无穷区间上的广义积分

广义积分与无穷小量的概念与运算在微积分学中，广义积分是一种重要的数学工具。

它的概念与运算方法与无穷小量密切相关。

本文将介绍广义积分和无穷小量的基本概念，并探讨它们之间的运算规则。

一、广义积分的概念广义积分是对一定范围内函数的积分运算。

它与定积分的概念类似，但对于某些函数而言，定积分的定义不能直接适用。

这时，我们就需要引入广义积分来处理这种情况。

对于函数f(x)，在区间[a, b]上的广义积分可表示为：∫f(x)dx = lim┬(t→b⁻)⁡〖∫_a^t f(x)dx〗其中，lim表示极限，a和b为积分区间的端点。

在计算广义积分时，我们通常将b设为一个趋于无穷的数，使得函数在该点不再有定义上的问题。

二、无穷小量的概念无穷小量是微积分中一个重要的概念，它表示当自变量趋于某个确定值时，函数取得的极限为零。

无穷小量常用符号o来表示。

形式化地，如果当x趋于a时，函数f(x)满足lim┬(x→a)⁡〖f(x) = 0〗，则称f(x)为x趋于a时的无穷小量。

无穷小量在微积分中有着广泛的应用。

例如，在求导数和积分中，可以利用无穷小量的性质进行计算和推导。

三、广义积分与无穷小量的关系广义积分中的无穷小量概念与极限的思想密切相关。

为了更好地理解广义积分与无穷小量的关系，我们以一个例子来说明。

考虑函数f(x) = 1/x，我们想要求解∫f(x)dx，其中积分区间为[1, ∞)。

首先，我们将该广义积分问题转化为极限问题，即求解lim┬(t→∞)⁡〖∫_1^t 1/x dx〗。

根据定积分的性质，我们可以通过求解定积分的极限来得到广义积分的值。

进一步计算，我们有：lim┬(t→∞)⁡〖∫_1^t 1/x dx = lim┬(t→∞)⁡〖ln(t) - ln(1)〗= ∞〗由此可见，在这个例子中，广义积分∫f(x)dx的值为无穷大。

这说明函数f(x) = 1/x在区间[1, ∞)上不满足定积分的定义，因此需要引入广义积分的概念来处理。

二：积分区间有无穷间断点的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，而.取ε>0，如果极限
存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，
仍然记作：.
即：=，这时也说广义积分收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分发散。

类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而.取ε>0，如果极限
存在，
则定义=；
否则就说广义积分发散。

又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而.如果两个广义积分和
都收敛，
则定义：=+.
否则就说广义积分发散。

