ，与l 2的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2s x －y ＝0，y ＝－tx n －1x ＋t ，可得1x＝12s ＋1x n －1，即1x n ＝12s ＋1x n －1，所以1x n －1x n －1＝12s. 因此数列{1x n }是首项为1s ，公差为12s 的等差数列，则1x n ＝1s ＋(n －1)12s ＝n ＋12s ，故x n ＝2sn ＋1. 2．(2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝ ( )A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D 解析如图，以C 为原点，CB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，则D (b 2，a 2)，P (b 4，a 4)，由两点间的距离公式可得|PA |2＝b 216＋9a216，|PB |2＝9b 216＋a 216，|PC |2＝b 216＋a 216.所以|PA |2＋|PB |2|PC |2＝1016a 2＋b 2a 2＋b 216＝10. 3．若直线l ：y ＝kx －1与直线x ＋y －1＝0的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 y ＝kx －1恒过C (0，－1)点．x ＋y －1＝0，令x ＝0，y ＝0，得A (0,1)，B (1,0)．只需l 与线段AB 有交点即可(不含A 、B )， 而k CA 不存在，k 2＝k CB ＝1，∴k ∈(1，＋∞)．。

课时作业50 圆的方程一、选择题1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( A )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．(2019·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( A )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝2 5.故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x－y＋4＝0的距离为5＝|2a＋3|5，即a＝1或a＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x－y－6＝0的距离也为r＝5，所以a＝1.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A.3．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(D)A．2 B．－2C．1 D．－1解析：因为曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝9，若圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m＝－1.4．(2019·贵阳市监测考试)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(A)A．2 3 B．2 2C．3 D．4解析：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m ＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±3，所以|MN|＝2 3.5．(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(D)A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33)D ．[－33，33]解析：解法1：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 解法2：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－0－3|12＋(－1)2＝2>1，直线与圆相离，故排除A ，B ；当k ＝33时，直线l 的方程为x －3y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－3×0－3|12＋(－3)2＝1，直线与圆相切，排除C ，故选D.6．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图．∴圆与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B.二、填空题7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2， 所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.8．(2019·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.9．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y ＝12x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1. 解析：依题意设圆的方程为(x －a )2＋(y －12a 2)2＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝1.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1.三、解答题10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40. ② 由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11．(2019·山西长治六校联考)已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程；(2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2， 即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4.又易知r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12， 所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P 22，22，Q 22，－22或P －22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，∵OP⊥OQ且C1的半径为1，∴O到l的距离为2 2，又l与圆C相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧|m|1＋k2＝22，①|m－4|1＋k2＝22，②由①②知|m|＝|m－4|，∴m＝2，代入①得k＝±7，∴l的方程为y＝±7x＋2.综上，l的方程为x＝±22或y＝±7x＋2.12．(2019·江西新余五校联考)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(D)A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.13．(2019·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于－33.解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin∠OPH＝|OH| |OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－33.14．如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为4π.解析：解法1：设C坐标为(x，y)，则A坐标为(4－x，－y)，∵|AB|＝|AC|，∴(5－x)2＋y2＝(4－2x)2＋4y2，整理得(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以C的轨迹包围的图形面积为4π.解法2：由已知|AB|＝2|AD|，设点A(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝4[(x －2)2＋y2]，所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)，设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·福州高三考试)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1<x <4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1<x <4)，故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －a x＝2x －4， 因为1<x <4，所以－2<k PQ <4，所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2，4)．(2)证明：P (0，a )(a ≠0)．令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a >0，a <2，且a ≠0，解得x ＝1±4－2a 2，故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a 2，0)两点．故可设圆E 的圆心为M (1，t )，由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14，则圆E 的半径r ＝|MP |＝1＋(14－a 2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2)2，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0， 即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12， 故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

