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南宁市高中毕业班第二次适应性模拟测试数学（理科）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的交集运算得解【详解】，由此，故选B。
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。
2.若复数满足 (是虚数单位),则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】【详解】，故选A。
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题。
3.若向量, 且,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.【详解】由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为万，因甲县人口占四个县总人口的，所以甲县的人口为万.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.已知双曲线的一个焦点为（2，0），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点为（2，0），所以，故，因此双曲线的方程为，所以其渐近线方程为.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.已知数列満足: ,，则=( )A. 0B. 1C. 2D. 6 【答案】B【解析】【分析】由，可得，以此类推，即可得出结果.【详解】因为，，所以，以此类推可得，，，.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.7.巳知将函数的图象向左平移个単位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：，因为是偶函数，所以，即，又，所以，解得，所以，故；所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.8.已知满足条件若的最小值为0,则=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数化为，结合图像以及的最小值，即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域，又目标函数表示直线在轴截距的二倍，因此截距越小，就越小；由图像可得，当直线过点时，在轴截距最小；由解得，所以，又的最小值为0，所以，解得.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型.9.曲线与直线围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.10.已知抛物线的准线方程为，的顶点在抛物线上，，两点在直线上，若，则面积的最小值为( )A. 5B. 4C.D. 1【答案】D【解析】【分析】准线方程为，得抛物线方程,根据弦长公式解得BC，将面积的最小值转化为A 点到直线的距离的最值问题。
南宁三中2020届高三（考试二）数学（理科）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1. 已知集合{2}A xx =<‖∣，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，然后再求两集合的交集即可【详解】解：由2x <，得22x -<<，所以{}22x x A =-<<， 因为{1,0,1,2,3}B =-， 所以A B ={1,0,1}-，故选：C【点睛】此题考查集合的交集运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题 2. i 是虚数单位，则复数221ii i++等于（ ） A. i B. ﹣iC. 1D. ﹣1【答案】A 【解析】 【分析】根据复数四则运算法则直接求解即可得到结果.【详解】()()()2212111111i i i i i i i i i -+=-=+-=++- 故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 3. 已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果．【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件． 故选A ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4. 下列函数中，与函数y=） A. y=B. ln xy x= C. xy xe =D. sin xy x=【答案】D 【解析】【分析】 可以求出y =的定义域为{|0}x x ≠，然后求每个选项函数的定义域即可． 【详解】解：函数y =的定义域为{|0}x x ≠， y=的定义域为{|0}x x >； lnxy x=的定义域为{|0}x x >； x y xe =的定义域为R ；sinxy x=的定义域为{|0}x x ≠， ∴与函数y =定义域相同的函数为sinxy x=． 故选：D ．【点睛】考查函数定义域的定义及求法，指数函数和对数函数的定义域． 5. 已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a, b, c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为0.80.81()22b -==，所以由指数函数的性质可得0.8 1.2122b a <=<=，552log 2log 41c ==<，因此c b a <<,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以0,1为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.6. 二项式53x x ⎛- ⎪⎭的展开式中常数项为（ ）A. 5B. 10C. -20D. 40【答案】D 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为0，求出r ，从而可求出展开式中常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为105536155()(2)rrr r r r r T C x C xx --+⎛=-=- ⎪⎝⎭， 令10506r-=，则2r ，所以展开式中的常数项为225(2)40C -=， 故选：D.【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题 7. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38713,35a a S +==，则8a =（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且83713,35a a S +==，1112713767352a d a d a d +++⎧⎪∴⎨⨯+⎪⎩＝，＝ 解得18212719a d a ==∴=+⨯=，，．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用． 8. 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图象大致为 ( )．A. B. C. D.【答案】D 【解析】由于函数y =x cos x +sin x 为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B ， 由当2x π=时，y =1>0，当x =π时，y =π×cos π+sin π=−π<0. 由此可排除选项A 和选项C. 故正确的选项为D. 故选D.9. 在平面区域02,{02x y ≤≤≤≤内随机取一点，在所取的点恰好满足2x y +≤的概率为（ ）A.116 B.18C.14D.12【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C ．考点：古典概型．10. 下面有5个命题中，真命题的编号是（ ）①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π②终边在y 轴上的角的集合是,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∣ ③在同一坐标系中，函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点 ④把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象 ⑤函数sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0,]π上是减函数 A. ①④ B. ①③④C. ③④D. ②③⑤【答案】A 【解析】 【分析】①利用二倍角公式化简，再根据余弦函数的周期公式计算可得； ②通过k 的取值，判断终边在y 轴上的角的集合；③构造函数()sin f x x x =-，利用导数可得()f x 单调性，进而得出()f x 的零点，即两函数交点的个数； ④根据三角函数的平移变换规则判断；⑤根据诱导公式，将函数化为余弦型，进而根据余弦函数的单调性，可以判断⑤的真假；进而得到答案． 【详解】解：①4422sin cos sin cos cos 2y x x x x x =-=-=-， 它的最小正周期为π，正确；②k 是偶数时，α的终边落在x 轴上，所以②错误； ③设()sin ,()1cos 0,f x x x f x x x R =-'=-≥∈恒成立， 所以()f x 在R 上单调递增，而(0)0,()f f x =存在唯一零点， 即函数sin y x =的图象和函数y x =的图象只有一个公共点， 故③错误；④把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π，得到3sin 23sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故④正确；函数sin()cos 2y x x π=-=-在[]0,π上是增函数，故⑤错误故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，余弦型函数的周期性，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，是解答本题的关键，属于中档题．11. 设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使 1||OP OF =（O 为坐标原点），且12PF =，则双曲线的离心率为（ ）11【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知12OF OF OP ==，可得1290F PF ∠=︒，设2PF t =，则1PF =，进而利用双曲线定义可用t 表示出a ，根据勾股定理求得t 和c关系，从而可求出双曲线的离心率【详解】解：因为12OF OF OP ==，所以1290F PF ∠=︒， 设2PF t =，则1PF =， 因为122PF PFa +=，所以可得a =， 因为2221212PF PF F F +=，所以22234t t c +=，则t c =，所以12c e a===， 故选：D【点睛】此题考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和运用，属于基础题12. 已知函数()()3sin f x x x x R =+∈，函数()g x 满足()()()20g x g x x R +-=∈，若函数()()()1h x f x g x =--恰有2021个零点，则所有这些零点之和为（ ）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性定义可知()f x 为奇函数且()00f =，由此可得()1f x -关于()1,0对称；由()()20g x g x +-=可知()g x 关于()1,0对称且()10g =，由此可知()h x 关于()1,0对称且()10h =，由对称性可知除1x =外，()h x 其余零点关于()1,0对称，由此可求得结果.【详解】()()3sin f x x x f x -=--=- ()f x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称且()00f =()1f x ∴-图象关于()1,0对称()()20g x g x +-= ()g x ∴图象关于()1,0对称令1x =得：()()110g g += ()10g ∴=()h x ∴图象关于()1,0对称且()()()1010h f g =-= ()h x ∴有一个零点为1x =，其余零点关于()1,0对称 ()h x ∴所有零点之和为202012021+=故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性和对称性的应用，关键是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 在等比数列{}n a 中，0n a >，且11027a a ⋅=，3239log log a a += _____． 