2020高考人教版数学(文)总复习练习：第八章 解析几何 课时作业45 Word版含解析

课时作业 45 圆的方程一、选择题1．方程y＝1－x2表示的曲线是( )A．上半圆 B．下半圆C．圆 D．抛物线解析：由方程可得x2＋y2＝1(y≥0)，即此曲线为圆x2＋y2＝1的上半圆．答案：A2．(2016·北京，5)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )A．1 B．2C. 2 D．2 2解析：由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋－12＝ 2.故选C.答案：C3．经过原点并且与直线x＋y－2＝0相切于点(2,0)的圆的标准方程是( )A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4解析：设圆心的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，ba－2＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.答案：A4．(2018·山西太原五中模拟，5)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253 D.43解析：设圆心为P .因为△ABC 外接圆的圆心在线段BC 的垂直平分线上，即直线x ＝1上，可设圆心P (1，p )，由PA ＝PB 得|p |＝1＋p －32，解得p ＝233，所以圆心坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，所以圆心到原点的距离|OP |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝1＋129＝213.故选B.答案：B5．(2018·山西运城二模)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D.答案：D6．(2018·福建厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A 、B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.答案：A7．(2018·山东菏泽一模，11)已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215解析：圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝25，∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BDC. 5 D ．2解析：∵C 为圆心，A ，B 在圆上，∴取AB 的中点为O ，连接CO ，有CO ⊥AB ，且CA →＋CB →＝2CO →，∴|CO →|＝5，又圆C 的半径R ＝3，∴|AB |＝2R 2－|CO →|2＝2×9－5＝4，故选B.答案：B 二、填空题11．(2018·广东肇庆二模)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，求圆C 的方程是__________________．解析：根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －y ＋1＝0⇒(－1,0)，因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝212．设A (－3,0)，B (3,0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为12，则点P 的轨迹图形所围成的面积是________．解析：设P (x ，y )，则由题意有x ＋32＋y 2x －32＋y 2＝14， 整理得x 2＋y 2＋10x ＋9＝0，即(x ＋5)2＋y 2＝16， 所以点P 的半径为4的圆上，故其面积为16π. 答案：16π13．(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝914．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33 －33[能力挑战]15．(2018·福建师大附中联考，12)已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：设|PO |＝t ，向量PA →与PB →的夹角为θ，则|PA →|＝|PB →|＝t 2－1，sin θ2＝1t ，cos θ＝1－2sin 2θ2＝1－2t2，∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|cos θ＝(t 2－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2t2(t >1)，∴PA →·PB →＝t 2＋2t2－3(t >1)，利用基本不等式可得PA →·PB →的最小值为22－3.故选D.答案：D16．(2018·湖北调考)已知实数x ，y 满足x 2＋(y －2)2＝1，则ω＝x ＋3yx 2＋y 2的取值范围是( )A ．(3，2]B ．[1,2]C ．(0,2] D.⎝⎛⎦⎥⎤32，1 解析：本题考查直线与圆的位置关系、函数的最值.x ＋3y x 2＋y 2＝xy ＋31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2，可令t ＝xy ，表示圆上的点与原点连线的斜率的倒数，在平面直角坐标系中作出圆x 2＋(y －2)2＝1，易知过原点与圆相切的两条切线的斜率分别为－3与3，所以－33≤t ≤33，令g (t )＝t ＋31＋t2⎝ ⎛⎭⎪⎫－33≤t ≤33，则g ′(t )＝1－3t 1＋t 21＋t2≥0⎝ ⎛⎭⎪⎫－33≤t ≤33，所以g (t ) 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33上为增函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33≤g (t )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，所以g (t )∈[1,2]，故选B.答案：B17．(2018·河北邯郸一中二模，16)已知圆O ：x 2＋y 2＝8，点A (2,0)，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为________．解析：设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM |·|MA |＝222＋a 2－222×22a＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a ≥142·4a·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立，∴∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4. 答案：π4。

8-1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时规范练(授课提示：对应学生用书第299页)A 组 基础对点练1．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 22．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( D ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝04．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( C ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)6．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 7．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( A )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝08．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段MN 相交，则直线l的斜率k 的取值范围是( A ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4解析：如图所示，∵k PN ＝1－－1－－＝34，k PM ＝1－－1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( C ) A ．－12B ．1C ．2D ．1210．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝011．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝012．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0互相垂直”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( B ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)14．已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为 9 .解析：由题意知，2n ＝m (n －1)，即m ＋2n ＝mn ， 得2m ＋1n＝1，又m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥9.当且仅当2n m ＝2m n时取等号．B 组 能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( D ) A.π3 B ．π6C.π4D ．3π4解析：令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，得a ＝－b ，易得直线斜率k ＝a b ＝－1. 2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝03．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( A ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－345．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( C ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝06．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( D ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2解析：∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.7．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( C ) A.103 B ．－103C.1013D ．－10138．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( B ) A ．(0,1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，129．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为 2x ＋y －4＝0 .解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.10．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则直线l 的方程为 x ＋2y ＋5＝0 .解析：∵直线l 的方向向量为(2，－1)，∴直线l 的斜率为－12，∵直线l 过点(－5，0)，∴直线l 的方程为x ＋2y ＋5＝0.11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是 [1,3] ．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k PA ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]．12．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为 16 .解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.8-2 直线的交点与距离公式课时规范练(授课提示：对应学生用书第301页)A 组 基础对点练1．(2016·高考北京卷)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( C ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 22．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 ( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 4．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( A ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6D ．k >－25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( D ) A ．4 B ．13 C.15D ．177．已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( B )A ．4B ．132C.21313D ．713268．圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线l ：x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( C ) A ．36 B ．18 C ．6 2D ．5 2解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32， 圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.9．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝ 2 .解析：圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为原点，则圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋－2＝1，在△OAB 中，点O 到边AB 的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.10．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为 0<d <2 .解析：|OP |＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条． 11．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是 3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0 .解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋－＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析：(1)易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.B 组 能力提升练1．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( D ) A ．2 B ．4 C ．5D ．102．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( C ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( D ) A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 54．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是 5 .解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.5．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为 94.解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3， 所以－2＋－m2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94， 当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．6．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 (2,4) ．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－－1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)， 此点即为所求点．因为|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |， 取异于P 点的任一点P ′，则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D | ＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)>|AC |＋|BD |＝|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |. 故P 点就是到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点．7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是 6x －8y ＋1＝0 . 