2021届广东省新高考适应性测试卷数学(一)

广东省深圳市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.2．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ） A ．6B ．3C ．93222D ．93222+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】 解：曲线21y x =--O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为22=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．643B ．64C ．323D ．32【答案】A【解析】【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4， 故()16444433V =⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.4．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．438π+B ．238π+C ．434π+D ．834π+ 【答案】A【解析】 由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为234的等边三角形的三棱锥，后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥，体积为2131143423423834233V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+ 故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）AB．C ．2 D+1【答案】B【解析】【分析】以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=，联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b =，整理计算可得离心率.【详解】解：以O 为圆心，以OF 为半径的圆的方程为222x y c +=， 联立22222221x y c x y a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得2x b y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2b A c ⎫⎪⎪⎝⎭243b c=，整理得()()22229550c a c a --=， 则22519c a =<（舍去），225c a =，ce a ∴==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.6．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【详解】 由101x x+>-得11x -<<， 在(1,1)x ∈-时，3y x =是增函数，sin y x =是增函数，12ln ln(1)11x y x x+==-+--是增函数，∴31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭是增函数， ∴由(21)(0)f a f ->得0211a <-<，解得112a <<． 故选：C.【点睛】 本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．7．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r 上的投影是（ ）A ．B ．C ．25-D ．25【答案】A【解析】【分析】先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v上的投影公式即得解【详解】 由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，故()21OB =u u u v ，向量OA u u u v 在向量OB uuu v 上的投影是OA OB OB⋅==u u u v u u u v u u u v . 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.8．设复数z 满足i (i i 2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．13i 22- B ．13i 22+ C ．13i 22-- D ．13i 22-+ 【答案】B【解析】【分析】易得2i 1iz +=-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13i 1i 2222z ++++====+-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A【解析】【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积．【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ．【点睛】 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．10．函数1()1xx e f x e +=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】由题意得，函数点定义域为x ∈R 且0x ≠，所以定义域关于原点对称，且()1111()1111x x x x x x ee ef x f x e e e ----+++-===-=----，所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选D.11．已知α322sin αα=，则cos2α等于（ ）A ．23B ．29C ．13- D ．49- 【答案】C 【解析】【分析】322sin αα=可得3cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为23cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos α=所以221cos22cos1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】 本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 12．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r 相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++rr rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r r a b c【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r 即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r，故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省揭阳市2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数2(1)i i +的模为（ ）．A ．12B ．1C ．2D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：2(1)22i i i +=-+，∴复数2(1)i i +=故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．25【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，3~(5,)3X B m +，由3533EX m =⨯=+，知3~(5,)5X B ，由此能求出()D X ． 【详解】由题意知，3~(5,)3X B m +， 3533EX m ∴=⨯=+，解得2m =， 3~(5,)5X B ∴，336()5(1)555D X ∴=⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．3．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。

2021年高三广州一模后联合适应性考试（数学理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4},()U U A B C A B ===⋃=则 （ ） A ．B ．DC ．D.2．已知函数，若，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列命题不正确．．．的是 A ．如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线，则两平面垂直；B ．如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面，则两平面平行；C ．如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直，则这两条直线垂直；D ．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行4.函数的图象的大致形状是 （ ）5. 设A 1、A 2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点，使得，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、6在直三棱柱中，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为 和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D.7. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为A. 0.0324B.0.0434C.0.0528D.0.05628.任意、，定义运算，则的A.最小值为B.最小值为C.最大值为D.最大值为二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。