课时作业(四十八)1．下列命题中，正确的是( )A ．若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体B ．若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体C ．若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体D ．若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台 答案 C解析 A 错，如球．B 错，如平放的圆柱．C 正确．D 错．如正四棱台．2．(2012·新课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 B解析 由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，可知AB ＝6，CD ＝3，PC ＝3，CD 垂直平分AB ，且PC ⊥平面ACB ，故所求几何体的体积为13×(12×6×3)×3＝9. 3．(2011·新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )答案 D解析 根据分析，只能是选项D 中的视图．故选D.4．(2013·衡水调研)一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A ．2B ．1 C.23 D.13答案 C解析 由三视图知，该几何体是一棱锥，其底面四边形的对角线互相垂直，且长都为2，棱锥高为1，所以，该几何体的体积为V ＝13×2×12×2×1＝23.5．(2011·江西文)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )答案 D解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D 符合．6. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )答案 C解析 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合以上可知，这个空间几何体的正视图可能是C.7．一个空间几何体的三视图如图所示，其主(正)视图是正三角形，边长为1，左(侧)视图是直角三角形，两直角边分别为32 和12，俯视图是等腰直角三角形，斜边为1，则此几何体的体积为( )A.32 B.33 C.312D.324答案 D解析 根据三视图可知此空间几何体为三棱锥，其底面面积为S ＝12×1×12＝14，三棱锥的高为h ＝32，所以几何体的体积为V ＝13Sh ＝13×14×32＝324. 8．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )答案 A解析 由作法规则可知O ′A ′＝2，在原图形中OA ＝22，O ′C ′∥A ′B ′，OC ∥AB ，选A.9.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )A ．上面为棱台，下面为棱柱B ．上面为圆台，下面为棱柱C ．上面为圆台，下面为圆柱D ．上面为棱台，下面为圆柱 答案 C10．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )答案 C解析 选项A 得到的几何体为正方体，其体积为1，故排除1；而选项B 、D 所得几何体的体积都与π有关，排除B 、D ；易知选项C 符合．11．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为( )答案 B解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知，这个空间几何体的侧视图的底面一边长是3，故其侧视图只可能是选项B 中的图形．12．在几何体①圆锥；②正方体；③圆柱；④球；⑤正四面体中，自身三视图完全一样的几何体的序号是________．答案 ②④解析 正方体的三视图都是正方形，球的三视图都是圆．13．下面是长方体积木堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块积木堆成．答案 414．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．答案22解析 ∵OE ＝22－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24.∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.15．已知一几何体的三视图如下，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)________．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体； ④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 答案 ①③④⑤解析 由三视图知，几何体是正四棱柱．所以从该几何体上任意选择4个顶点，它们所构成的几何图形只可能是：①③④⑤.16．(2012·辽宁)已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为23的正方形．若PA ＝26，则△OAB 的面积为________．答案 3 3解析 如图所示，∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC .故可知PC 为球O 直径，则PC 的中点为O ，取AC 的中点为O ′， 则OO ′＝12PA ＝ 6.又∵AC ＝32＋32＝26，PA ＝26，∴PC ＝62＋62＝4 3.∴球半径R ＝23，故OC ＝OA ＝OB ＝2 3. 又∵AB ＝23， ∴△OAB 为等边三角形．∴S △OAB ＝12×23×23×sin60°＝3 3.17.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，则AD ＝3a .所以该平面图形(侧视图)的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.18．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； (2)求这个几何体的表面积及体积． 解析 (1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q －A 1D 1P 的组合体．由PA 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得PA 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm 2)．所以几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．1．(2012·安徽)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则________(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 答案 ②④⑤ 解析如图所示，四面体ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ，故②正确；∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ， ∴∠BAD ＝∠ABC ，∠CAD ＝∠ACB .∴∠BAC ＋∠CAD ＋∠BAD ＝∠BAC ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，故③错；取AB ，BC ，CD ，DA 的中点M ，N ，P ，Q ，连接MN ，NP ，PQ ，MQ ，由此得，MN ＝QP ＝12AC ，NP ＝MQ ＝12BD .∵BD ＝AC ，∴MN ＝QP ＝MQ ＝NP . ∴四边形MNPQ 为菱形．∴对角线相互垂直平分，故④正确，①错误；而⑤正确，如AB ，AC ，AD 可作为△ABC 的三边．2．(2010·北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )答案 C解析 结合正视图和侧视图可知，该空间几何体如图所示，故其俯视图为选项C 中的图形．3. (2011·山东文)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0答案 A解析把直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面即符合要求，故命题③是真命题．4．一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中正确的是( ) A．①②B．②③C．③④D．①④答案 B解析根据画三视图的规则“长对正，高平齐，宽相等”可知，几何体的俯视图不可能是圆和正方形．5．(2013·杭州模拟)如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①④答案 C6．