2020北京市高考数学适应性测试卷含答案

2020年北京市高考适应性测试数学第一部分(选择题共40分)一、选择题共10题，每题4分,共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在复平面内，复数i(i+2)对应的点的坐标为(A) (1, 2) (B) (-1, 2) (C) (2, 1) (D) (2, -1)(2)已知集合A={x|x<2}， B={-1,0,1,2,3}, 则A∩B=(){0,1}A (B) {0,1,2} (C) {-1,0,1} (D) {-1,0,1,2}(3)下列函数中，在区间(0,+∞)上为减函数的是()1A y x =+ 2()1B y x =- 1()()2x C y = 2()log D y x =(4)函数2()56f x x x =-+的定义域为(A) {x|x≤2或x≥3}(B) {x|x≤-3或x≥-2} (C) {x|2≤x≤3}(D) {x|-3≤x≤-2} (5)圆心为(2, 1)且和x 轴相切的圆的方程是22()(2)(1)1A x y -+-=22()(2)(1)1B x y +++= 22()(2)(1)5C x y -+-=22()(2)(1)5D x y +++= (6) 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数y=sin2x 的图象 (A)向左平移3π个单位 (B)向左平移6π个单位 (C)向右平移3π个单位 (D)向右平移6π个单位 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为2()3A 4()3B (C) 2(D) 4(8)已知点A(2,0)，B(0,-2).若点P 在函数y x =的图象上，则使得△PAB 的面积为2的点P 的个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3(D) 4 (9)设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为.n S 则“*1,n n n S S +∀∈>N ”是“{}n a 为递增数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(10)学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5题，每题5分，共25分。

2020年北京市高考数学适应性试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.复数i(1+i)的虚部为()A. √2B. 1C. 0D. −12.已知集合A={1,2，3，4，5}，B={x|x≤3}，则A∩B=()A. {3}B. {1,2}C. {2,3}D. {1,2，3}3.下列函数中，在区间(−1,1)上为减函数的是()A. y=11−xB. y=cosxC. y=ln(x+1)D. y=2−x4.设函数f(x)=2x+1的定义域为[1,5]，则函数f(2x−3)的定义域为()A. [1,5]B. [3,11]C. [3,7]D. [2,4]5.与x轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的标准方程为()A. (x+2)2+(y−3)2=4B. (x−2)2+(y+3)2=4C. (x+2)2+(y−3)2=9D. (x−2)2+(y+3)2=96.将函数y=3sin(2x−π4)的图象经过()变换，可以得到函数y=3sin2x的图象．A. 沿x轴向右平移π8个单位 B. 沿x轴向左平移π8个单位C. 沿x轴向右平移π4个单位 D. 沿x轴向左平移π4个单位7.某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 6+2√38.抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是()A. 35B. 3√55C. 2√55D. 3√1059.在数列{a n}中，已知a n+1=√2a n+3(∀n∈N∗)，则数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为()A. a1>−1B. a1>3C. a1<−1或a1>3D. −1<a1<310.为培养学生分组合作能力，现将某班分成A，B，C三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在B组中的那位的成绩与甲不一样，在A组中的那位的成绩比丙低，在B组中的那位的成绩比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是()A. 甲、丙、乙B. 乙、甲、丙C. 乙、丙、甲D. 丙、乙、甲二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知双曲线x2−y2=1的一条渐近线方程为x−2y=0，则该双曲线的离心率为______．a212.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则实数m的值为______．13.抛物线y2=12x上到焦点的距离等于9的点的坐标是______ ．14.已知△ABC的面积为√3且b=2，c=2，则∠A=______ ．15.已知奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=log2(x+1)，则函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数是．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四棱锥P−ABCD底面为正方形，已知PD⊥平面ABCD，PD=AD，点M为线段PA上任意一点(不含端点)，点N在线段BD上，且PM=DN．(Ⅰ)求证：直线MN//平面PCD；(Ⅱ)若M为线段PA中点，求直线PB与平面AMN所成的角的正弦值．17.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2=0，求公比q．18.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲，乙两种大树移栽的成活率分别为5和64，求移栽的4株大树中5(1)至少1株成活的概率(2)两种大树各成活1株的概率19.设函数f(x)=ax2−(1+a)x+2−a．e x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线方程；4(2)若f(x)在x=3处取得极小值，求实数a的取值范围．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21.用三段论证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵i(1+i)=−1+i ， ∴i(1+i)的虚部为1． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵A ={1,2，3，4，5}，B ={x|x ≤3}； ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：D ．进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的单调性，属于基础题．分别分析各个函数的单调性：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数，函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故而可选答案．【解答】解：函数y =11−x ，y =ln (x +1)在(−1,1)上都是增函数， 函数y =cosx 在(−1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y =2−x =(12)x在(−1,1)上是减函数，故选D ．4.答案：D解析：∵函数f(x)的定义域为[1,5]， ∴1≤2x −3≤5，解得2≤x ≤4， ∴所求函数f(2x −3)的定义域是[2,4]． 故选D ．本题考查函数的定义域问题，注意解决此类问题的原则，属于易错题．5.答案：C解析： 【分析】本题主要考查求圆的标准方程的方法，属于基础题． 由题意求得圆的半径，可得圆的标准方程． 