【数学】2020年北京市高考适应性测试数学试题及答案(pdf)

2020年北京市高考适应性测试数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题，每题4分,共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) (1, 2) (B) (-1, 2) (C) (2, 1) (D) (2, -1)(2)已知集合A={x|x<2}， B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=(){0,1}A (B) {0,1,2} (C) {-1,0,1} (D) {-1,0,1,2}(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()1A y x =+ 2()1B y x =- 1()()2x C y = 2()log D y x =(4)函数2()56f x x x =-+的定义域为(A) {x|x≤2或x≥3}(B) {x|x≤-3或x≥-2} (C) {x|2≤x≤3}(D) {x|-3≤x≤-2} (5)圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是22()(2)(1)1A x y -+-=22()(2)(1)1B x y +++= 22()(2)(1)5C x y -+-=22()(2)(1)5D x y +++= (6) 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数y=sin2x 的图象 (A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为2()3A 4()3B (C) 2(D) 4(8)已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y x =的图象上，则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (9)设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为.n S 则“*1,n n n S S +∀∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分。

2020年北京市高考数学适应性试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数i(1+i)的虚部为()A. √2B. 1C. 0D. −12.已知集合A={1,2，3，4，5}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}3.下列函数中，在区间(−1,1)上为减函数的是()A. y=11−xB. y=cosxC. y=ln(x+1)D. y=2−x4.设函数f(x)=2x+1的定义域为[1,5]，则函数f(2x−3)的定义域为()A. [1,5]B. [3,11]C. [3,7]D. [2,4]5.与x轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的标准方程为()A. (x+2)2+(y−3)2=4B. (x−2)2+(y+3)2=4C. (x+2)2+(y−3)2=9D. (x−2)2+(y+3)2=96.将函数y=3sin(2x−π4)的图象经过()变换，可以得到函数y=3sin2x的图象．A. 沿x轴向右平移π8个单位 B. 沿x轴向左平移π8个单位C. 沿x轴向右平移π4个单位 D. 沿x轴向左平移π4个单位7.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√38.抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是()A. 35B. 3√55C. 2√55D. 3√1059.在数列{a n}中，已知a n+1=√2a n+3(∀n∈N∗)，则数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为()A. a1>−1B. a1>3C. a1<−1或a1>3D. −1<a1<310.为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是()A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知双曲线x2−y2=1的一条渐近线方程为x−2y=0，则该双曲线的离心率为______．a212.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则实数m的值为______．13.抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是______ ．14.已知△ABC的面积为√3且b=2，c=2，则∠A=______ ．15.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，则函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数是．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且PM=DN．(Ⅰ)求证：直线MN//平面PCD；(Ⅱ)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的正弦值．17.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，求公比q．18.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲，乙两种大树移栽的成活率分别为5和64，求移栽的4株大树中5(1)至少1株成活的概率(2)两种大树各成活1株的概率19.设函数f(x)=ax2−(1+a)x+2−a．e x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；4(2)若f(x)在x=3处取得极小值，求实数a的取值范围．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21.用三段论证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵i(1+i)=−1+i ， ∴i(1+i)的虚部为1． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x ≤3}； ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：D ．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．分别分析各个函数的单调性：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数，函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故而可选答案．【解答】解：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数， 函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故选D ．4.答案：D解析：∵函数f(x)的定义域为[1,5]， ∴1≤2x −3≤5，解得2≤x ≤4， ∴所求函数f(2x −3)的定义域是[2,4]． 故选D ．本题考查函数的定义域问题，注意解决此类问题的原则，属于易错题．5.答案：C解析： 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题． 由题意求得圆的半径，可得圆的标准方程． 【解答】解：∵与x 轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的半径为3， 故该圆的标准方程为(x +2)2+(y −3)2=9， 故选：C ．6.答案：B解析：解：把函数y =3sin(2x −π4)的图象，沿x 轴向左平移π8个单位，可以得到函数y =3sin[2(x +π8)−π4]=3sin2x 的图象， 故选：B ．由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2． ∴V =13×2×12×22=43．故选：A．由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：设抛物线y=x2上的点的坐标为(x,y)，则由点到直线的距离公式可得d=5=2√5=2√5≥3√55，∴抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是3√55．9.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的单调性，充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题．数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，解得：a n范围．【解答】解：数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，即a n2−2a n−3>0，解得：a n>3或a n<−1(∀n∈N∗)∵a n+1=√2a n+3≥0(∀n∈N∗)，∴a n+1≥0，(∀n∈N∗)即a n≥0(∀n∈N∗且n>1)即2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)即a n+1=√2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)∴a n>0，(∀n∈N∗且n>1)∴a n>3(∀n∈N∗且n>1)所以只要再满足a1>3，则有a n>3(∀n∈N∗)故选：B．10.答案：C解析：解：由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，∴A中是甲，∴甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是：乙、丙、甲，故选：C．由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，A中是甲，即可求解．