完全平方数和完全平方式

数学知识点：完全平方数和完全平方式填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=_________．2．若=5，则=_________．3．x2﹣3x+_________=（x﹣_________）2．4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是_________．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=_________6．已知=6，则=_________．7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=_________，a=_________．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=_________．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=_________．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是_________．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=_________．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=_________．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=_________．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是_________．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=_________．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=_________．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=_________．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=_________．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于_________．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=_________．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=_________．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=_________．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=_________．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=_________．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为_________；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是_________；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=_________；_________（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：_________；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．数学知识点：完全平方数和完全平方式参考答案与试题解析填空题1．已知a+b=6，ab=3，则a2+b2=30．2．若=5，则=23．a+=253．x2﹣3x+=（x﹣）2．×（3x+4．已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是±5．5．已知x2+y2+4x﹣6y+13=0，那么x y=﹣86．已知=6，则=32．+a+=36）2+7．若（x﹣m）2=x2+x+a，则m=﹣，a=．，．8．x2+kx+9是完全平方式，则k=±6．9．若4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，则k=±4．10．若9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k的值是±12．11．若x2+3x+m是一个完全平方式，则m=．，）．．12．若9x2+mxy+16y2是一个完全平方式，则m=±24．13．多项式4y2+my+9是完全平方式，则m=±12．14．若4x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是±20．15．已知x2﹣mxy+y2是完全平方式，则m=±2．16．如果x2+mx+16是一个完全平方式，那么m=±8．17．若x2﹣ax+16是一个完全平方式，则a=±8．18．若x2﹣2ax+16是完全平方式，则a=±4．19．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于±3．20．若x2+mx+1是完全平方式，则m=±2．21．若x2+mx+4是完全平方式，则m=±4．22．代数式4x2+3mx+9是完全平方式，则m=±4．23．若二次三项式4x2+ax+9是一个完全平方式，则a=±12．24．多项式x2+2mx+64是完全平方式，则m=±8．解答题25．（2009•佛山）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．）2a+ab+bab+b+﹣26．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．28．已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，求x2+y2及xy的值．29．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m﹣n）2+4mn=（m+n）2；（3）若x+y=﹣6，xy=2.75，则x﹣y=5；﹣5（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．30．阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示．（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．（答案不唯一）。

完全平方公式【概念】 【推导证明】 【典型例题】 【专项练习】 【相关链接】概念：完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍。

222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式。

运用公式时应注意：①公式中的字母a ，b 可以是任意的代数式，②公式的结果应为三项，注意不要漏项和写错符号。

推导证明：方法一：（代数法）1两数和的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b +=++=+++=++2两数差的平方公式22222()()()2a b a b a b a ab ab b a ab b -=--=--+=-+或(a -b )2=[a +(-b )]2=a 2+2⋅a ⋅(-b )+(-b )2=a 2-2ab +b 2即(a -b )2=a 2-2ab +b 2方法二：（几何法）a b a ba 2ababb 2说明：两数差的完全平方公式几何证法（略）典型例题：【例1】．计算(x+2y)2解：(x+2y)2=x2+2⋅x⋅2y+(2y)2=x2+4xy+4y2【例2】．计算(-x+2y)2解法一：(-x+2y)2=(-x)2+2⋅(-x)⋅2y+(2y)2=x2-4xy+4y2解法二：(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2⋅2y⋅x+x2=4y2-4xy+x2解法三：(-x+2y)2=[-(x-2y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2【例3】下列计算中，正确的有（）（1）(b-4c)2=b2-16c2（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2（3）222 1124 a b a ab b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2解析：只有（3）是正确的（1）(b-4c)2=b2-16c2按平方差公式计算了，结果应为b2-8bc+16c2，（2）(x-2yz)2=x2+4xyz+4y2z2应该是两数差的完全平方公式，结果应为x2-4xyz+4y2z2（4）(4m-n)2=16m2-4mn+n2 , 中间项应该为-8mn而不是-4mn，结果应为16m2-8mn+n2（5）(-2a-b)2=4a2-4ab+b2可以先将(-2a-b)2变形为[-（2a+b）]2=（2a+b)2, 所以结果为4a2+4ab+b2【例4】．运用公式简便计算（1）1032（2）1982解：（1）1032=(100+3)2=1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9=10609（2）1982=(200-2)2=2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4【例5】．解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。