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )答案 D解析 通过分析正视图和侧视图，结合该几何体的体积为13，可知该几何体的底面积应为1，因此符合底面积为1的选项仅有D 选项，故该几何体为一个四棱锥，其俯视图为D.7．(2012·合肥调研)已知某一几何体的主视图与左视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形为( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④答案 D解析 因几何体的主视图和左视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④. 8.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，则所截得的图形可能是下图中的________．(把所有可能的图的序号都填上)答案 ①③9．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解析 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64； (2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋822＝4 2.另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝42＋622＝5，因此 S 侧＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2. 10．已知正三棱锥V －ABC 的主视图、左视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出左视图的面积．解析 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴左视图中VA ＝42－23×32×232＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6.。

课时作业(四十九)1．一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体的对角线长是( )A ．2 3B ．3 2C ．6 D. 6答案 D解析 设长方体共一顶点的三棱长分别为a 、b 、c ， 则ab ＝2，bc ＝3，ac ＝ 6. 解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 故对角线长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝ 6.2．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为( ) A ．6π(4π＋3)B ．8π(3π＋1)C ．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D ．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)答案 C解析 分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论．3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于 ( )A ．2 2 B.233 C.423D.433答案 D解析 由题意知V ＝43πR 3＝32π3，∴R ＝2，外接球直径为4.即正方体的体对角线，设棱长为a ，则体对角线l ＝3a ＝4，a ＝433.4．(2012·新课标)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( )A.6π B ．43π C ．46π D ．63π答案 B解析 设球O 的半径为R ，则R ＝12＋22＝3，故V 球＝43πR 3＝43π.5．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ( )A ．28＋6 5B ．30＋6 5C ．56＋12 5D ．60＋12 5答案 B 解析根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图(如图所示)，此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S ＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋12×25×41－5＝30＋6 5. 6．(2012·湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π答案 B解析 由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V ＝2π＋π＝3π.7．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( )A ．4 3B ．8 3C ．12 3D ．24 3答案 D解析 该几何体的高h ＝42－22＝12＝23， ∴V ＝13×12×6×2×23＝4 3.故选A.8．(2010·福建)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )A.36π B.12π C.33π D.433π 答案 A解析 由几何体的三视图可知该几何体是一个圆锥的一半，其底面半径为1，高为3， ∴V ＝12×13×π×12×3＝36π.故选A.9．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为( )A ．7 3B ．6 3C ．3 3D ．9 3答案 A解析 原正四面体的表面积为4×934＝93，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×34＝23，故所得几何体的表面积为7 3.故选A.10．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )A ．8B ．6 2C ．10D ．8 2答案 C解析 由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.11．已知一种救灾帐篷的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：m)，可得每个这种帐篷的用料是( )A ．(19＋45) m 2B ．(27＋25) m 2C ．27 m 2D ．(35＋25) m 2答案 A 解析由三视图可知，这种救灾帐篷是一个长方体与一个直三棱柱构成的组合体，如图所示，则每个这种帐篷的用料是2×(4＋2)×1.5＋2×12×2×0.5＋2×4×52＝(19＋45) m 2.12．圆台上下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积为________． 答案733π 13．四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图所示，则四棱锥P －ABCD 的表面积为________．答案 (2＋2)a 2解析 依题意得知，在该四棱锥中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝a ，底面四边形ABCD 是边长为a 的正方形，因此有PD ⊥CD ，PB ⊥BC ，PB ＝PD ＝2a ，所以该四棱锥的表面积等于a 2＋2×12a 2＋2×12×2a ×a ＝(2＋2)a 2.14. 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为________．解析 方法一 设AB ＝a ，AD ＝b ，DD ′＝c ， 则长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的体积V ＝abc . 又S △A ′DD ′＝12bc ，且三棱锥C －A ′DD ′的高为CD ＝a .∴V 三棱锥C －A ′DD ′＝13S △A ′DD ′·CD ＝16abc .则剩余部分的几何体积V 剩＝abc －16abc ＝56abc .故V 棱锥C －A ′D ′D ∶V 剩＝16abc ∶56abc ＝1∶5.方法二 已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD ′A ′－BCC ′B ′，设它的底面ADD ′A ′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh .而棱锥C －A ′DD ′的底面面积为12S ，高是h ，因此，棱锥C －A ′DD ′的体积V C －A ′DD ′＝13×12Sh ＝16Sh .余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh .所以棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比为 16Sh ∶56Sh ＝1∶5. 15．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．答案22π3解析 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.16．已知A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)，D (0,3)，四边形ABCD 绕y 轴旋转210°，则所得几何体的体积为________．答案35π12解析 如图，∵V 圆锥＝13π·22·2＝83π.V 圆台＝13π·1·(22＋2×1＋12)＝73π.