本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9. 若框图（图1）所给程序运行的结果，那么 判断框中可以填入的关于的判断条件是_ ____．10. 已知定义域为的函数满足①，②，若成等差数列，则的值为 ．11.若对一切R ，复数的模不超过2，则实数的取值范围为 .12.设O 点在内部，且有，则的面积与的面积的比为 .13.记集合，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈+++=4,3,2,1,77774433221i T a a a a a M i ，将M 中的元素按从大到小顺序排列，则第xx 个数是 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分14．（几何证明选讲选做题）如图，半径为2的⊙O 中，，为的中点，的延长线交⊙O 于点，则线段的长为_______.15．（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程，直角坐标系中的点M 的坐标为（0，2），P 为曲线C 上任意一点，则的最小值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题12分）已知()2312sin 2cos 3cos sin 322+⎪⎭⎫⎝⎛-+-=πωωωωx x x x x f （其中）的最小正周期为. (1) 求的单调递增区间;(2) 在中,分别是角的对边,已知求角.17.（本小题满分12分）在甲、乙等7个选手参加的一次演讲比赛中，采用抽签的方式随机确定每个选手的演出顺序（序号为1,2,……7），求：（1）甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率； （2）甲、乙两选手之间的演讲选手个数的分布列与期望.18.（本小题14分） 如图2,在四面体中,且(1)设为的中点,证明:在上存在一点,使,并计算的值; (2)求二面角的平面角的余弦值.19.（本小题14分） 在平面直角坐标系xoy 中，给定三点， 点P 到直线BC 的距离是该点到直线AB ，AC距离的等比中项。

普通高考适应性考试(kǎoshì)数学（新课标全国(quán ɡuó)Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷(shìjuàn)分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生(kǎoshēng)务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 回答(huídá)第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）若复数的实部与虚部相等，则实数 A（A）（B）1 （C）（D）2（2）已知只有一个子集，则的取值范围是B（A）（B）（C）（D）不存在（3）在如图所示的流程图中，若输入的a，b，c值分别是2，4，5，则输出的A（A）1（B）2（C）lg2（D）10（4）命题“有些相互垂直的两直线不相交”的否定是C（A）有些(yǒuxiē)相互垂直的两直线相交（B）有些不相互垂直(chuízhí)的两直线不相交（C）任意相互垂直(chuízhí)的两直线相交（D）任意相互垂直的两直线(zhíxiàn)不相交（5）已知函数(hánshù)为奇函数，且在上单调递增，则以下结论正确的是D （A）函数为偶函数，且在上单调递增（B）函数)f为奇函数，且在)0,(x(-∞上单调递增（C）函数为奇函数，且在),0(+∞上单调递增（D）函数)f为偶函数，且在)(x,0(+∞上单调递增（6）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图像的一个对称中心为D（A）（B）（C）（D）（7）已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数的值为B（A）（B）（C）（D）3（8）在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？A（A）9日（B）8日（C）16日（D）12日（9）某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品需用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8h. 若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为B（A）24万元（B）22万元（C）18万元（D）16万元（10）如图所示为某几何体的三视图，其体积为，则该几何体的表面积为D（A）（B）（C）（D）（11）在平面(píngmiàn)直角坐标系中有不共线(ɡònɡ xiàn)三点,,.实数(shìshù)满足(mǎnzú)，则以为起点(qǐdiǎn)的向量的终点连线一定过点C（A）（B）（C）（D）（12）已知函数的图象与函数的图象关于原点对称，且两个图象恰有三个不同的交点，则实数的值为C（A）（B）1 （C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

21广东新高考适应性测试1一.单选题:每小题5分.1.已知复数z=41−i ;则z-i|=( )A.√2 B.√3 C.2 D.√52.已知集合A={x|1<x<2},B={x|y=√ m −x 2 },若A ∩B=A,则m 的取值范围是( )A.(0,1] B.(1,4] C.[1,+∞) D.[4,+∞)3.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺.问受粟儿何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”(古制1丈=10尺.1斛≈1.62立方尺,圆周率π≈3),则该圆柱形容器大约能放米( ) A.900斛 B.2700斛 C.3600斛 D.10800斛4.在一项调查中有两个变量x 和y,下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图,则选项中适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A.y=a+bxB.y=c+d √xC.y=m+nx 2D.y=p+qc x(q>0)5.曲线y=xlnx 在点M(e,e)处的切线方程为( )A.y=2x+e B.y=2x-e C.y=x+e D.y=x-e6.(1-x)(1+x)3的展开式中,x 3的系数为( )A.2 B.-2 C.3 D.-37.若cos(α-π4)=cos2α.则sin2α=( )A.-1 B.12 C.-1或12 D.-12或14 8.若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y 无关,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-4]B.[-4,6]C. (-∞,-4]∪[6,+∞)D.[6,+∞)二.多选题:每小题5分,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知抛物线y 2=2px(p>0)上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和2√2,则p 的值可以是( )A.2 B.6 C.4 D.810.函数f(x)=Acos(ωx+ψ)(A>0,ω>0,|ψ|<π2)的部分图像如图,则f(x)=( ) A.12cos(2πx+ π3) B. 12cos(2πx+ π6) C.- 12sin(2πx+ π3) D.- 12sin(2πx- π3) 11.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则( )A.某学生从中选3门,共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法12.设三个函数y=2x +x-2,y=log 2x+x-2和y=x 3-3x 2+3x-1的零点分别为x 1,x 2,x 3,则有( )A.x 1x 2<x 3 B.x 1x 2>x 3 C.x 1+x 2<2x 3 D.x 1+x 2≥2x 3三.填空题:每小题5分.13.已知函数f(x)={2x +2,x >0x 2,x ≤0 ,若f(a)=4,则a=_________. 14.已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|b ⃗ |=5,|a ⃗ +b ⃗ |=4,|a ⃗ -b ⃗ |=6,则向量a ⃗ 在向量b⃗ 方向上的投影为__________. 15.已知直线y=a 与双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线交于点P,双曲线C 的左、右顶点分别为A 1,A 2,若|PA 2|=√52|A 1A 2|,则双曲线c 的离心率为__________.16.