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构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
中值定理构造辅助函数 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()F x ．例1：证明柯西中值定理． 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a fg b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f ag x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f a g x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()()f b f a f xg x g b g a --=-故()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--为所求辅助函数． 例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231n a a a a n ++++=+…的实数．证明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有一实根． 证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++⎰…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续2）()F x 在（0，1）内可导3）(0)F =0， 120(1)0231n a a a F a n =++++=+…故()F x 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…． 这说明方程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内至少有实根x ξ=．2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2f =，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x-==，即2()f x c x =，从而可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2F F ==．本题获证． 例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'()()'()0f f g ξξξ+=．证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-⇒'()'()()f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()f xg x f x =-，两边关于x 积分，得： '()'()()f x dx g dx f x ξ=-⇒⎰⎰1[()][()]ln ()()()d f x d g x f x g x C f x =-⇒=-+⎰⎰，所以()(())exp(())exp()f x exp g x C g x C =-+=-exp(())K g x =-，其中exp()K C =，由()(())f x Kexp g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上面积分的推导可知，()exp(())f x g x 为一常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的ξ的存在是不成问题的．因而令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．例5：证明拉格朗日中值定理．分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为()()()()f b f a y f a x a b a-=+--，则函数()f x 与直线AB 的方程之差即函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a-=-+--在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内至少有一点ξ，使()f ξξ=．分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这一条直线，而两者的交点的横坐标ξ，恰满足()f ξξ=．进而还可由图知道，对[,]a b 上的同一自变量值x ，这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成一个新的函数()g x ，它满足()g a <0,()g b >0,因而符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的一个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．4 常数k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．2）恒等变形使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构成的代数式．3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中一个端点设为x ，相应的函数值改为()f x ．4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在一点(,)a b ξ∈，使等式()()ln '()af b f a f bξξ-=成立． 分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-，令()()ln ln f b f a k b a-=-，则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-，令b x =，可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．