广义积分习题课

第六节 广义积分审敛法判定一个广义积分的收敛性,是一个重要的问题. 当被积函数的原函数求不出来,或者求原函数的计算过于复杂时,利用广义积分的定义来判断它的收敛性就不适用了. 因此,我们需要其它方法来判断广义积分的收敛性.分布图示★ 无穷限广义积分的审敛法★ 比较审敛原理 ★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 绝对收敛 ★ 例6 ★ 例7★ 无界函数广义积分的比较审敛原理★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ Γ-函数 ★ Γ-函数的几个重要性质★ 例11 ★ 例12★ 内容小结 ★ 习题5-6★ 返回内容要点一、无穷限广义积分的审敛法二、无界函数的广义积分审敛法三、-Γ函数： 定义 性质例题选讲无穷限广义积分的审敛法例1 (E01) 判别广义积分⎰+∞+1341x dx 的敛散性. 解 因为,111103/4434x x x =<+<这里,134>=ρ故由推论1知，题设广义积分收敛. 例2 (E02) 判别广义积分⎰+∞+121x x dx 的敛散性. 解 因为,111lim 22=+⋅+∞→x x x x 这里,12>=p 故由推论2知，题设广义积分收敛.例3 判别广义积分⎰∞++122/31dx x x 的敛散性. 解 因为 ,1lim 1lim 2222/3+∞=+=++∞→∞→x x x x x x x x 故根据推论2知，题设广义积分发散.例4 (E03) 判别广义积分dx xe x ⎰∞+-+11的敛散性. 解 因为当1≥x 时，,11xx e x >+- 故由推论1知，题设广义积分发散 .例5 (E04) 判别广义积分⎰+∞1arctan dx xx 的敛散性. 解 因为,2arctan lim arctan lim π==+∞→+∞→x x x x x x 故根据推论2知，题设广义积分发散 . 例6 判别广义积分⎰+∞-0sin bxdx e ax 的收敛性，其中b a ,都是常数，且.0>a解 ,sin ax ax e bx e --≤而dx e ax ⎰+∞-0收敛 .∴dx bx e ax |sin |0-+∞⎰收敛，故题设广义积分收敛 .例7 (E05) 判别广义积分⎰+∞a dx x x 23sin )0(>a . 解 由于,1|sin |223xx x ≤而dx x a ⎰+∞21收敛，故dx x x a |sin |23∞+⎰收敛，即dx xx a ⎰+∞23sin 绝对收敛 .无界函数的广义积分审敛法 例8 (E06) 判别广义积分⎰31ln xdx 的收敛性. 解 被积函数在点1=x 的右邻域内无界.又由洛必达法则知 ,011lim ln 1)1(lim 11>=-++→→xx x x x 故根据推论4知，题设广义积分发散.例9 判别广义积分⎰101sin dx xx 的收敛性. 解 因为,11sinx x x ≤而⎰10x dx 收敛，根据比较审敛原理知， 广义积分dx xx ⎰101sin 收敛，从而题设广义积分也收敛.例10 (E07) 判别广义积分⎰-20cos 1πdx x x m的收敛性.解 由于0=x 是m xx x f cos 1)(-=的瑕点，且 ),0(12121~cos 122→=--x x x x x x m mm 所以，当,12<-m 即3<m 时，题设广义积分收敛 ;当,12≥-m 即3≥m 时，题设广义积分发散 .例11计算下列各式的值:;)3(2)6()1(ΓΓ.)21()25()2(ΓΓ 解 )1(由公式得:;302345!22!5)3(2)6(=⋅⋅=⋅=ΓΓ )2(由公式得:)21()23(23)21()25(ΓΓ=ΓΓ.43)21()21(2123=ΓΓ⋅=例12 计算下列广义积分:(1) ;03⎰+∞-dx e x x(2) 已知),(r Γ计算);0(,01>⎰+∞-λλdx e x x r (3) ).0(,022>⎰+∞-a dx e x a 解 )1( )4(30Γ=⎰-+∞dx e x x !3=.6=)2( 令,t x =λ则.dt dx =λ于是dt e t dx e x t r x r λλλ1)(1010--∞+--∞+⎰=⎰dt e t t r r --∞+⎰=101λ.)(r r λΓ= )3( 令,ax t =则.adx dt =于是⎰+∞-022dx e x a ⎰+∞-=021dt e a t 2211⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⋅=a .2a π=。