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1}的棱长为a,动点P 在对角线BD 1上,过点P 作垂直于BD 1的平面γ.记这样得到的 截面多边形(含三角形)的周长为y,设BP=x.则当x ∈[√33a,2√33a]时,函数y=f(x)的值域为______________. 四.解答题17.(10分)在①sinA−sinCb = sinA−sinBa+c ,②2cosC=acosB+bcosA 这两个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,___________.(1)求角C;(2)若c=√5,a+b=√11,求△ABC 的面积.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=8,且满足S n =2(n−1)a n n +2(n ∈N *).(1)求证数列{a n n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =(2n−1)a n n ,求数列{b n }的前n 项和T n .19.(12分)如图,E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A,B 的点,矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆0所在的平面,且AB=2AD=2.(1)证明:EA ⊥EC;(2)若异面直线AE 和DC 所成的角为π6,求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23,回答第三个问题正确的概率为12,且各题回答正确与否相互之间没有影响,若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.(1)求至少回答对一个问题的概率;(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列;(3)求这位挑战者闯关成功的概率，21.(12分)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,短轴长为2√3,A,B 在惴圆C 上,且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,△ABF 1的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l,过原点0作0P ⊥l 于点P,求△OMP 的面积的最大值。

广东省广州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<„ D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.3．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．5k ≥B ．5k <C ．5k >D ．6k ≤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6，进而可得判断框内的不等式． 【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．4．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A BC D 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，列出方程，求解离心率． 【详解】不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=222b c ==，即2222c a -=，因为1ce a=>，所以解得e = 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.5．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件C ．甲4件，乙5件D ．甲2件，乙6件【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*4750,,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩ 1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，显然当5599y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题. 6．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法. 7．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( )A ．{}|02x x ≤<B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可. 【详解】由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.8．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a Q 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>Q ，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠Q ，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列. 所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．9．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C. 【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题. 10．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A．2B1 C．3- D1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得22223412a p b p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222223441442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题12．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省阳江市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，记()23m n +的最小值为(),f m n ，则(),f m n 最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD 【答案】C 【解析】 【分析】对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立，因为ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立，可得230m +>，令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+，结合已知，即可求得答案. 【详解】Q 对任意的()0,x ∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立∴ln (23)x m x n ≤++，对()0,x ∈+∞恒成立， ∴230m +>令ln (23)y x m x n =-+-，可得1(23)y m x'=-+ 令0y '=，得123x m =+ 当123x m >+，0y '<当1023x m <<+0y '> ∴123x m =+，max 1ln1023y n m =--≤+，123n m e --+≥ 故1(23)(,)n nm n f m n e ++≥=Q 11(,)n nf m n e+-'=令110n ne+-=，得 1n = ∴当1n >时，(,)0f m n '<当1n <，(,)0f m n '>∴当1n =时，max 21(,)f m n e=故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.2．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)【答案】C 【解析】 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象， 如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点； 当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.4．已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos 3α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.5．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数即可. 【详解】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.6．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率224P ==,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.7．