【解答】解：∵与x 轴相切，且圆心坐标为(−2,3)的圆的半径为3， 故该圆的标准方程为(x +2)2+(y −3)2=9， 故选：C ．6.答案：B解析：解：把函数y =3sin(2x −π4)的图象，沿x 轴向左平移π8个单位，可以得到函数y =3sin[2(x +π8)−π4]=3sin2x 的图象， 故选：B ．由条件根据函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：A解析：解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P −ABC ，其中PA ⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC =2，PA =2． ∴V =13×2×12×22=43．故选：A．由三视图可知：该几何体为三棱锥P−ABC，其中PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，PA=2．本题考查了三棱锥的三视图、体积的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：设抛物线y=x2上的点的坐标为(x,y)，则由点到直线的距离公式可得d=5=2√5=2√5≥3√55，∴抛物线y=x2上的点到直线2x−y=4的最短距离是3√55．9.答案：B解析：【分析】本题考查了数列的单调性，充分必要条件的判定，考查了推理能力，属于基础题．数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，解得：a n范围．【解答】解：数列{a n}满足：a n+1<a n(∀n∈N∗)的充要条件为√2a n+3<a n，即a n2−2a n−3>0，解得：a n>3或a n<−1(∀n∈N∗)∵a n+1=√2a n+3≥0(∀n∈N∗)，∴a n+1≥0，(∀n∈N∗)即a n≥0(∀n∈N∗且n>1)即2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)即a n+1=√2a n+3>0(∀n∈N∗且n>1)∴a n>0，(∀n∈N∗且n>1)∴a n>3(∀n∈N∗且n>1)所以只要再满足a1>3，则有a n>3(∀n∈N∗)故选：B．10.答案：C解析：解：由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，∴A中是甲，∴甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是：乙、丙、甲，故选：C．由“在B组中的那位的成绩与甲不一样，在B组中的那位的成绩比乙低”可得B组是丙，且丙的成绩比乙低，又在A组中的那位的成绩比丙低，A中是甲，即可求解．本题考查了推理与证明，属于基础题．11.答案：√52解析：【分析】本题主要考查了双曲线的性质的应用，属于基础题.根据双曲线的方程和渐近线得到a值，即可求解其离心率．【解答】解：因为一条渐近线方程为x−2y=0，所以b2a =(12)2=14，所以1a2=14，所以a2=4,b2=1,c2=5，所以e=√52，故答案为√52．12.答案：3解析：解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,m)，∴a⃗−b⃗ =(1,1−m)，∵a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2+1−m=0．解得m=3．∴实数m的值为3．故答案为3．利用向量坐标运算法则得到a⃗−b⃗ =(1,1−m)，再由a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，能求出实数m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：(6,±6√2)解析：解：抛物线y2=12x的准线方程为x=−3∵抛物线y2=12x上点到焦点的距离等于9∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标为6代入抛物线方程，可得y2=72，∴y=±6√2即所求点的坐标为(6,±6√2)故答案为：(6,±6√2).根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，可得所求点的横坐标，即可求得结论．本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.答案：π3或2π3解析：解：由于△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA=2sinA，求得sinA=√32，∴A=π3，或A=2π3，故答案为：π3或2π3．△ABC的面积为√3=12bc⋅sinA，求得sin A的值，可得A的值．本题主要考查三角形的面积公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．15.答案：5解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的零点与方程根的关系，函数y=6f(x)−x在[−3,9]上的零点个数即为y=f(x)与y=x6的函数图象的交点的个数，由图象可知结论．【解答】解：由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，可知f(x)为周期函数，周期为4，作出函数，x∈[0,1]的图象，再根据周期为4，作出x∈[−3,9]上的图象，函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数即为y =f(x)与y =x6的函数图象的交点的个数， 由图象可知在x ∈[−3,9]一共5个交点，所以函数y =6f(x)−x 在[−3,9]上的零点个数是5， 故答案为5．16.答案：(Ⅰ)证明：延长AN ，交CD 于点G ，由相似三角形知AN NG =BNND ,由题意AP =BD,又PM =DN,则AM =BN,故BNDN =AMPM ,故ANNG =AMPM , 可得：MN//PG ，MN ⊄平面PCD ，PG ⊂平面PCD ， 则直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)解：由于PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ，DP 两两垂直，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，则B(1,1，0)，C(0,1，0)，P(0,0，1)， M(12,0,12)，N(12,12,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,0,12),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0), 设平面AMN 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z ),则{m ⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−12x +12z =0−12x +12y =0, 取x =1,则x =y =z =1,平面AMN 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,1,1)，设直线PB 与平面AMN 所成的角为θ，则．直线PB 与平面AMN 所成的角的正弦值为13.解析：本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．(Ⅰ)延长AN ，交CD 于点G ，由题意知AN NG =BN ND =AM MP ，推出MN//PG ，然后证明直线MN//平面PCD ； (Ⅱ)以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设A(1,0，0)，求出相关点的坐标， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，平面AMN 的法向量，利用向量的数量积求解PB 与平面AMN 夹角的正弦值． 17.答案：解：显然公比q ≠1，设首项为a 1，则由S 3+3S 2=0，得a 1(1−q 3)1−q =−3×a 1(1−q 2)1−q ，即q 3+3q 2−4=0，即q 3−q 2+4q 2−4=q 2(q −1)+4(q 2−1)=0，即(q −1)(q 2+4q +4)=0，所以q 2+4q +4=(q +2)2=0，解得q =−2．