解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x－3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x －a2＋y －b2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋ x 2＋2x ＋10的最小值为 5 2 .解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝x ＋2＋－2＋x ＋2＋－2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点 A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和．设点 A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝－1＋2＋＋2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.9．已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0. (1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 解析：(1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)， 设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4，∴直线方程为y ＝－2x －4.8-3 圆的方程课时规范练(授课提示：对应学生用书第303页)A 组 基础对点练1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( A )A ．k <－35或k >35B ．－35<k <35C ．－34<k <34D ．k <－34或k >343．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( B ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1D ．174．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝15．(2018·长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.6．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为 (x －2)2＋y 2＝9 .解析：设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝a －2＋－52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.7．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 (－2，－4) ，半径是 5 .解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．8．(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0 .解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.9．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 x ＋y －3＝0 .解析：验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0. 10．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长． 解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝－2＋－1－2－2＝2 2.11．在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组 能力提升练1．方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( D )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆2．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝33．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B ) A ．7 B ．6 C ．5D ．44．已知圆M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且圆M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则圆M 的方程是( A )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝05．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：直线AC 为x ＋2y －4＝0，点O 到直线AC 的距离为d ＝|－4|5＝455>1，又|OA |＝13，|OB |＝5，|OC |＝37.由题意知公共点为(0，－1)或(6，－1)．故半径为1或37. 6．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝4 .解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.7．(2018·运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2 .解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝1 .解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.9．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝5 .解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 ； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 －2－1 .解析：(1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC (图略)，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B (0，2＋1)， 所以直线BC 的斜率为k ＝2＋－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1， 令y ＝0得，x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2， 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径＝ 3.∴圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意得，|3k ＋1|k 2＋1＝1， 解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0， 即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上． 由题意，点M (x ，y )在圆C 上， 所以圆C 与圆D 有公共点， 则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋a －2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练(授课提示：对应学生用书第305页)A组基础对点练1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( B ) A．相切B．相交C．相离D．不确定2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( B )A．6 B．4C．3 D．23．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( D )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或124．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( C ) A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B )A．内切B．相交C．外切D．相离7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝08．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( B ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( D ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5解析：易求得圆C 被y 轴截得的弦长为2，得|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.10．若圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0被直线2x －2y －3＝0所截得的弦最长，则实数m 的值为 1 .解析：圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2m ，－m ＋32.∵圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0被直线2x －2y －3＝0所截得的弦最长，∴圆心在直线上， ∴4m ＋2m －3－3＝0，解得m ＝1，满足圆的方程， ∴m ＝1.11．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1， ∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1， 即y ＝x ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)．∵矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心，|AP |＝22为半径的圆，∴方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴直线l 过定点M (3,2)．又∵点M (3,2)在圆内，∴直线l 与圆相交． ∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5， ∴最短弦长为28－5＝2 3. 12．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y .将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， 即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.B 组 能力提升练1．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( A ) A.45π B ．34π C ．(6－25)πD ．54π 2．已知直线l ：y ＝kx ＋b ，曲线C ：x 2＋y 2＝1，则“b ＝1”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( D ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．44．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A ) A. 3 B ．2 C. 2D ．45．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝ 32.解析：由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示． ∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.6．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝ 4 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为 x 2＋(y －1)2＝10 .解析：设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 43 .解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是 4 .解析：圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4. 10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解析：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k ＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.又因为圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0， 即k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使x 轴平分∠ANB .8-5 椭圆课时规范练(授课提示：对应学生用书第307页)A 组 基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( B )A ．2B ．3C ．4D ．92．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( D ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <43．若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( C ) A ．(1,2] B ．[1,2)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)4．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( D ) A ．8 B ．10 C ．12D ．15解析：由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34.根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15，故选D.5．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( A ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 6．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝4，则该椭圆的离心率为( A ) A.7－23B ．2＋13C.23 D ．127．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为( D ) A.12 B ．3－12C.32D ．3－18．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 (0,1) ．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是63.解析：由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2018·湖南江西十四校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点M ()1，1任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m ：3x ＋4y －12＝0交于C 点，记直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.试探究k 1＋k 2与k 3的关系，并证明你的结论．解析：(1)∵椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a ＋c ，a －c ，依题意有a ＋c ＝3()a －c ⇒a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3c .故可设椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得14c 2＋943c 2＝1⇒c 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为y －1＝k ()x －1，即y ＝kx －k ＋1，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2为l 与椭圆E 的两个交点．将y ＝kx －k ＋1代入方程3x 2＋4y 2－12＝0，化简得()4k 2＋3x 2－8()k 2－k x ＋4k 2－8k －8＝0.∴x 1＋x 2＝8k 2－8k 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－8k －84k 2＋3. ∴k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k ()x 1－1－12x 1－1＋k ()x 2－1－12x 2－1＝2k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －12x 1＋x 2－2x 1x 2－()x 1＋x 2＋1＝2k －128k 2－8k －2()4k 2＋34k 2－8k －8－()8k 2－8k ＋()4k 2＋3＝6k －35. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ＋1，3x ＋4y －12＝0⇒3x ＋4()kx －k ＋1－12＝0，解得x ＝4k ＋84k ＋3，y ＝9k ＋34k ＋3，即C 点的坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋84k ＋3，9k ＋34k ＋3，∴k 3＝9k ＋34k ＋3－324k ＋84k ＋3－1＝6k －310.∴k 1＋k 2与k 3的关系为k 1＋k 2＝2k 3.B 组 能力提升练1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( C ) A.12 B ．23 C.34D ．453．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C ) A.24 B ．12 C.22D ．32解析：易得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ， 又a 2＝b 2＋c 2，可得c a ＝22. 4．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B ．⎝⎛⎦⎥⎤0，255C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，355D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，4555．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( A ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 6．(2016·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<17．(2018·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为22. 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故四边形ABCD 为正方形，面积为4x 2＝4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22.8．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是733. 解析：由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋y －2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733. 9．(2018·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍， 可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89或k ＝－12.。