例题：计算广义积分(a>0)
解答：因为，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得：。

指导教师：陈一虎作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班．无穷限广义积分的计算陈雪静（宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013）摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣.关键词: 广义积分;收敛;计算方法广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法.1 无穷限广义积分的定义定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限lim ()d tat f x x →+∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,记作()d af x x +∞⎰,即()d af x x +∞⎰=lim ()d tat f x x →+∞⎰;这时也称反常积分()d a f x x +∞⎰收敛;如果上述极限不存在,函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()d af x x +∞⎰就没有意义,习惯上称为反常积分()d af x x +∞⎰发散,这时记号()d af x x +∞⎰不再表示数值了.类似地,设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <. 如果极限lim ()d btt f x x →-∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()d b f x x -∞⎰,即()d bf x x -∞⎰=lim ()d btt f x x →-∞⎰;这时也称反常积分()d b f x x -∞⎰收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分()d bf x x-∞⎰发散.设函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内连续,如果广义积分()d cf x x -∞⎰和()d cf x x +∞⎰（c 为常数）都收敛,则称上述两个反常积分之和为函数()f x 在无穷区间(,)-∞+∞内的广义积分,记作()f x dx +∞-∞⎰,即()d f x x +∞-∞⎰=()d cf x x -∞⎰+()d cf x x +∞⎰=lim ()d ctt f x x →-∞⎰+lim ()d tct f x x →+∞⎰这时也称广义积分()d f x x +∞-∞⎰收敛;否则就称反常积分()d f x x +∞-∞⎰发散.上述反常积分统称为积分区间为无穷区间的广义积分或无穷限广义积分.2 无穷限广义积分的计算方法2.1利用广义积分的定义求无穷限广义积分由定义计算可以分两步:1求定积分()d Aaf x x ⎰=()F A .需要说明的是原函数()F A 均指有限形式.2取极限lim ()d AaA f x x →+∞⎰=lim A →+∞()F A .例1［1］计算23121()d 1x x x+∞++⎰解 =23121lim()d 1bb x x x →+∞++⎰231121lim[d d ]1bb b x x x x →+∞=++⎰⎰2111l i m [2a r ct a n ]2bbb x x→+∞=-211lim[2arctan arctan1]22b b b →+∞=--+2π11lim 2arctan lim 222b b b b →+∞→+∞=--+ π122=+ 2.2利用含参量积分的理论求无穷限广义积分含参量积分:10()e d s x s x x +∞--Γ=⎰（0s >）1110(,)(1)d p q p q x x x --B =-⎰ （0,0p q >>）统称为欧拉积分.其中()s Γ称为格马函数.(,)p q B 称为贝塔函数.且有递推公式(1)()s s s Γ+=Γ 及 1(,)(,1)1q p q p q p q -B =B -+-.因此在计算广义积分时看所给广义积分当,,s p q 为何值时对应的欧拉积分,然后用欧拉积分公式直接算出广义积分的值.例2［5］ 求220e d n x x x +∞-⎰（n 为正整数）解 此广义积分与表达式相似,因此可用Γ函数法求解.220e d n x x x +∞-⎰=limA →+∞220ed An x x x -⎰2t x=21201lim e d 2A n t A t t --→+∞⎰=12112e d n t t t +∞+--⎰==121()2n Γ+=121[()1]2n Γ-+ =121()2n -1()2n Γ-=121()2n -3()2n -3()2n Γ-注:1()2Γ=2.3利用变量代换法求无穷限广义积分有些函数的原函数不易求出或直接积分不出来,但如果对被积函数施以变量代换,在辅以一定的技巧就可以求出这类积分.作变量带换时,首先要对被积函数的结构进行分析,然后再看积分限与被积函数的关系.变换的方向是求出原函数或求出一个含原积分的方程,从而求得所含广义积分的值.例3［2］ 求I=401d 1x x +∞+⎰解 令x=1t ,则I=204d d 11t t x t+∞-+⎰上式加上I=04d 11t t +∞+⎰ 得2I=2401d 1t t t +∞++⎰=202211d 1t t t t +∞++⎰=021d()1()2t t t t +∞--+⎰arctan故2.4利用二重积分理论计算无穷限广义积分.利用二重积分理论计算广义积分时,应分两步: 1把广义积分巧妙的化为一个二重积分.2计算二重积分,从而间接的计算出广义积分的值. 例4［5］计算广义积分2ed x x +∞-⎰解 由于20ed x x +∞-⎰=2e d y y +∞-⎰所以22[ed ]x x +∞-⎰=22ed ed x y x y +∞+∞--⋅⎰⎰而22e d e d x y x y +∞+∞--⋅⎰⎰=22()e d d xy Dx y -+⎰⎰ 其中D=[0,)[0,)∞⨯∞故()22ed x x +∞-⎰=22()e d d x y Dx y -+⎰⎰而22()e d d xy Dx y -+⎰⎰=π42ed x x +∞-⎰=2. 例5［3］计算广义积分I=0sin sin e d pxbx axx x+∞--⎰ 解 因为sin sin bx ax x-=cos()d ba xy y ⎰ 所以I=0sin sin e d px bx ax x x+∞--⎰=0e (cos()d )d bpx axy y x +∞-⎰⎰=0d e cos()d b px ax xy y +∞-⎰⎰=0d e cos()d b px ay xy x +∞-⎰⎰=22d bap y p y +⎰=arctan b p -arctan ap. 2.5积分号下求导法计算无穷限广义积分.收敛因子法:此方法是对被积函数引入一个收敛因子,因子中有一个参数, 对参数（不一定是收敛因子中的参数）求导,有时可求得原积分的值.在此情况下引入的收敛因子加强了原积分的收敛性（如条件收敛的成为绝对收敛,或求导后发散的,变成一致收敛）.这样使积分号下求导条件得以满足.一般采用e kx -（k>0)作为收敛因子.例65］求积分0sin d axx x+∞⎰(0a ≥) 解 引入积分因子e px -（p >0)作积分()F p =0sin e d px axx x+∞-⎰ ()F p '=0e cos d px ax x +∞-⎰=22pp a+ 故 ()F p = arctana p +C =arctan ap(显然C =I(0)=0)由此有 0l i m a r c t a n p a p +→=π2所以 I=π2 故同样可得 0sin d ax x x +∞⎰=-π2(0)a < 2.6积分号下求积分法算无穷限广义积分这种方法是将被积函数中某一因子表为一个适当的积分.于是将原积分化成二次积分.交换这两个积分的顺序,就可求出所给的积分.例7［2］求积分I=2cos d 1xx x β+∞+⎰(0)β> 解 由201e sin d 1xy y y x+∞-=+⎰,于是 I=0cos d e sin d xy x x y y β+∞+∞-⋅⎰⎰=0sin d e cos d xy y y x x β+∞+∞-⋅⎰⎰=22sin d y yy yβ+∞+⎰y tβ==2sin d 1t tt t β+∞+⎰由20d sin d d 1I x x x x ββ+∞=-+⎰,有d d Iβ=I - 所以 I =C e β-为了确定C ,令0β=. 得 020d π12x I C x +∞===+⎰故πe 2I β-=.2.7利用复变函数理论中的留数定理计算无穷限广义积分.