解析：本题考查了等比数列的求和公式，直接利用公式求解．18.答案：解：记事件A k 为第k(k =1,2)株甲种大树成活，记事件B l 为第l(l =1,2)株乙种大树成活，则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立，且P(A 1)=P(A 2)=56，P(B 1)=P(B 2)=45；(1)至少有1 株成活的概率为1−P(A 1A 2B 1B 2)=1−P(A 1)P(A 2)P(B 1)P(B 2)=1−(16)2(15)2=899900；(2)由独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率公式知，所求概率为P =C 21(56)(16)×C 21(45)(15)=445．解析：本题主要考查相互独立事件、独立重复试验、概率的基础知识，考查用概率知识解决实际问题的能力.(I)因各株大树是否成活互不影响，本题考查的是相互独立事件同时发生的概率，至少有1株成活包括的情况较多，所以从它的对立事件1株也不活来考虑. (II)应用独立重复试验中事件发生的概率公式，同时又有相互独立事件同时发生的概率，代入公式进行运算．19.答案：解：(1)f′(x)=−(ax−1)(x−3)e x ,x ∈R ， 当a =14时，f′(x)=−(14x−1)(x−3)e x ,f(4)=34e 4,k =f′(4)=0，则曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程为y =34e 4(2)①当a =0时，f′(x)=x−3e x ,f′(x)>0⇒x >3,f′(x)<0⇒x <3,所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意②当a <0时，f′(x)>0⇒x >3或x <1a ,f′(x)<0⇒1a <x <3,所以f(x)在(−∞,1a )上单调递增，在(1a ,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意③当0<a <13时,f′(x)>0⇒3<x <1a ,f′(x)<0⇒x <3或x >1a ，所以f(x)在(−∞,3)上单调递减，在(3,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极小值，符合题意④当a =13时，f′(x)=−13(x−3)2e x ≤0在R 上恒成立，所以f(x)在R 上单调递减，则f(x)无极小值， ⑤当a >13时,f′(x)>0⇒1a <x <3,f′(x)<0⇒x >3或x <1a ，所以f(x)在(−∞,1a )上单调递减，在(1a ,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，则f(x)在x =3处取得极大值，不符合题意，综 上，a ∈(−∞,13)解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得f′(4)=0，故可求曲线y =f (x )在点(4,f (4))处的切线方程；(2)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a =0，a =13，0<a <13,a >13，a <0，由极小值的定义，即可得到所求a 的范围． 20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3，则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，由题意可得直线MN 的方程为y =x −1，代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0，x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2 =(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2) =8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2) =8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证． 21.答案：略解析：首先，我们知道a 2+b 2≥2ab ，则有2(a 2+b 2)≥a 2+b2+2ab ，所以√a 2+b 2≥√22|a +b |≥√22(a +b )，同理，得√b 2+c 2≥√22(b +c )，√a 2+c 2≥√22(a +c )，则有。

数学 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数 学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数i(i +2)对应的点的坐标为（A ）(1,2)（B ）(1,2)−（C ）(2,1)（D ）(2,1)−（2）已知集合{2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =−，则A B =∩（A ）{0,1}（B ）{0,1,2}（C ）{1,0,1}−（D ）{1,0,1,2}−（3）下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是（A）y =（B ）21y x =−（C ）1()2x y =（D ）2log y x =（4）函数()f x =（A ）{|2x x ≤或3}x ≥ （B ）{|3x x −≤或2}x −≥ （C ）{|23}x x ≤≤（D ）{|32}x x −−≤≤（5）圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是（A ）22(2)(1)1x y −+−= （B ）22(2)(1)1x y +++= （C ）22(2)(1)5x y −+−=（D ）22(2)(1)5x y +++= （6）要得到函数πsin(2)3y x =−的图象，只需要将函数sin 2y x =的图象（A ）向左平移π3个单位 （B ）向左平移π6个单位 （C ）向右平移π3个单位 （D ）向右平移π6个单位数学 第 2 页（共 6 页）俯视图（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2 （D ）4（8）已知点(2,0)A ，(0,2)B −．若点P 在函数y 的图象上，则使得PAB △的面积为2的点P 的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（9）设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n ∀∈N ，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ．则该班（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人 （C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人数学 第 3 页（共 6 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。

数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2020年北京市高考适应性测试数学参考答案一、选择题（共10题，每题4分，共40分）（ 1 ）B（ 2 ）C （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A （ 6 ）D （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）A （10）D二、填空题（共5题，每题5分，共25分）（11）1 （12）2-（13）1 （14）34（15）①③ 注：第14题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。