例8：设''()f x 在[,]a b 上存在，在a c b <<，试证明存在(,)a b ξ∈，使得()()()1''()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------． 分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------，于是有()()()()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---，上式为关于a ，b ，c 三点的轮换对称式，令b x =（or ：c x =，or ：a x =），则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．例9：设函数()F x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点C ，使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-．分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e----=-=，即(1)(0)'()1c F F F c e e-=-，因此可构造函数()x G x e =，则对()F x 与()G x 在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数()f x 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且(0)f =0，对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在一点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)nf f f f ξξξξ-=-（n 为自然数）成立．分析：欲证其成立，只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠，故只需证：1(())'()(1)'(1)(())0n n n f f f f f ξξξξξ----=即'[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=，于是引入辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-（n 为自然数）．例11：设函数()f x 在区间［0，+∞］上可导，且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在[0，+∞]内至少有1n -个不同零点．（其中，a 为任意实数）证明：欲证()'()af x f x +在[0，+∞）内至少有1n -个不同零点，只需证方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．因为，[0,+)x ∈∞，ax e 0≠，故只需证方程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内至少有1n -个不同实根．引入辅助函数()()ax F x e f x =，易验证()F x 在区间[12,x x ]，[23,x x ]，…，[1,n n x x -]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这1n -个区间上应用罗尔定理，得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…，其中11222311(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<…以上说明方程'()0F x =在[12,x x ][23,x x ]…[1,n n x x -]⊂[0，+∞]内至少有1n -个不同实根，从而证明了方程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内至少有1n -个不同实根．6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含ξ的部分为M ，再将等式中一个端点的值b 换成变量x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x ϕ，这样首先可以保证()b ϕ=0，而由等式关系()a ϕ=0自然满足，从而保证()x ϕ满足罗尔定理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数，试证存在(,)a b ξ∈，使()'()ln ()()()f b f b a f a f ξξ=-． 证明：设()ln ()()f b M b a f a =-，令()()ln ()()f x x M x a f a ϕ=--容易验证()x ϕ在[,]a b 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈使'()0ϕξ=，解得'()()f M f ξξ=，故()'()ln()()()f b f b a f a f ξξ=-． 例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内至少存在一点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-． 证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ-=-，设22()()()f b f a M b a -=-，令22()()()()x f x f a M x a ϕ=---，则()x ϕ满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(,)a b ξ∈，使'()0ϕξ=，即'()2f M ξξ=，若ξ=0，则'()0f ξ=，结论成立；若0ξ≠，则'()2f M ξξ=，从而有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-． 