【答案】3 【解析】 【分析】由等比数列性质可知29110a a a a =，根据对数运算法则可求得结果. 【详解】()()323932931103log log log log log 273a a a a a a +=⋅=⋅== 故答案为：3【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数运算法则的应用，属于基础题. 14. 若向量a ，b 的夹角为3π，且2a =，1b =，则向量2a b +与向量a 的夹角为________．【答案】6π 【解析】 【分析】根据题意，设向量2a b +与向量a 的夹角为θ，因为向量a ，b 的夹角为3π，且2a =，1b =，求得a b ⋅和|2|+a b ，根据(2)cos |||2|a b aa ab θ+⋅=+，即可求得夹角为θ.【详解】设向量2a b +与向量a 的夹角为θ，向量a ，b 的夹角为3π，且2a =，1b =， 则21cos13a b π⋅=⨯⨯=222|2|4412a b a a b b +=+⋅+=∴|2|23a b +=又2(2)26a b a a a b +⋅=+⋅=(2)cos 2|||2|23a b a a a b θ+⋅===+⨯0θπ≤≤∴6πθ=故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．15. 已知函数41,(,1)()2log ,(1,)xx f x x x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪∈+∞⎩，则()1f x >的解集为________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可；【详解】解：当1x <时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1f x >，所以1121xx ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪<⎩解得0x <，当1x >时，4()log f x x =时，因为()1f x >，所以4log 11x x >⎧⎨>⎩，解得4x >综上可得不等式的解集为()(),04,-∞+∞故答案为：()(),04,-∞+∞【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题. 16. 已知四面体P ABC -四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且1AC =，2AB PB ==，则球O 的表面积为______．【答案】9π 【解析】 【分析】由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC 可得四个直角三角形，可知PC 的中点O 为外接球球心，不难求解． 【详解】解：由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ， 可得图中四个直角三角形，且PC 为△PBC ，△P AC 的公共斜边， 故球心O 为PC的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2， PC ＝3， ∴球O 的半径为32， 其表面积为：9π． 故答案为9π．【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ）实验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？ （2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？【答案】（1）服用A药睡眠时间平均增加2.3；服用B药睡眠时间平均增加1.6；从计算结果来看，服用A 药的效果更好；（2）A药B药6 0．8 9 5 6 52 5 8 2 5 1．7 9 234 6 8 1 27 8 2 3 5 6 7 9 3 4 2． 4 6 1 5 72 5 0 1 3． 2从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好. 【解析】(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得：＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得＞，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好． 考点：茎叶图、平均数.18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积S abc =，22sin sin sin sin 2sin A B A B c C ++=．（Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）求ABC ∆周长的取值范围． 【答案】（Ⅰ）23π； （Ⅱ）32324⎛+ ⎝⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式可得2sin c C =，利用正弦定理边化角可配凑出余弦定理的形式，求得cos C ，根据C 的范围可求得结果；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论可求得c ，由正弦定理得到1sin 2a A =，1sin 2b B =，将三角形周长利用三角恒等变换知识可化为13sin 234A π⎛⎫++⎪⎝⎭，根据A 的范围，结合正弦函数的图象与性质可求得13sin 23A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围，即为所求周长的范围. 【详解】（Ⅰ）由1sin 2S abc ab C ==得：2sin c C = 222sin sin sin sin sin A B A B C ∴++=，由正弦定理得：222a b ab c ++=2221cos 22a b c C ab +-∴==-()0,C π∈ 23C π∴=（Ⅱ）由（Ⅰ）知：232sin sin 3c C π===3c ∴= 又1sin sin sin 2c a b C A B === 1sin 2a A ∴=，1sin 2b B = ABC ∆∴的周长()13sin sin 2L a b c A B =++=++ 即()()()1313sin sin sin sin cos cos sin 2424L A A C A A C A C =+++=+++ 113313sin cos sin 2224234A A A π⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23C π=，A B C π++= 0,3A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭2,333A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭3sin ,13A π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦13323sin ,23A π⎛⎤+⎛⎫∴++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ 即ABC ∆周长的取值范围为323,24⎛⎤+ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、三角形周长取值范围的求解等知识；求解周长的取值范围时，通常利用正弦定理将边化为角，根据三角恒等变换的知识将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误. 19. 已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，ABE ∆和BCF ∆均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （I ）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值.图一图二【答案】（1）见解析（2）53333【解析】 【分析】(1)设AC 的中点为O,证明PO 垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可. 【详解】（Ⅰ）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意，得2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===.因为在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点， 所以PO AC ⊥，因为在POB ∆中，1PO =，1OB =，2PB =，222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥.因为AC OB O ⋂=，,AC OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ， 因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， 所以BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1 tanBOBMOOM OM ∠==，所以当OM最短时，即M是PA的中点时，BMO∠最大.由PO⊥平面ABC，OB AC⊥，所以PO OB⊥，PO OC⊥，于是以OC，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，则()0,0,0O，()1,0,0C，()0,1,0B，()1,0,0A-，()0,0,1P，11,0,22M⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0BC=-，()1,0,1PC=-，31,0,22MC⎛⎫=-⎪⎝⎭.设平面MBC的法向量为()111,,m x y z=，则由m BCm MC⎧⋅=⎨⋅=⎩得：111130x yx z-=⎧⎨-=⎩.令11x=，得11y=，13z=，即()1,1,3m=.设平面PBC的法向量为()222,,n x y z=，由n BCn PC⎧⋅=⎨⋅=⎩得：2222x yx z-=⎧⎨-=⎩，令1x=，得1y=，1z=，即()1,1,1n=.533cos,33m nn mm n⋅===⋅.由图可知，二面角P BC M--的余弦值为533.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.20. 已知抛物线2:2(0)C x py p=>上一点()M,9m到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围. 【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到9102p+=，即可求出p ，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线l 的斜率一定存在，可设斜率为k ，直线l 为1y kx =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=可得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-，然后对214y x =求导，可得到PA 的斜率及方程表达式，进而可表示出AP ，同理可得到BQ 的表达式，然后对AP BQ ⋅化简可求出范围． 【详解】解：（Ⅰ）已知(),9M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为2py =-，∴9102p+=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =.（Ⅱ）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为()0,1F ，则l ：1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=消去y 得，2440x kx --=，∴124x x k +=，124x x =-.由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且1'2y x =，则PA ：()2111142x y x x x -=-.令0y =，解得112x x =，∴11,02P x ⎛⎫⎪⎝⎭，从而AP =同理可得，BQ =∴AP BQ ⋅===∵20k ≥，∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞.【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题．21. 设函数()3()xf x e ax a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间[1,2]上的最小值是4，求a 的值. 【答案】（1）见解析（2）1e - 【解析】 【分析】（I ）求得函数的的导航'()x f x e a =-，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（II ）由（I ）知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增，此时最小值不满足题意；当0a >时，由（I ）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点，分类讨论，即可求解. 【详解】（I ）()'xf x e a =-.当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，()'0f x >解得ln x a >，由()'0f x <解得ln x a <. 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 函数()f x 在(),ln a -∞上单调递减.（II ）由（I ）知，当当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增， ∴函数()f x 在[]1,2上的最小值为()134f e a =-+=， 即10a e =->，矛盾.当0a >时，由（I ）得ln x a =是函数()f x 在R 上的极小值点. 当ln 1a ≤即o a e <≤时，函数()f x 在[]1,2上单调递增，则函数()f x 的最小值为()134f e a =-+=，即1a e =-，符合条件. ②当ln 2a ≥即2a e ≥时，函数()f x 在[]1,2上单调递减，则函数()f x 的最小值为()22234f e a =-+=即2212e a e -=<，矛盾.③当1ln 2a <<即2e a e <<时，函数()f x 在[]1,ln a 上单调递减，函数()f x 在[]ln ,2a 上单调递增，则函数()f x 的最小值为()ln ln ln 34af a ea a =-+=即ln 10a a a --=.令()ln 1h a a a a =--（2e a e <<），则()'ln 0h a a =-<， ∴()h a 在()2,e e上单调递减， 而()1h e =-， ∴()h a 在()2,e e上没有零点，即当2e a e <<时，方程ln 10a a a --=无解. 综上，实数a 的值为1e -.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，P 点的轨迹为曲线2C ． （1）求2C 的参数方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB ．【答案】（1）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）；（2）【解析】 【分析】（1）设(,)P x y ，根据2OP OM =得M 点的坐标，代入1C 即得2C 的参数方程； （2）先求1C ，2C 的极坐标方程，再分别代入3πθ=求A B 、极径，则可求得||AB【详解】解：（1）设(,)P x y ，则由条件2OP OM =知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭．因为点M 在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩．所以2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）．（2）222cos (2)422sin x x y y αα=⎧∴+-=⎨=+⎩ 222404sin 04sin x y y ρρθρθ∴+-=∴-=∴=曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，224cos (4)1644sin x x y y αα=⎧∴+-=⎨=+⎩ 222808sin 08sin x y y ρρθρθ∴+-=∴-=∴=曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A的极径为14sin 3πρ== 射线3πθ=与2C 的交点B的极径为28sin3πρ==．所以21||AB ρρ=-=【点睛】本题考查转移法求轨迹方程、参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23. 设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【解析】【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=，所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥， 所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++， 即222a b c a b c b c a++≥++， 所以2221a b c b c a++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.。
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B AA. 11[,]32-B. ΦC. 1(,)3-∞D.1{}32．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是A. 0<aB. 10<<aC. 1>aD. 1-<a3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A.21 B. 33 C. 22 D. 424．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A.2524 B. 2516 C. 259 D. 2575．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.31 B. 32C. 1D. 436．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a方向上的投影为2.若c //b，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 527．执行如图的程序框图，输出的S 的值是A. 28B. 36C. 45D. 558．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为A.1B. 2C. πD. π29．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，第7题图则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为A.43 C.12D. 210.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 2611．函数11()33x f x -=-是A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为 A.2 B.516C. 3D. 25【二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是14若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ． 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ .16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥ 对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数;②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 ▲ .三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <.18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)PX <<.附:①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1A B A D ，,3==CD CB 60BCD ∠=，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）. (1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C 的长轴长的最小值.21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数ax x x f -=ln )(，a xx g +=1)(. （1）讨论函数)()()(x g x f x F -=的单调性；（2）若0)()(≤⋅x g x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为θρsin 4=，以极点为原点、极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，[0,2))θπ∈.若倾斜角为34π且经过坐标原点的直线l 与圆E相交于点A(A 点不是原点).(1)求点A 的极坐标;(2)设直线m 过线段OA 的中点M ,且直线m 交圆E 于B ,C 两点,求||||||MB MC -的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 （1）解不等式4|3||1|<+++x x ；（2）若b a ,满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++.2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）答案与评分标准一、选择题1．B 2．A 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．C 9．A 10.C 11．D 12．B解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++，代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++ 有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上. 13．14 1417615.827 16．2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解：（1）第一类解法： 当n=1时，13a =....................................................................................................1分 当2n ≥时1--=n n n S S a .....................................................................................2分222(1)2(1)n n n n =+----................................................................................3分21n =+....................................................................................................................4分 而13a =也满足21n a n =+...................................................................................5分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................6分 第二类解法：1--=n n n S S a ........................................................................................1分222(1)2(1)n n n n =+----.....................................................................2分21n =+......................................................................................................3分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................4分 第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法： 由S n22n n=+可知{}n a 等差数列.........................................................................2分 且13a =，212132d a a S S =-=--=...............................................................................4分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................5分 （2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++....................................................7分111()22123n n =-++..........................................................................8分 则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++................................................9分111()2323n =-+.........................................................................10分11646n =-+...........................................................................11分1.6<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1)∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................................1分【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................................................2分2221()2955750.nii xn x =-=-⨯=∑ ...............................................................................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ....................................................................................................4分【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a yb x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分 ∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ....................................................................6分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x之间是负相关， ....................................................................7分 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） ....................................................................8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+- 10,=得3.2σ= ......................................................................................................................9分 【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从而(P X <<=(P X μσμσ-<<+ ..........................................................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】0.8185= (12)分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）解:(1) 解法(一): 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,2=C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分 设M 是BD 的中点,连接1MC .........................................................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分），（430,1E ,3(4M ,)33,0(1，C ,∴13(4MC =-,DE =. ................................................ ..........4分131004MC DE =-⨯++=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分（证得1MC ⊥ME 或BE 也行）DE 与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .1MC 在平面BDC 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1..............................................................6分解法(二):设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BDE --的平面角...........................................................2分60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,13,22MA MC ==................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴1EM C M ==………………4分(至少算出一个)1C E =.............................................................................................5分∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1......................................................................................................6分 解法(三):60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BDE --的平面角.............................................................................3分则），（430,1E ，)33,0(1，C ,3(,44M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,444ME =,13(,44MC =-.∴113()()044444ME MC ∙=⨯-+-⨯+=................................5分 ∴ME ⊥1MC ,∠190EMC =,二面角1C BDE --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1................................................6分解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,2=C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B=.O是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,2E -（0，,0)B ，,13(0,2C∴13(0,2OC =,1(2BE =--.13310()02224OC BE =-⨯+⨯-+=,∴1OC ⊥BE .........................................5分BE 与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD .1OC 在平面BDC 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1..............................................................6分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量...........8分3,22B （，0）,1C ，3(,22DB =，1DC =设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z =,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3022x y ⎧+=⎪+=， 取1,x =得y z ==.平面BDC 1的法量(,3,3)m =...................................10分 【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是 ME=1(,444-】cos ,||||DA mDA m DA m∙<>=⨯.............................................................................................11分=∴由图可知二面角1C C D B--的平面角的余弦值为....................................12分 解法二: (第1问未建系)60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A ,DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1CDC的法向量.....................................................................................8分 32B （,1C ， 3(2DB =，1DC =,设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z =,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3020x y ⎧=⎪⎨+=， 取1,x =得y z ==.平面BDC 1的法量(,3,3)m =.......................................10分 cos ,||||DA mDA m DA m∙<>=⨯.................................................................................................11分=.