∴四边形ABCD 绕y 轴旋转360°所得几何体的体积为 8π3＋7π3＝5π. ∴绕y 轴旋转210°所得几何体的体积为210360×5π＝35π12.17. (2012·江苏)如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A —BB 1D 1D 的体积为________cm 3.答案 6解析 由已知可得VA －BB 1D 1D ＝23VA 1D 1B 1－ADB＝23×12VA 1B 1C 1D 1－ABCD＝23×12×3×3×2＝6(cm)3.18．(2012·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 38解析 由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3 m,2 m 的长方体．故组合体的体积V ＝3×4×2＋12×(1＋2)×1×4＝30 m 3.19．(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC —A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥A ′—MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)解析 (1)方法一 连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC —A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′的中点． 又因为N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.方法二 取A ′B ′中点P ，连接MP ，NP ，AB ′. 因为M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点， 所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′. 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′. 又因MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)方法一 连接BN ，由题意A ′N ⊥B ′C ′，平面A ′B ′C ′∩平面B ′BCC ′＝B ′C ′，所以A ′N ⊥平面NBC .又A ′N ＝12B ′C ′＝1，故V A ′－MNC ＝V N －A ′MC ＝12V N －A ′BC ＝12V A ′－NBC ＝16.方法二 V A ′－MNC ＝V A ′－NBC －V M －NBC ＝12V A ′－NBC ＝16.20．已知六棱锥P －ABCDEF ，其中底面为正六边形，点P 在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P －ABCDEF 的体积．答案 215 解析如图，O 为正六边形中心，则PO 为六棱锥的高，G 为CD 中点，则PG 为六棱锥的斜高，由已知得CD ＝2 cm ，则OG ＝3，CG ＝1.在Rt △PCG 中，PC ＝3，CG ＝1，则PG ＝PC 2－CG 2＝2 2.在Rt △POG 中，PG ＝22，OG ＝3，则PO ＝PG 2－OG 2＝ 5.(或直接用：PO ＝PC 2－OC 2＝32－22＝5)V P －ABCDEF ＝13S ABCDEF ·PO ＝13×6×34×22×5＝215.1．(2011·北京文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2答案 B解析 该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2.2．(2011·广东文)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A ．4 3B ．4C ．2 3D ．2答案 C 解析由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC ＝23，BD ＝2，高OP ＝3，其体积V ＝13×(12×23×2)×3＝2 3.3．(2011·湖南文)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18 答案 D解析 这个空间几何体上半部分是一个半径为32的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为4π3×(32)3＋3×3×2＝9π2＋18.4．(2010·新课标全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2答案 B解析 如图，O 1，O 分别为上、下底面的中心，D 为O 1O 的中点，则DB 为球的半径，有r ＝DB ＝OD 2＋OB 2＝a 24＋a 23＝7a 212. ∴S 表＝4πr 2＝4π×7a 212＝73πa 2.5．半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )A.5πB.6πC ．πD ．5π答案 B 解析方法一 作过正方体对角面的截面，如图，设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ， 那么CC ′＝a ，OC ＝22a . 在Rt △C ′CO 中，由勾股定理，得CC ′2＋OC 2＝OC ′2.即a 2＋(22a )2＝R 2，∴R ＝62a . ∴V 半球＝23πR 3＝23π(62a )3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球V 正方体＝62πa 3a 3＝6π2.方法二 将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a ，球的半径是R ，则根据长方体的对角线性质，得(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2.即4R 2＝6a 2，∴R ＝62a . 从而V 半球＝23πR 3＝23π(62a )3＝62πa 3，V 正方体＝a 3.因此V 半球V 正方体＝62πa 3a 3＝6π6. (2012·山东)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A —DED 1的体积为________．答案 16解析 由正方体的性质知B 1C ∥平面AA 1D 1D ，∴E 到平面AA 1D 1D 的距离等于C 到平面AA 1D 1D 的距离，于是三棱锥A —DED 1的体积即为三棱锥E —AD 1D 的体积．也是三棱锥C —AD 1D 的体积．∵S △AD 1D ＝12，∴VC －AD 1D ＝13S △AD 1D ·CD ＝13×12×1＝16.7．(2012·湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 12π解析 该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V ＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π.8．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．图1 图2答案 32a解析 如图1中容器内液面的高度为h ，液体的体积为V ，则V ＝S △ABC h ，又如题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为34S △ABC ，高度为2a ，则V ＝34S △ABC ·2a .∴h ＝34S ABC ·2a S △ABC ＝32a ，故填32a .9. 右图所示为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．思路 先根据三视图确定几何体的形状，并确定其几何度量，根据几何体的形状灵活选择求解方法．解析由俯视图可知，几何体的底面是一个四边形，结合正视图与侧视图可知，该几何体是由底面半径为1，母线长为2的两个半圆锥组成的一个组合体，其形状如右图所示．该几何体的表面由两个半圆锥所在圆锥侧面积的一半以及两个圆锥的轴截面构成，因为这两个半圆锥的底面半径和母线长都相等，故该几何体的表面积就等于一个圆锥的侧面积与圆锥轴截面面积的两倍之和．其中圆锥的侧面积S 1＝π×1×2＝2π；圆锥的轴截面△PAB 中，AB ＝2，PO ＝22－12＝3，故其面积S 2＝12×AB ×OP ＝12×2×3＝ 3.所以该几何体的表面积为S ＝S 1＋2S 2＝2π＋2 3.故填2π＋2 3.点评 本题的难点在于根据几何体的三视图确定空间几何体的结构特征，解决此类问题应从俯视图入手，先确定几何体的底面形状，然后根据主视图与侧视图确定其顶点或上底面，并根据三视图中的虚线逐步调整．该题是一个组合体的三视图，抓住侧视图的特征是确定组合体中简单几何体形状的关键，由三视图求解几何体体积、表面积特别要注意侧视图中的相关数据的转化．10．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使体积最大，则高应为________． 答案2033解析 设圆锥底面半径为r ，高为h ，则h 2＋r 2＝202，∴r ＝400－h 2，∴圆锥体积V ＝13πr 2h ＝13π(400－h 2)h ＝13π(400h －h 3)，令V ′＝13π(400－3h 2)＝0得h ＝2033，当h <2033时，V ′>0；当h >2033时，V ′<0，∴h ＝2033时，体积最大． 11．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积． 解析(1)证明 在图1中，可得AC ＝BC ＝22，从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ，取AC 的中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC .又平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，DO ⊂平面ADC ，从而DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)知BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423.由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。