例14：设120x x <<，则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--． 分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ϕ=-1()M x x --．应用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0ϕξ=，即110x x e e M ξ-+=，从而11x M e x e ξ=-，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数． 证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--，设2121x x e e x x -=2111()M x x -，令11()x x e e x x x ϕ=-111()M x x --，则()x ϕ满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0ϕξ=，即2210e e M ξξξξξ-+=，于是(1)M e ξξ=-，故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
关于中值定理证明中辅助函数的构造作者：张芝华来源：《教育教学论坛》2015年第45期摘要：构造辅助函数是高等数学证明中常用的技巧，它起着化难为易、化未知为已知的桥梁作用，特别是在应用中值定理证明问题时，需要构造辅助函数。
如何才能找出合适的辅助函数，在教学实践中人们总结出了多种方法，本文通过几个实例着重介绍如何使用原函数法构造辅助函数的方法。
关键词：中值定理;辅助函数;构造方法中图分类号：G642.0 ; ; 文献标志码：A ; ; 文章编号：1674-9324（2015）45-0153-02一、引例例1：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，证明在（a，b）内至少存在一点ξ使=f（ξ）+ξf ′（ξ）证明：令φ（x）=x·f（x）φ（x）满足拉格朗日中值定理条件，∴在（a，b）内至少存在一点ξ，使φ′（ξ）=？圯f（ξ）+ξf ′（ξ）=上题结论中要证明f（ξ）+ξf ′（ξ）=0，那么对于这类题目有没有方法来构造辅助函数？我们可以用下面思路来构造辅助函数。
1°将ξ改写成x，f（x）+xf ′（x）=02°将上式化为 + =03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx）′=04°上式又可以改写成[lnx·f（x）]′=0 所以我们可以令φ（x）=x·f（x）上面构造辅助函数的方法就是原函数法。
二、证明的结论中含有ξf ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=x ·f（x）1°将ξ改写成x，xf ′（x）+kf（x）=02°将上式化为 + =03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lnx ）′=04°上式又可以改写成[lnx ·f（x）]′=0 我们可以令φ（x）=x ·f（x）例2：设f（x）在[0，1]上连续， ;f（x）dx=0，证明存在ξ∈（0，1）使ξf（ξ）=-2 ; f（t）dt分析：按上述思路1°将ξ改写成x，xf（x）+2 ; f（t）dt=02°将上式化为 + =03°上式又可以改写成（ln ; f（t）dt）′+（lnx ）′=04°上式又可以改写成[lnx · ; f（f）dt]′=0我们可以令φ（x）= x · ; f（t）dt证明：令φ（x）= x ·f（t）dtφ（0）=φ（1）=0？埚ξ∈（0，1）使φ′（ξ）=0φ′（x）=2x· ; f（t）dt+x f（x）φ′（ξ）=2ξ· ; f（t）dt+ξ f（ξ）=0即：ξf（ξ）=-2 ;f（t）dt三、证明的结论中含有f ′（ξ）+kf（ξ）=0可以令φ（x）=e ·f（x）1°将ξ改写成x，f ′（x）+kf（x）=02°将上式化为 +k=03°上式又可以改写成（lnf（x））′+（lne ）′=04°上式又可以改写成[lne ·f（x）]′=0我们可以令φ（x）=e ·f（x）例3：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，f ′ （a）·f ′ （b）>0.证明（1）？埚c∈（a，b）使f（c）=0（2）？埚ξ ，ξ ∈（a，b）使f ′（ξ ）-f（ξ ）=0和f ′（ξ ）-f（ξ ）=0证明：（1）不妨设f ′ （a）>0，f ′ （b）>0由f ′ （a）>0？圯？埚x ∈（a，b）使f（x ）>f（a）=0由f ′ （b）>0？圯？埚x ∈（a，b）使f（x ）？圯f（x ）·f（x ）由零点定理得？埚c∈（a，b）使f（c）=0（2）令φ（x）=e ·f（x）∵φ（a）=φ（c）=φ（b）=0∴？埚ξ∈（a，c），？埚ξ∈（c，b）使φ′（ξ）=φ′（ξ）=0而φ′（x）=e ·（f ′（x）-f（x））=0且e ≠0f′（ξ ）-f（ξ ）=0f′（ξ ）-f（ξ ）=0四、证明的结论中可以化为以上两种形式，我们可以用原函数法构造辅助函数例4：设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内二阶可导，f（a）=f（b）=0，f ′ （a）·f ′ （b）>0.证明？埚η∈（a，b）使f ;″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0分析：1°将ξ改写成x，f ;″（x）-4f ′（x）+3f（x）=02°将上式化为（f ′（x）-f（x））-3（f ′（x）-f（x））=03°将（f ′（x）-f（x））看成f ′（x）+kf（x）=0中的f（x） 4°我们可以令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））证明：令φ（x）=e ·（f ′（x）-f（x））？埚η，η∈（a，b）使φ（η）=φ（η）=0？埚η∈（a，b）使φ′（η）=0φ′（x）=-3e ·（f ′（x）-f（x））+e （f ″（x）-f ′（x））=e （f ;″（x）-4f ′（x）+3f（x））∵e ≠0？圯f ;″（η）-4f ′（η）+3f（η）=0从以上例子我们可以看到用原函数法构造辅助函数的步骤为： 1°将要证的结论中ξ改写成x2°移项使等式一边为零3°用观察法或积分法求出原函数4°这个原函数就是我们要找的辅助函数。