定理1［5］ 设函数()f z 在实轴上处处解析,在上半平面Im 0z >除有限个孤立奇点1,2z z ⋅⋅⋅n z 外处处解析,且存在常数00R >,0M >,0δ>,使得当0z R >,且Im 0z >时, 1()M f z zδ+≤,则1()d 2πi [(),]nk k f x x Res f z z +∞-∞==∑⎰推论 1［5］设()()()P z f z Q z =是有理函数,()P z 与()Q z 为z 的n ,m 次多项,多项式()Q z 的次数比()P z 至少高2次,()Q z 在实轴上没有零点,1,2z z ⋅⋅⋅n z 是()f z 在上半平面Im 0z >的孤立奇点,则1()d 2πi [(),]nk k f x x Res f z z +∞-∞==∑⎰例84］计算广义积分22222d ()()x x x a x b +∞-∞++⎰解 因为22222()()()z f z z a z b =++,显然()f z 满足推论的条件,且1z =i a ,2z =i b 是()f z 在上半平面的孤立奇点,这两个点都是()f z 的一级极点,因此有22222ai Re [(),i]lim[(i)]()()z z s f z a z a z a z b →=-++ 2222i()a ab a -=-222i()aa b =- 同理Re [(),i]s f z b =222i()bb a -故22222d ()()x x x a x b +∞-∞++⎰=2πi [222()a i a b -+222()bi b a -] =πa b+ 2.8级数展开法求广义积分例92］ 求积分I=20e cos 2d x bx x +∞-⎰解 利用余弦函数的幂级数展开以及指数函数的展开式0e !nxn x n ∞==∑ (2)!2!(21nn n n =⋅-我们有2ecos 2d x bx x +∞-⎰=22200(1)(2)ed (2)!n n x n n b x x n ∞+∞-=-∑⎰=22200(1)(2)e d (2)!n n x nn b x x n ∞+∞-=-∑⎰=0n ∞=20()2!nn b n ∞=-∑2b - 例10［5］ 计算广义积分1ln d (1)xx x x +∞-⎰. 解 由于1ln d (1)xx x x +∞-⎰=211n n∞=-∑ 而211n n∞=∑=2π6 故原式=-2π6. 利用无穷级数计算广义积分也是常用的一种技巧.常有两种方法. 其一是将被积函数展成级数以求积分;其二是将无穷区间上的广义积分表示成级数的形式以求积分.2.9利用概率统计知识求无穷限广义积分.例11［5］ 计算广义积分I=0sin sin e d pxbx axx x+∞--⎰. 解因为22()x f x -=为标准的正态分布密度函数所以()d f x x +∞-∞⎰= 1.即22d x x +∞--∞⎰=1.所以221d 2x x +∞-=⎰即22ed x x +∞--∞⎰令222x u -=⇒u =⇒2e d u u +∞-⎰22ed x x +∞-2.10用拉普拉斯变换求无穷限广义积分定义2［6］设()f t 在0t ≥上有定义,且积分0()()e d st F s f t t +∞-=⎰（s 是复变参量）关于某一范围内的s 收敛,则由这个积分确定的函数0()()e d st F s f t t +∞-=⎰称为函数()f t 的拉普拉斯变换.并记做[()]L f t ,即[()]L f t =0()()e d st F s f t t +∞-=⎰,其中的()F s 称为()f t 的像函数,()f t 称为()F s 的像原函数.定理 2［5］ (Laplace 变换存在定理) 设函数()f t 在0t ≥的任何有限区间内分段连续,并且当t →+∞时, ()f t 的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数0M >,和00s >,使得在[0,]+∞上,0()e s t f t M ≤,则在半平面0Re s s >上,[()]L f t 存在,且()F s =[()]L f t 是s 的解析函数.其中0s 称为()f t 的增长指数.性质1［1］（积分性质）若[()]()L f t F p =,则0()[()d ]tF p L f t t p=⎰（p 为复数） （1）性质2［1］(终值性质) 若[()]()L f t F p =,且()p F p 的所有奇点全在p 平面的部0lim ()lim ()t p f t p F p →+∞→=⋅ （2）性质3［1］若[()]()L f t F p =,()F p 在Re 0p >上解析,且()d n t f t t +∞⎰收敛,则0(1)lim ()n n p F p →-存在,且 0(1)l i m ()()d nnn p F p t f t t +∞→-=⎰（3） 证明 [()]()L f t F p = 由微分性知 ()n F p =[()()]n L t f t -[()]n L t f t =(1)()n n F p - 由性质1 0(1)()[()d ]n n t nF p L t f t t p-=⎰所以由性质2 00(1)()lim[()d ]lim n n t nt p F p t f t t p→+∞→-=⎰即 0()d n t f t t +∞⎰=0(1)lim ()n n p F p →-特别的,0n =时,有()d lim ()p f t t F p +∞→=⎰. （4）性质4［1］（象函数的积分性质）若[()]()L f t F p =,且积分()d F p p ∞⎰收敛()[]()d p f t L F p p t∞=⎰. （5）性质 5［1］ 设[()]()L f t F p =,且()d F p p ∞⎰与0()d f t t t∞⎰皆收敛,则 0()()d d f t F p p t t∞∞=⎰⎰（6） 证明 由（5）式,()[]()d p f t L F p p t∞=⎰ 由（4）式,()d f t t t∞⎰=0lim ()d p p F p p ∞→⎰()d F p p ∞=⎰例12［4］求sin ()tf t t =的拉普拉斯变换,并求积分0sin d t t t+∞⎰.解 由定理2,因为0()1e f t ≤⋅,故在s 的实部大于零上, 拉普拉斯变换存在,且esin d stt t ω+∞-⎰=22e [sin cos ]st s t t s ωωωω---+=22s ωω+ 于是 22[sin ]L t s ωωω=+ （在s 的实部大于零） 那么 2s i n 1[]1t L t s =+ 由命题4知 s i n []t L t =21d 1s s s +∞+⎰=πarctan 2s - 在利用命题5知 0s i n d t t t +∞⎰=201d 1s s +∞+⎰=π2. 例13［6］ 计算下列积分30e sin d t t t t +∞-⎰解 21[s i n ]1L t s =+,由微分性质知,22212[sin ]()1(1)s L t t s s '=-=++ 但是另一方面 0[s i n ]s i n e st L t t tt dt +∞-=⋅⎰ 当3s =时,即30e sin d t t t t +∞-⎰=2232(1)s s +=350 致谢：本文在写作过程中得到陈一虎老师的指导.在此表示感谢！参考文献: [1] 白水周.无穷限广义积分的几种有效解法[J].开封大学学报,2000,14(1):49-50.[2] 李绍成.论广义积分的计算[J].绵阳农专学报:自然科学版,1996,13(2):65-70.[3] 数学分析.华东师范大学数学系[M].高等教育出版社,2001．[4] 宋叔尼,孙涛.复变函数与积分变换[M].北京:科学出版社,2006.[5] 刘开生,杨钟玄.无穷限广义积分的几种计算方法[J].天水师范学院学报:自然科学版,2002,22(2):9-10.[6] 盖云英,包革军.复变函数与积分变换学习指导[M].科学出版社,2004.Ways of calculating limitless generalized integralCHEN Xue-Jing(Department of Mathematic,Baoji University of Arts and Science Baoji 721013,Shaanxi ,China) Abstract: ways of calculating generlazed integral are given by using maths analysis,complex variable and integral transform, complex function and proabability statistical theroy. In the study the use of these methods can broaden their horizons, stimulate interest in learning mathematics.Key words:generalized integration; convergence; calculation method.。