2020年精品试题
芳草香出品
课时作业 46 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题
1．(2018·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )
A ．1：2
B ．1：3
C ．1：4
D ．1：5
解析：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝1
1＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3
，故两弧长之比为1：2.选A. 答案：A
2．(2018·聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2
＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5
＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．
答案：C
3．(2018·烟台一模)若一个圆的圆心为抛物线y ＝－14
x 2的焦点，且此圆与直线3x ＋4y －1＝0相切，则该圆的方程是( )
A ．x 2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋y 2＝1
C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1
D ．x 2＋(y ＋1)2＝1
解析：抛物线y ＝－14
x 2，即x 2＝－4y ，其焦点为(0，－1)，即圆心为(0，－1)，圆心到直线3x ＋4y －1＝0的距离d ＝
|－5|32＋42＝1，即r ＝1，故该圆的方程是x 2＋(y ＋1)2
＝1，选D.
答案：D。

课时作业52 圆锥曲线的综合问题1．(2019·河北石家庄一模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF →＝2 FB →，则该椭圆的离心率为( B )A.32B.23C.22D.33解析：由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2 FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2ca 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2，∴12＝4c 2a 2＋b2，∴e ＝23，故选B.2．(2019·河北七校联考)如图，由抛物线y 2＝8x 与圆E ：(x －2)2＋y 2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P (2,0)的直线始终与圆形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB |的取值范围为( D )A ．[2,3]B ．[3,4]C ．[4,5]D ．[5,6]解析：由题意可知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，圆(x －2)2＋y 2＝9的圆心为E (2,0)，因此点P ，F ，E 三点重合，所以|P A |＝3.设B (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可知|PB |＝x 0＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，(x －2)2＋y 2＝9得(x －2)2＋8x ＝9， 整理得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)，设圆E 与抛物线交于C ，D 两点，所以x C ＝x D ＝1，因此0≤x 0≤1，又|AB |＝|AP |＋|BP |＝3＋x 0＋2＝x 0＋5，所以|AB |＝x 0＋5∈[5,6]，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( A )A.433B.233 C ．3D ．2解析：解法一：设椭圆方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，双曲线的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，不妨设P 为两曲线在第一象限的交点，F 1，F 2分别为左，右焦点，则易知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.在△F 1PF 2中，由余弦定理得(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)·(a 1－a 2)cos 60°＝4c 2，整理得a 21＋3a 22＝4c 2， 所以a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1e 21＋3e 22＝4.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1，3e 2，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，33，∴1e 1＋1e 2＝a ·b ≤|a |·|b |＝1e 21＋3e 22×1＋13＝4×43＝433，故1e 1＋1e 2的最大值是433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限， |PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n2c ＝mc .∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1， 易知⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1的最小值为34.故⎝⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 4．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( A )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：∵直线l 与圆相切，∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k 2＝1，∴m 2＝1＋k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1 得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1， 由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1 取最小值22，故选A. 5．(2019·河南郑州一模)如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2,4)，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋4|QM |的最小值为( A )A ．23B ．42C ．12D ．52解析：由题意可设抛物线C 1的方程为y 2＝2px (p ＞0)，因为抛物线C 1过点(2,4)，所以16＝2p ×2，得p ＝4，所以y 2＝8x .圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，整理得(x －2)2＋y 2＝1，可得圆心C 2(2,0)恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝2，所以P (2,4)，Q (2，－4)，所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋|C 2N |＋4|QC 2|＋4|C 2M |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝4＋4×4＋5＝25.当直线l 的斜率存在且不为零时，可设l 的方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝8x ，可得k 2(x －2)2＝8x ，整理得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，Δ＞0，则x 1x 2＝4，故x 2＝4x 1，所以|PN |＋4|QM |＝|PC 2|＋4|QC 2|＋5＝x 1＋p 2＋4x 2＋4×p 2＋5＝x 1＋4x 2＋15＝x 1＋16x 1＋15≥2x 1×16x 1＋15＝8＋15＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 1＝16x 1，即x 1＝4时取“＝”.因为23＜25，所以|PN |＋4|QM |的最小值为23.故选A.6．(2018·浙江卷)已知点P (0,1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B满足AP →＝2PB →，则当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算，二次函数的最值．设B (t ，u )，由A P →＝2 P B →，易得A (－2t,3－2u )． ∵点A ，B 都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 24＋u 2＝m ，4t 24＋(3－2u )2＝m ，从而有3t 24＋3u 2－12u ＋9＝0， 即t 24＋u 2＝4u －3.即有4u －3＝m ⇒u ＝m ＋34，∴t 24＋(m ＋3)216＝m ，∴t 2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4.∴当m ＝5时，(t 2)max ＝4，即|t |max ＝2， 即当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大．7．(2019·合肥模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为6.解析：点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3， ∴32≤x ＋92≤152， ∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，∴14≤19⎝⎛⎭⎪⎫x ＋922≤22536，∴6≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12，故最小值为6.8．(2019·河北百校联盟联考)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l 1，直线l 2与抛物线C 相切于点P ，记点P 到直线l 1的距离为d 1，点F 到直线l 2的距离为d 2，则d 2d 1＋2的最大值为12. 解析：依题意，得点F (0,2)，因为y ＝x 28，所以y ′＝x4，设P (x 0，y 0)，则直线l 2：y －y 0＝x 04(x －x 0)，即x 04x －y －y 0＝0，故点F 到直线l 2的距离d 2＝|－2－y 0|x 2016＋1＝2＋y 0y 02＋1＝2·y 0＋2，又点P 到直线l 1的距离d 1＝|PF |＝y 0＋2，所以d 2d 1＋2＝2×y 0＋2y 0＋4＝2×1y 0＋2＋2y 0＋2≤2×12y 0＋2·2y 0＋2＝12，当且仅当y 0＋2＝2y 0＋2，即y 0＝0时，取等号，所以d 2d 1＋2的最大值为12.9．(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值． 解：(1)因为抛物线y 2＝2px 过点(1,2)，所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＞0，解得k ＜0或0＜k ＜1. 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)． 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2. 直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)．令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →， QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N .所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k2＋2k －4k 21k 2＝2. 所以1λ＋1μ为定值．10．(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． 解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)． 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 由此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意知，t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t.由2|AM ＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)． 当k ＝32时上式不成立， 因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2＞0，k 3－2＜0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2)．11．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解：(1)设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故 x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k ，即k OM ·k ＝－9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ， 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x .设点P 的横坐标为x p .由⎩⎨⎧ y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2，得x 2p ＝k 2m 29k 2＋81，即x p ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m 3(k 2＋9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x p ＝2x M . 于是±km 3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．12．(2019·潍坊模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程．(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若P A ，PB 交直线x ＝6 于不同的两点M ，N .问以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，a ＝2，若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，故点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 为上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c,0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0，由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ，所以bc b 2＋c2＝c a ， 所以c 2＝3b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线P A ，PB 的斜率存在且都不为0.设k P A ＝k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2，又A (－2,0)，B (2,0)，所以k P A ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，得k PB ＝－14k ， 直线P A 的方程为y ＝k (x ＋2)，令x ＝6，得y ＝8k ，故M (6,8k )；直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)， 令x ＝6，得y ＝－1k ，故N (6，－1k )．