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，当我们需要证明一个命题或者解决一个难题时，有时候需要借助一些额外的工具或函数来进行推导和证明，这些工具或函数就称为辅助函数。
构造辅助函数是一种常用的解题方法，它能够将原问题转化为更容易处理的新问题，通过解决新问题来获得原问题的解决。
构造辅助函数的方法通常分为以下几种：1.构造差函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内单调递增或递减时，可以通过构造差函数F(x)=f(x+h)-f(x)来证明。
如果F(x)大于0，则f(x)递增，如果F(x)小于0，则f(x)递减。
2.构造积函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内取得极值时，可以通过构造积函数P(x)=f(x)g(x)来证明。
其中g(x)是一个与f(x)无关的函数，通过求解P'(x)=0来找到极值点。
3.构造和函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内周期性变化时，可以通过构造和函数S(x)=f(x)+f(x+T)来证明。
其中T为f(x)的周期，通过求解S'(x)=0来找到周期性变化的特征。
4.构造对数函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内与对数函数有相似性质时，可以通过构造对数函数L(x)=lnf(x)来证明。
通过求解L'(x)=1/f'(x)来找到f(x)的变化规律。
在使用构造辅助函数的方法时，需要注意以下几点：1.要根据题目的具体问题进行合理构造，确保辅助函数与原问题有紧密联系。
2.要明确构造的辅助函数的性质和特征，以便进行后续的推导和证明。
3.要注意辅助函数的取值范围和定义域，确保推导和证明的正确性。
4.要注意辅助函数与原问题的等价性，确保最终能够得出原问题的结论。
下面给出一个具体的例子来说明构造辅助函数的方法。
例：证明当x>1时，不等式lnx<(x-1)/（x-2）恒成立。
证明：令f(x)=lnx-(x-1)/（x-2），则f'(x)=1/x-1/（x-2）^2=(x-1)^2/（x （x-2））^2>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=0，所以当x>1时，f(x)>0，即原不等式恒成立。
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。
尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。
借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。
本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。
标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。
辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。
特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。
笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。
一、构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定规律的。
当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。
二、构造辅助函数方法探讨1.仅告知被积函数连续的命题的证法一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。
在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。
这类命题的证明思路：（1）做辅助函数φ（x）；（2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；（3）求φ（x）在积分区间[a，b]的端点值φ（a），φ（b），其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），从而得出命题的证明。
分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。
关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。
关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误！未定义书签。
中值定理证明题中辅助函数的构造方法
一、罗尔定理
如果函数)(x f 满足下列条件：
（1）在闭区间[]b a ,上连续；
（2）在开区间()b a ,内可导；
（3）在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =，
那么在()b a ,内至少有一点ξ，使得
0)(='ξf
二、拉格朗日中值定理
如果函数)(x f 满足下列条件：
（1）在闭区间[]b a ,上连续；
（2）在开区间()b a ,内可导；
那么在()b a ,内至少有一点ξ，使得 a
b a f b f f --=
')()()(ξ 或
))(()()(a b f a f b f -'=-ξ
三、柯西中值定理
如果函数)(x f 和)(x g 满足条件：
（1）在闭区间[]b a ,上连续；
（2）在开区间()b a ,内可导；
（3）),()(b a x g 在'内每点处均不为零，那么在()b a ,内至少有一点ξ，使得 )
()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ
四、定积分中值定理
如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ξ，使下式成立