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则λμ+= （ ）A ．13- B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【解析】先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r得到P 为ABC ∆的重心，从而1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23BP AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，故可计算λμ+的值．【详解】因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r所以P 为ABC ∆的重心，所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,所以2133BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以211=,,333λμλμ-=∴+=-，故选A ．【点睛】对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，反之，如果G 为平面上一点，且满足()13AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r，那么G 为ABC ∆的重心．8．已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A BC ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可. 【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 232222ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.9．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12B ．16C ．20D ．8【解析】 【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.10．已知平面向量,a b r r 满足||||a b =r r，且)b b -⊥r r ，则,a b r r 所夹的锐角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．0【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得)0b b -⋅=r r，利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为))0b b b b -⊥⇒-⋅=r r r r2||b b ⋅=r r而2cos ,2||||||a b a b a b a b b ⋅⋅===⋅r r r r r r r r r所以,a b rr 夹角为4π故选：B 【点睛】本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.11．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．23,3⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭B ．231,⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(1,3⎤⎦【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=()12242PF a b a c ∴=+>+所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >所以22243c e a =>所以23e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.12．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为( ) A ．31π-B ．34C ．3π D ．14【答案】A 【解析】 【分析】求出满足条件的正ABC ∆的面积，再求出满足条件的正ABC ∆内的点到顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．【详解】满足条件的正ABC ∆如下图所示：其中正ABC ∆的面积为23443ABC S ∆== 满足到正ABC ∆的顶点A 、B 、C 的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为21222S ππ=⨯⨯=. 则使取到的点到三个顶点A 、B 、C 的距离都大于2的概率是31143P π==. 故选：A. 【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省2021届高三数学适应性考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则A B =（ ）A. ()(),10,-∞-+∞B. (]2,4C. ()0,2D. (]1,4-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}＝（2，4]． 故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.复数132z i =+（i 为虚数单位）是方程()260z z b b R -+=∈的根，则b 的值为（ ）B. 13D. 5【答案】B 【解析】 【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解． 详解】∵132z i =+是方程z 2﹣6z +b ＝0（b ∈R ）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，232z i =-为方程另一根， 则b ＝（3+2i ）（3﹣2i ）＝13． 故选：B ．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z＝﹣2x+y的最小值．【详解】由z＝﹣2x+y，得y＝2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x+z，由平移可知当直线y＝2x+z，经过点A时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由330x yx y+=⎧⎨--=⎩，解得A（3，0）．将A的坐标代入z＝﹣2x+y，得z＝﹣6，即目标函数z＝﹣2x+y的最小值为﹣6．故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.如图是2021年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确．．．的是（）A. 与去年同期相比2021年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长B. 2021年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元 【答案】C 【解析】 【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2021年第一季度五省GDP 情况图，知：在A 中, 与去年同期相比，2021年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长，A 正确； 在B 中，2021年第一季度GDP 增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B 正确；在C 中，2021年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C 不正确；在D 中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2021年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D 正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5.已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ） A. 14n n a a b b --=B.14n n a a b b -=C.14n na ab b--=- D.14nnaabb-=-【答案】B【解析】【分析】由已知求得等比数列{b n}的通项公式，作比即可得到14nnaabb-=．【详解】∵等差数列{a n}的公差为2，数列{b n}是公比为﹣2的等比数列，∴11(2)nnb b-=⋅-，∴11111121111(2)(2)(2)(2)4(2)(2)n nn n nn nna aa a aa aab bb b---------⋅--===-=-=⋅--．故选：B．【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题．6.如图，先画一个正方形ABCD，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形EFGH，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自正方形EFGH 内的概率是（）A.14B.16C.18D.116【答案】C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12．