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广义积分习题课

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06 第六节 广义积分审敛法

06 第六节 广义积分审敛法

第六节 广义积分审敛法判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其它方法来判断广义积分的收敛性.分布图示★ 无穷限广义积分的审敛法★ 比较审敛原理 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 绝对收敛 ★ 例6 ★ 例7★ 无界函数广义积分的比较审敛原理★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ Γ-函数 ★ Γ-函数的几个重要性质★ 例11 ★ 例12★ 内容小结 ★ 习题5-6★ 返回内容要点一、无穷限广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分审敛法三、-Γ函数： 定义 性质例题选讲无穷限广义积分的审敛法例1 (E01) 判别广义积分⎰+∞+1341x dx 的敛散性. 解 因为,111103/4434x x x =<+<这里,134>=ρ故由推论1知，题设广义积分收敛. 例2 (E02) 判别广义积分⎰+∞+121x x dx 的敛散性. 解 因为,111lim 22=+⋅+∞→x x x x 这里,12>=p 故由推论2知，题设广义积分收敛.例3 判别广义积分⎰∞++122/31dx x x 的敛散性. 解 因为 ,1lim 1lim 2222/3+∞=+=++∞→∞→x x x x x x x x 故根据推论2知，题设广义积分发散.例4 (E03) 判别广义积分dx xe x ⎰∞+-+11的敛散性. 解 因为当1≥x 时，,11xx e x >+- 故由推论1知，题设广义积分发散 .例5 (E04) 判别广义积分⎰+∞1arctan dx xx 的敛散性. 解 因为,2arctan lim arctan lim π==+∞→+∞→x x x x x x 故根据推论2知，题设广义积分发散 . 例6 判别广义积分⎰+∞-0sin bxdx e ax 的收敛性，其中b a ,都是常数，且.0>a解 ,sin ax ax e bx e --≤而dx e ax ⎰+∞-0收敛 .∴dx bx e ax |sin |0-+∞⎰收敛，故题设广义积分收敛 .例7 (E05) 判别广义积分⎰+∞a dx x x 23sin )0(>a . 解 由于,1|sin |223xx x ≤而dx x a ⎰+∞21收敛，故dx x x a |sin |23∞+⎰收敛，即dx xx a ⎰+∞23sin 绝对收敛 .无界函数的广义积分审敛法 例8 (E06) 判别广义积分⎰31ln xdx 的收敛性. 解 被积函数在点1=x 的右邻域内无界.又由洛必达法则知 ,011lim ln 1)1(lim 11>=-++→→xx x x x 故根据推论4知，题设广义积分发散.例9 判别广义积分⎰101sin dx xx 的收敛性. 解 因为,11sinx x x ≤而⎰10x dx 收敛，根据比较审敛原理知， 广义积分dx xx ⎰101sin 收敛，从而题设广义积分也收敛.例10 (E07) 判别广义积分⎰-20cos 1πdx x x m的收敛性.解 由于0=x 是m xx x f cos 1)(-=的瑕点，且 ),0(12121~cos 122→=--x x x x x x m mm 所以，当,12<-m 即3<m 时，题设广义积分收敛 ;当,12≥-m 即3≥m 时，题设广义积分发散 .例11计算下列各式的值:;)3(2)6()1(ΓΓ.)21()25()2(ΓΓ 解 )1(由公式得:;302345!22!5)3(2)6(=⋅⋅=⋅=ΓΓ )2(由公式得:)21()23(23)21()25(ΓΓ=ΓΓ.43)21()21(2123=ΓΓ⋅=例12 计算下列广义积分:(1) ;03⎰+∞-dx e x x(2) 已知),(r Γ计算);0(,01>⎰+∞-λλdx e x x r (3) ).0(,022>⎰+∞-a dx e x a 解 )1( )4(30Γ=⎰-+∞dx e x x !3=.6=)2( 令,t x =λ则.dt dx =λ于是dt e t dx e x t r x r λλλ1)(1010--∞+--∞+⎰=⎰dt e t t r r --∞+⎰=101λ.)(r r λΓ= )3( 令,ax t =则.adx dt =于是⎰+∞-022dx e x a ⎰+∞-=021dt e a t 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⋅=a .2a π=。