))(()(a b f dx x f b a -=⎰
ξ ()b a ≤≤ξ 这个公式叫做积分中值公式。
专题四关于中值定理证明中辅助函数的构造构造函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造法是一种创造性的思维活动，一般无章可循，它要求既要有坚实的基础知识背景，又要有丰富的想象力和敏锐的洞察力，针对问题的具体特点而采用相应的构造方法，常可使论证过程简洁明了.在教学中，不失时机地加强对学生的构造性思维的训练，对培养学生的创新意识、创新能力大有裨益.同时构造性思维的形成是培养创造性思维能力的一种途径.它是在数学教学中用数、形结合，沟通问题条件与结论，构造出数学模型，从而达到解决问题目的的一种解题数学法.这种方法要求综合应用各种知识，把各科知识有机结合，根据问题的条件、结论、性质及特征，横向联系，纵向渗透，构造出辅助图形或辅助关系式、使问题思路清晰，解法巧妙.有一些数学问题在常规下束手无策，而构造法使问题得到别开生面、简洁而新颖的解法.数学中的许多问题，往往可以通过构造辅助函数，利用间接方法得到解决.这一方法应用的广泛性，在于其灵活性.例如，证明拉格朗日定理时，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合拉格朗日定理的函数转换成适合罗尔定理的函数的方法.在这里，辅助函数是使问题转化的桥梁.构造辅助问题，并非是为了它本身，而是要通过辅助问题帮助我们解决原来的问题.那个原来的问题才是我们要达到的目标，而辅助问题只是我们试图达到的手段，是原来问题转化的桥梁.针对所要解决的问题构造一个辅助问题，则原来问题的求解或证明，就转化为对一个函数的性质的研究，可以运用函数的定义域、值域、单调性、最大最小值、连续和微分积分等性质来帮助解决，运算过程就比较简单了.微分中值定理是沟通函数及导数之间的桥梁，是研究函数性质的有力工具.而各种辅助函数又往往有所不同，这些辅助函数之间有没有内在的联系呢？引入这些辅助函数有没有一般规律呢？为解答上面的问题，给出辅助函数的一般表达式：F（x）=f(x)—()()f b f ab a--x c+此式可以作为证明拉格朗日中值定理所引用的辅助函数，其中c为任意常.容易验证,当f(x)满足拉格朗日中值定理的条件时，相应的F（x）满足罗尔定理的条件.由于它们都含有任意的常数c ，所以具有某种一般性，是辅助函数的最简单的一种形式.每给出一个c的具体的辅助函数，对应一个具体的证法.不难看出将F（x）与某些函数复合所得的函数，也可以作为辅助函数.问题1：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的内容是什么？有什么样的几何意义？答：罗尔中值定理的内容如下：设函数()f x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 上可微；（3）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得'()f ξ=0.注：罗尔定理一般是作为拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明的预备定理，故若对其加强仔细分析、证明，也可以加以对拉格朗日中值定理的理解和应用.罗尔中值定理的几何意义指：在两个高度相同的点A 、B 之间的一段连续曲线上，若除端点外，它在每一点都有不垂直于x 轴的切线，则该曲线至少存在一点，过该点的切线平行于x 轴（过两端点A 、B 的弦）.拉格朗日中值定理的内容如下：设函数()f x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 上可微；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()f b f a b a--='()f ξ. 拉格朗日中值定理的几何意义是：若曲线()y f x =在(,)a b内每一点都有不平行于y 轴的切线，则在该曲线上至少存在一点P (ξ， f (ξ) ), 使曲线在该点的切线平行于过曲线两端点A 、B 的弦.注：对于拉格朗日中值定理与罗尔定理仅相差在区间端点的函数值相等（即()()f a f b =）这一条件.因此，证明拉格朗日中值定理的关键是，构造一个合适罗尔定理条件的辅助函数()F x ，对()F x 应用罗尔定理，即可得到拉格朗日中值定理的结论.问题2：构造辅助函数一般有哪几种方法？答：构造辅助函数一般有下面几种方法：分析法、几何直观法、凑原函数法、常数k 值法、积分法、解微分方程法、第二类积分法。
问题3：能否举例说明分析法在构造辅助函数中的使用？答： 所谓分析构造辅助函数法，就是先对所给的定理或命题进行分析、简化、变形，得出其等价命题，接着对该等价命题进行分析，看是否可以利用一些已知的定理或命题解决这个等价命题，由此可以构造出恰当的辅助函数来解决问题.从拉格朗日中值定理结论来看，欲证存在一点(,)a b ξ∈,使得'()()()()f b f a f b a ξ-=-成立，即证存在一点(,)a b ξ∈，使得'()()[()()]0f b a f b f a ξ---=成立，亦即()()()[()()]0f x b a f b f a x ξ'---=成立.这与罗尔定理的结论：'()0f ξ=的形式一样，所以可作辅助函数()()()[()()]F x b a f x f b f a x =---，显然，()F x 满足罗尔定理的条件，并由 '()0F ξ=证得拉格朗日中值定理成立，亦即成立下面等式：'()()()()f b f a f b a ξ-=- （a ＜ξ＜b )从结论的分析来设法构造辅助函数是微分学中用来证明定理或命题的方法之一，其思路就是从命题的结论入手来分析结论的形式特点，从中得到启发进而构造出与已知命题条件相等的辅助函数，使命题得证。