第九章 广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。

2、敛散性判别法Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。

3、广义积分的计算4、广义积分与数项级数的关系5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。

对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。

2、Cauchy 法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。

4、临界情况的定义法。

5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。

注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。

注、在判断广义积分敛散性时要求：1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。

2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。

3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。

二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。

注意判别法使用的顺序。

例1 判断广义积分⎰+∞+=0qp x x dxI 的敛散性。

分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。

解、记⎰+=101qp x x dx I ，⎰+∞+=12q p x x dxI对1I ，先讨论简单情形。

q p =时，1<p 时收敛，1≥p 时发散。

q p ≠，不妨设q p <，则⎰-+=11)1(pq p x x dxI ，故，0≤p 时为常义积分，此时收敛。

习题课 广义积分1. 判断dx x x xx ⎰∞+++121arctan 的收敛性.解: 与dx x⎰+∞121比较，由极限比较法，收敛.2. 判断dx x x x ⎰∞++151ln 的收敛性.解: 由0ln lim3=+∞→xx x ，存在0>X ，使得当0>>X x 时，3ln x x <，167,11ln 535>=+<+p x x x x x x ，直接比较法，收敛.3. 判断广义积分dx x⎰πsin 1的收敛性.解: dx x⎰πsin 1dx xdx x⎰⎰+=πππ220sin 1sin 1，第一个积分显然收敛，对第二个积分令dt dx t x ==-,π，dx xdt tdx x⎰⎰⎰=-=2022sin 1sin 1sin 1ππππ，收敛.4. 讨论dx xxp⎰∞+0arctan 的收敛性.解: dx xxp⎰∞+0arctan dx xx p⎰=10arctan dx xx p⎰∞++1arctan对第一个积分，pxx arctan 与11-p x等价（0→x ），2,11<⇒<-p p 收敛.对第二个积分，pxx arctan 与qx1进行比阶，⎪⎩⎪⎨⎧=>=-+∞→qp q p xx qp x 2arctan limπ因此，当1>≥q p 时第二个积分收敛。

综合上述分析，21<<p 时积分收敛。

5. 判断广义积分的收敛性⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x解: ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101111ln dx x x ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x,0+→x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11ln ∽x ln -，⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+101111ln dx x x 收敛； ,+∞→x x x +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111ln ∽221x ，⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x 收敛。

习题课 广义积分1. 判断dx x x x ⎰∞++151ln 的收敛性.解: 由0ln lim3=+∞→x x x ，存在0>X ，使得当0>>X x 时，3ln x x <， 167,11ln 535>=+<+p x x x x x x ，直接比较法，收敛. 2. 判断广义积分dx x⎰πsin 1的收敛性.解:dx x⎰πsin 1dx xdx x⎰⎰+=πππ22sin 1sin 1，第一个积分显然收敛，对第二个积分令dt dx t x ==-,π，dx xdt tdx x⎰⎰⎰=-=222sin 1sin 1sin 1ππππ，收敛.3. 讨论dx x xp ⎰∞+0arctan 的收敛性. 解: dx x x p ⎰∞+0arctan dx x xp ⎰=10arctan dx x x p ⎰∞++1arctan 对第一个积分，px x arctan 与11-p x 等价（0→x ），2,11<⇒<-p p 收敛.对第二个积分，pxx arctan 与q x 1进行比阶， ⎪⎩⎪⎨⎧=>=-+∞→qp q p x x qp x 2arctan lim π因此，当1>≥q p 时第二个积分收敛。