本题考查了推理与证明，属于基础题．11.答案：√52解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质的应用，属于基础题.根据双曲线的方程和渐近线得到a值，即可求解其离心率．【解答】解：因为一条渐近线方程为x−2y=0，所以b2a =(12)2=14，所以1a2=14，所以a2=4,b2=1,c2=5，所以e=√52，故答案为√52．12.答案：3解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，∴a⃗−b⃗ =(1,1−m)，∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2+1−m=0．解得m=3．∴实数m的值为3．故答案为3．利用向量坐标运算法则得到a⃗−b⃗ =(1,1−m)，再由a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：(6,±6√2)解析：解：抛物线y2=12x的准线方程为x=−3∵抛物线y2=12x上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为6代入抛物线方程，可得y2=72，∴y=±6√2即所求点的坐标为(6,±6√2)故答案为：(6,±6√2).根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，即可求得结论．本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：π3或2π3解析：解：由于△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA=2sinA，求得sinA=√32，∴A=π3，或A=2π3，故答案为：π3或2π3．△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA，求得sin A的值，可得A的值．本题主要考查三角形的面积公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．15.答案：5解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的零点与方程根的关系，函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数即为y=f(x)与y=x6的函数图象的交点的个数，由图象可知结论．【解答】解：由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可知f(x)为周期函数，周期为4，作出函数，x∈[0,1]的图象，再根据周期为4，作出x∈[−3,9]上的图象，函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数即为y =f(x)与y =x6的函数图象的交点的个数， 由图象可知在x ∈[−3,9]一共5个交点，所以函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数是5， 故答案为5．16.答案：(Ⅰ)证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似三角形知AN NG =BNND ,由题意AP =BD,又PM =DN,则AM =BN,故BNDN =AMPM ,故ANNG =AMPM , 可得：MN//PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ， 则直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)解：由于PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ，DP 两两垂直，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，则B(1,1，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)， M(12,0,12)，N(12,12,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0), 设平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z ),则{m ⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−12x +12z =0−12x +12y =0, 取x =1,则x =y =z =1,平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线PB 与平面AMN 所成的角为θ，则．直线PB 与平面AMN 所成的角的正弦值为13.解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．(Ⅰ)延长AN ，交CD 于点G ，由题意知AN NG =BN ND =AM MP ，推出MN//PG ，然后证明直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，求出相关点的坐标， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的正弦值． 17.答案：解：显然公比q ≠1，设首项为a 1，则由S 3+3S 2=0，得a 1(1−q 3)1−q =−3×a 1(1−q 2)1−q ，即q 3+3q 2−4=0，即q 3−q 2+4q 2−4=q 2(q −1)+4(q 2−1)=0，即(q −1)(q 2+4q +4)=0，所以q 2+4q +4=(q +2)2=0，解得q =−2．解析：本题考查了等比数列的求和公式，直接利用公式求解．18.答案：解：记事件A k 为第k(k =1,2)株甲种大树成活，记事件B l 为第l(l =1,2)株乙种大树成活，则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立，且P(A 1)=P(A 2)=56，P(B 1)=P(B 2)=45；(1)至少有1 株成活的概率为1−P(A 1A 2B 1B 2)=1−P(A 1)P(A 2)P(B 1)P(B 2)=1−(16)2(15)2=899900；(2)由独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式知，所求概率为P =C 21(56)(16)×C 21(45)(15)=445．解析：本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、概率的基础知识，考查用概率知识解决实际问题的能力.(I)因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至少有1株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1株也不活来考虑. (II)应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代入公式进行运算．19.答案：解：(1)f′(x)=−(ax−1)(x−3)e x ,x ∈R ， 当a =14时，f′(x)=−(14x−1)(x−3)e x ,f(4)=34e 4,k =f′(4)=0，则曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程为y =34e 4(2)①当a =0时，f′(x)=x−3e x ,f′(x)>0⇒x >3,f′(x)<0⇒x <3,所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意②当a <0时，f′(x)>0⇒x >3或x <1a ,f′(x)<0⇒1a <x <3,所以f(x)在(−∞,1a )上单调递增，在(1a ,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意③当0<a <13时,f′(x)>0⇒3<x <1a ,f′(x)<0⇒x <3或x >1a ，所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意④当a =13时，f′(x)=−13(x−3)2e x ≤0在R 上恒成立，所以f(x)在R 上单调递减，则f(x)无极小值， ⑤当a >13时,f′(x)>0⇒1a <x <3,f′(x)<0⇒x >3或x <1a ，所以f(x)在(−∞,1a )上单调递减，在(1a ,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极大值，不符合题意，综 上，a ∈(−∞,13)解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(4)=0，故可求曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程；(2)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =13，0<a <13,a >13，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围． 20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，由题意可得直线MN 的方程为y =x −1，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0，x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2 =(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2) =8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2) =8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证． 21.答案：略解析：首先，我们知道a 2+b 2≥2ab ，则有2(a 2+b 2)≥a 2+b2+2ab ，所以√a 2+b 2≥√22|a +b |≥√22(a +b )，同理，得√b 2+c 2≥√22(b +c )，√a 2+c 2≥√22(a +c )，则有。