【清华】定积分和广义积分习题

【清华】定积分和广义积分习题

又 F(0) = 0 ， 所以 F(u) = 0, u ∈ [0, a] ，
∫ ∫ 故 a f (x)dx + f (a) f −1( y)dy = af (a) 。
0
0
法二 因为
∫0f
(a)
f
−1 (
y)dy
y= f (x)
= ∫0a xf
′(x)dx
=
xf
( x)
a 0
−
∫0a
π
= ∫04 ln
2dx
+
π
∫04
ln(cos(
x
−
π 4
)dx
−
π
∫04
ln(cos
x)dx
= π ln 2 。
8
（６）求定积分 ∫0π ln( 1+ cos x)dx 。
解 （广义积分，换元积分法）
因为
∫0π
ln( 1+
cos
x)dx
x=π −t
=
∫0π
ln(1 −
cos t )dt
=
2
C:\huzhiming\教学材料\习题课\定积分广义积分习题解答 2002.doc 扈志明 Page 3 of 9
π
且 ∫02 ln(cos t)dt
π
= ∫02 ln(sin
t =π −u π
t)dt = ∫π2 ln(sin
u)( − du)
= ∫ππ ln(sin
u)du ，
xdx
=
∫0π
sin(
n
−1) x cos sin x
xdx
=
1 2
∫0π
sin nxdx sin x

高等数学ch05第5讲

高等数学ch05第5讲

从而
原式
4
0
ln1
tgt
dt
4
0
ln
1
sin cos
t t
dt
4
0
ln
2
cos
4
t
dt
4
0
ln
cos
tdt
4
ln
0
2dt
4
0
ln
cos
4
t
dt
4
0
ln
cos
tdt
ln 2 8
1 ln1 x
0 1 x2 dx
解法二：令 x 1 t 1 t
则
2
dx 1t 2 dt,
作业： p320. 13,5,7,9.
二。综合练习。
例1。计算
1
2
0
x2
x3
3x
2
dx.
1
解：原式
2
0
x
3
1
1
x
2
8
x
dx
1
1x23xln1x 8ln 2x 2
2
0
8 15ln 2 8ln 3. 13
例2
a
0 x
1 dx.
a2 x2
解 令x asin t,则dx acostdt
a
a
c
例1。判别下列广义积分的收敛性。
1 dx
1
0
; 1 x
1
2 x2dx.
1
1
解 1
0
lim dx
1
1 x 0 0
dx
1x
lim 2 0
1
1x 0

高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案

高数第五章广义积分、定积分应用课堂练习题及参考答案
0
ab.
2
y
b
O
ax
1
4
(2)
四．求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的立体的体积.
1. 由椭圆 x2 y2 1围成的平面图形 a2 b2
解：如图，该旋转体可视为由上半椭圆 y b a2 x2 及 x 轴所围成的图形，绕 x 轴旋转而成 a
的立体，故
Vx
a
dV
a
a
a
b2 a2
解： Vx
2 (x3 )2 dx
0
7
x7
|02
128 7
Vy
2
8 0
x
x3dx
2
1 ( 5
x5 )
|80
64 5
（或者 Vy
8 (22 3
0
y2
)dy
(4 y
3 5
5
y3
)
|80
64 5
(3)
4. 曲线 y x3 与直线 x 0, y 1所围成的图形
解： Vy
1
(3
0
y )2 dy
；当
p 1时，发散
3.
11 1 x2
dx 1 x
1 1
2
( “对”，“错” )
11 1 x2 dx
解：错，无界函数的积分，瑕积分，瑕点为 0，
1
1 dx
01 dx
11 dx
1 x2
1 x2
0 x2
0
1
1 0 dx
lim (1 1) ，（或者
1 x2
x 1
x x 0
2
3
3
x2
x3 3
1
0