三、解答题（共6题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为,M N 分别为,AD PD 的中点， 所以//PA MN ．又因为PA ⊄平面MNC ， 所以//PA 平面MNC ． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -．设2AD =， 则(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,4)P ，(1,0,0)M (0,0,2)N ，(2,2,4)PB =-， (0,2,2)NC =-，(1,0,2)MN =-． 设平面M NC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,0,MN NC −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即20,220.x z y z -+=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则2x =，1y =．所以(2,1,1)=n ．数学参考答案 第 2 页（共 6 页）设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 所以||1sin |cos ,|6||||PB PB PB α−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ． （17）（共14分）解1：选择①因为312a =，所以13a =． 所以3(12)3(21)12n n n S -==--． 令2020k S >， 即202323k >． 所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为10． 解2：选择② 因为312a =，所以148a =，148(1)1296(1)1212n n n S ⨯-==--． 因为962020n S <<，所以不存在满足条件的正整数k .解3：选择③因为312a =，所以13a =， 所以3(1(2))1(2)1(2)n n n S ⨯--==----． 令2020k S >, 即1(2)2020k -->，整理得(2)2019k -<-．当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于22019k >，所以使得2020k S >的正整数k 的最小值为11．数学参考答案 第 3 页（共 6 页）（18）（共14分）解：设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“丙是C 组的第i 株植物”，1,2,,7i =． 由题意可知1()()()7i i i P A P B P C ===，1,2,,7i =．（Ⅰ）设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，由题意知，12D C C =，又1C 与2C 互斥，所以事件D 的概率12122()()()()7P D P C C P C P C ==+=． （Ⅱ）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”．由题意知，41516171526272637374E A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B =． 所以事件E 的概率4151617152()()()()()()P E P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272637374()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ 4110()P A B =4110()()P A P B = 1049=． （Ⅲ）0μ<1μ．（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()e (1)e 2x a f x x x =--，所以()e e x a f x x x '=-． 所以(0)1f =-，(0)0f '=．所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线为1y =-．（Ⅱ）因为()e e (e e )x a x a f x x x x '=-=-，令()0f x '=，得0x =或a (0)a <．数学参考答案 第 4 页（共 6 页） ()f x 与()f x '在R 上的变化情况如下：由上表可知，当0x =时，()f x 有极小值(0)1f =-．（Ⅲ）当1x ≤时，()0f x <，且22(2)e 2e >e 20a f =-->．由（Ⅱ）可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的零点个数为1．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题设，得1,b c =⎧⎪⎨=⎪⎩所以2224a b c =+=，即2a =．故椭圆C 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）设1(,)M x m ，则1(,)N x m -，10x ≠，11m -<<．所以直线BM 的斜率为11(1)10m m x x --+=-． 因为直线BD ，BM 的斜率的积为14-， 所以直线BD 的斜率为14(1)x m -+． 直线AN 的方程为111m y x x -=+． 直线BD 的方程为114(1)x y x m =--+． 联立1111,1,4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩数学参考答案 第 5 页（共 6 页）解得点D 的纵坐标为221221114114D x m y x m --+=-+-．因为点M 在椭圆C 上，所以22114x m +=， 则0D y =． 所以点D 在x 轴上．（21）（共14分）解：（Ⅰ）11215A --⎛⎫= ⎪⎝⎭．（Ⅱ）01336A ⎛⎫= ⎪⎝⎭经S ϕ变换后得1336⎛⎫⎪--⎝⎭， 故0()13365S T A =+--=-．（Ⅲ）若1112a a ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 且不含12a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；含有12a 且不含11a 的子集共42个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；同时含有11a 和12a 的子集共42个，经过变换后第一行仍为1112,a a ；不含11a 也不含12a 的子集共421-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为444411121112111211122()2()2()(21)()a a a a a a a a ⨯--+⨯--+⨯++-⨯+1112a a =--．若1112a a =，则{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，含有11a 的子集共52个，经过变换后第一行均变为1112,a a --；不含有11a 的子集共521-个，经过变换后第一行仍为1112,a a ．数学参考答案 第 6 页（共 6 页）所以经过变换后所有l A 的第一行的所有数的和为55111211122()(21)()a a a a ⨯--+-⨯+1112a a =--．同理，经过变换后所有l A 的第二行的所有数的和为2122a a --． 所以0()S T A 的所有可能取值的和为11122122a a a a ----， 又因为11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈，所以0()S T A 的所有可能取值的和不超过4-．。