因为y M ·y N ＝8k ·(－1k )＝－8<0，所以以线段MN 为直径的圆与x轴交于两点，设为G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ，在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·|－1k |＝8，因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，从而以线段MN 为直径的圆恒过两个定点G (6－22，0)，H (6＋22，0)．13．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．(ⅰ)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；(ⅱ)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．(i)因AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根， 所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤ 将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2， 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. (ii)由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0，得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0， 所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1. 而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1＞0， 因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角． 故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学解析几何练习题及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案)一．考试内容：椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.二．考试要求：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.了解圆锥曲线的初步应用.【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题.三．基础知识:椭圆及其标准方程椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（＞＞0），（＞＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为（＞＞0）.⑴范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. ⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，（＞＞0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（＞＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（＞＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆（＞＞0）的参数方程为（θ为参数）.说明⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：；⑵椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 92.椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹.若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.双曲线的简单几何性质双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中k是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是和.双曲线的焦半径公式，.双曲线的内外部点在双曲线的内部.点在双曲线的外部.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.若渐近线方程为双曲线可设为.若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.双曲线的切线方程双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

§8.5 空间中的垂直关系1．直线与平面垂直2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α.( × )(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( √ )(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × ) 题组二 教材改编2．下列命题中错误的是( )A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D解析 对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，P A，PB⊂平面P AB，∴PC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题组三易错自纠4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案 A解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC答案 B解析由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.证明因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.方法二在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝BD2＋BB21＝10.在Rt△B1C1F中，B1C1＝2，C1F＝1，所以B1F＝B1C21＋C1F2＝ 5.在Rt△DCF中，CF＝2，CD＝1，所以DF＝CD2＋CF2＝ 5.显然DF2＋B1F2＝B1D2，所以∠B1FD＝90°.所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．跟踪训练1如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明 (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 则AB ∥EF .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ， BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC . 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．(1)证明 由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ， 所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解 由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2. 又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE ∥DC 且QE ＝13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ， 所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1. 因此，三棱锥Q －ABP 的体积为 V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE＝13×12×3×22sin 45°×1＝1. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．跟踪训练2 (2018·锦州调研)如图，三棱锥P －ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，P A ⊥PC ，PB ＝2.(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若P A ＝PC ，求三棱锥P －ABC 的体积． 证明 (1)如图，取AC 的中点O ，连接BO ，PO ，因为△ABC 是边长为2的正三角形， 所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为P A ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2， 所以PO ⊥OB .因为AC ∩OP ＝O ，AC ，OP ⊂平面P AC ， 所以BO ⊥平面P AC . 又OB ⊂平面ABC ， 所以平面P AC ⊥平面ABC .(2)解 因为P A ＝PC ，P A ⊥PC ，AC ＝2， 所以P A ＝PC ＝ 2. 由(1)知BO ⊥平面P AC ，所以V P －ABC ＝V B －APC ＝13S △P AC ·BO ＝13×12×2×2×3＝33.题型三 垂直关系的综合应用命题点1 直线与平面所成的角例3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点． (1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若P A ＝AB ＝2，且当直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．(1)证明 ∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点． ∴BC ⊥AC ，∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ， 又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ， ∴△BPC 是直角三角形．(2)解 如图，过A 作AH ⊥PC 于H ，∵BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥AH ， 又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂平面PBC ， ∴AH ⊥平面PBC ，∴∠ABH 是直线AB 与平面PBC 所成的角， ∵P A ⊥平面ABC ，∴∠PCA 即是PC 与平面ABC 所成的角， ∵tan ∠PCA ＝P AAC ＝2，又P A ＝2，∴AC ＝2， ∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2＋AC 2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，即直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33. 命题点2 与垂直有关的探索性问题例4 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.(1)求证：C 1E ∥平面ADF ；(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF . (1)证明 连接CE 交AD 于O ，连接OF .因为CE ，AD 为△ABC 的中线， 则O 为△ABC 的重心， 故CF CC 1＝CO CE ＝23，故OF ∥C 1E ， 因为OF ⊂平面ADF ，C 1E ⊄平面ADF ，所以C1E∥平面ADF.(2)解当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.证明如下：因为AB＝AC，AD⊂平面ABC，故AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，故平面B1BCC1⊥平面ABC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1BCC1，又CM⊂平面B1BCC1，故AD⊥CM.又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，故Rt△CBM≌Rt△FCD.易证CM⊥DF，又DF∩AD＝D，DF，AD⊂平面ADF，故CM⊥平面ADF.又CM⊂平面CAM，故平面CAM⊥平面ADF.思维升华对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证．途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．途径三：将几何问题转化为代数问题．跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由．(1)证明连接BD交AC于点O，则BD⊥AC.设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，所以四边形FMNG为平行四边形，所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.所以FG⊥AE，又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE，所以FG⊥平面ACE.又FG⊂平面CFG，所以平面CFG⊥平面ACE.(2)解存在．设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，连接EQ，CQ，取CO的中点H，连接EH，由已知易知，平面EFG∥平面ABCD，又平面ACE∩平面EFG＝EQ，平面ACE∩平面ABCD＝AC，所以CH∥EQ，又CH＝EQ＝2 2，所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，又CQ⊂平面CFG，EH⊄平面CFG，所以EH∥平面CFG，所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，且CH＝2 2.1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n答案 C解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.2．(2019·通辽模拟)已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是() A．若l∥m，则必有α∥βB．若l⊥m，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α 答案 C解析 对于选项A ，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A 错误； 对于选项B ，平面α和平面β还有可能相交或平行，所以选项B 错误； 对于选项C ，因为l ⊂α，l ⊥β，所以α⊥β.所以选项C 正确； 对于选项D ，直线m 可能和平面α不垂直，所以选项D 错误．3.如图，在四面体D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE 答案 C解析 因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .4．(2019·大连适应性检测)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( ) A ．MN ∥C 1D 1 B ．MN ⊥BC 1 C ．MN ⊥平面ACD 1 D ．MN ⊥平面ACC 1答案 D解析 对于选项A ，因为M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，所以点N ∈平面CDD 1C 1，点M ∉平面CDD 1C 1，所以直线MN 是与平面CDD 1C 1相交的直线，又因为直线C 1D 1在平面CDD 1C 1内，故直线MN 与直线C 1D 1不可能平行，故选项A 错； 对于选项B ，正方体中易知NB ≠NC 1，因为点M 是BC 1的中点，所以直线MN 与直线BC 1不垂直，故选项B 不对；对于选项C ，假设MN ⊥平面ACD 1，可得MN ⊥CD 1，因为N 是CD 1的中点， 所以MC ＝MD 1，这与MC ≠MD 1矛盾，故假设不成立，所以选项C 不对； 对于选项D ，分别取B 1C 1，C 1D 1的中点P ，Q ，连接PM ，QN ，PQ . 因为点M 是BC 1的中点， 所以PM ∥CC 1且PM ＝12CC 1.同理QN ∥CC 1且QN ＝12CC 1.所以PM ∥QN 且PM ＝QN ， 所以四边形PQNM 为平行四边形． 所以PQ ∥MN .在正方体中，CC 1⊥PQ ，PQ ⊥AC ，因为AC ∩CC 1＝C ，AC ⊂平面ACC 1，CC 1⊂平面ACC 1， 所以PQ ⊥平面ACC 1.因为PQ ∥MN ，所以MN ⊥平面ACC 1. 故选项D 正确．5．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 B解析 如图，取正三角形ABC 的中心O ，连接OP ， 则∠P AO 是P A 与平面ABC 所成的角． 因为底面边长为3， 所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1.三棱柱的体积为 34×(3)2AA 1＝94， 解得AA 1＝3， 即OP ＝AA 1＝3， 所以tan ∠P AO ＝OPOA＝3，因为直线与平面所成角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以∠P AO ＝π3.6.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________．答案 4解析 ∵P A ⊥平面ABC ，AB ，AC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ，则△P AB ，△P AC 为直角三角形．