则四边形的面积构成公比为12的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的12，四边形的面积构成公比为12的等比数列，∴第n个正方形的面积为112n-⎛⎫⎪⎝⎭，即第四个正方形的面积31128⎛⎫=⎪⎝⎭. ∴根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P＝11818=，故选：C．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.在直角坐标系xOy中，抛物线2:4C y x=的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若60NFR∠=︒，则NR=（）A. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得△PQF为等边三角形，求出其边长，进而在Rt△FMR分析可得答案．【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为（1，0），准线x＝﹣1，则FH＝2，PF＝PQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MN∥QF，又PQ＝PF，∠NRF＝60°，且∠NRF＝∠QFH＝∠FQP＝60°，则△PQF为边长为4等边三角形，MF＝在Rt△FMR中，FR＝2，MF＝则NR 12=MR ＝2， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析△PQF 为等边三角形，属于综合题．8.已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=，则（ ） A. 0OM BC •= B. 0OM AB •= C. //OM BC D. //OM AB【答案】D 【解析】 【分析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 【详解】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+，230OA OB OC ++=，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+40OM =， 即2（OA OB -）+120OM =， 可得AB =6OM ， 即OM ∥AB ，【点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．9.函数1sin 1x x e y x e +=⋅-的部分图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据11x x e e +-与sin x 的性质，确定函数图象【详解】1()sin 1x xe f x x e +=⋅-，定义域为()(),00,-∞⋃+∞，11()sin()sin 11x x x xe ef x x x e e --++-=-⋅=⋅--，所以函数1()sin 1x x e f x x e +=⋅-是偶函数，排除A 、C ，又因为0x >且x 接近0时，101x x e e +>-，且sin 0x >，所以1()sin 01xx e f x x e +=⋅>-，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手： 1.从函数定义域，值域判断； 2.从函数的单调性，判断变化趋势； 3.从函数奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，点M 在侧面11AA B B 内，若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为（ ）A. 8B. 4C. 285【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，求出M 的轨迹，得出M 到B 的最小距离，得出三角形的最小面积． 【详解】解：以AB ，AD ，AA 1为坐标轴建立空间坐标系如图所示： 则P （0，0，2），C （4，4，0），D 1（0，4，4），设M （a ，0，b ），则1D M =（a ，﹣4，b ﹣4），CP =（﹣4，﹣4，2）， ∵D 1M ⊥CP ，∴1D M CP ⋅=-4a +16+2b ﹣8＝0，即b ＝2a ﹣4． 取AB 的中点N ，连结B 1N ，则M 点轨迹为线段B 1N ， 过B 作BQ ⊥B 1N ，则BQ 4525==． 又BC ⊥平面ABB 1A 1，故BC ⊥BQ ， ∴S △BCM 的最小值为S △QBC 1458542=⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11.已知函数()()()2sin 10,f x x ωϕωϕπ=+-><的一个零点是3x π=，6x π=-是()y f x =的图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调递增区间是（ ）A. 513,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B. 713,336k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C. 212,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 112,236k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的一个零点是3x π=，得出03f π⎛⎫=⎪⎝⎭，再根据直线6x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴，得出(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，由此求出,,k n ω的关系式，进而得到ω的最小值与对应ϕ的值，进而得到函数()f x 的解析式，从而可求出它的单调增区间． 【详解】∵函数()f x 的一个零点是3x π=，∴2sin 103ωπϕ⎛⎫+-=⎪⎝⎭， ∴1sin 32ωπϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴236k ωππϕπ+=+，或()5236k k Z ωππϕπ+=+∈．① 又直线6x π=-是()y f x =的图像的一条对称轴，∴(),62n n Z ππωϕπ-+=+∈，②由①②得()()222,?,3k n k n Z ω=-±∈， ∵0,,k n Z ω>∈， ∴min 23ω=； 此时252,296k n k ππϕπ+=+=， ∴()11218k k Z πϕπ=+∈，∵ϕπ<， ∴1118πϕ=， ∴()2112sin 1318f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 由()2112223182k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得()53336k x k k Z ππππ-+≤≤-+∈．∴()f x 的单调增区间是513,3,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦．故选A ．【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．12.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，(,0),(,0)(0)A t B t t ->，斜率为13的直线过A 点且与双曲线交于,M N 两点，若2OD OM ON =+，0BD MN ⋅=，则双曲线的离心率为（ ）A.5 B.5 C.10 D.10 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D 点坐标，根据BD k ＝﹣3列方程得出a ，b 的关系，从而可得出双曲线的离心率． 【详解】直线MN 的方程为y 13=（x +t ）， 联立方程组()2222131y x t x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消元可得：（9b 2﹣a 2）x 2﹣2a 2tx ﹣a 2t 2﹣9a 2b 2＝0， 设M （11,x y ），N （22,x y ），则由根与系数的关系可得：12x x + 22229a tb a=-， ∵2OD OM ON =+，∴D 为MN 的中点，∴D （2229a t b a-，()222339a t t b a +-）， ∵0BD MN ⋅=，∴BD ⊥MN ，∴k BD ＝﹣3，即()22222233939a t t b a a ttb a +-=---，化简可得222495a b a =-， 即b 2a =，∴e 225ca b a+===． 故选：A ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题．二、填空题。