数学 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数 学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(1,2)−（C ）(2,1)（D ）(2,1)−（2）已知集合{2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =−，则A B =∩（A ）{0,1}（B ）{0,1,2}（C ）{1,0,1}−（D ）{1,0,1,2}−（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是（A）y =（B ）21y x =−（C ）1()2x y =（D ）2log y x =（4）函数()f x =（A ）{|2x x ≤或3}x ≥ （B ）{|3x x −≤或2}x −≥ （C ）{|23}x x ≤≤（D ）{|32}x x −−≤≤（5）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是（A ）22(2)(1)1x y −+−= （B ）22(2)(1)1x y +++= （C ）22(2)(1)5x y −+−=（D ）22(2)(1)5x y +++= （6）要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π3个单位 （B ）向左平移π6个单位 （C ）向右平移π3个单位 （D ）向右平移π6个单位数学 第 2 页（共 6 页）俯视图（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4（8）已知点(2,0)A ，(0,2)B −．若点P 在函数y 的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（9）设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n ∀∈N ，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ．则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人 （C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人数学 第 3 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。

2020年北京高考适应性测试数学（PDF版）数学参考答案第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C（ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点，所以//PA MN ．又因为PA ?平面MNC ，所以//PA 平面MNC ．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =，则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-，(0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-．设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC ??→??→??==?n n 即20,220.x z y z -+=??-=? 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α，所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α??→??→??→?=??==n n n ．（17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =．所以3(12)3(21)12n n n S -==--．令2020k S >，即202323k >．所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10．解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ?-==--．因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =，所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ?--==----．令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =．由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7 P D P C C P C P C ==+=．（Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =．所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=．（Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-．所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案第 4 页（共 6 页）()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c ==??所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-．因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-，所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+．直线AN 的方程为111m y x x -=+．直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+．联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -?=+=--?+?数学参考答案第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=，则0D y =．所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --??=．（Ⅱ）01336A ??= 经S ?变换后得1336?? ?--??，故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ?--+?--+?++-?+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ?--+-?+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --．所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----，又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。

数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点， 所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ， 所以//PA 平面MNC ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =， 则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-． 设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案 第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． （17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =． 所以3(12)3(21)12n n n S -==--． 令2020k S >， 即202323k >． 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10． 解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--． 因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =， 所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----． 令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案 第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =． 由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=． （Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =． 所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=． （Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-． 所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-． 因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-， 所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+． 直线AN 的方程为111m y x x -=+． 直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+． 联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案 第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=， 则0D y =． 所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭， 故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案 第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。

数学 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数 学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(1,2)−（C ）(2,1)（D ）(2,1)−（2）已知集合{2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =−，则A B =∩（A ）{0,1}（B ）{0,1,2}（C ）{1,0,1}−（D ）{1,0,1,2}−（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是（A）y =（B ）21y x =−（C ）1()2x y =（D ）2log y x =（4）函数()f x =（A ）{|2x x ≤或3}x ≥ （B ）{|3x x −≤或2}x −≥ （C ）{|23}x x ≤≤（D ）{|32}x x −−≤≤（5）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是（A ）22(2)(1)1x y −+−= （B ）22(2)(1)1x y +++= （C ）22(2)(1)5x y −+−=（D ）22(2)(1)5x y +++= （6）要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π3个单位 （B ）向左平移π6个单位 （C ）向右平移π3个单位 （D ）向右平移π6个单位 z 112z 112z 112z 112数学 第 2 页（共 6 页）俯视图（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4（8）已知点(2,0)A ，(0,2)B −．若点P 在函数y 的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（9）设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n ∀∈N ，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ．则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人 （C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人z 112z 112z数学 第 3 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。