例1 证明方程sin x a x b =+至少有一个正根，并且它不超过a b +，其中0a >, 0b >. 分析：要证明一个方程有根，关键在于对哪个函数在哪个区间上使用零点定理，根据要求有一个正根且不超过a b +，可以想到是否可以选区间[0,]a b +，同时利用零点定理，把原式变为sin 0x a x b --=.作辅助函数： ()sin F x x a x b =--证明 考虑()sin F x x a x b =--及区间 [0,]a b +，又()F x 在[0,]a b +上连续，且(0)0F b =-＜0 ， ()[1sin()]0F a b a a b +=-+≥ ，若()0F a b +=，则a b +为所求的根；若()F a b +＞0，则由零点定理可知方程()0F x =在(0,)a b +内至少有一个实根，即方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.问题4：能否举例说明几何直观法在构造辅助函数中的使用？答：借助于几何图形来构思必要的辅助函数的方法称为几何直观构造辅助函数法.华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微.利用数形结合常能更直观地构造所需的辅助函数.如图：设点(,())A a f a 和点(,())B b f b 为曲线弧AB的端点，则弦AB 的斜率为()()f a f b b a --，由导数的几何意义知，'()f ξ为曲线在点C （ξ，f (ξ)）处的切线斜率.欲证存在(,)a b ξ∈,使得'()f ξ=()()f a f b b a--，即证光滑曲线弧AB 上一点C 处的切线与弦AB 平行.而两曲线平行首先应考虑的是平行直线间之距离，为此在曲线弧AB 上任取一点(,())x f x ，设该点到弦AB 的距离函数为()h x ，即()h x，其中 ()()f a f b k b a-=-， 弦AB ：()()y f a k x a -=-，为便于验证()h x 满足罗尔定理的条件，取：()F x = ①由上图可知，曲线y =()f x 上任一点的纵坐标为()f x ，而弦AB 上任一点的纵坐标为()()()()f a f b x a f a b a--+-，用曲线弧AB 上的纵坐标与弦AB 的纵坐标之差来代替距离函数，可作辅助函数：()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=---- ② 任取弧AB 上一点C ，其纵坐标为（,())x f x ，考虑以C 及曲线两端点A 、B 为顶点的三角形的面积，可设辅助函数： ()11()()12()1a f a F xb f b x f x = ③ 显然，()()F a F b =,且①②③式中的()F x 满足罗尔定理的条件，即为所求辅助函数.根据几何意义构造辅助函数，求证定理和命题，是一种非常直观，易于接受的方法.例2 证明拉格朗日中值定理.证明 ①作辅助函数()()()()(()())f a f b F x f x f a x a b a-=-+--； ②由已知条件，()F x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，()()0F a F b ==； ③由罗尔定理知存在(,)a b ξ∈ ，使'()0F ξ=，即至少存在一点(,)a b ξ∈，使'()()()f b f a f b aξ-=-. 问题5：能否举例说明凑原函数法在构造辅助函数中的使用？答：应用罗尔定理证明一类问题时，由于罗尔定理的结论是“导数等于0”，可尝试将命题的结论化简变形，凑出满足罗尔定理条件的原函数作为辅助函数.如：证明拉格朗日中值定理凑原函数法的构造过程由定理的结论()()f b f a b a --=''()()()()x f b f a f f x b a ξξ=-−−→=−−→-()()()f b f a x f x c b a-=+- 0()()()c f b f a x f x b a =-−−→=-，即()()()0f b f a x f x b a--=-， 令()()()()f b f a F x f x x b a-=--，则()F x 即为辅助函数. 例 3 设()f x 在[0,1]上可导,且满足关系式120(1)2()0f xf x dx -=⎰,求证:在(0,1)内至少存在一个ξ,使'()()f f ξξξ=-.证明 构造辅助函数,由结论'()()f f ξξξ=-,令x ξ=,则有''()()1(),()f x f x f x x f x x -==-,两边积分'()1()f x dx dx f x x =-⎰⎰,因此ln ()ln ln f x x c =-+,ln ()ln c f x x =,所以()c f x x =, ()xf x c =,令c =0,取()()F x xf x =为辅助函数.由题设可知()()F x xf x =在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 由于120(1)2()0f xf x dx -=⎰，因此有112200(1)2()2()f xf x dx f dx ηη==⎰⎰,0≤12η≤,由中值定理(1)()f f ηη=得(1)(1)()F f f ηη==,而()()F f ηηη=,因此()F x 在[,1]η上,(1)()F F η=,即'()()0f f ξξξ+=,亦'()()f f ξξξ=-,证毕.问题6：能否举例说明常数k 值法在构造辅助函数中的使用？答： 对许多中值命题，可用对命题的结论简化变形以及移项，使一边为常数，并令该常数为k , 然后将该式恒等变形，化为对称式，从而找到满足罗尔定理的适当的辅助函数，这样的方法称为常数k 值构造辅助函数法.在证明的命题中，常数已分离，可考虑用以下步骤求辅助函数：（1）将常数部分记作k ；（2）恒等变形，使等式一端为a 构成的代数式，另一端为b 构成的代数式；（3）分析关于端点的表达式是否为对称式，若是，只要把端点a 换成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.例4 设在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求证在(,)a b 内至少存在一个ξ，使'()()()()bf b af a f f b aξξξ-=+-. 分析：此题型中常数已分离，可令()()bf b af a k b a-=-，因此()()bf b kb kf a ka -=-.此为对称式，且a 与b 互换等式不变，所以，对此类型的问题作辅助函数()()F x xf x kx =-. 证明：令()()()()bf b af a F x xf x x b a-=--（由分析得），显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又因为()()()()0bf b af a F a af a a b a -=-=-，()()()()0bf b af a F b bf b b b a -=-=-，所以()()0F a F b ==.