课时作业八十
第一次作业
1．设随机变量的分布列如表所示，且Eξ＝，则a×b＝
A.0.2
是从不等式2－2－8≤0记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望Eξ＝________
答案 5
解析S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，ξ的分布列为
m
,,求：1工期延误天数Y的均值与方差；
2在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．
解析1由已知条件和概率的加法公式有：
PX<300＝，P300≤X<700＝PX<700－PX<300＝－＝，
P700≤X<900＝PX<900－PX<700＝－＝
PX≥900＝1－PX<900＝1－＝
所以Y的分布列为
于是，EY
DY＝0－32×＋2－32×＋6－32×＋10－32×＝
故工期延误天数Y的均值为3，方差为
2由概率的加法公式，得PX≥300＝1－PX<300＝
又P300≤X<900＝PX<900－PX<300＝－＝
由条件概率，得PY≤6|X≥300＝PX<900|X≥300＝错误!＝错误!＝错误!故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是错误!。

课时作业七十八1．如图为一半径为2的扇形其中扇形中心角为90°，在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为D．1－错误!答案 D解析S扇形＝错误!πR2＝π，S△＝错误!×2×2＝2，S阴影＝S扇形－S△＝π－＝错误!＝1－错误!2．在集合{，|0≤≤5,0≤≤4}内任取一个元素，能使不等式错误!＋错误!－1≤0成立的概率为答案 A解析集合{，|0≤≤5,0≤≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线＝0，＝5，＝0，＝4所围成的长为5、宽为4的矩形，而不等式错误!＋错误!－1≤0和集合{，|0≤≤5,0≤≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形，由几何概型公式可以求得概率为错误!＝错误!3．2022·福建如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是答案 B解析如图所示，这是长度型几何概型问题，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为1设集合落在不等式组：错误!所表示的平面区域内的概率．解析1记“复数为纯虚数”为事件A∵组成复数的所有情况共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，∴所求事件的概率为均匀地分布在平面区域{，|错误!}内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12而所求事件构成的平面区域为{，|错误!}，其图形如图中的三角形OAD阴影部分．又直线＋2－3＝0与轴、轴的交点分别为A3,0、D0，错误!，∴三角形OAD的面积为S1＝错误!×3×错误!＝错误!∴所求事件的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!15．2022·山东济南一模已知向量a＝2,1，b＝，．1若∈{－1,0,1,2}，∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；2若∈[－1,2]，∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．解析1设“a∥b”为事件A，由a∥b，得＝2基本事件有：－1，－1，－1,0，－1,1，0，－1，0,0，0,1，1，－1，1,0，1,1，2，－1，2,0，2,1．共包含12个基本事件；其中A＝{0,0，2,1}，包含2个基本事件．故PA＝错误!＝错误!2设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·ba－b2”恒成立的概率．解析1由题意可知：错误!＝错误!，解得n＝22①两次不放回抽取小球的所有基本事件总数为：0,1，0,21，0,22，1,21，1,22，21,22，1,0，21,0，22,0，21,1，22,1，22,21共12个，事件A包含的基本事件为：0,21，0,22，21,0，22,0共4个，∴PA＝错误!＝错误!②记“2＋2>a－b2恒成立”为事件B，则事件B等价于“2＋2>4”，，可以看成平面上的点，则全部结果所构成区域Ω＝{，|0≤≤2,0≤≤2，、∈R}，而事件B所构成的区域B＝{，|2＋2>4，、∈Ω}，PB＝错误!＝错误!＝1－错误!。

课时作业(六十九)1．到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是( )A．椭圆B．AB所在的直线C．线段AB D．无轨迹答案 C解析∵|AB|＝5，∴到A、B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB.2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y答案 C解析由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.3．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x23＋y24＝1 B.x23＋y24＝1(x≠±3)C.x24＋y23＝1 D.x24＋y23＝1(x≠±2)答案 D解析∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆，又B是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为x24＋y23＝1，且y≠0.4．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是( ) A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线答案 D解析 连接MF ，由中垂线性质知|MB |＝|MF |， 即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等． ∴点M 的轨迹是抛物线． ∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．一个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得到|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点的弦的中点的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线D ．直线答案 A解析 点差法k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y ＝k MF ＝yx －p2化简得抛物线． 7．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程________．答案 x 2＋14y 2＝1解析 设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9，又C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝32y ，代入a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M 、N 两点，作平行四边形MONP ，则点P 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析 方法一 直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y2)．∴|CD |＝x2－52＋y 24＝3. 化简得(x －10)2＋y 2＝36，由于A 、B 、C 三点构成三角形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0.方法二定义法．如右图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36，又A 、B 、C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．10．(2013·衡水调研)已知抛物线y 2＝nx (n <0)与双曲线x 28－y 2m＝1有一个相同的焦点，则动点(m ，n )的轨迹方程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n <0)解析 抛物线的焦点为(n4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n <0，即n 2＝16(m ＋8)(n <0)．11.