成都玉林中学高2020级高考适应性考试（文科数学）本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 若复数满足，则（ ） z (2i)3i z +=-z =A. B. C. D.1i +1i -1i -+1i --【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，所以. (2i)3i z +=-3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++1i z =+故选：A2. 若集合，，则（ ） {}2560A x x x =--≤{}7B x x =>()R A B ⋂=ðA. B.C.D.(]1,7-(]1,6-()7,+∞()6,+∞【答案】C 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. A 【详解】由，即，解得， 2560x x --≤()()610x x -+≤16x -≤≤所以，{}{}256016A x x x x x =--≤=-≤≤，又，．()()R ,16,A ∴=-∞-+∞ ð{}7B x x =>()()R 7,A B +∞∴= ð故选：C ．3. 构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（ ）A. 高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B. 除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C. 高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D. 各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大 【答案】C 【解析】【分析】利用极差的概念，平均数的概念以及根据统计图表的相关知识判断选项即可. 【详解】对于A ，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5， 所以极差为，A 错误； 9.58.51-=对于B ，两班的德育分相等，B 错误； 对于C ，高三（1）班的平均数为，9.59.259.599.59.355++++=（2）班的平均数为，故C 正确；9.58.599.599.15++++=对于D ，两班的体育分相差，9.590.5-=而两班的劳育得分相差， D 错误， 9.258.50.75-=故选：C ．4. 某四面体的三视图由如图所示的三个直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为（ ）A.B.C. D.54【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原四面体，该四面体的四个面都是直角三角形，确定最长的棱，利用勾股定理可以计算其长度.【详解】：四面体如图所示，其中平面，且中，. SB ⊥ABC ABC 90ACB ∠=︒由平面，平面得到，同理， SB ⊥ABC AB ⊂ABC SB AB ⊥SB BC ⊥所以棱长最大为，则.SA SA ===故选：A5. 已知实数，满足不等式组则的最大值为（ ）x y 10,20,50,x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩2z x y =+A. 4 B. 5C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】先画出可行域，然后由，得，作出直线，向上平移过点时，2z x y =+2y x z =-+2y x =-C 取得最大值，求出点的坐标代入中可得答案2z x y =+C 2z x y =+【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，向上平2z x y =+2y x z =-+2y x =-移过点时，取得最大值，C 2z x y =+由，得，即， 2050y x y -=⎧⎨+-=⎩32x y =⎧⎨=⎩()3,2C 所以的最大值为， 2z x y =+2328⨯+=故选：C6. 函数在的图像大致为（ ） 22sin 3()cos x xf x x x+=+[,]-ππA .B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，可排除A ，再求出判断正负，可排除BD. ()f π【详解】，是奇函数，故A 错误；()()()()()222sin 32sin 3()cos cos x x x xf x f x x x x x -+-+-==-=-+-+- ()f x \，故BD 错误. 222sin 33()0cos 1f πππππππ+==>+- 故选：C.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 若曲线的一条切线为，则实数的值为（ ） ln y x x =2y x b =-+b A. B. C. D.3e --3e -35e --35e -【答案】A 【解析】【分析】根据导数的几何意义分析运算． 【详解】因为，所以，ln y x x =ln 1y x ¢=+设曲线与直线的切点为，ln y x x =2y x b =-+()00,x y 由导数的几何意义可得，解得：，则，0ln 12x +=-30e x -=3000ln 3e y x x -==-又因为又在上， ()00,x y 2y x b =-+所以，则 333e 2e b ---=-+3e b -=-故选：A .8. 从集合中随机抽取一个数a ，从集合中随机抽取一个数b ，则向量与向量{1,2,4}{2,4,5}(,)m a b =垂直的概率为（ ）(2,1)n =-A. B.C.D.19291323【答案】B 【解析】 【分析】求出组成向量的个数和与向量垂直的向量个数，计算所求的概率值．(,)m a b = (2,1)n =- 【详解】解：从集合中随机抽取一个数，从集合中随机抽取一个数， {1,2,4}a {2,4,5}b 可以组成向量的个数是（个； (,)m a b =339⨯=)其中与向量垂直的向量是和，共2个； (2,1)n =- (1,2)m = (2,4)m =故所求的概率为． 29P =故选：B ．9. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减31.2mg /cm 少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排20%30.2mg /cm放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，（ ） (lg 20.3≈lg 30.477)≈A. B. C. D.891011【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知过滤次数与污染物的含量关系为，在根据题意列出不等式解出即1.2(10.2)ny =-可．【详解】过滤第一次污染物的含量减少，则为； 20% 1.2(10.2)-过滤第两次污染物的含量减少，则为；20%21.2(10.2)-过滤第三次污染物的含量减少，则为；20%31.2(10.2)-过滤第n 次污染物的含量减少，则为；20% 1.2(10.2)-n要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，30.2mg /cm 1.2(10.2)0.2-≤n5(64≥n两边取以10为底的对数可得， 5lg(lg 64≥n即， 52lg(lg 2lg 38⨯≥+n 所以，lg 2lg 313lg 2n +≥-因为，lg 20.3,lg 30.477≈≈所以， lg 2lg 30.30.4777.7713lg 2130.3++≈=--⨯所以，又，所以， 7.77n ≥*n ∈N min 8n =故排放前需要过滤的次数至少为次． 8故选：A ．10. 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为（ ）A. y 2＝9xB. y 2＝6xC. y 2＝3xD. y 2【答案】C 【解析】【分析】过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，利用抛物线的定义和平行线的性质、直角三角形求解．【详解】如图，过点A ，B 分别作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由抛物线定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在直角三角形ACE 中，因为|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |，所以3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3，所以p ＝|FG |＝|FC |＝，因此抛物线的方程为y 21232＝3x ， 故选：C.11. 