因此在[,]a b 上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，(,)a b ξ∈，使'()0F ξ=，即'()()()()0bf b af a f f b a ξξξ-+-=-，所以'()()()()bf b af a x f f b aξξξ-=+-，证毕. 问题7：能否举例说明积分法在构造辅助函数中的使用？答：对一些不容易找到原函数的问题，可以试用积分法来构造辅助函数达到解决问题的目的.该方法为：将命题的结论化简变形并向罗尔定理或其余中值定理结论靠拢，通过对方程两端进行积分来构造适当的辅助函数并证明有关命题.例 5 设()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(1),(2)22f f ==，证明：至少存在一点(1,2)ξ∈，使得'2()()f f ξξξ=成立.分析：把'2()()f f ξξξ=变形为'()2()f f ξξξ=，则'()2()0f f ξξξ-=，即'[()2()]0x xf x f x ξ=-=.不易凑出'()2()x f x f x -的一个原函数()F x ，故把结论变形为'()20()f f ξξξ-=，把ξ换成x ，得'()20()f x f x x-=，两端进行积分得ln ()2ln ln f x x c -=，变形为2()ln ln f x c x =，即2()f x c x =，从而设辅助函数为2()()f x F x x =，则()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且有1(1)(2)2F F ==，故根据罗尔定理知存在一点(1,2)ξ∈，使得'()0F ξ=，即存在一点(1,2)ξ∈，使得'3()2()0x f x f x x ξ-=成立.因此存在一点(1,2)ξ∈，使得'2()()f f ξξξ=成立. 问题8：能否举例说明解微分方程法在构造辅助函数中的使用？ 答：解微分方程的构造过程是将求证存在ξ使()0F ξ=中的ξ看作自变量x ，然后通过解微分方程()0F x =得()x c ϕ=（其中c 为任意常数），因为'()0()0F ϕξξ=⇔=，所以()x ϕ就是所要构造的辅助函数.例6 设()f x 在[0,1] 上连续，在(0,1)内可导，且满足21130(1)3()x f e f x dx -=⎰，证明 ,至少存在一点(0,1)ξ∈，使得'()2()f x f ξξ=.分析：先解微分方程得到'()2()f x xf x =得到2()x f x ce =，即2()x f x e c -=，构造辅助函数2()()x F x f x e c -=-（这里的c 为积分常数，不妨取0）.证明：作辅助函数2()()x F x f x e --=，由已知条件发21130(1)3()xf e f x dx --=⎰，并利用中值221111(1)(1)3()()()3F f e e e f e f F ξξξξξ----==⨯⨯⨯⨯==，其中1[0,][0,1]3ξ∈⊂，显然()F x 在[0,]ξ连续，在(0,)ξ内可导，根据罗尔定理，至少存在一点(0,)ξξ∈使得'()0F ξ=，2''()[()2()]x F x f x xf x e -=-，即'()2()f f ξξξ=. 问题9：能否举例说明第二类积分法在构造辅助函数中的使用？ 答： 约定：若'()f x 在[,]a b 上存在，则认为'()()(),[,]xa f t dt f x f a x ab =-∈⎰成立.不考虑'()f x 在[,]a b 上是否黎曼可积，就认为'()xa f t dt ⎰表示'()f x 的一个使得a 处值为0的原函数.对于这种类型的辅助函数，如果()0ba g x dx =⎰可统一构造()()ta F x g t dt =⎰，证明步骤为： （1）将等式左端式中ξ改为x 并记为()g x ，右端化为0：（2）求解辅助函数()()xa F x g t dt =⎰；（3）验证()()F a F b =是否成立；（4）由罗尔定理得出结论.例7 设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，'()0g x ≠，那么存在(,)z a b ∈，使得''()()()()()()f z f b f ag z g b g a -=-. 证明 ①结论变形为''()()[()()]()[()()]g x f x g b g a g x f b f a =---;②作辅助函数： ''()()()[()()]()[()()]x xa a F x g t dt f z gb g a g z f b f a dt ==---⎰⎰[()()][()()][()()][()()]g b g a f x f a f b f a g x g a =----- ; ③显见()()F a F b ==0；④由罗尔定理知存在(,)z a b ∈，使'()0F z =，即''()()[()()]()[()()]F z f z g b g a g z f b f a =---=0.思考题：一、你能否给出一般形式的微分中值定理？提示：（广义柯西中值定理）设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上具有连续n 阶连续导数，在(,)a b 内(1)(1)(),()n n f x g x ++存在，(1)()0n g x +≠.则在(,)a b 内至少有一点使下式成立()(1)0()(1)0()()()()!()()()()!k nkn k k n n kk f a f b b a f k g a g g b b a k ξξ+=+=--=--∑∑.参考文献：[1] 同济大学数学教研室编. 高等数学[M]. 高等教育出版社，1988[2] 复旦大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社，1983.7[3] [苏]吉米多维奇. 数学分析习题集[M]. 山东科学技术出版社[4] 华东师大数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社，1991.3[5] G波利亚. 怎样解题[M]. 科学出版社，1982。