如图，直角三角形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直角顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线方程；(2)M 为直角三角形ABC 外接圆的圆心，求圆M 的方程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆心N 的轨迹方程． 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ， ∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C (4,0)． ∴圆心M (1,0)．又∵|AM |＝3，∴外接圆的方程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P (－1,0)，M (1,0)，∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是该圆的半径． 又∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN |＝3－|PN |，即 |MN |＋|PN |＝3.∴点N 的轨迹是以M 、P 为焦点，长轴长为3的椭圆． ∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹方程为49x 2＋45y 2＝1.12．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 13．P ，Q 是抛物线C ：y ＝x 2上两个动点，直线l 1，l 2分别是C 在点P ，点Q 处的切线，l 1∩l 2＝M ，直线PQ 恒过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，14，求点M 的轨迹方程．解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有直线MP 的方程y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 直线MQ 的直线方程y －x 22＝2x 2(x －x 2)．交点坐标M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 2.直线PQ 的方程为y －x 21＝x 21－x 22x 1－x 2(x －x 1)，即y ＝(x 1＋x 2)x －x 1x 2. 所以x 1x 2＝－14.所以，M 的轨迹方程为y ＝－14.14．已知A 、B 的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，直线AM 与BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N (1,1)的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且OC →·OD →＝0，求直线l 的方程．解析 (1)设点M 的坐标为(x ，y )，则依题意有：k AM ·k BM ＝－2，即y －0x ＋1·y －0x －1＝－2，化简得x 2＋y 22＝1.∴动点M 的轨迹方程为x 2＋y 22＝1(x ≠±1)．(2)依题意易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋y 2－2＝0，y －1＝k x －1，消去y 得2x 2＋[kx ＋(1－k )]2－2＝0.化简得(2＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. ∴x 1＋x 2＝2kk －12＋k 2，x 1x 2＝1－k 2－22＋k2. ∴y 1y 2＝[kx 1＋(1－k )]·[kx 2＋(1－k )] ＝k 2x 1x 2＋k (1－k )(x 1＋x 2)＋(1－k )2. ∵OC →·OD →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (1－k )(x 1＋x 2)＋(1－k )2＝k 2＋1k 2－2k －12＋k 2＋k －k 22k 2－2k 2＋k2＋(1－k )2＝k 2－6k ＋12＋k2＝0. ∴k 2－6k ＋1＝0，解得k ＝3±2 2.∴直线l的方程为y＝(3＋22)x－2－22或y＝(3－22)x＋22－2.1．(2010·重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( ) A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线答案 D解析在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D1C1是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M(x，y)满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM1⊥AD于M1，MN⊥CD于N，NP⊥D1C1于P，连接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C，则有|MM1|＝|MP|，|y|2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，因此动点M的轨迹是双曲线．2．方程x 2＋xy ＋x ＝0表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线答案 C解析 方程变为x (x ＋y ＋1)＝0，∴x ＝0或x ＋y ＋1＝0. 故方程表示直线x ＝0或直线x ＋y ＋1＝0.3．设动点P 在直线x ＝1上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt △OPQ ，则动点Q 的轨迹( )A ．圆B ．两条平行线C ．抛物线D ．双曲线答案 B解析 设Q (x ，y )，P (1，y 0)， 由几何性质有 Rt △QMO ∽Rt △ONP ， ∴|QM |＝|ON |，|y |＝1. ∴动点Q 的轨迹为两条平行线． 故B 正确．4．F 1、F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左右两焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线答案 B解析 如图，由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝|AF 2|＋|AM |＝2a ＝|F 2M |. 又D 为F 1M 的中点，O 为F 1F 2中点， ∴|OD |＝12|F 2M |＝a .∴点D 的轨迹是圆．5．自圆外一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线PM 和PN ，若∠MPN ＝π2，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝2 C.x 24＋y 2＝1 D.x 22＋y 2＝1 答案 B解析 由题意，得OMPN 构成正方形，|OP |＝2，点P 的轨迹为一半径为2的圆，圆心在原点．6. (2013·东北四校联考)以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y2＝1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，作PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λPM →，QN →·PM →＝0，求点N 的轨迹方程．解析 设P (2cos α，2sin α)，Q (cos α，sin α)，由PN →＝λPM →知N 在PM 上，由QN →·PM→＝0知QN ⊥PM ，∴N (2cos α，sin α)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α，∴x 24＋y 2＝1(x ≠0)．7．(2013·深圳模拟)已知点F 是椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a >0)的右焦点，点M (m,0)，N (0，n )分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足MN →·NF →＝0.若点P 满足OM →＝2ON →＋PO →.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x ＝－a 分别交于点S 、T (O 为坐标原点)，试判断FS →·FT →是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解析 (1)∵椭圆x 21＋a 2＋y 2＝1(a >0)的右焦点F 的坐标为(a,0)，∴NF →＝(a ，－n )．∵MN →＝(－m ，n )，∴由MN →·NF →＝0，得n 2＋am ＝0. 设点P 的坐标为(x ，y )，由OM →＝2ON →＋PO →， 有(m,0)＝2(0，n )＋(－x ，－y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－x ，n ＝y 2，将其代入n 2＋am ＝0，得y 2＝4ax ，即点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4ax .(2)设直线AB 的方程为x ＝ty ＋a ，A (y 214a ，y 1)，B (y 224a，y 2)， 则l OA ：y ＝4a y 1x ，l OB ：y ＝4a y 2x . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4a y 1x ，x ＝－a ，得S (－a ，－4a 2y 1)，同理得T (－a ，－4a 2y 2)． ∴FS →＝(－2a ，－4a 2y 1)，FT →＝(－2a ，－4a 2y 2)，则FS →·FT →＝4a 2＋16a 4y 1y 2.② 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ty ＋a ，y 2＝4ax ，得y 2－4aty －4a 2＝0，∴y 1y 2＝－4a 2.则FS →·FT →＝4a 2＋16a4－4a 2＝4a 2－4a 2＝0. 因此FS →·FT →的值是定值，且定值为0.8．已知定点A (0，－1)，点B 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16上运动，F 为圆心，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P .(1)求动点P 的轨迹E 的方程；若曲线Q ：x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1被轨迹E 包围着，求实数a 的最小值；(2)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点G 在圆F 内，且满足|MG |·|NG |＝|OG |2(O 为坐标原点)，求MG →·NG →的取值范围．解析 (1)由题意得|PA |＝|PB |.∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝4>|AF |＝2.∴动点P 的轨迹E 是以A ，F 为焦点的椭圆． 设该椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 则2a ＝4,2c ＝2，即a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴动点P 的轨迹E 的方程为y 24＋x 23＝1. ∵x 2－2ax ＋y 2＋a 2＝1即为(x －a )2＋y 2＝1，∴曲线Q 是圆心为(a,0)，半径为1的圆．∵轨迹E 为焦点在y 轴上的椭圆，其左，右顶点分别为(－3，0)，(3，0)，且曲线Q 被轨迹E 包围着，∴－3＋1≤a ≤3－1.∴a 的最小值为－3＋1.(2)设G (x ，y )，由|MG |·|NG |＝|OG |2，得 x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，化简得x 2－y 2＝2，即x 2＝y 2＋2.∴MG →·NG →＝(x ＋2，y )·(x －2，y )＝x 2＋y 2－4＝2(y 2－1)． ∵点G 在圆F ：x 2＋(y －1)2＝16内，∴x 2＋(y －1)2<16. ∴y 2＋2＋(y －1)2<16，即2(y 2－y )<13，解得0≤y 2<14＋332，则－2≤2(y 2－1)<12＋33，∴MG →·NG →的取值范围为[－2,12＋33)．。

课时作业(四十五)1．如图是2013年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是( )答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30答案 B解析 观察归纳可知第n 个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋2，∴第七个三角形数为＋2＝28.3．因为对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)是增函数， 而y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数，上面的推理错误的是( )A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．以上都是答案 A解析 y ＝log a x 是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．选A.4．(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 记a n＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.5．(2013·衡水调研卷)已知a n ＝(13)n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝( )A ．(13)67B ．(13)68C ．(13)111D ．(13)112答案 D解析 该三角形所对应元素的个数为1,3,5，…， 那么第10行的最后一个数为a 100，第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝(13)112.6．设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1，2，…，则f 2 013(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1D.1＋x1－x答案 D解析 计算：f 2(x )＝f (1＋x 1－x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f (－1x )＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1，f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x 1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x 1－x ，k ∈N *，从而f 2 013(x )＝1＋x 1－x . 7．某纺织厂的一个车间技术工人m 名(m ∈N *)，编号分别为1,2,3，…，m ，有n 台(n∈N *)织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，定义记号a ij ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定a ij ＝1，否则a ij ＝0，则等式a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3的实际意义是A ．第4名工人操作了3台织布机B ．第4名工人操作了n 台织布机C ．第3名工人操作了4台织布机D ．第3名工人操作了n 台织布机 答案 A解析 a 41＋a 42＋a 43＋…＋a 4n ＝3中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1,2，…，n 表示第1号织布机，第2号织布机，……，第n 号织布机，根据规定可知这名工人操作了三台织布机．8．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式： x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比有x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝ ( )A ．nB ．2nC ．n 2D ．n n答案 D解析 第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝1，第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝4，第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33，归纳可以知道a ＝n n.9．给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为________．答案 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点解析 点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点，观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x.10．(2011·陕西理)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n 个等式为________．答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n 行最左侧的数为n ；每行数的个数分别为1、3、5、…，则第n 行的个数为2n －1.所以第n 行数依次是n 、n ＋1、n ＋2、…、3n －2.其和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.11．(2013·九江市联考)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得：2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率：k ＝p y 0.试用上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．答案 2x －y －2＝0解析 用类比的方法对y 22＝x 2－1两边同时对x 求导得，yy ′＝2x ，∴y ′＝2x 0y 0＝2×22＝2.∴切线方程为y －2＝2(x －2)，∴2x －y －2＝0.12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形．答案 28解析 设第n 个图中小正方形个数为a n ，则a 1＝3，a 2＝a 1＋3＝6，a 3＝a 2＋4＝10，a 4＝a 3＋5＝15，a 5＝a 4＋6＝21，a 6＝a 5＋7＝28.