广东省2021届新高考适应性测试卷数学（一）本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题纸上.2. 回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上 对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i 为虚数单位，复数z =41i-，则|z －i|=（ ）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】先对复数进行化简，求出z i -的值，再利用复数z a bi =+的模长计算公式z =.【详解】解：z =41i-=4(1)(1)(1)i i i ++-=2(1+i )，所以|z －i |=|2＋i故选：D .【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数模的求解，考查学生的计算能力，属于基础题. 2. 已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y ==，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A. (]0,1B. (]1,4C. [)1,+∞D. [)4,+∞【答案】D 【解析】 【分析】 由AB A =可得出A B ⊆，可知B ≠∅，解出集合B ，结合题意可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】A B A =且{}12A x x =<<，则A B ⊆，B ∴≠∅.若0m <，则20m x -<，可得B =∅，不合乎题意； 若0m ≥，则{}{}2B x y m x x m x m ==-=-≤≤，所以，2m ≥，解得4m ≥. 因此，实数m 的取值范围是[)4,+∞. 故选：D.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于中等题.3. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ） A. 900斛 B. 2700斛C. 3600斛D. 10800斛【答案】B 【解析】 【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果. 【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62=（斛）.故选：B.【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.4. 在一项调查中有两个变量x 和y ，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程的函数类型是( )A. y a bx =+B. y c =+C. 2y m nx =+D. x y p qc =+（0q >）【答案】B 【解析】 【分析】根据散点图的趋势，选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除选项C 、D ，故选B ． 【点睛】本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题. 5. 曲线ln y x x = 在点(,)M e e 处的切线方程为 A. 2y x e =+ B. 2y x e =- C. y x e =+ D. y x e =- 【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x =⇒=+，1ln 2x ey e ='=+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+6. ()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为（ ）A. 2B. 2-C. 3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】由题意转化条件得()()()()3331111x x x x x -+=+-+，再由二项式定理写出()31x +的通项公式，分别令3r =、2r ，求和即可得解.【详解】由题意()()()()3331111x x x x x -+=+-+，()31x +的通项公式为31331r rr r r r T C x C x -+=⋅⋅=⋅，令3r =，则3331rC C ==； 令2r，则2333r C C ==；所以()()311x x -+的展开式中，3x 的系数为132-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7. 若cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A. -1 B.12C. -1或12D. 12-或14【答案】C 【解析】 【分析】将已知等式平方，可根据二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系将等式化为21sin 21sin 22αα+=-，解方程可求得结果. 【详解】由cos cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：222cos cos 21sin 24πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭即21cos 21sin 221sin 222πααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==-，解得：sin 21α=-或12本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数值求解问题，关键是能够通过平方运算，将等式化简为关于sin 2α的方程，涉及到二倍角公式、诱导公式和同角三角函数平方关系的应用.8. 若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( ) A. 4a ≤B. 46a -≤≤C. 4a ≤或6a ≥D. 6a ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知抛物线()220y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和22，则p 的值可以是( ) A. 2 B. 6C. 4D. 8【答案】AC 【解析】 【分析】由题意得32px +=，28px =，解方程即可. 【详解】设M 的横坐标为x ，由题意，32px +=，28px =，解得2p =或4p =.故选：AC【点睛】本题考查抛物线的定义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 10. 函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（ ）A. 1cos 223x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B. 1cos 226x ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C. 1sin 223x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 1sin 223x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】BD 【解析】 【分析】根据最小值求得A ，根据周期求得ω，根据点111,122⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，由此求得()f x 的解析式，结合诱导公式确定正确选项.【详解】由图象可得12A =，3111341264T =-=，解得1T =，所以2ωπ=，所以1()cos(2)2f x x πϕ=+，又()f x 的图象过点111,122⎛⎫⎪⎝⎭，则()112212k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()1126k k Z πϕπ=-∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，即11()cos 2sin 226226f x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin 223x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1sin 223x ππ⎛--=⎫ ⎪⎝⎭. 故选BD【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查诱导公式，属于中档题.11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ） A. 某学生从中选3门，共有30种选法B. 课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】CD 【解析】 【分析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.【详解】6门中选3门共有3620C =种，故A 错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有4245480A A =种排法，故B 错误； 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有3434144A A =种排法，故C 正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有51145444504A C C A +=种排法，故D 正确． 故选：CD【点睛】本题考查排列组合的应用，属于基础题.12. 设三个函数22x y x =+-，2log 2y x x =+-和32331y x x x =-+-的零点分别为1x ，2x ，3x ，则有（ ） A. 123x x x < B. 123x x x >C. 1232x x x +=D. 1232x x x +≥【答案】AC将1x ，2x 分别看成2x y =与2log y x =两个函数分别于2y x =-的交点，结合2x y =，2log y x =的图象关于直线y x =对称，直线2y x =-与y x =垂直，可以得到1x ，2x 对应的点是关于2y x =-和y x =的交点对称的，得到1x ，2x 的关系．