由BC ⊥AC ，且AC ∩P A ＝A ，得BC ⊥平面P AC ，从而BC ⊥PC ，因此△ABC ，△PBC 也是直角三角形．7.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在直线______上．答案 AB解析 ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC . ∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在两平面交线AB 上．8.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足_______时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)解析 ∵P A ⊥底面ABCD ，∴BD ⊥P A ，连接AC ，则BD ⊥AC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ，∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD ， 而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________．答案 13解析 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22， 又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.10.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上．点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案255解析 点P 到直线CC 1的距离等于点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离，设点P 在平面ABCD 上的射影为P ′，显然点P 到直线CC 1的距离的最小值为P ′C 的长度的最小值．当P ′C ⊥DE 时，P ′C 的长度最小，此时P ′C ＝2×122＋12＝255.11.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于点P ，C )，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证：AB ∥EF ；(2)若AF ⊥EF ，求证：平面P AD ⊥平面ABCD . 证明 (1)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ∥CD .又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ， 所以AB ∥平面PDC ，又因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ， 所以AB ∥EF .(2)因为四边形ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD .因为AF ⊥EF ，(1)中已证AB ∥EF ，所以AB ⊥AF . 又AB ⊥AD ，由点E 在棱PC 上(异于点C )，所以点F 异于点D ， 所以AF ∩AD ＝A ，AF ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ， 又AB ⊂平面ABCD ， 所以平面P AD ⊥平面ABCD .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AB ＝BC ＝3，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°，点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上，且PN ＝14PB .(1)证明：MN ∥平面PDC ；(2)求直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值． (1)证明 因为AB ＝BC ，AD ＝CD ， 所以BD 垂直平分线段AC . 又∠ADC ＝120°，所以MD ＝12AD ＝12，AM ＝32.所以AC ＝ 3. 又AB ＝BC ＝3，所以△ABC 是等边三角形， 所以BM ＝32，所以BMMD ＝3，又因为PN ＝14PB ，所以BM MD ＝BN NP ＝3，所以MN ∥PD .又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ， 所以MN ∥平面PDC .(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥P A ，又BD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， 所以BD ⊥平面P AC . 由(1)知MN ∥PD ，所以直线MN 与平面P AC 所成的角即直线PD 与平面P AC 所成的角， 故∠DPM 即为所求的角． 在Rt △P AD 中，PD ＝2， 所以sin ∠DPM ＝DM DP ＝122＝14，所以直线MN 与平面P AC 所成角的正弦值为14.13．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .那么，在这个空间图形中必有()A ．AG ⊥平面EFHB ．AH ⊥平面EFHC ．HF ⊥平面AEFD ．HG ⊥平面AEF答案 B解析 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变， ∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确； ∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，AG ，GH ⊂平面HAG ， ∴EF ⊥平面HAG ， 又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过点H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确； 由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B.14．(2018·全国Ⅰ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为( ) A ．8 B ．6 2 C ．8 2 D ．8 3 答案 C解析 如图，连接AC 1，BC 1，AC .∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角， ∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt △ABC 1中， AC 1＝2sin 30°＝4，在Rt △ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－(22＋22)＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2. 故选C.15.如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥DC ，AE ⊥DC ，且E 为CD 的中点，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥平面DEC ； ②不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ⊥AE ； ③不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)，都有MN ∥AB ； ④在折起过程中，一定不会有EC ⊥AD . 答案 ①②解析 由已知，在未折叠的原梯形中， 易知四边形ABCE 为矩形， 所以AB ＝EC ，所以AB ＝DE ， 又AB ∥DE ，所以四边形ABED 为平行四边形， 所以BE ＝AD ，折叠后如图所示．①过点M 作MP ∥DE ，交AE 于点P ，连接NP .因为M ，N 分别是AD ，BE 的中点， 所以点P 为AE 的中点，故NP ∥EC . 又MP ∩NP ＝P ，DE ∩CE ＝E ， 所以平面MNP ∥平面DEC ， 故MN ∥平面DEC ，①正确； ②由已知，AE ⊥ED ，AE ⊥EC ， 所以AE ⊥MP ，AE ⊥NP ，又MP ∩NP ＝P ，所以AE ⊥平面MNP ， 又MN ⊂平面MNP ，所以MN ⊥AE ，②正确； ③假设MN ∥AB ，则MN 与AB 确定平面MNBA ， 从而BE ⊂平面MNBA ，AD ⊂平面MNBA ， 与BE 和AD 是异面直线矛盾，③错误； ④当EC ⊥ED 时，EC ⊥AD .因为EC ⊥EA ，EC ⊥ED ，EA ∩ED ＝E ， 所以EC ⊥平面AED ，AD ⊂平面AED ， 所以EC ⊥AD ，④不正确．16.在如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离． (1)证明 取BD 的中点O ，连接OM ，OE ，因为O ，M 分别为BD ，BC 的中点， 所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD .因为四边形ABCD 为菱形，所以CD ∥AB ， 又EF ∥AB ，所以CD ∥EF ， 又AB ＝CD ＝2EF ， 所以EF ＝12CD ，所以OM ∥EF ，且OM ＝EF ，所以四边形OMFE 为平行四边形， 所以MF ∥OE .又OE ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ， 所以MF ∥平面BDE .(2)解 由(1)得FM ∥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离等于点M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接EH ，BH ，因为EA ＝ED ，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°， 所以EH ⊥AD ，BH ⊥AD . 因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH ⊂平面ADE ， 所以EH ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥BH ， 易得EH ＝BH ＝3，所以BE ＝6， 所以S △BDE ＝12×6×22－⎝⎛⎭⎫622＝152.设点F 到平面BDE 的距离为h ，连接DM ，则S △BDM ＝12S △BCD ＝12×34×4＝32，连接EM ，由V 三棱锥E －BDM ＝V 三棱锥M －BDE ， 得13×3×32＝13×h ×152， 解得h ＝155， 即点F 到平面BDE 的距离为155.。

8-7 抛物线课时规范练(授课提示：对应学生用书第311页)A 组　基础对点练1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是(　C )A. B ．(1,0)(116，0)C. D ．(0,1)(0，116)2．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝(　B )A ．9B ．8C ．7D ．63．已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为(　B )A ．4 B ．3C ．2D ．14．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝x 0，则x 0＝(　C )54A ．4 B ．2C ．1D ．85．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4，则△POF 22的面积为(　C )A ．2 B ．22C ．2D ．436．在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是(　D )7．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点，N (1,0)是一个定点，则|PQ |＋|PN |的最小值为(　A )A ．3 B ．4C ．5D ．＋128．(2018·高考北京卷)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 (1,0) ．解析：易求得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得2p ＝4，p ＝2，＝1，∴焦点坐标为(1,0)．p29．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝　2　.2解析：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－，又p >0，所以x ＝－必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦p 2p2点(－，0)，所以－＝－，p ＝2.2p22210．如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解析：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝(x 1≠1)，k PB ＝(x 2≠1)，y 1－2x 1－1y 2－2x 2－1∵直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y ＝4x 1，①　y ＝4x 2，②212∴＝－，y 1－214y 21－1y 2－214y 2－1∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y －y ＝4(x 1－x 2)，212∴k AB ＝＝＝－1(x 1≠x 2)．y 1－y 2x 1－x 24y 1＋y 211．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A ，B 两点，坐标原点为O ，·＝12.OA → OB →(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB |为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程．解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px 中，得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝＝4.y 21y24p2因为·＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12，解得p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x .OA → OB →(2)由(1)中(*)可化为y 2－4my ＋8＝0，得y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8.设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，①又|AB |＝|y 1－y 2|＝，②1＋m 2 1＋m 2 16m 2－32 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2，解得m 2＝3，即m ＝±，3所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0或x －y ＋2＝0.33B 组　能力提升练1．已知抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PA |＝2，则直线AF 的倾斜角为(　D )A. B ．4π32π3C. D ．3π45π62．已知点F 是抛物线C ：y ＝ax 2(a ≠0)的焦点，点A 在抛物线C 上，则以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是(　C )A ．相离 B ．相交C ．相切D ．无法确定3．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为(　D )A.B ．334938C. D ．6332944．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B12是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝(　B )A ．3 B ．6C ．9D ．125．抛物线C 1：y ＝x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象12p x 23限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝(　D )A.B ．31638C.D ．233433解析：由已知得抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点(0，p2)连线的方程为＋＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，对函数y ＝x 2求导得，y ′＝x .x 22y p 3312p 1p 设M (x 0，y 0)，则x 0＝，即x 0＝p ，代入抛物线方程得，y 0＝p .由于点M 在直线＋＝11p333316x 22yp 上，所以p ＋×＝1，解得p ＝＝.362p p 6434336．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为 8 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立Error!消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝　2　.3解析：易得双曲线y 2－x 2＝1过点，(－p 2，p3)从而－＝1，所以p ＝2.p 23p 2438．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是 t >0或t <－3 .解析：因为直线l 与圆相切，所以＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直线l 的方程代入抛物线方|t ＋1|1＋k 2程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.9．已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为　－1　.655解析：如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即，即m ＋n 的最小值为－1.65565510．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为 [1，＋∞) ．