65广义积分04238

65广义积分04238

A), 1
1 dx, x
1 B), dx,
1x
C),
1
1 x2
dx,
D),
13
1 dx. x2
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
5
类似地, 可定义
并称此极限值为f(x)在
上的无穷积分
收敛.
定义6.5.2 函数 f(x) 在(-∞, +∞)上连续，其广义积分为
其中c为任意实数. 当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分
1 x
|1
2lim(11).
0
从而
发散.
例6 讨论瑕积分
的敛散性
解：因为x = 0为瑕点, 所有当 p = 1时,
当 p ≠ 1时,
综上所述 当 p<1时,
收敛; 当 p≥1时,
发散.
A 以下广义积分收敛的是（ ）
1 1
A), dx, x 0
2020/6/27
B),
1
1dx, x微积分II
是收敛的; 而若
பைடு நூலகம்
和
其中之一
发散, 则广义积分
都是发散的.
为简单起见, 广义积分可以简化为
其中
2020/6/27
微积分II 第六章定积分
6
2.瑕积分
如果函数f(x)在区间[a,b]上无界，即f(x)在[a,b]上的某个点无界， 这个无界点可能是端点可能是a，b之间的某个点。
定义 6.5.3 如果f(x)对某一点 满足 则称 为暇点. 定义6.5.4 设 f(x)在[a, b)上连续, 且x=b 是f(x)的暇点, 若极限
1 C第六)章, 定1积分x2
d
x,

(整理)9广义积分习题课.

(整理)9广义积分习题课.

第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。

2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。

3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。

2、Cauchy 法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。

4、临界情况的定义法。

5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。

二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。

注意判别法使用的顺序。

例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。

分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。

解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。

q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。

q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。

大学高等数学_09反常积分及其收敛性_习题课


b
v.p.a f (x) dx
(c为瑕点, a c b)

lim
0

c
a
f (x)dx
b
c
f (x) dx
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 常积分收敛 .
思考与练习
P256 题 1 (1) , (2) , (7) , (8)
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说明: 已知
得下列比较审敛法.
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定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(
x)

M xp
p 1,
f
(x)

N xp
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例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用

(b a)1q
b


1 q
a ,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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习题课__广义积分_185402114

习题课 广义积分1. 判断dx x x xx ⎰∞+++121arctan 的收敛性.解: 与dx x⎰+∞121比较，由极限比较法，收敛.2. 判断dx x x x ⎰∞++151ln 的收敛性.解: 由0ln lim3=+∞→xx x ，存在0>X ，使得当0>>X x 时，3ln x x <，167,11ln 535>=+<+p x x x x x x ，直接比较法，收敛.3. 判断广义积分dx x⎰πsin 1的收敛性.解: dx x⎰πsin 1dx xdx x⎰⎰+=πππ220sin 1sin 1，第一个积分显然收敛，对第二个积分令dt dx t x ==-,π，dx xdt tdx x⎰⎰⎰=-=2022sin 1sin 1sin 1ππππ，收敛.4. 讨论dx xxp⎰∞+0arctan 的收敛性.解: dx xxp⎰∞+0arctan dx xx p⎰=10arctan dx xx p⎰∞++1arctan对第一个积分，pxx arctan 与11-p x等价（0→x ），2,11<⇒<-p p 收敛.对第二个积分，pxx arctan 与qx1进行比阶，⎪⎩⎪⎨⎧=>=-+∞→qp q p xx qp x 2arctan limπ因此，当1>≥q p 时第二个积分收敛。

综合上述分析，21<<p 时积分收敛。

5. 判断广义积分的收敛性⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x解: ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101111ln dx x x ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x,0+→x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ∽x ln -，⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+101111ln dx x x 收敛； ,+∞→x x x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111ln ∽221x ，⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x 收敛。

广义积分

习题课 广义积分1. 判断dx x x x ⎰∞++151ln 的收敛性.解: 由0ln lim3=+∞→x x x ，存在0>X ，使得当0>>X x 时，3ln x x <， 167,11ln 535>=+<+p x x x x x x ，直接比较法，收敛. 2. 判断广义积分dx x⎰πsin 1的收敛性.解:dx x⎰πsin 1dx xdx x⎰⎰+=πππ22sin 1sin 1，第一个积分显然收敛，对第二个积分令dt dx t x ==-,π，dx xdt tdx x⎰⎰⎰=-=222sin 1sin 1sin 1ππππ，收敛.3. 讨论dx x xp ⎰∞+0arctan 的收敛性. 解: dx x x p ⎰∞+0arctan dx x xp ⎰=10arctan dx x x p ⎰∞++1arctan 对第一个积分，px x arctan 与11-p x 等价（0→x ），2,11<⇒<-p p 收敛.对第二个积分，pxx arctan 与q x 1进行比阶， ⎪⎩⎪⎨⎧=>=-+∞→qp q p x x qp x 2arctan lim π因此，当1>≥q p 时第二个积分收敛。