答案 am ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am ＋n＋bm ＋n>a m b n ＋a n b m(a ，b >0，a ≠b ，m ，n >0)．14．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：_______________________________________________________________；②式可用语言叙述为_____________________________________________． 答案 ①(43πR 3)′＝4πR 2②球的体积函数的导数等于球的表面积函数15．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0.(1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式________．(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为________． 答案 (1)a 1a －22a 3＝1，a 1a －32a 33a －14＝1，a 1a －42a 63a －44a 5＝1 (2)C 0n a 1－C 1n a 2＋C 2n a 3－…＋(－1)n C nn a n ＋1＝0解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是有第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，______，______，T 16T 12成等比数列． 答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，在等比数列{b n }中前n 项积为T n ，则T 4＝b 1b 2b 3b 4，T 8＝b 1b 2…b 8，T 12＝b 1b 2…b 12，T 16＝b 1b 2…b 16，因此T 8T 4＝b 5b 6b 7b 8，T 12T 8＝b 9b 10b 11b 12，T 16T 12＝b 13b 14b 15b 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 17．已知函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)，其中a >0，且a ≠1.(1)判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3与f (2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解析 (1)由已知得f ′(x )＝a ln a a 2－1(a x ＋a －x)>0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． (2)f (2)－2>f (1)－1，f (3)－3>f (2)－2.一般的结论为：f (n ＋1)－(n ＋1)>f (n )－n (n ∈N *)． 证明过程如下：事实上，上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )>1⇔a 2n ＋1＋1a ＋a>1⇔(a n ＋1－1)(a n－1)>0，在a >0且a ≠1的条件下，(a n ＋1－1)(a n －1)>0显然成立，故f (n ＋1)－(n ＋1)>f (n )－n (n ∈N *)成立．1．自然数按下列的规律排列则上起第2 007行，左起第2 008列的数为( )A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007 D．2 007×2 008答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007个数，即为[(2 008－1)2＋1]＋2 006＝2 007×2 008.2．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表：则x、y可能满足的一个关系式为________．答案y(108－x)＝2解析将11、12、13、14、15对应的函数值分别写成297、296、295、294、293，观察可得以上函数值的分母依次成等差数列，设所成的等差数列为{a n}，易知分母a n＝a11＋(n－11)·(－1)＝97－n＋11＝108－n，因此y＝2108－x，即y(108－x)＝2.3.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签2 0132的格点的坐标为________．答案(1 007,1 006)解析∵点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得(1 007,1 006)处标2 0132.4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，……仿此，若m 3的“分裂数”中有一个数是59，则m 的值为________．答案 8解析 依题意得这些数的立方中的分解数依次是3,5,7,9，…，且相应的加数的个数与对应的底数相同，易知从2开始的前n 个正整数的立方共用去数列{2n －1}中的项数是n n ＋2－1，数列{2n －1}(n ∈N )*中的第n n ＋2项是n (n ＋1)－1.注意到7×8－1<59<8×9－1，因此m ＝8.5．已知任意一个正整数的三次幂均可表示成一些连续奇数的和，如图所示，33可表示为7＋9＋11，我们把7、9、11叫做33的“数因子”，若n 3的一个“数因子”为2 013，则n ＝________.13＝1 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 …… 答案 45解析 由图可知，n 3可表示为n 个连续奇数的和，而所有正整数的“数因子”都是按照从小到大的顺序排列的，所以前n 个正整数的三次幂的“数因子”共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2个，因为2 013＝2×1 006＋1，故2 013是第1 007个奇数．而44×452＝990<1 007，45×462＝1 035>1 007，所以443的最大“数因子”是第990个奇数，453的最大“数因子”是第1 035个奇数，故第1 007个奇数2 013应是453的一个“数因子”．6．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R 2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．答案 R 2tan α2解析将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2·tan α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2.7．(2013·哈师大附中)Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，作AD ⊥BC ，D 为垂足，BD 为AB 在BC 上的射影，CD 为AC 在BC 上的射影，则有AB 2＋AC 2＝BC 2，AC 2＝CD ·BC 成立．直角四面体P ­ABC (即PA ⊥PB 、PB ⊥PC ，PC ⊥PA )中，O 为P 在△ABC 内的射影，△PAB 、△PBC 、△PCA的面积分别记为S 1、S 2、S 3，△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积分别记为S ′1，S ′2、S ′3，△ABC 的面积记为S .类比直角三角形中的射影结论，在直角四面体P ­ABC 中可得到正确结论________．(写出一个正确结论即可)答案 S 21＝S 1′S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)解析 空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体↔多边形；面↔边；体积↔面积；二面角↔平面角；面积↔线段长，……由此，可类比得S 21＝S ′1S (或S 2＝S 21＋S 22＋S 23)．8．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.答案 (－1)n ＋1n 2＋n2解析 注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.9．设数列{a n }是以d 为公差的等差数列，数列{b n }是以q 为公比的等比数列．将数列{a n }的相关量或关系式输入“LHQ 型类比器”左端的入口处，经过“LHQ 型类比器”后从右端的出口处输出数列{b n }的相关量或关系式，则在右侧的“？”处应该是________．答案 B n ＝b 1×(q )n －1解析 注意类比的对应关系：＋→×，÷→开方，×→乘方，0→1，所以B n ＝b 1×(q )n－1.10．对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，….根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，p 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋p＝________.答案 11解析 由22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，可知n 2＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)．由m 2＝1＋3＋5＋…＋11，可知m ＝6，易知53＝21＋23＋25＋27＋29，则21是53的分解中最小的正整数，可得p ＝5.故m ＋p ＝11.。