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第四章4-1 设⎪⎩⎪⎨⎧++=+-=+=,2,2,332211εεεb a y b a y a y ).,0(~323321I N σεεεε⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（1）试求参数b a ,的最小二乘估计；（2）试导出检验b a H =:0的似然比统计量，并指出当假设成立时，这个统计量是分布是什么？解：（1）由题意可知.,,,211201321321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=εεεεβ b a y y y Y C 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==--321'1''1'211201************)(ˆy y y Y C C C β.ˆˆ)2(51)2(6132321⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-++ba y y y y y（2）由题意知，检验b a H =:0的似然比统计量为2322ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σσλ 其中，])ˆ2ˆ()ˆˆ2()ˆ[(31ˆ2322212b a y b a y a y --++-+-=σ。
当0H 成立时，设0a b a ==，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,3,,303202101εεεa y a y a y ,311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C 可得,ˆ)3y (111311311311)(ˆ0321321'1''1'ay y y y y Y C C C =++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==--β ],)ˆ3()ˆ()ˆ[(31ˆ20320220120a y a y ay -+-+-=σ因此，当假设0H 成立时，与似然比统计量λ等价的F 统计量及其分布为).1,1(~ˆˆˆ2202F F σσσ-=4-3 设Y 与321,,x x x 有相关关系，其8组观测数据见表4.5.表 4.5 观测数据序号 1x2x3xY1 38 47.5 23 66.02 41 21.3 17 43.0 3 34 36.5 21 36.0 4 35 18.0 14 23.0 5 31 29.5 11 27.06 34 14.2 9 14.07 29 21.0 4 12.0 83210.087.6（1）设εββββ++++=3322110x x x Y ，试求回归方程及决定系数2R 和均方误差2s 。
解：用sas 软件的编写程序如下：title ' "应用多元统计分析" p171 习题4-3';data xt43;input x1-x3 y; cards ;38 47.5 23 66.0 41 21.3 17 43.0 34 36.5 21 36.0 35 18.0 14 23.0 31 29.5 11 27.0 34 14.2 9 14.0 29 21.0 4 12.0 32 10.0 8 7.6 ;proc print ;run ;proc reg data =xt43; model y=x1-x3; run ;quit ; 运行结果如下：由结果可知：其回归方程为.6747.03313.12518.37267.106ˆ321x x x Y -++-=决定系数为 R 2=0.9909 均方误差为 S 2=(2.44158)2.习题五5-1 已知总体)1(=m G i 的分布为)2,1)(,(2)(=i N i i σμ，按距离判别准则为（不妨设21)2()1(,σσμμ<>）⎩⎨⎧≥≤∈<<∈,,,,**2**1μμμμx x G x x G x 或 若 若 其中 .,121221*211221*σσσμσμμσσσμσμμ--=++=）（）（）（）（ 试求错判概率)1|2(P 和)2|1(P 。
解：由题意，其错判概率为 )]()([1)1|2(1)1(*1)1(*σμμσμμ-Φ--Φ-=P)]()([11)1(2112211)1(121221σμσσσμσμσμσσσμσμ-++Φ----Φ-=）（）（）（）（)]()([121)1()2(12)2()1(σσμμσσμμ+-Φ---Φ-=),()(21)1()2(12)1()2(σσμμσσμμ+-Φ+--Φ=)]()(1[1)2|1(1)1(*1)1(*σμμσμμ-Φ+-Φ--=P)()(2)2(2112212)2(121221σμσσσμσμσμσσσμσμ-++Φ----Φ=）（）（）（）（)()(21)2()1(12)2()1(σσμμσσμμ+-Φ---Φ=)](1[)(121)1()2(12)1()2(\σσμμσσμμ+-Φ----Φ-=).()(12)1()2(21)1()2(σσμμσσμμ--Φ-+-Φ=5-2 设三个总体21,G G 和3G 的分布分别为)2,0(),5.0,2(22N N 和)1,3(2N 。
试问样品5.2=x 应判归哪一类？（1）按距离判别准则；（2）按贝叶斯判别准则（取⎩⎨⎧=≠====ji ji i j L q q q ,0,1)|(,31321）。
解：由题意（1）样品x 与三个总体21,G G 和3G 的马氏距离分别为 ,15.0)25.2()()(22212121=-=-=σμx x d,5625.12)05.2()()(22222222=-=-=σμx x d,25.01)35.2()()(22232323=-=-=σμx x d显然，{})()(),(),(min 23232221x d x d x d x d =，则3G x ∈，即样品5.2=x 应判归总体3G 。
（2）样品x 与三个总体21,G G 和3G 的贝叶斯距离分别为,3863.0)3863.1(1)l n ()()(212121-=-+=+=σx d x D ,9488.24ln 5625.1)ln()()(222222=+=+=σx d x D,25.01ln 25.0)ln()()(232323=+=+=σx d x D显然，{})()(),(),(min 21232221x D x D x D x D =，则1G x ∈，即样品5.2=x 应判归总体1G 。
5-4 设有两个正态总体1G 和2G ，已知)2(=m ,2520,1510)2()1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=μμ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑57-7-20,3212121821 先验概率21q q =，而75)2|1(,10)1|2(==L L 。
试问样品 ,2020)1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X 及 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2015)2(X 各判归哪一类？（2）按贝叶斯判别准则（假定⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑3212121812）。
解：方法一（后验概率）)1(11')1(10,1)(21)ln(μμ-∑-=q C,2245.4)ln(151032121218151021)ln(11'1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-q q )2(12')2(20,2)(21)ln(μμ-∑-=q C,9468.13)ln(252032121218252021)ln(11'1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-q q ,4259.1315103212121820201')1()1(111')1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=--X C X μ,4630.2525203212121820201')1()2(122')1(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=--X C X μ,8056.1115103212121820151')2()1(111')2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=--X C Xμ,5278.2125203212121820151')2()2(122')2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=--X C X μ则4259.132245.4)ln()(11')1(0,1)1(1+-=+=q C XC X Y,2014.9)l n (1+=q4630.259468.13)ln()(12')1(0,2)1(2+-=+=q C XC XY,5162.11)ln(1+=q8056.112245.4)ln()(11')2(0,1)2(1+-=+=q C XC X Y,5811.7)l n (1+=q5278.219468.13)ln()(12')2(0,2)2(2+-=+=q C X C XY,5810.7)ln(1+=q显然，)()(),()()2(2)2(1)1(2)1(1X Y X Y X Y X Y ><，故,2)1(G X ∈)1()2(G X ∈。
方法二（平均损失） )(10)(75)1|2()()2|1()()()()()1(1)1(2)1(11)1(22)1(2)1(1)1(X f X f L X f q L X f q X h X h X W ===)()(21e x p {215)2()1(12')2()1(μμ-∑--=-XX)}()(21)1()1(12')1()1(μμ-∑-+-X X)25202020(32121218)25202020(21exp{5.71'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=- ,19229.75)}15102020(32121218)15102020(211'>=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- )(10)(75)1|2()()2|1()()()()()2(1)2(2)2(11)2(22)2(2)2(1)2(X f X f L X f q L X f q X h X h X W ===)()(21e x p {215)2()2(12')2()2(μμ-∑--=-X X)}()(21)1()2(12')1()2(μμ-∑-+-XX)25202015(32121218)25202015(21exp{5.71'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-,15.7)}15102015(32121218)15102015(211'>=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- 故,2)1(G X ∈ )2()2(G X ∈。