综合上述分析，21<<p 时积分收敛。

4. 判断广义积分的收敛性⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x解:⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+01111ln dx x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101111ln dx x x ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x,0+→x ⎪⎭⎫⎝⎛+x 11ln ∽x ln -，⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+101111ln dx x x 收敛； ,+∞→x x x +-⎪⎭⎫⎝⎛+1111ln ∽221x ，⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++11111ln dx x x 收敛。

第十一次习题课讨论题解答本次习题课主要讨论广义积分的计算及其收敛性判定。

具体有三方面的内容：一. 广义积分计算二. 广义积分的收敛性判定 三. 三个重要的广义积分两点说明：（1）为了判断广义积分dx x f J ⎰=I)(:的收敛性,我们常常将被积函数)(x f 作分解)()()(21x f x f x f +=，使得广义积分dx x J ⎰=I1)(g :和dx x f J ⎰=I22)(:的收敛性比较容易判断。

根据积分1J 和2J 的收敛性，我们可以确定积分J 的收敛性。

具体有如下结论:（i ）如果积分1J 和2J 都收敛,则积分dx x f ⎰I)(也收敛。

（ii ） 如果积分1J 和2J 一个收敛，一个发散，则积分J 发散。

（iii ） 如果两个积分都发散,则积分J 收敛性尚不能确定。

此时只能说分解式)()()(21x f x f x f +=不管用.例:广义积分⎰⎰⎰+∞+∞+∞-+=111222cos 2 sin dx x xx dx dx x x。

(2）对于正常积分,积分dx x f b⎰a)(存在意味着⎰badx x f )(存在；反之不然。

而对于广义积分情形则刚好相反：广义积分dx x f ⎰I)(存在（收敛）意味着dx x f ⎰I)(存在(收敛），反之不然。

一．计算下列广义积分说明：以下广义积分的收敛性不难证明，故略去.但同学们自己作为练习应该考虑。

题1。

⎰--=bax b a x dxI ))((,其中a b >。

解：对于],[b a x ∈，我们又等式1=--+--a b x b a b a x ,且0≥--a b a x ，0≥--a b x b 。

受此启发，我们作变换t ab ax 2sin =--，于是t ab xb 2cos =--，且t t dx cos sin 2=。

因此 ππ==⎰2/02dt I 。

解答完毕。

注:值得注意的是，这个积分的值与上下限a 和b 无关。

广义积分的计算方法及例题广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、弧长、体积等问题。

广义积分的计算方法有很多种，其中包括换元法、分部积分法、分数分解法、极坐标法等。

这篇文章将详细介绍这些计算方法，并通过例题来说明其应用。

一、换元法换元法是广义积分中常用且实用的计算方法之一。

它利用代数运算中的代换思想，将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，从而简化积分的计算。

换元法的基本思路可以用如下步骤表示：1. 选择适当的代换变量。

2. 将被积函数转化为新变量的函数，利用链式法则计算微元的变换。

3. 将新变量的积分限转化为原变量的积分限。

4. 进行原变量的积分运算。

例如，计算广义积分∫(x^3+1)/(x^4+x^2)dx，我们可以选择x^2作为代换变量，进行以下代换：u = x^2则有du = 2xdx将被积函数中的x^2和dx用u和du表示，则被积函数可以转化为1/(u^2+u)du。

接下来计算u的积分，再将结果转化回原变量的积分。

二、分部积分法分部积分法是广义积分中常用的计算方法之一，利用求导和积分之间的关系进行计算。

分部积分法的基本思路可以用如下公式表示：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是待定函数，u'(x)和v'(x)分别是其导数。

例如，计算广义积分∫x sin(x)dx，我们可以选择u(x) = x和v'(x) = sin(x)，则有u'(x) = 1和v(x) = -cos(x)。

将这些值代入分部积分公式，则可以得到∫x sin(x)dx = -x cos(x) - ∫(-cos(x))dx，再进行简化即可。

三、分数分解法分数分解法是计算广义积分中的一种特殊方法，适用于被积函数为有理函数的情况。

分数分解法的基本思路是将有理函数拆解成多个简单函数之和，从而求出每个简单函数的积分后再加总。