解析：设直线y ＝a 与y 轴交于点M ，抛物线y ＝x 2上要存在C 点，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有交点即可，也就是使|AM |≤|MO |，即≤a (a >0)，所以a ≥1.a 11．(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．y 24解析：(1)设P (x 0，y 0)，A ，B，M (x M ，y M )，(y 214，y 1)(y 24，y 2)则PA 的中点为，由AP 中点在抛物线上，可得2＝4，(x 02＋y 218，y 0＋y 12)(y 0＋y 12)(x 02＋y 218)化简得y －2y 0y 1＋8x 0－y ＝0，显然y 2≠y 1，2120且对y 2也有y －2y 0y 2＋8x 0－y ＝0，220所以y 1，y 2是二次方程y 2－2y 0y ＋8x 0－y ＝0的两不等实根，所以y 1＋y 2＝2y 0，20y M ＝＝y 0，即PM 垂直于x 轴．y 1＋y 22(2)△PAB 的面积S ＝(x M －x 0)(|y 1－y M |＋|y M －y 2|)＝(x M －x 0)|y 1－y 2|，1212由(1)可得y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y ，20Δ＝(2y 0)2－4(8x 0－y )＝8(y －4x 0)>0(y 1≠y 2)，2020此时P (x 0，y 0)在半椭圆x 2＋＝1(x <0)上，y 24∴Δ＝8(y －4x 0)＝8[4(1－x )－4x 0]＝32(1－x 0－x )，202020∵－1≤x 0<0，∴Δ>0，∴|y 1－y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2＝＝4，32 1－x 0－x 20 2 1－x 0－x 20|x M －x 0|＝－x 0＝－x 0y 21＋y 28y 1＋y 2 2－2y 1y 28＝－x 0＝－3x 04y 20－2 8x 0－y 20 86 4－4x 20 8＝3(1－x 0－x )，20所以S ＝(x M －x 0)|y 1－y 2|＝6(1－x 0－x )·.122201－x 0－x 20令t ＝∈，1－x 0－x 20[1，52]所以S ＝6t 3∈，2[62，15104]即△PAB 的面积的取值范围是.[62，15104]12．设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为4，求p 的值及圆F 的方程；2(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解析：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝p .2由抛物线定义可知点A 到l 的距离d ＝|FA |＝p .2因为△ABD 的面积为4，2所以|BD |·d ＝4，122即·2p ·p ＝4，1222解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝|AB |，12所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为或－.3333当m 的斜率为时，由已知可设n ：y ＝x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－px －2pb ＝0.3333233由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－.43p6因为m 的纵截距b 1＝，＝3，p 2|b 1||b |所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.33综上，坐标原点到m ，n 距离的比值是3.。

（人教版）2020届高考数学一轮复习第8单元解析几何作业理第八单元解析几何课时作业(四十六)第46讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础热身1.已知直线l过点(0,0)和(3,1),则直线l的斜率为()A.3B.C.-D.-32.如果A·B<0,B·C>0,那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·绵阳二诊]直线x-y-3=0的倾斜角α是.4.[2017·郑州一中调研]点(,4)在直线l:ax-y+1=0上,则直线l的倾斜角为.5.已知等边三角形ABC的两个顶点为A(0,0),B(4,0),且第三个顶点在第四象限,则BC边所在的直线方程是.能力提升6.[2017·通化二模]已知角α是第二象限角,直线2x+y tan α+1=0的斜率为,则cos α等于()A. B.-C. D.-7.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为()A.x-y=0B.x+4y-30=0C.x+y=0 或x+4y-30=0D.x+y=0或x-4y-30=08.若<α<2π,则直线+=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.直线l:mx-m2y-1=0经过点P(2,1),则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线的方程是()A.x-y-1=0B.2x-y-3=0C.x+y-3=0D.x+2y-4=010.已知点A(1,-2)和B,0在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧,则直线l 的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.∪11.[2017·黄冈质检]已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P是线段AB上的点,则P到AC,BC的距离的乘积的最大值为()A.3B.2C.2D.912.不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒过一个定点,则这个定点的坐标是.13.一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为.14.[2017·绵阳南山中学一诊]在平面直角坐标系xOy中,点A(0,1),B(0,4),若直线2x-y+m=0上存在点P,使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.难点突破15.(5分)已知直线l:x-my+m=0上存在点M满足与A(-1,0),B(1,0)两点连线的斜率k MA与k MB之积为3,则实数m的取值范围是 ()A.[-,]B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·河南安阳调研]直线y=m(m>0)与y=|log a x|(a>0且a≠1)的图像交于A,B两点,分别过点A,B作垂直于x轴的直线交y=(k>0)的图像于C,D 两点,则直线CD的斜率()A.与m有关B.与a有关C.与k有关D.等于-1课时作业(四十七)第47讲两直线的位置关系、距离公式基础热身1.[2017·永州一模]已知直线l1:x+y+1=0,l2:x+y-1=0,则l1与l2之间的距离为()A.1B.C.D.22.[2017·南昌一模]两直线3x+2y-2a=0与2x-3y+3b=0的位置关系是()A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对3.[2017·河北武邑中学月考]过点P(1,2),且到原点的距离最大的直线的方程是()A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=04.[2017·大庆实验中学一模]与直线x+y+2=0垂直的直线的倾斜角为.5.[2017·重庆一中期中]点(-1,-2)关于直线x+y=1对称的点的坐标是.能力提升6.已知直线l1:(m-4)x-(2m+4)y+2m-4=0与l2:(m-1)x+(m+2)y+1=0,则“m=-2”是“l1∥l2”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.[2018·南昌二中月考]已知直线l1:mx-y+3=0与l2关于直线y=x 对称, l2与l3:y=-x+垂直,则m=()A.-B.C.-2D.28.已知b>0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直,则ab的最小值为()A.1B.2C.2D.29.点P在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为()A.(1,2)B.C.或D.或10.[2017·台州中学月考]设△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B,∠C的平分线的方程分别是x=0,y=x,则直线BC的方程是()A.y=3x+5B.y=2x+3C.y=2x+5D.y=-+11.[2017·莱芜期末]已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0),两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,且|Ax1+By1+C|>|Ax2+By2+C|,则()A.直线l与直线P1P2不相交B.直线l与线段P2P1的延长线相交C.直线l与线段P1P2的延长线相交D.直线l与线段P1P2相交12.已知直线3x+4y-3=0,6x+my+14=0平行,则它们之间的距离是.13.[2017·蚌埠质检]在平面直角坐标系中,已知点P(-2,2),对于任意不全为零的实数a,b,直线l:a(x-1)+b(y+2)=0,若点P到直线l的距离为d,则d的取值范围是.14.[2017·六安一中月考]已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且两直线之间的距离为,则直线l的方程为.难点突破15.(5分)[2017·南昌一模]已知点P在直线x+3y-2=0上,点Q在直线x+3y+6=0上,线段PQ 的中点为M(x0,y0),且y0<x0+2,则的取值范围是()< p="">A.B.C.D.∪16.(5分)已知x,y为实数,则代数式++的最小值是.课时作业(四十八)第48讲圆的方程基础热身1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()A.m<1B.m<2C.m≤D.m≤12.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()A.3B.2C.2-1D.2+13.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()A.x2+y2+10y=0B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0D.x2+y2-10x=04.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程为.能力提升6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.+=4B.+=4C.x2+=4D.+=47.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()A.(0,3]B.[1,3]C.[2,3]D.[1,2]8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()A.x+2y+5=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+3=09.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()A.x2+=4B.+=4C.+y2=4D.+=510.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()A.B.C.D.11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径r的取值范围;(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.难点突破15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()A.1B.2C.3D.416.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B 两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.30°课时作业(四十九)第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础热身1.直线y=2x+1与圆x2+y2-2x+4y=0的位置关系为()A.相交且经过圆心B.相交但不经过圆心C.相切D.相离2.[2017·惠州调研]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离3.[2017·大连一模]直线4x-3y=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦的长为()A.6B.3C.6D.34.圆心为(4,0)且与直线x-y=0相切的圆的方程为.5.[2017·昆明一中模拟]若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是.能力提升6.[2017·洛阳二模]已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P作与l的夹角为45°的直线交l于A,则的最小值为()A.B.1C.-1D.2-7.[2017·天津红桥区八校联考]若直线2ax-by+2=0 (a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则+的最小值是()A. B.4C. D.28.[2017·湖北六校联考]过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线l:ax+y-1=0垂直,则实数a的值为()A.0B.-C.0或D.9.[2017·广州模拟]已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab 的最大值为()A.15B.9C.1D.-10.[2017·安阳二模]已知圆C1:x2+y2+4x-4y-3=0,动点P在圆C2:x2+y2-4x-12=0上,则△PC1C2面积的最大值为()A.2B.4C.8D.2011.[2017·宜春二模]已知圆x2+y2=1和圆外一点P(1,2),过点P作圆的切线,则切线方程为.12.[2017·长沙雅礼中学模拟]在平面直角坐标系xOy中,以点(0,1)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m>0)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.13.(15分)[2017·汕头三模]已知圆C经过点(2,4),(1,3),圆心C在直线x-y+1=0上,过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆相交于M,N两点.(1)求圆C的方程.(2)①请问·是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.②若O为坐标原点,且·=12,求直线l的方程.14.(15分)已知圆O:x2+y2=9及点C(2,1).(1)若线段OC的垂直平分线交圆O于A,B两点,试判断四边形OACB的形状,并给出证明;(2)过点C的直线l与圆O交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求直线l的方程.难点突破15.(5分)[2017·汉中质检]已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,A,B是切点,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是 ()A.2B.2C.3D.316.(5分)[2017·重庆巴蜀中学三模]已知P为函数y=的图像上任一点,过点P作直线PA,PB 分别与圆x2+y2=1相切于A,B两点,直线AB 交x轴于M点,交y轴于N点,则△OMN的面积为.课时作业(五十)第50讲椭圆基础热身1.[2017·陕西黄陵中学二模]已知椭圆的标准方程为x2+=1,则椭圆的焦点坐标为()A.(,0),(-,0)B.(0,),(0,-)C.(0,3),(0,-3)D.(3,0),(-3,0)2.[2017·河南息县一中模拟]已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的标准方程为 ()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.[2017·淮北模拟]椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.4.[2017·河南师范大学附属中学模拟]椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为.5.[2017·南宁期末]定义:椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,焦点三角形的周长为4+12,则椭圆C的方程是.能力提升6.[2017·株洲一模]已知椭圆+=1(a>b>0),F1为左焦点,A为右顶点, B1,B2分别为上、下顶点,若F1,A,B1,B2四点在同一个圆上,则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.7.[2017·韶关二模]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为,点P为椭圆上一点,且△PF1F2的周长为12,那么C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=18.[2017·郑州三模]椭圆+=1的左焦点为F,直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是()A.B.C.D.9.[2017·泉州模拟]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,若点F 关于直线y=-x的对称点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为 ()A. B.C.D.10.[2017·沈阳东北育才学校九模]椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,弦AB过F1,若△ABF2的内切圆的周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为()A. B.C.D.11.