完全平方公式知识讲解二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c是已知常数，而x是未知数。

完全平方公式的形式为 x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / 2a。

让我们详细解释一下完全平方公式的推导过程。

首先，我们要将二次方程写成平方的形式。

我们可以通过配方来完成这一步骤。

将二次方程移项，我们得到 ax^2 + bx = -c。

接下来，我们需要创建一个完全平方。

我们可以通过将b的一半平方加入方程的两边来实现这一点。

这意味着我们需要将b/2平方并加入方程两边。

形式上写为(b/2)^2通过这样做，我们可以将方程转变为一个完全平方的形式。

现在方程变为 (ax^2 + bx + (b/2)^2) = (b/2)^2 - c。

简化方程，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。

将方程再次移项，我们得到 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。

注意到，左边的式子是两个平方的差。

这是一个重要的公式，称为平方差公式。

平方差公式是 (a-b)(a+b) = a^2 - b^2、应用这个公式，我们可以将方程进一步简化为 (ax + b/2)^2 - (b^2/4) = -c。

通过移项，我们得到 (ax + b/2)^2 = (b^2/4) - c。

然后，我们可以开始解方程。

首先，我们要对两边的式子开根号，可以得到ax + b/2 = ±√((b^2/4) - c)。

接下来，我们继续化简。

我们将b/2移项，得到 ax = -b/2 ±√((b^2/4) - c)。

最后，我们将x与a相除，得到 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

这就是完全平方公式的最终形式。

需要注意的是，完全平方公式只适用于二次方程。

对于高次方程，我们需要采用其他方法来求解。

总结起来，完全平方公式是一个用于求解二次方程的重要公式。

第11讲完全平方数一、知识要点1.完全平方数的定义：一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.2.完全平方数表：3.完全平方数的常用性质：完全平方数乘完全平方数是完全平方数。

二、例题精选【例1】计算：215，225，235，245，255，并说明规律。

【巩固1】计算：162,262,362,462,562，并说明规律。

【例2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。

997：____________________；6983：____________________；5112：____________________；6478：____________________；【巩固2】试判断下列数是否是完全平方数，若不是请在横线上简述判断理由；若是请在横线上写出它是哪个数的平方。

1199：____________________；7886：____________________；1834：____________________；1275：____________________；【例3】A 是由2017个“9”组成的多位数，即920179999个 ，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B ；如果不是，请说明理由．【巩固3】A 是由2018个“56”组成的多位数，即 5620185656...5656个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．【例4】1016与正整数a的乘积是正整数b的平方，则a的最小值是多少？b的最小值是多少？【巩固4】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是多少？b的最小值是多少？【例5】因为快乐学校的孩子都很喜欢平方数，所以将年份数是平方数的年份定义为“快乐年”。

如公元900年，900=302，所以公元900年是快乐年。

那么从1000年到今年（2018年），有多少个“快乐年”？【巩固5】黑暗世界的小朋友不喜欢年份数是平方数的年份，因为这些年份总会遭遇困恼，其他年份则不会。

完全平方数完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2，3*3等，依此类推。

若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

完全平方数是非负数，而一个完全平方数的项有两个。

注意不要与完全平方式所混淆。

完全平方数性质推论例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529…观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。

下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。

（此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数）性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，偶数的平方的个位数一定是偶数。

证明奇数必为下列五种形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9分别平方后，得综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。

性质3：如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立证明已知，证明k为奇数。

因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。

则或即或∴k为奇数。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

这是因为性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）在性质4的证明中，由k(k+1）一定为偶数可得到是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得（2k)2为8n型或8n+4型的数。

性质6：形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

完全平方数和平方根的计算完全平方数，即一个数的平方等于另一个整数的情况。

例如，4是完全平方数，因为2的平方等于4。

平方根，则是指一个数的平方等于另一个数的非负数根。

例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。

在日常生活和数学中，计算完全平方数和平方根的值非常常见。

本文将介绍一些常见的计算方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。

一、计算完全平方数的方法1. 直接计算法：通过对给定的数进行平方运算，判断结果是否是另一个整数。

例如，判断16是否是完全平方数，我们可以计算4²=16，所以16是完全平方数。

2. 累加法：这是一种更为高效的判断方法。

我们可以从1开始，每次将该数加上连续的奇数（即1、3、5...），并判断累加的结果是否等于给定的数。

如果等于，则该数是完全平方数；如果超过给定的数，则不是完全平方数。

例如，判断36是否是完全平方数，我们可以进行如下计算：1 + 3 = 4 (不等于36)4 +5 = 9 (不等于36)9 + 7 = 16 (不等于36)16 + 9 = 25 (不等于36)25 + 11 = 36 (等于36)因此，36是完全平方数。

3. 公式法：对于一个数n，如果它是完全平方数，那么它可以表示为一个整数x的平方，即n = x²。

我们可以通过求平方根的方法得到x 的值，从而判断是否是完全平方数。

例如，判断100是否是完全平方数，我们可以计算√100 = 10，因此100是完全平方数。

二、计算平方根的方法1. 试探法：通过尝试不同的数值来逼近给定数的平方根。

例如，为了计算√16，我们可以从1开始尝试，直到找到一个数x，使得x²≈16。

可以发现4²=16，因此√16 = 4。

2. 牛顿迭代法：这是一种更为精确的计算平方根的方法。

首先，我们猜测一个初始的平方根近似值x₀，然后通过不断迭代计算来逼近实际的平方根值。

具体步骤如下：a) 计算 x₁ = (x₀ + n / x₀) / 2b) 重复上述计算直到 xₙ 与 xₙ₋₁的差值足够小（通常小于给定的精度要求）例如，我们要计算√16，可以选择一个初始值x₀=4，然后进行如下迭代计算：x₁ = (4 + 16 / 4) / 2 = 6x₂ = (6 + 16 / 6) / 2 = 4.6667x₃ = (4.6667 + 16 / 4.6667) / 2 ≈ 4.5826...迭代若干次后，当计算结果足够接近实际平方根值时，我们可以得到近似的平方根。

北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。

该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。

为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。

理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。

这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。