∴由图可知二面角1C C DB --的平面角的余弦值为.......................................12分 解法三: (几何法) 设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥DC 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠=,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角 (9)分依题意可得NB =32, NF=4,BF=4 (11)分 ∴cos ∠BFN =NF BF∴二面角1C C D B --....................12分20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分设直线l的方程为4x m y=+........................................................................................................2分 令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y m y --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,..................4分∴32m =.........................................................................................................................................5分∴直线l的方程为23x y --=................................................................................................6分 解法二:由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分 设直线l的方程为(y k x=-...................................................................................................2分 令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky yk --=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =,................4分∴23k =.........................................................................................................................................5分∴直线l的方程为23x y --=...............................................................................................6分 解法三:由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分 设直线l的方程为(y k x=-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l的方程为23x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，0，1，2，，则A. 1，B. 1，2，C. 0，1，D. 0，1，2，2.设复数z满足，则A. B. C. D.3.的展开式中含的系数为A. B. 80 C. 10 D.4.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日日共10天他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是A. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B. 前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D. 这10天学生在线学习人数在逐日增加5.已知各项不为0的等差数列的前n项和为，若，则A. 4B. 162C. 9D. 126.若函数，且的值域为，则函数的图象是A. B.C. D.7.椭圆C：的左、右焦点为，，过的直线l交C于A，B两点，且的周长为8，则a为A. B. 2 C. D. 48.某同学在课外阅读中国古代数学名著孙子算经时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为A. 13B. 18C. 23D. 289.如图，在正方体中，M，N分别为AC，的中点，则下列说法错误的是A. 平面B.C. 直线MN与平面ABCD所成角为D. 异面直线MN与所成角为10.已知双曲线E：的右焦点为F，以为原点为直径的圆与双曲线E 的两条渐近线分别交于点M，N异于点若，则双曲线E的离心率为A. 4B. 2C.D.11.已知函数的图象经过点，一条对称轴方程为则函数的周期可以是A. B. C. D.12.已知函数，则当时，函数的零点个数为A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，向量，则与的夹角大小为______．14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是______．15.已知数列中，，且对于任意正整数m，n都有，则数列的通项公式是______．16.如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为若四面体外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，的平分线与BC交于点E，且．求及AC；若，求四边形ABCD周长的最大值．18.红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型，分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．2564616842268870308表中；；；；根据残差图，比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；根据中所选择的模型，求出y关于x的回归方程系数精确到，并求温度为时，产卵数y的预报值．参考数据：，，，附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．19.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，，，，三角形SAB是等边三角形，平面平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．求证：平面平面SEF；若，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．20.已知函数，其中e是自然对数的底数．若，证明：；若时，都有，求实数a的取值范围．21.已知抛物线C：，过点且互相垂直的两条动直线，与抛物线C分别交于P，Q和M，N．求四边形MPNQ面积的取值范围；记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．22.在直角坐标系xOy中，已知曲线：为参数，曲线：为参数，且，点P为曲线与的公共点．求动点P的轨迹方程；在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，求动点P到直线l的距离的取值范围．23.已知a，b，c都为正实数，且证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由集合1，，所以1，．故选：A．求出集合A，由此能求出．本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：解：展开式的通项公式为，令，得展开式中的系数为．故选：A．根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中的系数．本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4.答案：D解析：解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A 错误对于B：前5天的增长比例极差约为，后5天增长比例极差约为，故B错误；对于C：由折线图很明显，的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．根据图象逐一进行分析即可本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5.答案：C解析：解：由题．故选：C．利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：，若函数，且的值域为，，当时，数，为减函数，当时，数，为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A根据指数函数的图象和性质求出，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．7.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．由椭圆的定义可得，，即可得出答案．【解答】解：椭圆C：，椭圆的焦点在x轴上，则由椭圆的定义可得，的周长，解得，故选B．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，得，不满足，，得，不满足，，得，不满足，，得，此时，满足，退出循环，输出a的值为23．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9.答案：D解析：【分析】连结BD，，可得，得到平面，判定A正确；证明平面，得，结合，得，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与所成角判断D错误．本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．【解答】解：如图，连结BD，，由M，N分别为AC，的中点，知，而平面，平面，平面，故A正确；在正方体中，平面，则，，，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于，故C正确；而为异面直线MN与所成角，应为，故D错误．故选：D．10.答案：D解析：解：因为OF为直径，点M在圆上，所以又，由圆的对称性，有，所以．由渐近线斜率，所以离心率为．故选：D．画出图形，结合圆的对称性，求出然后求解双曲线的离心率即可．本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11.答案：B解析：解：由，则，，当时，．故选：B．直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12.答案：B解析：解：在平面直角坐标系中作出函数的图象如图所示．令，得，则或．当时，显然存在2个零点，；当时，存在1个零点故函数的零点个数为3．故选：B．先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，13.答案：解析：解：，且，与的夹角为．故答案为：．根据向量的坐标即可得出，和的值，从而可得出，从而可得出夹角的大小．本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.答案：丁解析：解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁．逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15.答案：解析：解：数列中，，且对于任意正整数m，n都有，令，得，则是首项和公比均为2的等比数列，则．故答案为：．利用数列的递推关系式，通过，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16.答案：2解析：解：依题意，折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，内切球半径为r，则，；记四面体内切球球心为O，如图2，则，即，即，所以；又，即，所以．故答案为：2．画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．17.答案：解：在中，由正弦定理得：．又，则，于是，所以，．所以．在中，根据余弦定理得，所以．令，，在中，根据余弦定理得，即有，即，所以，当且仅当时，“”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为．解析：在中，由正弦定理可求的值，又，可求，利用三角形的内角和定理可求的值，进而可求的值，可得，在中，根据余弦定理即可解得AC的值．令，，在中，根据余弦定理，基本不等式可求，即可求解四边形ABCD周长的最大值．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18.答案：解：应该选择模型．由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型比较合适．