函数的最小正周期为，其图象关于点对称，()()()cos 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<2π3T =π,018⎛⎫⎪⎝⎭且当时，的值域是，则的取值范围是（ ） ,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦m A.B. π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π7π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.D. π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π5π,918⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用函数的基本性质可得出，由可求得的取值()f x ()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π33x +范围，根据函数在区间的值域可得出关于的不等式，解之即可. ()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【详解】因为函数的最小正周期为，则， ()()()cos 0πf x x ωϕϕ=+<<2π3T =2π3Tω==所以，， ()()cos 3f x x ϕ=+又因为函数的图象关于点对称，则，()f x π,018⎛⎫⎪⎝⎭()ππ3π182k k ϕ⨯+=+∈Z 解得，因为，故，故，()ππ3k k ϕ=+∈Z 0πϕ<<π3ϕ=()πcos 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，， ,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5πππ33633x m ≤+≤+且函数在上的值域为，()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，，解得， π7ππ336m ≤+≤2π5π918m ≤≤故选：D.12. 如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1、2，高S 、A 分别为其上、下底面圆12O O 12O O =周上一点，则下列说法中错误的是（ ）A. B. 直线SA 与直线所成角最大值为 12O O π3C.D. 直线与平面 1AO 12SO O 【答案】B 【解析】【分析】对于A ，根据圆台的体积公式，可得答案；对于B ，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；对于C ，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案；对于D ，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.【详解】对于A 选项，，则A 选项正确． ()π1243V =++⋅=对于B 选项，如图（1），过作垂直于下底面于点，则， S SD D 12//O O SD 所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，即为所求， SA 12O O SA SD ASD ∠而，由圆的性质得，， tan AD ASD SD ∠==13AD ≤≤所以， tan AD ASD SD ∠==，则B 选项错误． πtan 3<=对于C 选，设上底面半径为，下底面半径为，若圆台存在内切球，1R 2R 则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，梯形的上底和下底分别为2，4，高为，假设等腰梯形有内切圆， 3=由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为，所以圆台存在内切球， 123R R +=，则C 选项正确；对于D 选项，如图（3），平面即平面，12SO O 12SO O C 过点做交于点，因为垂直于下底面，而含于下底面， A AH BC ⊥BC H SD AH 所以，又，且平面，SD AH ⊥SD BC D = ,BC SD ⊂12SO O C 所以平面，所以直线与平面所成角即为，AH ⊥12SO O C 1AO 12SO O C 1AO H ∠且．设，则， 11tan AH AO H O H∠=AH x=2O H ==所以，其中，1O H ===[]0,2AH x =∈所以11tan AH AO H O H ∠==当时，，当时，0x =1tan 0AO H ∠=(]0,2x∈1tan AO H∠==可知函数上单调递增， y =(]0,2所以当时，，所以D选项正确． 2x =1tan AO H ∠故选：B .【点睛】本题考查立体几何的内切球问题，线面角的最值求解，异面直线所成角的求解，圆台的体积的求解.对于D 选项这样的动点问题求最值，如果不能从图形中找到最值对应的点的位置，那么可以通过求函数最值的方法求解.第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为______．【答案】5 【解析】【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解析依次执行如下： S ＝12－2×1＝10，i ＝2； S ＝10－2×2＝6，i ＝3； S ＝6－2×3＝0，i ＝4； S ＝0－2×4＝－8，i ＝5，满足条件S <0，退出循环体，输出i ＝5． 故答案为：5. 14. 设，______． π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】 4-【解析】【分析】先用两角差的正切公式可求出的值，再用两角和的正切公式即可求解 tan α【详解】因为，所以， πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭5tan 3α=故. πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭故答案为：4-15. 已知的内角A 、、的对边分别是、、，且，，.则的ABC B C a b c 3b =2a c -=23A π=ABC 面积为______.【解析】【分析】由余弦定理结合已知条件可求出，即可由面积公式求出面积. 5c =【详解】由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-，，， 3b =2a c -=23A π=，解得，()222123232c c c ⎛⎫∴+=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭5c =则的面积为. ABC 11sin 3522S bc A ==⨯⨯=. 16. 已知点是双曲线的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线垂足()4,0F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为A ，交另一条渐近线于点B ．若，则双曲线C 的方程为______．2AF FB =【答案】221124x y -=【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.【详解】双曲线的渐近线方程为：，2222:1x y C a b-=0bx ay ±=不妨令点A 在直线上，， 0bx ay -=2216a b +=如图，因为，则， AF OA ⊥4||4bAF b ===而，即有，2AF FB =||2||2,||3FB AF b AB b ===，， ||OA a ===sin 4b AOF ∠=由知，点在y 轴同侧，于是，2AF FB =,A B π2(0,)2AOB AOF ∠=∠∈，，22cos 12sin 108b AOB AOF ∠=-∠=->28b <在中，，Rt AOB △||OB ===由得：，cos OA OB AOB =∠2(1)8ba =-整理得：，化简得， 22228(16)(2)(8)b b b -=+-4214400b b -+=解得或（舍去），所以，，24b =210b =24b =212a =所以双曲线方程为．221124xy -=故答案为：.221124x y -=三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知等差数列的公差为正数，且，若分别是等比数列的前三项． {}n a 11a =26114,2,a a a a -{}n b （1）分别求数列、的通项公式； {}n a {}n b （2）求数列的前项之和． 