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1 2 [y ( 1 7 )2 (y 2 4 )2]
g(y1,y2)
设函数 g(y1, y2) 是随机向量Y的密度函数.
15
第二章 多元正态分布及参数的估计
(3) 随机向量
YYY12~N274,
I2
(4) 由于 XX X121011Y Y12CY
1 0 1 1 7 4 3 4 , 1 0 1 1 I2 1 0 1 1 1 1 2 1
e e d x e 2
2
1 2 (x 1 7 )2
9
第二章 多元正态分布及参数的估计
1 1 2(2x1 22x2 16 5 x1 2 1x4 14)91 2(x2x17)2
e e dx 2
2
2 1e 2 1 e dx 1 2(x1 28x1 1)6
1 2(x2x17)2 2
1(
1 e2
(22)(22)0
可得Σ的特征值 1 2 (1 )2 , 2 (1 ).
22
第二章 多元正态分布及参数的估计
λi (i=1,2)对应的特征向量为 1
1
l1
2 1 2
l1
2 1 2
由(1)可得椭圆方程为 2(1y 1 2)b22(1y 2 2)b21
其 b 2 中 2 la n ( 2 ) [ | |1 /2 ] 2 l2 n2 [ 1 2 a ]
解二:比较系数法 设 f(x 1,x2)2 1ex 1 2 p (2 x 1 2x2 2 2 x 1x2 2x 1 2 1x2 4 6) 5
2 1 2 11 2ex 2 p 1 2 2 2 1 (1 2)[2 2(x 1 1)2 2 1 2(x 1 1)x (2 2) 1 2(x2 2)2]
X2~N(0,1).
(2) 考虑随机变量Y= X1-X2 ,显然有
YX 1X2 0 X 1X 1,当 其 -1它 X 11
18
第二章 多元正态分布及参数的估计
P{Y0}P{X11或 X11} P{X11}P{X11} (X1~N(0,1)) 2(1)0.317 04
若(X1 , X2 ) 是二元正态分布,则由性质4可知,
其中μ(i) (i＝1，2)为p维向量,Σi (i＝1，2)为p阶矩阵，
(1) 试证明X(1) +X(2)和X(1) -X(2) 相互独立. (2) 试求X(1) +X(2) 和X(1) -X(2) 的分布.
解 :(1) 令
YX X((1 1)) X X((2 2))IIp p IIppX X((1 2))CX
p
(x) 1(x) (x)
1lili(x) b 2
i 1 i
p
i1
1i yi2
b2
21
第二章 多元正态分布及参数的估计
y1b122y2b222ypb2 p2 1
故概率密度等高面 f(x;μ,Σ)= a是一个椭球面.
(2)当p=2且
2
1
1
(ρ>0)时,
||4(12).
由 |Ip|22 22(2)242
解一:求边缘分布及Cov(X1,X2)=σ12
f1 (x 1 ) f(x 1 ,x 2 )d2 x 2 1e 1 2 (2 x 1 2 2x 1 2 6) 5 e 1 2 (x 2 2 2 x 1 x 2 1x 2 4 )d2
1 1 2 (2 x 1 2 2x 1 2 6)5 1 2 (x 2 2 2 x 2 (x 1 7 ) (x 1 7 )2 )
1
2
u12eu212du1 1
0
2
11
第二章 多元正态分布及参数的估计
所以
E (X) 3 4 , D (X) 1 1 2 1
且 f(x 1 ,x 2 ) 2 1ex 1 2 p (x [) 1 (x)]
故X=(X1,X2)′为二元正态分布.
12
第二章 多元正态分布及参数的估计
注意:由D(X)≥0,可知 (Σ1-Σ2) ≥0.
8
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-11 已知X=(X1,X2)′的密度函数为
f(x 1 ,x 2 ) 2 1 e x 1 2 ( p 2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2x 1 2 1x 2 4 6 )
试求X的均值和协方差阵.