令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，，，则z关于x的线性回归方程为．于是有，产卵数y关于温度x的回归方程为．当时，个．在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．解析：由模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，说明模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，由已知数据求得与的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取求得y值得结论．本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19.答案：证明：平面平面ABCD，平面平面，平面SAB，，平面ABCD．又平面ABCD，．连接BD，，F分别为AB，AD的中点，．，．又，，，得．又，．又，平面SEF．又平面SCD，平面平面SEF；解：过E作，则ES，EF，EN两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系．在中，求得，，．则0，，，，，．故，，．设平面SCD的法向量为，由，可取．则．故SF与平面SCD所成角的正弦值为．解析：由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面ABCD，进一步得到连接BD，得再证明，结合，得再由直线与平面垂直的判定可得平面进一步得到平面平面SEF；过E作，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题．20.答案：解：若，则，所以，当时，；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在时取得极小值，也是最小值．所以．令，则原问题转化为在上恒成立．由，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，当时，，所以在上单调递增，所以，即，满足题意．当时，因为在上单调递增，所以，所以存在，使得当时，，在上单调递减，此时，这与在上恒成立矛盾．综上所述，，故实数a的取值范围是．解析：若，则，所以，再利用导函数的正负性与函数的单调性之间的联系即可得的单调性，从而确定，而，进而得证；构造函数，则原问题转化为在上恒成立，然后求导，令，再求导，从而可确定在上单调递增，由于，于是分和两种情形，讨论函数的单调性，以便求证与0的关系．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21.答案：解：由题意可知两直线，的斜率一定存在，且不等于0．设：，，，则：．因为联立直线与抛物线的方程，有，其中，由韦达定理，有．由上可得，同理，则四边形MPNQ面积．令则．所以，当且仅当，即时，S取得最小值12，且当时，．故四边形MPNQ面积的范围是．由有，，所以PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为．于是，直线EF的斜率为，则直线EF的方程为：，所以直线EF恒过定点．解析：两直线，的斜率一定存在，且不等于设：，，，则：联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．由求出PQ中点E的坐标为，同理点F的坐标为求出直线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点．本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．22.答案：解：设点P的坐标为．因为点P为曲线与的公共点，所以点P同时满足曲线与的方程．曲线消去参数可得，曲线消去参数可得．由，所以．所以点P的轨迹方程为．由已知，直线l的极坐标方程，根据，可化为直角坐标方程：．因为P的轨迹为圆去掉两点，圆心O到直线l的距离为，所以点P到直线l的距离的取值范围为．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：当且仅当取“”．所以；由a，b，c都为正实数，且，可得当且仅当取“”．则．解析：由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；将代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。
绝密★启用前南宁市2022届高中毕业班第二次适应性测试数 学（理科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上各题的答题区域内作答，超出答．．．题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{N |0}9x A x ≤≤=∈,{1,2,3,6,9,10}B =-,则()A A B =（ ）A ．{}0,1,4,5,7,8B ．{}1,4,5,7,8C ．{}2,3,6,9D ．∅2．已知i 是虚数单位，若1212i, 1+i,z z =+=-则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 3．若α是钝角且1sin 3α=，则tan 2α=（ ） A ．89 B ．79 C． D4．已知实数x ，y 满足约束条件20+10x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，，，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．9C ．－4D ．－95．已知正方形ABCD 中E 为AB 中点，H 为AD 中点，F G ，分别为BC CD ，上的点，2CF FB =，2CG GD =，将ABD ∆沿着BD 折起得到空间四边形1A BCD ，则在翻折过程中，以下说法正确的是（ ）A ．//EF GHB ．EF 与GH 相交C ．EF 与GH 异面D ．EH 与FG 异面6．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ）A ．13B ．512C ．49D ．127．《孙子算经》一书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其大意为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数构成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？”根据上述问题的己知条件，则分得橘子最多的人所得的橘子个数为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．218．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面1111A B C D 的中心，E 为1AA 的中点，若该正方体的棱长为2，则下列结论正确的是（ ）A ．//OC 平面BDEB ．1AC ⊥平面11B CDC ．平面BDE ⊥平面11ABB AD ．三棱锥A BDE -的外接球体积为9．已知圆221:(3)1O x y ++=，圆222:(1)1O x y -+=，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线,PA PB （,A B 为切点），使得|||PA PB =，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．22195x y += B ． 24x y = C ．2213x y -= D ．22(5)33x y -+=10．已知0m >，0n >，命题:2p m n mn +=，命题:3q m n +≥+p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若5PF QF =且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）A B ．13 C ．6 D ．512．设大于1的两个实数a ，b 满足22ln e n a b b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则正整数n 的最大值为（ ） A ．7 B ．9 C ．11 D ．12二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束，务必将试卷和答题卷一并上交。
第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生在答题卷上务必用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题1．若集合A={x|－2<x≤1}，B={x|.x≤0或x>l}，则A (R B)等于 A ．（-2，1]B ．（-∞，1]C ．{1}D ．(0，1] 2．已知a+2i=ii b +-1 (a ，b∈R，i 为虚数单位)，则a －b 等于 A ．-2B ．-1C ．1D ．2 3．已知a∈（-2π，0），cos a=53，则tan(a+4π)等于 A ．-71 B ．71 C ．-7 D ．74．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧≤>.0,2,0,12x x x og x 若f （a ）=21，则a 等于 A ．-1或2 B ．2 C ．-1 D ．1或-25．若双曲线-mx 2y 2=4(m>0)的焦距为8，则它的离心率为 A ．332 B ．2 C ．15 D ．15154 6．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x ，表示的平面区域上运动，则x-y 的取值范围是A ．[-2，-1]B ．[-2，1]C ．[-1，2]D ．[1，2]7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 9=-18，S 13=-52，{b n }为等比数列，且b 5 =a 5，b 7=a 7，则b 15的值为A ．64B ．128C ．-64D ．-1288．已知命题p ：若非零实数a ，b 满足a>b ，则ba 11<；命题q ：对任意实数x∈（0，+∞），211og （x+1）<0．则下列命题为真命题的是A ．p 且qB ．p 或⌝qC ．⌝p 且qD ．p 且⌝q9．某班在5男生4女生中选择4人参加演讲比赛，选中的4人中有男有女，且男生甲和女生乙最少选中一个，则不同的选择方法有A ．91种B ．90种C ．89种D ．86种10．将函数f （x ）=l+cos 2x －2sin 2（x －6π）的图象向左平移m （m>0）个单位后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为A ．6πB ．12πC ．3πD ．2π 11．已知三棱锥P-ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，AB⊥BC 且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，则球O 的表面积为A ．80πB ．90πC ．100πD ．120π12．如图，以原点O 为圆心的圆与抛物线y 2 =2px （p>0)交于A ，B 两点，且弦长AB=23，∠AOB=120o ，过抛物线焦点F ，作一条直线与抛物线交于M ，N 两点，它们到直线x=-1的距离之和为27，则这样的直线有 A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卷上用直径o ．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2020年广西南宁市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则（）A．B．C．1+3i D．1﹣3i3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣104．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则（）A．4B．162C．9D．126．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，则a为（）A．B．2C．D．48．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为（）A．13B．18C．23D．289．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°10．已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．D．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点，一条对称轴方程为．则函数f（x）的周期可以是（）A．B．C．D．12．