[2017·泉州质检]已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .12.[2017·运城二模]已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,若|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是.13.(15分)[2018·海南八校联考]如图K50-1,点M(,)在椭圆+=1(a>b>0)上,且点M 到两焦点的距离之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)设与MO (O为坐标原点)垂直的直线交椭圆于A,B (A,B不重合),求·的取值范围.图K50-114.(15分)[2017·南宁质检]已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若圆O:x2+y2=1的切线l与椭圆C相交于A,B两点,线段AB 的中点为M,求的最大值.难点突破15.(5分)[2017·长沙模拟]已知F是椭圆+=1的左焦点,设动点P在椭圆上,若直线FP 的斜率大于,则直线OP(O为坐标原点)的斜率的取值范围是()A.B.∪C.∪D.16.(5分)[2017·郑州模拟]某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息:①题目:“在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2+2y2=1的左顶点为A,过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B,C……”②解:“设直线AB的斜率为k……点B,,D-,0……”据此,请你写出直线CD 的斜率为.(用k表示)课时作业(五十一)第51讲双曲线基础热身1.[2017·浙江名校联考]双曲线-=1的渐近线方程是()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x2.若双曲线C:x2-=1(b>0)的离心率为2,则b=()A.1B.C.D.23.[2017·泉州一模]在平面直角坐标系xOy中,双曲线C的一个焦点为F(2,0),一条渐近线的倾斜角为60°,则C的标准方程为()A.-y2=1B.-x2=1C.x2-=1D.y2-=14.已知双曲线经过点(2,1),其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为.5.[2017·柳州模拟]设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.能力提升6.[2017·洛阳模拟]已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,则C 的两条渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±2xD.y=±x</x0+2,则的取值范围是()<>。

课时作业(四十八)1.C[解析]直线y=x的斜率k=1,故tan α=1,所以α=45°,故选C.2.B[解析]由斜率公式可得,直线l的斜率k=--=,故选B.3.D[解析]因为直线在x轴、y轴上的截距分别为<0,->0,所以直线Ax-By-C=0不经过的象限是第四象限,故选D.4.3x-y-5=0[解析]由点斜式方程,得y+2=3(x-1),即3x-y-5=0.5.1或-1[解析]令x=0,得y=k;令y=0,得x=-2k.∴所围成的三角形的面积S=-=k2=1,∴k=1或-1.6.A[解析]由题意得直线ax+by+c=0的斜率存在,且为k=-,又直线的倾斜角为45°,∴k=-=tan 45°=1,∴a=-b,∴a+b=0,故选A.7.B[解析]∵点P的横坐标为2,且点P在直线x-y+1=0上,∴点P的纵坐标为3,∴P(2,3).又∵=,∴直线PA,PB的斜率互为相反数,∴直线PB的斜率为-1,则直线PB的方程是y-3=-(x-2),即x+y-5=0,故选B.8.B[解析]由题意得易得点Q的坐标满足+b=1,即点Q在直线l上.由方程组得--两式相加,得c+=1,即点P在直线l上.故选B.9.B[解析]联立两直线方程得--解得-所以两直线的交点坐标为-.因为两直线的交点在第一象限,所以-解得k>,则tan θ>,所以θ∈.故选B.10.A[解析]∵丙车最先到达终点,丁车最后到达终点,∴丙车速度最大,丁车速度最小,∴由s-t图像的几何意义可知丙车s-t图像(直线)的倾斜角最大,丁车s-t图像(直线)的倾斜角最小,故选A.11.B[解析]由题意可得A(1,0),B(2,3),且两直线斜率之积等于-1,∴直线x+my-1=0和直线mx-y-2m+3=0垂直,则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥,即|PA|+|PB|≤2,当且仅当|PA|=|PB|=时等号成立,∴|PA|+|PB|的最大值为2,故选B.12.x+2y-3=0[解析]设A(a,0),B(0,b),由=-2,可得a-1=-2×(0-1),0-1=-2(b-1),则a=3,b=,由截距式可得直线l的方程为+=1,即x+2y-3=0.13.或[解析]设直线l1,直线l2的倾斜角分别为α,β,因为k>0,所以α,β均为锐角.直线l1,l2与x轴围成一个等腰三角形,有以下两种情况:当α=2β时,tan α=tan 2β,即=-,又因为k>0,所以k=;当β=2α时,tan β=tan 2α,即2k=-,又因为k>0,所以k=.14.4[解析]∵直线l过点(a,0)和(0,b),a∈N*,b∈N*,∴可设直线l的方程为+=1.∵直线l过点(1,6),∴+=1,即6a=(a-1)b,∴a≠1,当a≥2时,b=-=6+-.当a=2时,b=12;当a=3时,b=9;当a=4时,b=8;当a=7时,b=7;当a>7时,满足条件的正整数b不存在.综上,满足条件的直线有4条.15.C[解析]如图所示,可知A(,0),B(1,1),C(0,),D(-1,1),所以直线AB,BC,CD的方程分别为y=-(x-),y=(1-)x+,y=(-1)x+,整理为一般式即为x+(-1)y-=0,(1-)x-y+=0,(-1)x-y+=0,分别对应题中的A,B,D选项.故选C.16.A[解析]设C(m,n),由重心坐标公式得,△ABC的重心为,代入欧拉线方程得-+2=0,整理得m-n+4=0①.AB的中点为(1,2),k AB=--=-2,则AB的中垂线方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.由--得-∴△ABC的外心为(-1,1).则(m+1)2+(n-1)2=32+(-1)2=10,整理得m2+n2+2m-2n=8②,由①②得m=-4,n=0或m=0,n=4.当m=0,n=4时,B,C重合,舍去,∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A.课时作业(四十九)1.C[解析]由两条平行线之间的距离公式得所求距离d=-=2,故选C.2.C[解析]由题意及点到直线的距离公式得--=,a=-或-,故选C.3.A[解析]由两直线l1:2x-y+3=0,l2:mx+2y+1=0平行可得,-=2且3≠-,解得m=-4,故选A.4.0<k<[解析]由方程组解得交点坐标为---,由题意得---解得0<k<.5.-2[解析]如图所示,A点关于x轴的对称点为A',则点A'在直线MB上.由对称性可知A'(3,-2),则光线MB所在直线的斜率k=----=-2.6.A[解析]由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,可得2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.7.B[解析]由题意得-·tan θ=-1,∴tan θ=2,∴cos 2θ=-=-=-,故选B.8.B[解析]因为直线l与直线3x-4y+5=0关于x轴对称,所以直线l的斜率与直线3x-4y+5=0的斜率相反,所以可设直线l的方程为3x+4y+b=0,又因为两直线在x轴上的截距相等,所以b=5,所以直线l的方程为3x+4y+5=0,故选B.9.C[解析]如图所示,点A(3,-1)关于直线l:x+y=0的对称点为C(1,-3),直线BC的方程为-=,即x-4y-13=0,与x+y=0联立可得直线BC与直线l的交点坐标为-.|PA|+|PB|=|PC|+|PB|,由图可知,当点P的坐标为-时,|PB|+|PC|取得最小值,即|PA|+|PB|取得最小值,故选C.10.C[解析]由题意知点(0,2)与点(4,0)关于折痕对称,两点连线的中点坐标为,即(2,1).点(0,2)与点(4,0)确定的直线的斜率为--=-,则折痕所在直线的斜率为2,所以折痕所在直线的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.由题意知点(7,3)与点(m,n)也关于直线y=2x-3对称,则有----解得所以m+n=.故选C.11.(3,0)[解析]∵直线l1:y=kx+2-k与直线l2关于直线y=x-1对称,∴直线l2的方程为x-1=k(y+1)+2-k,即x-ky-3=0,显然直线l2经过定点(3,0).12.3[解析]由直线l2经过点C(1,m),D(-1,m+1),可得l2的斜率为--=-.因为直线l1平行于l2,所以直线l1的斜率也是-,即-=-,解得m=3.13.3[解析]设点A关于直线l的对称点为B(m,n),则-----解得即B(3,1).因为点B到y轴的距离就是这条光线经过的最短路程,所以最短路程是3.-解得x=1,y=-2,即直线l过定点14.[解析](2k-1)x+ky+1=0可化为(1-x)+k(2x+y)=0,由P(1,-2).由于直线(2k-1)x+ky+1=0经过定点P(1,-2),又|OP|=-=,所以原点到直线l的距离的最大值为.15.②③[解析]根据题意,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离d来分析.对于①,d==3>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”;对-于②,d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;对于③,d==4,所以直线上存在一点,使之到点M的距离等于4,所以该直线是“切割型直线”;-对于④,d==>4,故直线上不存在点到点M的距离等于4,所以该直线不是“切割型直线”.-16.[解析]设直线OP的斜率为k,点O关于BC的对称点为N,则点N的坐标为(4,0),则直线NP的斜率为-k,故直线NP的方程为y=-k(x-4),故点E的坐标为-.易知直线EQ的斜率为k,则直线EQ 的方程为y-2=k x--+4,故点Q的坐标为(-1,4-5k).若OP的斜率为,即k=,则点Q的纵坐标为.若点Q恰为线段AD的中点,则4-5k=1,即k=,即OP的斜率为.课时作业(五十)1.D[解析]圆x2+y2+ax=0的圆心坐标为-,∴-=1,解得a=-2.故选D.2.B[解析]∵线段AB:x-y-2=0(0≤x≤2)的两个端点为(0,-2),(2,0),∴圆心为(1,-1),半径为-=,∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选B.3.C[解析]配方得[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2(m≠0),所以圆心坐标为(2m+1,m),令消去m,得x-2y-1=0(x≠1),故选C.4.-1[解析]圆的方程配方得(x-1)2+y2=1,则圆心为(1,0),半径为1,则由题意知圆心(1,0)在直线x+y+a=0上,所以1+a=0,所以a=-1.5.2[解析]点P到直线l的距离的最小值是-1=2.6.D[解析]由题意得-=,所以(x-3)2+(y+4)2-4=x2+y2,即6x-8y-21=0,故选D.7.D[解析]-=-+1,其中-表示半圆上的动点P(x,y)与点Q(0,1)所在直线的斜率.过点Q(0,1)作QB 与半圆相切,B为切点,则在Rt△CBQ中,=,所以∠CQB=30°,则k QB=tan∠CQB=,所以-的最大值为+1.8.D[解析]直线AB:-+=1,即4x-3y+12=0.若△ABC的面积最小,则点C到直线AB的距离d最短,易知d min=-1.又|AB|=5,△ABC的面积的最小值为,∴×5×-=,即|4m+12|=10,∴m=-或-,故选D.9.A[解析]将x2+y2-2x-6y+9=0化成标准形式为(x-1)2+(y-3)2=1,则圆心为(1,3),半径r=1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,则圆心为(a,b).∵所求圆与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称,∴所求圆的圆心(a,b)与圆心(1,3)关于直线2x+y+5=0对称,∴--·∴a=-7,b=-1,∴与圆x2+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是(x+7)2+(y+1)2=1,故选A.10.(x-1)2+(y-1)2=2[解析]因为|CA|=|CB|=R,△ABC为直角三角形,所以∠C=90°,又C在第一象限,所以C(1,1)且R=,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.11.1[解析]圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1的圆心为C(2,-m+4),半径r=1,可得=-,∴当m=4时,最小,且最小值为2,又|OC|min-r=2-1=1,故当m变化时,圆C上的点与原点的最短距离是1. 12.2[解析]因为M(m,n)为圆C:x2+y2=4上任意一点,所以可设则m+2n=2cosθ+4sin θ=2sin(θ+φ)≤2,其中tan φ=,所以m+2n的最大值为2.数形结合可得,表示圆C:x2+y2=4上的点M(m,n)与点P(-2,-3)连线的斜率,显然当直线PM与圆相切时,斜率最小.设此时切线的斜率为k,则切线方程为y+3=k(x+2),即kx-y+2k-3=0.由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=,所以的最小值为.13.解:(1)当弦AB为圆的直径时,圆的周长最小.弦AB的中点为(0,1),|AB|=-=2,所以r=,则圆的方程为x2+(y-1)2=10.(2)k AB=-=-3,弦AB的中点为(0,1),所以AB的中垂线方程为y-1=(x-0),即x-3y+3=0.由---解得所以圆心为(3,2),所以圆的半径r=-=2所以圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20.14.解:(1)设动点P的坐标为(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).∵·=k||2,∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2],即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0①.若k=1,则①为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线;若k≠1,则①为-+y2=-,表示以--为圆心,-为半径的圆.(2)当k=2时,①化为(x-2)2+y2=1.+=(x,y-1)+(x,y+1)=(2x,2y),∴|+|=2又∵(x-2)2+y2=1,∴令x=2+cos θ,y=sin θ,则|+|=2,∴当cos θ=1时,|+|取得最大值,且最大值为6;当cos θ=-1时,|+|取得最小值,且最小值为2.15.D[解析]|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5-+--表示圆x2+y2=1上的任意一点P(x,y)到直线l1:3x-4y+a=0和直线l2:3x-4y-9=0的距离之和的5倍,若距离之和与点P(x,y)无关,则直线l1:3x-4y+a=0与圆相离或相切,且与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以圆心(0,0)到直线l1的距离d=≥1,得a≥5或a≤-5,又直线l1:3x-4y+a=0与直线l2:3x-4y-9=0位于圆的异侧,所以a≥5.故选D.16.A[解析]依题意得,函数f(x)的图像与两坐标轴的交点分别是A(2018,0),B(-2019,0),C(0,-2018×2019).设经过点A,B,C的圆与y轴的另一个交点是D(0,y0),其中y0>0,结合图像易知原点O位于经过点A,B,C的圆的内部,因此由相交弦定理得|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,即2018×2019=2018×2019y0,所以y0=1.故选A.课时作业(五十一)1.A[解析]将圆的方程配方,得(x-2)2+(y+1)2=25,圆心为(2,-1),半径r=5,将(2,-1)代入y=x-中,得×2-=-1,故直线过圆心,与圆相交,故选A.2.A[解析]圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,圆(x-3)2+(y-4)2=49的圆心为(3,4),半径为7,圆心距为=5=7-2(等于两圆半径的差),∴圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=49的位置关系是内切,故选A.3.D[解析]由题意得直线方程为y=x,即x-y=0.圆心(0,2)到直线x-y=0的距离d==,∴弦长为2-=2,故选D.4.y=4或3x+4y-13=0[解析]易知切线l的斜率存在.设l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0,∴=1,即4k2+3k=0,解得k=0或k=-,故切线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.5.2x+y-3=0[解析]由题意知,已知圆的圆心坐标为(2,-1).∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直,且直线x-2y+3=0的斜率为,∴该直径所在直线的斜率为-2,∴所求直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.6.B[解析]∵直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,∴点O到直线AB的距离为1,∴由点到直线的距离公式可得=1,∴a=±,故选B.7.C[解析]由圆C:(x-1)2+(y+5)2=80,可得圆心C(1,-5),半径R=4.圆心C(1,-5)到直线x-2y+4=0的距离d===3,R-d=,所以圆C上到l的距离为的点一共有3个,故选C.-8.C[解析]圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1),半径为,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上.圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3,所以所求圆的半径为.