11{}n n a a +n n S 【答案】（1）21,3nn n a n b =-=（2） 21n nS n =+【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由已知可得，解{}n a ()0d d >()()()2111513d a a d a d -=++方程组可求出的值，从而可求得数列的通项公式，进而根据题意可求出的通项公式； d {}n a {}n b （2）由（1）可得，再利用裂项相消法求出. 11111()22121n n a a n n +=--+n S 【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，，是等比数列的前三项， {}n a ()0d d >2a 612a a -14a {}n b 所以，即， ()2612142a a a a -=()()()2111513d a a d a d -=++化简得，又，所以．得． 12d a =11a =2d =()12121n a n n =+-=-由（1），可得数列的前三项分别为，，， {}n b 13b =29b =327b =显然该等比数列的公比为3，首项为3．{}n b 所以．综上，两数列的通项公式分别为．3nn b =21,3nn n a n b =-=【小问2详解】． 111111((21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+则 11111111(1...(12335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++18. 为实施乡村振兴，科技兴农，某村建起了田园综合体，并从省城请来专家进行技术指导．根据统计，该田园综合体西红柿亩产量的增加量（千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间的对应数据如y x 下.（千克）x 2 4 5 6 8 （千克）y 300400400400500（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（若y x r 0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求关于的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿亩产量的增加量约为多r x 少千克?附：相关系数公式．nx y r =3.16≈回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．y bx a =+$$$()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑a y bx =-$$【答案】（1）0.95，答案见解析；（2）700千克． 【解析】【分析】（1）根据表中的数据先求出，再求，然,x y ()()51i i i x x y y =--∑后利用公式求出相关系，再作判断即可，（2）根据线性回归方程公式求出回归方程，然后将代入回归方程中可求得西红柿亩产量的增加量 15x =【详解】解：（1）由已知数据可得，2456855x ++++==，3004004004005004005y ++++==所以，()()()()()5131001000103100600iii x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，==，==所以相关系数．50.95x y r ===≈因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．0.75r>y x （2），， ()()()515216003020iii i i x x y y bx x==--===-∑∑ 400530250a=-⨯=所以回归方程为． 30250y x =+当时，，15x = 3015250700y =⨯+=即当液体肥料每亩使用量为15千克时，西红柿由产量的增加量约为700千克．19. 如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD是边长为2的正方形，AA 1＝4，点E 为棱AA 1的中点．（1）求证：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）求点A 到平面CEB 1的距离．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理分析证明；（2）方法一：根据平行关系分析可得：点A 到平面CEB 1的距离等于点P 到平面CEB 1的距离，利用等体积法运算求解；方法二：直接使用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】由已知可得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1．且BE ⊂平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥BE ，在△B 1BE 中，B 1B ＝4，BE ＝B 1E ，所以B 1B 2＝BE 2＋B 1E 2，所以BE ⊥B 1E ， =又因为B 1C 1∩B 1E ＝B 1，平面EB 1C 1，所以BE ⊥平面EB 1C 1. 111,B C B E ⊂【小问2详解】方法一：取CB 1的中点F ，BC 的中点P ，连接EF ，AP ，PF ，PB 1，PE ， 可得AE ∥PF ，且AE ＝PF ，则四边形APFE 为平行四边形，可得AP ∥EF ， 又因为AP ⊄平面CEB 1，EF ⊂平面CEB 1，所以AP ∥平面CEB 1， 所以点A 到平面CEB 1的距离等于点P 到平面CEB 1的距离， 易知， 11P CEB E PCB V V －－＝在△CEB 1中，，，，CE ==1EB ==1CB ==所以，从而△CEB 1为直角三角形．22211CE EB CB +=设点P 到平面CEB 1的距离为d P ，所以， 111133CEB P PCB S d S AB ⨯⨯=⨯⨯△△即，解得， 11111423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯P d =所以点A 到平面CEB 1； 方法二：等体积法设点P 到平面CEB 1的距离为h ，因为，11B E B C CE ===所以三角形是直角三角形，， 1CEB 112CEB AEB S S ==△△而，可得，解得， 11A CEB C AEB V V --=112233h ⨯=⨯⨯h =所以点A 到平面CEB 1.20. 如图．已知圆，圆．动圆与这两个圆均内切．22:(2)81M x y -+=22:(2)1N x y ++=S（1）求圆心的轨迹的方程；S C （2）若、是曲线上的两点，是曲线C 上位于直线两侧的动点．若直线()2,3P ()2,3Q -C A B 、PQ AB 的斜率为，求四边形面积的最大值．12APBQ 【答案】（1）2211612x y +=（2）【解析】【分析】（1）设动圆与两个已知圆的切点分别为，根据椭圆的定义可得点的轨迹是以M ，N 为S 12,T T S 焦点的椭圆，求出可得答案；,a b （2）设，，直线的方程为，代入椭圆方程，由得的范围，()11,A x y ()22,B x y AB 12y x t =+0∆>t利用韦达定理得四边形的面积APBQ 3S =【小问1详解】如图，设动圆与两个已知圆的切点分别为，S 12,T T 由，， 12ST ST =91,8224SM SN SM SN ∴-=+∴+=>+=所以点的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，S 所以，22228,4,24,2,16412a a c c b a c =====-=-=所以点的轨迹方程为：；S 2211612x y +=【小问2详解】设，，直线的方程为，代入中，()11,A x y ()22,B x y AB 12y x t =+2211612x y+=整理得，，22120x tx t ++-=()224120t t ∆=-->解得，，，44t -<<12x x t +=-21212x x t =-四边形的面积APBQ 121632S x x =⨯⨯-==当时，，所以四边形面积的最大值为；0=t max S =APBQ 【点睛】关键点点睛：第二问关键点是利用韦达定理表示四边形APBQ的面积再求最值，能较好的考查学生思维能力、分析问题及解决问题的能力. 