综合上述分析，21<<p 时积分收敛。

4. 判断广义积分的收敛性⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x解:⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101111ln dx x x ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x,0+→x ⎪⎭⎫⎝⎛+x 11ln ∽x ln -，⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+101111ln dx x x 收敛； ,+∞→x x x +-⎪⎭⎫⎝⎛+1111ln ∽221x ，⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x 收敛。

4.4 广义积分(2)


dx 练习；∫ 1、 0 1− x e dx 2、 ∫1 x 1 − ln 2 x
1
4.4.3Γ函数
下面介绍一个由无穷积分定义的函数：
Γ函数，它在概率论中经常用到。
+∞ 定义4.4.3 无穷限积分 Γ(t ) = ∫ 0 x t −1e − x dx, (t > 0) 是参
数变量t的函数，称为Γ函数。
f ( x) dx 发散。
则定义瑕积分 类似地，设x = b为函数f (x)的瑕点，
∫ ∫
b a
f ( x)dx = lim b −ε f ( x)dx + ∫ a
ε →0
则定义瑕积分 设x = c(a < c < b)为函数f ( x)的瑕点，
b a
lim+ ∫ c −ε1 f ( x)dx + lim f ( x)dx = ε →0 a
lim+ ∫ b +ε f ( x)dx 存在，则称此极限值为 且极限 ε →0 a
f ( x)在[a, b]上的瑕积分，记作 ∫ f ( x)dx ，即
b a
∫
b a
f ( x) dx = lim+
此时也称积分
则称瑕积分
∫ ∫
ε →0 b a
b a
∫
b a +ε
f ( x)dx
f ( x) dx 收敛，若上式极限不存在，
分别考虑下列两个瑕积分： 2 dx 1 dx ∫0 x − 1 和 ∫1 x − 1 1 dx 1−ε dx = lim+ ∫ = lim+ ln | x − 1 ||1−ε = lim+ ln ε = ∞ 0 ∫0 x − 1 ε →0 0 x − 1 ε →0 ε →0 2 dx 所以瑕积分 ∫0 x − 1 发散 注4.4.2 瑕积分与定积分的记号在形式上相同，因此 计算中应特别注意。在上例中，如果没有发现 是瑕点，则会导致下面的错误解法
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q
q
注、本题的证明思想：过程：由易到难；矛盾集中，突出重点，抓住主要 矛盾。
注、也可以用配因子法处理。 下述的例子用阶的分析法。
例 6
讨论 I
0
(1
sin x
x
)
1 3
1dx
的敛散性。
分析
首 先 将 积 分 分 段
处理，
记
I1
1 (1 0
sin x
x
)
1 3
1dx
，
I 2
1
x
2x 2
x3
x2
所以
ln(1
sin
1 x
x ln cos 1
)
~
1 x 2
，证明过程就是验证上述函数关系。
x
解、由于
lim
x 2
ln(1 sin
1 x
)
lim
ln(1 sin
1 x
)
1
x
x | ln cos 1 | x x
1 x
x2 ln cos 1 x
lim
1
lim t 2 2
例 4 讨论 I
esin x sin 2xdx 的敛散性，其中
0。
0
x
分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积
分，可以用比较判别法或 Cauchy 判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于
被积函数是变号函数，因此，应该用 Abel 判别法或 Dirichlet 判别法。
解：记
x |
x
x，
xm
xm
xm
而类似可以证明
cos 2(x 1)
2
xm x dx 收敛，
2
1 xm
dx
发散，因而，
| sin(x 1) |
2
xm x dx
发散，故 0 m 1时，广义积分条件收敛。
注、从解题过程中可知，利用定义可以证明 m=0 时积分发散。
注、不能将积分分成如下两部分
I
(1
sin x
x
1
)3
1dx
。从被积函数结构看，被积函数形式较为复杂，处理
的方法一般是通过阶的分析，估计其速度，从而估计敛散性，并进一步验证。
对 I1 ，分析奇点附近被积函数的阶。由于
sin x x x3 o(x3 ) , sin x 1 x2 o(x2 ) ，
3!
x
3!
因而， (1
第九章 广义积分习题课 一、主要内容