3x 可求，则问题可解．【详解】解：因为32331y x x x =-+-，所以()22363310y x x x '=-+=-≥，所以32331y x x x =-+-在R 上是增函数，又当1x =时321313110y =-⨯+⨯-=，所以31x =，作出2x y =，2log y x =，2y x =-三个函数的图像如图所示：其中()11,A x y ，()22,B x y 分别是两个函数2xy =与2log y x =的图像与直线2y x =-的交点，因为指数函数xy a =与log ay x =的图像关于直线y x =对称，且2y x =-也关于y x =对称，所以交点A ，B 关于直线y x =对称，所以121222x x y y ++=，即121222x x x x -+-=+，所以12322x x x +==，再由基本不等式得()21212312102x x x x x x x +⎛⎫<==<< ⎪⎝⎭.故选：AC.【点睛】本题考查了利用数形结合研究函数的零点问题，本题的关键与难点是分析出A 、B 两点关于直线y x =对称．属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数()222,0,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，若()4f a =，则a =____. 【答案】1或-2分0a >和0a ≤两种情况，分别求出a 值即可． 【详解】令0224aa >⎧⎨+=⎩或204a a ≤⎧⎨=⎩，解得1a =或2a =-. 故答案为：1或-2【点睛】本题考查函数求值，考查分段函数，属于基础题．14. 已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】运用向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，代入计算可得所求值． 【详解】解：向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=， 可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=， 两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-． 故答案为：1-．【点睛】本题考查向量的性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的投影概念，考查运算能力，属于基础题．15. 已知直线y a =与双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线交于点P ，双曲线C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，若212PA A =，则双曲线C 的离心率为_____.或【解析】 【分析】解出点P 的坐标，用两点间距离公式求出212,PA A A ，化简整理出,,a b c 的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为by x a =，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为21252PA A A =，所以22225a a a a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则214a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3a b =，从而22101b e a =+=. 若渐近线的方程为by x a =-，则点P 的坐标为2,a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得2e =. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.16. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面γ，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当323[,]x a a ∈时，函数()y f x =的值域为______．【答案】{}32a 【解析】 【分析】当323x ⎤∈⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，利用相似比可知邻边长之和为定值即可得到结果. 【详解】当323x ⎤∈⎥⎣⎦时，截面多边形是六边形HIJKLM ，设11HI AC =111B I B C =λ，则1IJ B C =111C I B C =1﹣λ， ∴HI +2a ，∴截面六边形的周长为32a ；故答案为{}32a 【点睛】本题考查了几何体中动点问题，截面周长问题,考查了空间想象力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在①sin sin sin sin A C A B b a c--=+，②2cos cos cos c C a B b A =+这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， . （1）求角C ；（2）若5c =，11a b +=ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3C π=；（2）32. 【解析】【分析】（1）若选①：利用正弦定理和余弦定理可求出角C ；若选②：利用正弦定理和两角和与差公式可得角C ； （2）利用余弦定理求出2ab =，代入三角形面积公式即可．【详解】（1）若选①：由正弦定理得a c a b b a c--=+， 所以222a c ab b -=-，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，解得1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=.若选②： 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，即sin 2sin cos C C C =，因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得225a b ab =+-，即25()3a b ab =+-，解得2ab =，则ABC的面积11sin 22222ABC S ab C ==⨯⨯=， 故ABC的面积为2. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查三角形的面积公式，属于中档题． 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，28a =，且满足()*2(1)2n n n a S n N n-=+∈. （1）求证数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)n n n a b n-=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析，2n n a n =⋅；（2）n T 16(23)2n n +=+-⋅.【解析】【分析】（1）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩化简已知条件，从而证得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，先求得n a n ，然后求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得n T .【详解】（1）由题得112(1)2(2)221n nn n n n a n a S S a n n ----⎡⎤⎡⎤-=+-+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，2n ≥， 整理得1(2)2(2)1n n n a n a n n ---=-，2n ≥. 因为112S a ==，28a =，所以当2n =时，21221a a =⋅， 当2n >时，121n n a a n n -=-， 所以当2n ≥时，有121n n a a n n -=⋅-， 因此n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列. 所以1222n n n a n-=⋅=， 所以2n n a n =⋅.（2）由（1）知(21)2n n b n =-⋅，则23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， ① ①×2，得23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅， ②②-①，得()()23122222212n n n T n +=--++++-⋅()1141222(21)212n n n -+-=--⨯+-⋅-21282(21)2n n n ++=-+-+-⋅16(23)2n n +=+-⋅.【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查错位相减求和法，属于中档题.19. 如图，E 是以AB 为直径的半圆O 上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于半圆O 所在的平面，且AB =2AD =2.（1）求证：EA EC ⊥；（2）若异面直线AE 和DC 所成的角为6π，求平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）21. 【解析】【分析】 (1) 由面面垂直的性质可证得BC EA ⊥.