第十章 广义积分§1 无穷限的广义积分定积分()baf x dx ⎰有两个明显的缺陷：其一，积分区间[],a b 是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。

这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中都要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为：（i ）无限区间上的积分；（ii ）无界函数的积分。

一、无穷限广义积分的概念定义1 设()f x 在[,)a +∞上有定义，且对于任意的A ()A a >在区间[],a A 上可积。

当极限lim()AaA f x dx →+∞⎰存在时，称这极限值I 为()f x 在[,)a +∞上的广义积分。

记作()lim()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰。

如果上述的极限不存在，就称()af x dx +∞⎰发散。

类似可定义()af x dx -∞⎰。

当()af x dx -∞⎰和()af x dx +∞⎰都收敛时，就称()f x dx +∞-∞⎰收敛，并且有()()()aaf x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰。

这是显然有：()()''limAA A A f x dx f x dx +∞-∞→+∞→+∞=⎰⎰。

如果上述的极限不存在，就称()f x dx +∞-∞⎰发散。

定理1 如果()f x 在[),a +∞连续，()F x 是()f x 的原函数，则()()()af x dx F F a +∞=+∞-⎰。

例：讨论1pdxx +∞⎰的收敛情形。

无穷限积分的性质性质1 若函数)(x f 在[),a +∞上可积，k 为常数，则)(x kf 在[),a +∞上也可积，且()()aakf x dx k f x dx ++∞=⎰⎰。

即常数因子可从积分号里提出（注意与不定积分的不同）。