1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义 既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于 计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法 可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和 Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和 Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和 Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的 Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和 Cauchy 法所起作用基 本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。
t 2n sin tdt
sin tdt 2
2n
0
因而，由 Cauchy 收敛准则， I 2 发散。
综 上 ： q 0 时 ， I 发 散 ； q 0 时 ， －1 p 1 0 时 ， I 绝 对 收 敛 ； q
0 p 1 1 时， I 条件收敛； 1 p 1 时， I 发散。
当 q 0 时，令 t xq ， p 1 q ，则 q
I 1 q
p1q
t
q
sin tdt ＝
0
1 q
1t
0
sin tdt
t
1
sin
tdt
对 I1
1t sin tdt ， 由 于
0
t sin t lim t t0 1
1 ，故 I1 与
1t 1dt 同 时 敛 散 。 因 而 ，
分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身
有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得
收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。
解：先分析绝对收敛性，由于
sin(x 1)
|
x |
1
，
xm
xm
故，m>1 时，广义积分绝对收敛。
当 0 m 1时，利用配因子法验证积分片段的有界性，
(1
sin
x
)
1 3
1
1
sin
x
sin 2 0(
x)
x
3x
x2
其中
sin 2 0(
x)
C
，因而
x2
x2
＋ 1
o（sin 2 x2
x
)dx
收敛，又由于
1
sin x
x
dx
条件
收敛，故 I 2 条件收敛。
因此， I 条件收敛。 注、对复杂的函数结构利用函数展开理论判断广义积分的敛散性也是一个 有效的方法。
lim
x
x
0 ，则
lim
x
x
p
ln(1 xm
x)
l
0
, ,
pm ， pm
当 m 1时，取 p 使得1 p m ，则
故 I 2 收敛。
lim x p ln(1 x) 0
x
xm
当 m 1时，取 p 1，则
ln(1 x)
lim x
x
xm
故 I 2 发散。
因而，当1 m 2时， I 收敛； m 1或m 2 时 I 发散。
x x 2 ln cos 1
t0 ln cos t
x
因而，I
与广义积分
1
1 x 2
dx 同时敛散。故
3 时，I
收敛；
3时，
I 发散。
下述的一个命题反映了判别敛散性的又一思想方法。
例 8 证明：设 f (x) 、g(x)在[a,) 上连续，g(x) 单调且 C2 g(x) C1 0 ，
则 f (x)dx 与 f (x)g(x)dx 同时敛散。
又，此时
esin x sin 2x x
e1
sin 2x x
e 1
sin 2 2x x
e 1 2
1 x
cos4x x
且
＋ 1
1 x
dx发散， ＋ 1
c
os 4 x
x
dx
收敛，因此，
1
esin x sin 2x x
dx
e x
发散。
因而，当 0 1时， I 2 条件收敛。
综上，1 2时，I绝对收敛；0 1时, I条件收敛 ； 2时，I发散。
上述结论也可以总结为：max{p,q}>1 时收敛，max{p,q} 1时发散。
综上：p 1 q或q 1 p 时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}<1<max{p,q} 时收敛，其余时发散。
sin(x 1)
例 2 讨论 I 2
xm x dx 的绝对收敛和条件收敛性，其中 m>0。
|
A sin(x 1)dx ||
2
x
A
(1
2
1 x2
1 x2
) sin(x
1 )dx x
|
| A sin(x 1)d(x 1) |
2
x
x
A 2
1 x2
dx
M
由 Dirichlet 判别法，广义积分收敛。 由于
sin(x 1) 2sin2 (x 1) 1 cos 2(x 1)
2|
例7
I
ln(1
sin
1 x
) dx
（ 0）。
1 x ln cos 1
x
分析：这是无穷限广义积分，分析 x 时被积函数的性质，此时
sin
1 x
0 ，故
ln(1
sin
1 x
)
~
sin
1 x
~
1 x
，
又 cos 1 1 1 o( 1 ) ，故
x
2x2
x3
ln cos 1 ln(1 1 o( 1 ) ~ 1
0
( 1) 1 , ie 2 时， I1 （绝对）收敛； 2 时， I1 发散。
对 I 2
t sin tdt ，由于
1
t sin t
t ，故， 1 时， I 2 绝对收敛；当
1 0时，由 Dirichlet 判别法， I 2 （条件）收敛。
当 0 时，利用周期函数的积分性质，则
1 (1 0
sin x
x
)
1 3
1dx
Hale Waihona Puke ，I2 (1 1
sin x
x
)
1 3
1dx
。
对 I1 ，利用 L’Hosptial 法则，