再线面垂直的判定定理和性质定理可得证；(2)以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由二面角的向量求解方法可求得平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值.【详解】(1) ∵平面ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为,AB BC ⊆平面,ABCD BC AB ⊥， ∴BC 垂直于圆O 所在的平面.又EA 在圆O 所在的平面内，∴BC EA ⊥.∵AEB ∠是直角，∴BE EA ⊥，又BC BE E =，∴EA ⊥平面EBC ，∴EA EC ⊥.(2)如图， 以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为y 轴，过点O 与BC 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -.由异面直线AE 和DC 所成的角为6π，//AB DC ， 知6BAE π∠=， ∴3BOE π∠=，∴31,02E ⎫⎪⎪⎝⎭，由题设可知 ()0,1,1D -，()0,1,1C ，∴33,12DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31,12CE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCE 的一个法向量为()000,,p x y z =，由00DE p CE p ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即000000302102x y z x y z +-=--= 得0032z x =，00y =，取02x =，得0=z ∴(2,0,3p =.又平面AEB 的一个法向量为()0,0,1q =，∴2,||||2pq cos p q p q ⋅<>===+. 平面DCE 与平面AEB 所成的锐二面角的余弦值7. 【点睛】本题考查空间中线线垂直的证明和二面角的求解方法，属于中档题.20. 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．（1）求至少回答对一个问题的概率．（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列．（3）求这位挑战者闯关成功的概率． 【答案】（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）1318. 【解析】试题分析： （Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为1718. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为1318.试题解析：（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117133218P A =-⨯⨯=. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-. 根据题意,()11111033218P X =-=⨯⨯=, ()2112023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212103329P X ==⨯⨯=, ()11112033218P X ==⨯⨯=, ()21123023329P X ==⨯⨯⨯=, ()2212403329P X ==⨯⨯=. 随机变量X 的分布列是:（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918P B =+++=. 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为23A ，B 在椭圆C 上，且220AF BF +=.1AEF △的周长为 8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l ，过原点O 作OP l ⊥于点P ，求OMP 的面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）14. 【解析】【分析】（1）根据220AF BF +=判断出AB x ⊥轴，结合1AEF △的周长求得a ，根据短轴求得b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和椭圆C 的方程，根据0∆=求得,t k 的关系式，求得OP 、MP ，进而求得OMP 的面积的表达式，结合基本定理求得面积的最大值.【详解】（1）由220AF BF +=，可知A ，B ，2F 三点共线，且AB x ⊥轴，由1ABF 的周长为8，得48a =，所以2a =，且b =所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）显然直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：y kx t =+，联立223412y kx t x y =+⎧⎨+=⎩， 得()2223484120k xktx t +++-=， 且()()2222644344120k t kt ∆=-+-=， 得2243t k =+，所以()284234M kt k x t k =-=-+. 联立1y x k y kx t⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得21P kt x k =-+，22111P kt t y k k k ⎛⎫=-⨯-= ⎪++⎝⎭.所以OP ====，()322244411k kt k k kt t k t k MP --+=-+=++=，所以1122OMP S MP OP =⋅⋅=△2111112124k k k k=⋅=⋅≤++， 当且仅当1k =±时取等号.所以OMP 的面积的最大值为14. 【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.22. 设函数()24xx f x e x =--. （1）证明：函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增；（2）当0x <时，()f x a <恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）利用导数证明函数的单调性即可.（2）首先利用导数求出函数()f x 在(),0-∞的最大值，再根据()f x a <恒成立，即可得到答案.【详解】（1）因为()'12xx f x e =--， 记()()'h x f x =，所以()1'2x h x e =-. 当()0,x ∈+∞时，()'0h x >恒成立，所以()h x 在区间()0,+∞内单调递增，所以()()00h x h >=，所以当()0,x ∈+∞时，()0f 'x >恒成立， 所以函数()f x 在区间()0,+∞内单调递增.（2）由（1）知()1'2x h x e =-， 令()'0h x =，解得ln2x =-，当(),ln 2x ∈-∞-时，()'0h x <，即()h x 单调递减；当()ln 2,0x ∈-时，()'0h x >，即()h x 单调递增.又()10h -<，()20h ->，所以在区间()2,1--内，()h x 存在唯一零点0x ，满足()00h x =，即()0'0f x =.当()0,x x ∈-∞时，()0f 'x >，即函数()f x 在区间()0,x -∞内单调递增；当()0,0x x ∈时，()'0f x <，即函数()f x 在区间()0,0x 内单调递减，所以当0x <时，()020max00()4x x f e x f x x ==--. 由()0'0f x =，可得0012x x e =+， 所以()2200max 015()114244x x f x x =--+=-++， 由()02,1x ∈--，可得max 5()1,4f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因为()f x a <恒成立，且a Z ∈，所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题第一问考查利用导数证明函数的单调性，第二考查利用导数解决恒成立问题，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.。

广东省广州市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ， 所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.3．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 6．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误； 当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.7．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C【解析】 【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.9．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 11．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8-C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)x y ax e =+， 所以(2)xy e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。