已知函数，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，向量，则与的夹角大小为．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是．15．已知数列{a n}中，a1＝2，且对于任意正整数m，n都有a m+n＝a m a n，则数列{a n}的通项公式是．16．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G．若四面体A﹣EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；；；；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝e x﹣a•x，其中e是自然对数的底数．（1）若a＝e，证明：f（x）≥0；（2）若x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥f（﹣x），求实数a的取值范围．21．已知抛物线C：x2＝2y，过点A（1，1）且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N．（1）求四边形MPNQ面积的取值范围；（2）记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t1为参数），曲线C2：（t2为参数），且tanθ1tanθ2＝﹣1，点P为曲线C1与C2的公共点．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）；（2）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{﹣1，0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}【分析】求出集合A，由此能求出A∩B．解：由集合A＝{x|x﹣3＜0，x∈N}＝{0，1，2}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．【点评】本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．设复数z满足z•（1﹣i）＝2+i，则（）A．B．C．1+3i D．1﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（1﹣2x）5的展开式中含x3的系数为（）A．﹣80B．80C．10D．﹣10【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为3，求出展开式中x3的系数．解：（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1•（﹣2x）r，令r＝3，得（1﹣2x）5展开式中x3的系数为•（﹣2）3＝﹣80．故选：A．【点评】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，是基础题．4．某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日﹣27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图．根据组合图判断，下列结论正确的是（）A．前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差B．前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差C．这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大D．这10天学生在线学习人数在逐日增加【分析】根据图象逐一进行分析即可解：对于A，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故A错误对于B：前5天的增长比例极差约为15%﹣5%＝10%，后5天增长比例极差约为40%﹣20%＝20%，故B错误；对于C：由折线图很明显，23﹣24的增长比例在下降，故C错误；对于D：由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故D正确，故选：D．【点评】本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识．5．已知各项不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5＝2a2，则（）A．4B．162C．9D．12【分析】利用等差数列通项公式和前n项和公式即可得出．解：由题．故选：C．【点评】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力，属于基础题．6．若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y＝log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．解：∵|x|≥0，∴若函数y＝a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y＝log a|x|＝log a x，为减函数，当x＜0时，数y＝log a|x|＝log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据指数函数的图象和性质求出a的取值范围是解决本题的关键．7．椭圆C：的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，则a为（）A．B．2C．D．4【分析】由椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，即可得出答案．解：由椭圆C：的焦点在x轴上，则椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a．∴△ABF2的周长＝|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝8＝4a．解得a＝2．故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．8．某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图．执行此程序框图，则输出的a的值为（）A．13B．18C．23D．28【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得n＝1，得a＝8，不满足，n＝2，得a＝13，不满足，n＝3，得a＝18，不满足，n＝4，得a＝23，此时，满足，退出循环，输出a的值为23．故选：C．【点评】本小题主要考查程序框图的应用等基础知识，考查阅读理解能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识，属于基础题．9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是（）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直线MN与平面ABCD所成角为45°D．异面直线MN与DD1所成角为60°【分析】连结BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正确；证明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，结合MN∥A1D，得MN⊥AB，判断B正确；求出直线MN与平面ABCD所成角判断C正确；求出异面直线MN与DD1所成角判断D错误．解：如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点，知MN∥A1D，而MN⊄平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正确；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，则AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正确；直线MN与平面ABCD所成角等于A1D与平面ABCD所成角等于45°，故C正确；而∠A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°，故D错误．故选：D．【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．10．已知双曲线E：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线E的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）．若∠MFN＝120°，则双曲线E的离心率为（）A．4B．2C．D．【分析】画出图形，结合圆的对称性，求出∠MOF＝30°．然后求解双曲线的离心率即可．解：因为OF为直径，点M在圆上，所以OM⊥MF．又∠MFN＝120°，由圆的对称性，有∠MFO＝60°，所以∠MOF＝30°．由渐近线斜率，所以离心率为．故选：D．【点评】本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数形结合等数学思想．11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的图象经过点，一条对称轴方程为．则函数f（x）的周期可以是（）A．B．C．D．【分析】直接根据对称中心和对称轴之间的距离即可求解结论．解：由，则，k∈Z，当k＝0时，．故选：B．【点评】本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数f（x）＝sin（ωx+φ）图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想．12．已知函数，则当k＞0时，函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【分析】先作出函数的图象，然后结合图象即可求解函数的零点个数．解：在平面直角坐标系中作出函数y＝f（x）（k＞0）的图象如图所示．令f[f（x）]﹣1＝0，得f[f（x）]＝1，则f（x）＝0或f（x）＝t（t＞1）．当f（x）＝0时，显然存在2个零点，x2＝1；当f（x）＝t（t＞1）时，存在1个零点x3．故函数y＝f[f（x）]﹣1的零点个数为3．故选：B．【点评】本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，向量，则与的夹角大小为150°．【分析】根据向量的坐标即可得出，和的值，从而可得出，从而可得出夹角的大小．解：∵，且，∴与的夹角为150°．故答案为：150°．【点评】本小题主要考查平面向量的数量积，两个向量的夹角等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14．某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测：甲说：丙或丁被选上；乙说：甲和丁均未被选上；丙说：丁被选上；丁说：丙被选上．若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是丁．【分析】逐个假设甲，乙，丙，丁被选上，检验是否符合题意即可．解：若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；若乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；若丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；若丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件，所以被选派参加志愿者服务的是丁，故答案为：丁．【点评】本题主要考查了逻辑推理等基础知识，考查学生逻辑推理能力等能力，是基础题．15．已知数列{a n}中，a1＝2，且对于任意正整数m，n都有a m+n＝a m a n，则数列{a n}的通项公式是．【分析】利用数列的递推关系式，通过m＝1，推出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．解：数列{a n}中，a1＝2，且对于任意正整数m，n都有a m+n＝a m a n，令m＝1，得a n+1＝2a n，则{a n}是首项和公比均为2的等比数列，则．故答案为：．【点评】本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力．16．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G．若四面体A﹣EFG外接球的表面积为，则正方形ABCD的边长为2．【分析】画出折叠后的四面体图形，利用等积法求出四面体内切球半径，再求内接球的表面积．