比较上下式相应的系数,可得:
1
2 2
2
1 2
2
1
2 1
1
2
2 1
1
1 2 1
1 /
2
1
2 2
2
2
2 1
2 1 2 2 2 1 2 1
22 14
12
2 2
22
2 1
2
1 2 1 2
65
2
4211
22 22
22 14
1 2
4 3
13
第二章 多元正态分布及参数的估计
故X=(X1,X2)′为二元正态随机向量.且
E (X) 3 4 , D (X) 1 1 2 1
解三:两次配方法
(1)第一次 : 2配 x122方 x1x2x22(x1x2)2x12
因 2x122x1x2x22(x1,x2)12 11xx12,而 12 1111 1011 10BB,
令 yyy1211 10xx12x1x1x2,则 2x122x1x2x22y12y22
x14)2
2
X1~N(4,1).
类似地有
f2(x2) f(x 1 ,x2)d1 x 212e 1 4 (x2 3 )2
X2~N(3,2).
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第二章 多元正态分布及参数的估计
12Co (Xv 1,X2)E[(X1E(X1))X (2E(X2)]
E[(X14)(X23)]
(x14)(x23)f(x1,x2)d1d x2x
它的任意线性组合必为一元正态. 但Y= X1-X2 不是正态分布,故(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
19
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-17 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,X的密度函数记为 f(x;μ,Σ).(1)任给a＞0,试证明概率密度等高面
f(x;μ,Σ)= a
是一个椭球面. (2) 当p=2且
CY o 1 ,Y 2 ) v 1 (1 1 1 2 1 1 1 1 0
故X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
3
第二章 多元正态分布及参数的估计
或者记
Y Y Y 1 2 X X 1 1 X X2 2 1 1 1 1 X X 1 2 CX
则 Y ~ N 2 (C ,C C )
令uu21
x1 x2
4 3
u 1 u 22 1ex 1 2 ( p 2 u 1 2 [ u 2 2 2 u 1 u 2 )d ]1 d u 2u
1 2
u1 2
u1e2
1 2
u2e1 2(u2u1)2d2u d1u
2 1 u 1 e u 2 1 2 2 1 (u 2 u 1 )e 1 2 (u 2 u 1 )2 d2 u u 1 e 1 2 (u 2 u 1 )2 d2 d u 1
故 XCY~N23 4,1121 E(X)3 4, D(X) 11 21
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第二章 多元正态分布及参数的估计
2-12
设X1
~N(0,1),令
X2 X1X ,1,当 其 -1 它 X1 .1,
(1)证明X2 ~N(0,1);
(2)证明(X1 , X2 ) 不是二元正态分布.
证明(1):任给x,当x≤-1时
2
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-2 设X=(X1,X2)′～N2(μ,Σ)，其中
12,21 1.
（1）试证明X1 +X2 和X1 - X2相互独立. （2）试求X1 +X2 和X1 -X2的分布.
解: (1) 记Y1＝ X1 +X2 ＝(1,1)X,
Y2＝ X1 -X2 ＝ (1,-1)X ， 利用性质2可知Y1 , Y2 为正态随机变量。又
因 ΣYCC1 1112111 111 21 1 111 11122(10 )2(10)
由定理2.3.1可知X1 +X2 和X1 - X2相互独立.
4
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-3 设X(1)和X(2) 均为p维随机向量,已知
XX X((1 2))~N2p ((1 2)), 1 2 1 2,
应用多元统计分析
第二章部分习题解答
第二章 多元正态分布及参数的估计
2-1 设3维随机向量X～N3(μ,2I3)，已知
0 0 2,A00 .5 .5
1 0
00 .5 .5,d1 2.
试求Y=AX+d的分布.
解:利用性质2,即得二维随机向量Y~N2(y,y),
其中：
y Ad111212,
y A(2I3)A2AA31 11.
(2)第二次配方 xx1.2由 yy21于 y2 14
第二章 多元正态分布及参数的估计
2x12 x22 2x1x2 22x1 14x2 65
y12 y22 22y2 14(y1 y2)65
y12 14y1 49y22 8y2 16
(y1 7)2 (y2 4)2
2 即1 e 2 1 e 1 2 (2 x 1 2 x 2 2 2 x 1 x 2 2x 1 2 1x 2 4 6)5 x x 2 1 y y 1 2 y 2
2
1
1
(ρ>0)时，
概率密度等高面就是平面上的一个椭圆，试求该椭圆
的方程式，长轴和短轴.
证f( 明x ; (1), :任 ) 给 a＞a 0 ,记a ( 0x (2)) p / 2| 1 ( |1/x 2,当 ) 0 a b a 12 0时