21. 若函数有两个零点，且． ()()211ln 022f x a x x a x =-++>12,x x 12x x <（1）求a 的取值范围；（2）若在和处的切线交于点，求证：． ()f x ()1,0x ()2,0x ()33,x y 3122x x x <+【答案】（1） ()0,a ∈+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求函数单调性，根据单调性及函数图象的变化趋势结合零点个数求解；（2）利用导数求切线方程得出，将原不等式化为证明，构造()22121212ln ln x x a x x -=-()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭函数利用导数证明即可. ()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【小问1详解】()2a x af x x x x-+'=-=当，，在上单调递减，不可能两个零点； 0a ≤()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令得0a >()0f x '=x =，，单调递增，，，单调递减，(x ∈()0f x ¢>()f x )x ∈+∞()0f x '<()f x ，11()ln (1ln 1(0)g x x x x x x=--=+->， 22111()x g x x x x-'=-=时，，单调递减，，，单调递增， (0,1)x ∈()0g x '<()g x ()1,x ∈+∞()0g x '>()g x 所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号， ()(1)0g x g ≥=0x >1ln 1x x≥-1x =所以111e ee a--<≤=而， ()211ln ln 122f x a x x a a x a =-++<++所以；；111(e)(1)10af a a a--<--++=()10ff a ≥=>∴(2211111ln(1(1(102222f a a a a +=+-+++<-+++=--<有唯一零点且有唯一零点，满足题意，(x ∈)x ∈+∞综上：； ()0,a ∈+∞【小问2详解】曲线在和处的切线分别是()y f x =()1,0x ()2,0x ，()1111:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()2222:a l y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭联立两条切线得，∴， 123121x x x ax x +=+123121x x ax x x +=+由题意得，()222111221222111ln 022211ln ln ln 022a x x a x x a x x a x x a ⎧-++=-⎪⎪⇒=⎨-⎪-++=⎪⎩要证，即证，即证，即证， 3122x x x <+1232x x x +>121ax x >122112121ln x x x x xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭>令，即证， 121x t x =<()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭令，，∴在单调递减，∴，()11ln 2h t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()22102t h t t -'=-<()h t ()0,1()()10h t h >=∴得证．综上：．()11ln 012t t t t ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭()312221x x x a <+<+【点睛】关键点点睛：导数题目中的证明题，主要观察所证不等式，直接构造函数，或者将不等式转化变形后，利用导数判断函数的单调性及最值，利用函数的单调性或有界性求证，对观察、运算能力要求较高，属于难题.（二）选考题 [选修4—4：坐标系与参数方程]22. 已知直线l 的参数方程为（其中t 为参数），曲线C 是以点为圆心，且过坐标112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0,2)C 原点的圆．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若，直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B，求的值． M ||||||||MB MA MA MB +【答案】（1）， :4sin C ρθ=()π:R 3l θρ=∈（2 【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，利用即可化成极坐标方程，由参数方程消参即cos ,sin x y ρθρθ==可得普通方程，再由普通方程化为极坐标.（2）联立直线与曲线的方程，由韦达定理，结合直线的参数方程中参数的几何意义即可求解，或者由两点坐标公式求解. 【小问1详解】由曲线C 的直角坐标方程为，由得其极坐标方程为2240x y y +-=cos ,sin x y ρθρθ==4sin ρθ=．又由直线l 的参数方程得直线，112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩y =所以直线l 的极坐标方程为． ()πR 3θρ=∈【小问2详解】解法一：将直线的参数方程代入曲线可得，，l 2211402t ⎫⎫⎛⎫++-=⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭整理可得，．()2440t +--+=设点对应的参数分别为，则是方程的两个根．,A B 12,t t 12,t t由韦达定理可得，．121244t t t t ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩所以，1221||||||||t t MB MA MA MB t t +=+()22212121212122t t t t t t t t t t +-+====解法二：联立直线与曲线的方程可得，，解得，．l C 2240y x y y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩20x =10x =2x =代入可得，，．y =10y =23y =不妨设，，则，()0,0A )B2MA ==． )21MB ==所以， ||||||||MB MA MA MB +==[选修4－5：不等式选讲]23. 已知函数.()12f x x x a =--+（1）当时，求不等式的解集； 12a =()0f x …（2）当时，若函数的图象恒在图象的上方，证明：. 1a -…()12g x x b =+()f x 232b a ->【答案】（1）或 {2xx -∣…0}x …（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论的范围得到的解析式，然后列不等式求解即可； x ()f x （2）根据的单调性得到，然后根据函数的图象恒在图象的上()f x max ()1f x a =+()12g x x b =+()f x 方得到，即可证明. ()112g a a b a -=-+>+232b a ->【小问1详解】 当时，， 12a =()12,211123,1222,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩所以当时，，解得； 12x <-20x +≤2x ≤-当时，，解得； 112x -≤≤30x -≤01x ≤≤当时，，解得.1x >20x --≤1x >综上，不等式的解集为或. ()0f x ≤{2xx ≤-∣0}x ≥【小问2详解】证明：当时，，1a ≥-()21,12321,121,1x a x a f x x x a x a a x x a x ++<-⎧⎪=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎩所以当时，取得最大值，且.x a =-()f x max ()1f x a =+要使函数的图象恒在图象的上方，由数形结合可知，必须满足()12g x x b =+()f x ，即，原不等式得证.()112g a a b a -=-+>+232b a ->。