解：依题意，折叠后的四面体如图1，设正方形边长为a，内切球半径为r，则AG＝a，；记四面体内切球球心为O，如图2，则V A﹣EFG＝V O﹣EFG+V O﹣AEF+V O﹣AEG+V O﹣AFG，即，即，所以a＝8r；又，即，所以a＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识，也考查了空间想象能力与运算求解能力．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在平面四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2．∠BAC的平分线与BC交于点E，且．（1）求∠BEA及AC；（2）若∠ADC＝60°，求四边形ABCD周长的最大值．【分析】（1）在△ABE中，由正弦定理可求sin∠AEB的值，又∠AEB＜∠B，可求∠AEB＝45°，利用三角形的内角和定理可求∠BAE的值，进而可求∠ACB的值，可得BC＝AB＝2，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AC的值．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理，基本不等式可求，即可求解四边形ABCD周长的最大值．解：（1）在△ABE中，由正弦定理得：．又∠AEB＜∠B，则∠AEB＝45°，于是∠BAE＝180°﹣120°﹣45°＝15°，所以∠BAC＝30°，∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°．所以BC＝AB＝2．在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝22+22﹣2×2×2×cos120°＝12，所以．（2）令AD＝m，CD＝n，在△ACD中，根据余弦定理得，即有，即，所以，当且仅当时，“＝”成立．所以，四边形ABCD周长的最大值为．【点评】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力，属于中档题．18．红铃虫（Pectinophoragossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①y＝e bx+a，②y＝cx2+d分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到如表值：25 2.8964616842268848.4870308表中z i＝lny i；；；；（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值．（参考数据：e5.18≈178，e5.46≈235，e5.52≈250，e5.83≈340）附：对于一组数据（ω1，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【分析】（1）由模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，说明模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高；（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，由已知数据求得与的值，可得产卵数y关于温度x的回归方程，取x＝34求得y值得结论．解：（1）应该选择模型①．由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．（2）令z＝lny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，0.289，∴ 4.34，则z关于x的线性回归方程为．于是有lny＝0.29x﹣4.34，∴产卵数y关于温度x的回归方程为．当x＝34时，y＝e0.29×34﹣4.34＝e5.52≈250（个）．∴在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个．【点评】本题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识，是中档题．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AD＝DC，∠ADC ＝120°，三角形SAB是等边三角形，平面SAB⊥平面ABCD，E，F分别为AB，AD 的中点．（1）求证：平面SCD⊥平面SEF；（2）若AB＝2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【分析】（1）由已知结合平面与平面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，进一步得到SE ⊥CD．连接BD，得BD∥EF．再证明BD⊥CD，结合BD∥EF，得CD⊥EF．再由直线与平面垂直的判定可得CD⊥平面SEF．进一步得到平面SCD⊥平面SEF；（2）过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，以E为坐标原点建立空间直角坐标系．求出平面SCD的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线SF与平面SCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，SE⊂平面SAB，SE⊥AB，∴SE⊥平面ABCD．又∵CD⊂平面ABCD，∴SE⊥CD．连接BD，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴BD∥EF．∵AD＝DC＝AB，∴∠ABD＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠ADC＝120°，∴∠ADB＝30°，∴∠BDC＝90°，得BD⊥CD．又∵BD∥EF，∴CD⊥EF．又SE∩EF＝E，∴CD⊥平面SEF．又∵CD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SEF；（2）解：过E作EN∥CD，则ES，EF，EN两两垂直，故可如图建立空间直角坐标系．在△BDC中，求得，CD＝2，BC＝4．则E（0，0，0），，，，．故，，．设平面SCD的法向量为，由，可取．则．故SF与平面SCD所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查化归与转化等数学思想，是中档题．20．已知函数f（x）＝e x﹣a•x，其中e是自然对数的底数．（1）若a＝e，证明：f（x）≥0；（2）若x∈[0，+∞）时，都有f（x）≥f（﹣x），求实数a的取值范围．【分析】（1）若a＝e，则f（x）＝e x﹣e•x，所以f′（x）＝e x﹣e，再利用导函数f'（x）的正负性与函数f（x）的单调性之间的联系即可得f（x）的单调性，从而确定f（x）min＝f（1），而f（1）＝0，进而得证；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝e x﹣e﹣x﹣2ax，则原问题转化为g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，然后求导g'（x），令h（x）＝g′（x），再求导h'（x），从而可确定g′（x）在[0，+∞）上单调递增，由于g′（0）＝2﹣2a，于是分a≤1和a ＞1两种情形，讨论函数g（x）的单调性，以便求证g（x）min与0的关系．解：（1）若a＝e，则f（x）＝e x﹣e•x，所以f′（x）＝e x﹣e，当x＝1时，f′（x）＝0；当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以f（x）在x＝1时取得极小值，也是最小值．所以f（x）≥f（1）＝0．（2）令g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝e x﹣e﹣x﹣2ax，则原问题转化为g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．由g′（x）＝e x+e﹣x﹣2a，令h（x）＝g′（x），则在[0，+∞）上恒成立，所以g′（x）在[0，+∞）上单调递增，又g′（0）＝2﹣2a，①当a≤1时，g′（x）≥g′（0）≥0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，即f（x）≥f（﹣x），满足题意．②当a＞1时，因为g′（x）在[0，+∞）上单调递增，所以g′（x）min＝g′（0）＝2﹣2a＜0，所以存在t∈（0，+∞），使得当x∈（0，t）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，t）上单调递减，此时g（x）＜g（0）＝0，这与g（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾．综上所述，a≤1，故实数a的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，不等式的恒成立问题等，考查学生分类讨论和转化与化归的思想，以及运算求解能力，属于中档题．21．已知抛物线C：x2＝2y，过点A（1，1）且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N．（1）求四边形MPNQ面积的取值范围；（2）记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点．【分析】（1）两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0．设l1：y＝k（x﹣1）+1（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则l2：（k≠0）．联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式转化求解四边形MPNQ面积的表达式，利用换元法结合二次函数的求解最小值即可．（2）由（1）求出PQ中点E的坐标为（k，k2+1），同理点F的坐标为．求出直线EF的斜率，得到直线EF的方程，即可求解直线EF恒过的定点．解：（1）由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0．设l1：y＝k（x﹣1）+1（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则l2：（k ≠0）．因为联立直线l1与抛物线的方程，有，其中△＝4k2+8＞0，由韦达定理，有．由上可得，同理，则四边形MPNQ面积．令．则．所以，当且仅当t＝2，即k＝±1时，S取得最小值12，且当t→+∞时，S→+∞．故四边形MPNQ面积的范围是[12，+∞）．（2）由（1）有x1+x2＝2k，，所以PQ中点E的坐标为（k，k2+1），同理点F的坐标为．于是，直线EF的斜率为，则直线EF的方程为：，所以直线EF恒过定点（0，2）．【点评】本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想．一、选择题22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：（t1为参数），曲线C2：（t2为参数），且tanθ1tanθ2＝﹣1，点P为曲线C1与C2的公共点．（1）求动点P的轨迹方程；（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，求动点P到直线l的距离的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）设点P的坐标为（x，y）．因为点P为曲线C1与C2的公共点，所以点P同时满足曲线C1与C2的方程．曲线C1消去参数可得，曲线C2消去参数可得．由tanθ1tanθ2＝﹣1，所以．所以点P的轨迹方程为x2+y2＝4（x≠±2）．（2）由已知，直线l的极坐标方程2ρcosθ﹣ρsinθ+10＝0，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可化为直角坐标方程：2x﹣y+10＝0．因为P的轨迹为圆x2+y2＝4（去掉两点（±2，0）），圆心O到直线l的距离为，所以点P到直线l的距离的取值范围为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3．证明：（1）；（2）．【分析】（1）由三个数的完全平方公式，结合均值不等式和不等式的性质，即可得证；（2）将1代入原不等式的左边，化简整理，再由基本不等式和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）≤2（a+b+c）+3+（2a+1+2b+1）+（2b+1+2c+1）+（2c+1+2a+1）＝6（a+b+c）+9＝27（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．所以；（2）由a，b，c都为正实数，且a+b+c＝3，可得（当且仅当a＝b＝c＝1取“＝”）．则．【点评】本题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力，是一道中档题．。