设所求圆的圆心为(a,b),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则--=,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,故选C.9.A[解析]易知两圆为内含关系,作圆C1关于x轴对称的圆,记为圆C'1,则C'1(2,-3),连接C'1C2,分别交圆C'1,C2于M',N,交x轴于P,连接C1P交圆C1于M,此时+最小,且最小值为,-1-3=5-4.故选A.10.3[解析]圆心(4,-2)到直线x-y+2=0的距离d==4,结合几何关系可得线段MN的长为-=3.=-1,得m=5,所以线段AB的中点为(3,1), 11.3[解析]由题意,直线x-y+c=0垂直平分线段AB,则k AB=---所以3-1+c=0,则c=-2,所以m+c=3.12.4x+3y-36=0[解析]整理可得圆C:(x-2)2+(y-1)2=49,圆心为(2,1),半径为7,则根据题意易知点P必在圆内,且CP必垂直于直线l.由弦长为4知,圆心C到直线l的距离d=-=-=5,则--=5,解得t=6或-2,又t>2,所以t=6,则点P的坐标为(6,4),于是直线PC的斜率k PC=-=,-而l⊥PC,故直线l的方程为y-4=-(x-6),即4x+3y-36=0.13.解:(1)连接C1A,C1B,∵|C1A|=|C1B|=,|AB|=2,∴△C1AB为等腰直角三角形.∵△PAB为等腰直角三角形,点P在圆外,∴四边形PAC1B为正方形,∴|PC1|=2,∴点P的轨迹是以C1为圆心,2为半径的圆,则轨迹C2的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)如图,C1N⊥OF于点N,连接C1E,C1F,C1O.在Rt△OC1N中,∵|OC1|=2,|C1N|=,∴|ON|=,sin∠C1ON=,∴∠C1ON=30°,∴△OEH与△OFG为正三角形.∵△C1EN≌△C1FN,且|C1E|=|C1F|=2,∴|NE|=|NF|=,∴四边形EFGH的面积S=S△OFG-S△OEH=×(+)2-×(-)2=6.14.解:(1)设M点坐标为(x0,y0),P点坐标为(x,y),则N点坐标为(x0,0),由=,可得(x-x0,y)=(0,y0),则因为点M在圆C:x2+y2=4上运动,所以点P的轨迹E的方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时|AB|=2,|ST|=4,所以|AB|·|ST|=8.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(4k2+3)x2+8kx-8=0,因为点Q(0,1)在椭圆内部,所以直线l与椭圆恒交于两点,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-,所以|AB|=--=-=·--·-=.圆心(0,0)到直线l的距离d=,所以|ST|=2-=2,所以|AB|·|ST|=8·=8·-∈[88.综上,|AB|·|ST|的取值范围是[8,8].15.B[解析]因为直线ax+ay-1=0与圆a2x2+a2y2-2a+1=0有公共点(x0,y0),所以圆心到直线的距离d=不大于半径,显然d>0,∴≤-,∴a≥.由-得-∴2a2x0y0+2a-1=1,∴x0y0=-=-.设=t,则0<t≤,则x0y0=t2-t=--,0<t≤,由二次函数的性质可得当t=时,x0y0取得最大值,且最大值为,故选B.16.4[解析]圆(x+3sin α)2+(y+3cos α)2=1的圆心(-3sin α,-3cos α)在圆x2+y2=9上运动,集合A表示的区域为如图所示的环形区域(阴影部分),直线3x+4y+10=0恰好与环形的小圆相切,所以点集P 所表示的轨迹的长度是直线3x+4y+10=0截圆x2+y2=16所得弦的弦长,又原点(0,0)到直线3x+4y+10=0的距离d=2,所以弦长为2-=4.课时作业(五十二)1.D[解析]由2x2+y2=4,可得+=1,则c=-=,所以该椭圆的焦点坐标为(0,±),故选D.2.B[解析]∵e==,2a=6,∴a=3,c=1,∴b2=8,∴椭圆方程为+=1,故选B.3.A[解析]若-+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m2-1>3,所以m2>4,所以“m2>5”是“-+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件,故选A.4.(0,±b)[解析]由椭圆的性质得M=a+c,m=a-c,所以=a,椭圆上与点F的距离等于a的点为短轴的端点,其坐标为(0,±b).5.1[解析]将点P的坐标代入椭圆方程,得+=1,解得a2=2,所以△PAB的面积S=×2a×=1.6.C[解析]设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF2|,所以四边形AFBF2是平行四边形,所以|BF|=|AF2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF2|=2a=4.7.B[解析]由题得当BF⊥AB时,若△ABF为等腰直角三角形,则|FB|=|AB|,∴=2c,∴b2=2ac,∴a2-c2=2ac,∴1-e2=2e,∴e2+2e-1=0,∴e=±-1,由于椭圆的离心率e∈(0,1),所以e=-1.故选B.8.D[解析]设△ABF1的内切圆的半径为r.由+=1,得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为|F1F2|×|y A-y B|=×2×3=3=×8×r,解得r=,故选D.9.B[解析]∵O是线段F1F2的中点(O为坐标原点),∴+=2,∴|+|=2||.设P(x,y),则+y2=4,则y2=4-,∴||2=x2+y2=4+x2≥4,∴||≥2,∴2||≥4,∴|+|的最小值为4,故选B.10.C[解析]设F'(-1,0),则+=2a,即=2a-,又椭圆E上存在一点P,使得+=9,∴+=+2a-=9,即-=9-2a.∵-≤-≤,∴-1≤-≤1,即-1≤9-2a≤1,解得4≤a≤5.∵c=1,e=,∴≤e≤.故选C.11.+=1[解析]由椭圆定义可知2a+2a=12,即a=3.又∵e==-=,∴解得b2=5,∴椭圆C的方程为+=1.12.-[解析]不妨设F(c,0),把x=c代入椭圆方程可得y=±,故|FA|=,由题意得=c,即b2=ac=a2-c2,所以e2+e-1=0,所以e=-.13.[1,4][解析]由已知得2b=2,故b=1,∵△F1AB的面积为-,∴(a-c)b=-,∴a-c=2-,又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=,∴+==-=-,又2-≤|PF1|≤2+∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4,∴1≤+≤4,即+的取值范围为[1,4].14.解:(1)由题意可得-所以故W的标准方程为+=1.(2)联立得∴=,∴k OA=.易知B(0,1),∴l的方程为y=-3x+1.联立-得37x2-24x=0,∴x=0或,∴|BC|=-×-=.联立-得31x2-18x-9=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,∴|MN|=-·|x1-x2|=,故=.15.解:(1)由点到直线距离公式有=,整理可得2a-b=3,由|MN|=1,有=1,整理可得a=2b2,故4b2-b=3,∴b=1,∴a=2,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)易知直线PQ的斜率存在.设直线PQ的方程为y=kx-,与椭圆C的方程联立消去y,得(1+4k2)x2-4kx-2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,由∠PAQ=90°,得(x1-)(x2-)+--=0,即(x1-)(x2-)+(kx1-)(kx2-)=0,即(1+k2)x1x2-(1+k)(x1+x2)+4=0,∴(1+k2)·--(1+k)·+4=0,即3k2-4k+1=0,解得k=1或k=.当k=1时,直线PQ经过A点,不满足题意,舍去,故k=,故直线PQ的方程为y=x-.16.解:(1)因为|A1B2|=2,所以=2.①由四边形A1B1A2B2的面积是四边形B1F1B2F2的面积的2倍,可得×2a×2b=2××2c×2b⇒a=2c.②由①②可得a2+b2=a2+a2-c2=8c2-c2=7c2=28⇒c2=4,所以a2=4c2=16,所以b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由(1)易知点P,Q的坐标分別为(2,3),(2,-3).因为∠APQ=∠BPQ,所以直线PA,PB的斜率之和为0.设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k.设A(x1,y1),B(x2,y2),--直线PA的方程为y-3=k(x-2),由可得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=-,同理直线PB的方程为y-3=-k(x-2),可得x2+2=---=,∴x1+x2=-,x1-x2=-,∴k AB=--=----=--=,∴直线AB的方程为y+1=(x-1),即x-2y-3=0.课时作业(五十三)1.D[解析]由双曲线方程知c2=9+4=13,∴c=,∴焦距为2,故选D.2.D[解析]由题意可得a=5,b=2,所以渐近线方程为y=±x,故选D.3.D[解析]由题意,得2=,解得m=2,∴双曲线的标准方程为-=1,故选D.4.8[解析]因为双曲线x2-=1的一个焦点为(-3,0),所以m+1=(-3)2=9⇒m=8.5.-x2=1[解析]不妨设双曲线的方程为-x2=λ(λ≠0),因为双曲线过点(,4),所以-()2=λ,解得λ=1,故双曲线的方程为-x2=1.6.D[解析]设双曲线的右焦点为F2,连接PF2,由题得|OB|=|PF2|,OB∥PF2,∴b=×,∴b=2a,∴b2=4a2,∴c2-a2=4a2,∴c2=5a2,∴e2=5,∴e=.7.D[解析]因为N为线段F1M的中点,O为线段F1F2的中点,所以|F2M|=2|ON|=2.因为P在线段F1M的中垂线上,所以|PF1|=|PM|,所以||PF1|-|PF2||=|F2M|=2|ON|=2<|F1F2|,所以点P的轨迹是双曲线,故选D.8.B[解析]设双曲线的左焦点为F'.双曲线的右焦点为F(,0),△APF的周长l=++=++2a+,要使△APF周长最小,只需+最小,如图,当A,P,F'三点共线时|AP|+|PF'|取得最小值,此时l=2|AF|+2a=4(1+),故选B.9.A[解析]双曲线的右焦点为(c,0),所以直线l的方程为y=2(x-c),代入双曲线方程,得b2x2-4a2(x-c)2=a2b2,即(b2-4a2)x2+8a2cx-(4a2c2+a2b2)=0,因为直线与双曲线左、右两支分别相交,所以交点的横坐标的乘积小于0,则由根与系数的关系可得--<0,因为4a2c2+a2b2>0,所以b2-4a2>0,即c2-5a2>0,可得e=>故选A.10.或[解析]双曲线的两条渐近线的方程为x±2y=0,即y=±x,根据双曲线焦点位置的不同从而得到=或=,再由c2=a2+b2可得离心率e==或.11.3[解析]由题意得双曲线的一个焦点坐标为(5,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0,由点到直线的距离公式得-=3,即双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3.12.4[解析]由题得双曲线渐近线的斜率为±,设点P(x0,y0),不妨取l1,l2的方程分别为y-y0=(x-x0),y-y0=-(x-x0),所以M(x0-2y0,0),N(x0+2y0,0),所以|OM|·|ON|=|x0-2y0|×|x0+2y0|=|-4|,又点P在双曲线上,所以-=1,所以|OM|·|ON|=4.13.解:(1)由题意,得A1(-a,0),A2(a,0),由-=1,得-=.∵M(x0,y0)是双曲线上一点,∴·=·-=-==,∴e2===1+=,∴e=.(2)易知双曲线的一条渐近线的方程为y=x,即bx-ay=0,焦点(c,0)到渐近线y=x的距离d==b=12,由(1)得,==,∴a2=25,因此双曲线的方程为-=1.14.解:(1)由题意得=①,△=×2c·b=6②,a2+b2=c2③,由①②③求得a2=5,b2=4,∴双曲线C的标准方程是-=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0).将y=kx+m与-=1联立,消去y,整理得(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得--④∴x1+x2=-,x1·x2=--,∴x0==-,y0=kx0+m=-.由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,∴k AD=-=---=-,化简得10k2=8-9m,⑤将⑤代入④,得m<-或m>0.由10k2=8-9m>0,得m<.综上,实数m的取值范围是m<-或0<m<.15.D[解析]双曲线的渐近线方程为y=±x,设F(c,0)关于直线bx-ay=0的对称点为A(m,n),m<0,则=c,且-=-,解得m=-,n=,将A点坐标代入双曲线方程得--=1,化简可得e2=5,解得e=.故选D.16.[解析]设椭圆的短半轴长和双曲线的虚半轴长分别为b1,b2,椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为a1,a2,则b1=3b2⇒ +9=10c2,令a1=c sin θ,a2=c cos θ,则+=(3sin θ+cos θ)=sin(θ+φ)≤,∴+的最大值为.课时作业(五十四)1.C[解析]由题意知抛物线开口向左,且p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x,故选C.2.C[解析]抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即动点到准线的距离的最小值,显然满足条件的点为抛物线的顶点,∴=1,∴p=2,故选C.3.D[解析]抛物线x2=y过点(1,3),则1=,所以m=3,所以x2=y,所以焦点到准线的距离是,故选D.4.10[解析]由已知条件结合抛物线的定义知y P=12-=12-2=10,即点P到x轴的距离为10.5.[解析]设P(x0,y0),则x0+1=4,故x0=3,所以y0=±2.又F(1,0),所以S△PFO=×2×1=.6.B[解析]由题意得抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0).故选B.7.C[解析]∵∠A1AF=,∴∠AA1F=∠AFA1=.设准线l与x轴的交点为B,则|BF|=p,|A1B|=|BF|tan=p,∴===4+,∴p=24,故选C.8.B[解析]∵F是抛物线y=2x2的焦点,∴F,准线方程为y=-.设M(x1,y1),N(x2,y2),则+=y1++y2+=,解得y1+y2=4,∴线段MN的中点的纵坐标为=2.故选B.9.A[解析]设抛物线的焦点为F,则F(0,2),准线方程为y=-2.过点P(x0,y0)向准线作垂线,垂足为N,则y0=-2.由抛物线的定义可得=,则y0+=+-2=+-2,当P,F,M三点共线且x0>0时,y0+最小,最小值为-2=---2=3-2=1,故选A.10.B[解析]将点P(4,4)的坐标代入抛物线C的方程y2=2px,得42=2p·4,解得p=2,∴点F(1,0).据题设分析知,sin∠MPF=,|MF|==2又=2R(R为△MPF的外接圆的半径),∴2R=,∴R=,∴△MPF的外接圆的面积S=πR2=π·=,故选B.11.[解析]过P点作准线的垂线,垂足为H,则=,由=3有=,所以===,解得=,所以==.12.-1[解析]如图所示,过A作AH⊥l于点H,AN垂直于抛物线的准线于点N,则|AH|+|AN|=m+n+1.连接AF,则|AH|+|AN|=|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,得当A,F,H三点共线(即HF⊥l)时,|AF|+|AH|取得最小值|FH|==,则m+n的最小值为-1.13.解:(1)因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,且|AF|=2,所以+1=2,所以p=2.(2)由(1)得抛物线方程为y2=4x.因为点A(1,a)(a>0)是抛物线C上一点,所以a=2.设直线AM方程为x-1=m(y-2)(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).由--消去x,得y2-4my+8m-4=0,即(y-2)(y-4m+2)=0,所以y1=4m-2.因为AM⊥AN,所以直线AN的方程为x-1=-(y-2),同理可得y2=--2,所以d1d2=|(y1+2)(y2+2)|=-=16.14.解:(1)设N(m,n),则----解得即N(2,1),代入x2=2py(p>0)得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线NA的斜率是存在的,设直线NA的方程为y-1=k(x-2),则直线NB的方程为y-1=-k(x-2).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立--消元,得x2-4kx+8k-4=0,所以2+x1=4k,所以x1=4k-2,所以y1=4k(k-1)+1,故A(4k-2,4k(k-1)+1).同理,B(-4k-2,4k(k+1)+1),所以k AB=------=-1,若<1,则由cos 45°=-,得=-=3-2若>1,同理可求得=-=3+2.15.2[解析]直线OM的方程为y=-x,将其代入x2=2py,解方程可得-故A-.直线ON的方程为y=x,将其代入x2=2py,解方程可得故B.又F,所以k AB=,k BF=-.因为A,B,F三点共线,所以k AB=k BF,即=-,解得p=2.16.(4,+∞)[解析]因为倾斜角α∈,所以直线l的斜率k=tan α∈.设过焦点F(1,0)的直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立-整理得y2-y-4=0,所以y1+y2=,则=,即点M 的坐标为-,所以|MF|=--=,又因为k∈,所以>12,所以|MF|=>=4,即|MF|的取值范围是(4,+∞).课时作业(五十五)1.B[解析]设动点P(x,y),由题意可知·-=-2(x≠0),化简得+x2=1(x≠0),故选B.2.A[解析]由题意知,动圆圆心到点F(0,3)的距离等于动圆圆心到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,其方程为x2=12y,故选A.3.A[解析]设M(x,y),由M为线段OP的中点,得P(2x,2y),代入双曲线方程,得-(2y)2=1,即x2-4y2=1,故选A.4.C[解析]设P(x,y),则x=λ-3μ,y=λ+3μ,得λ=,μ=-,因此+-=1,化简得x+2y-3=0,故选C.5.x2-=1[解析]根据双曲线的定义可得,实轴长2a=2,即a=1,半焦距c=2,由c2=a2+b2,解得b2=3,故动点P的轨迹方程为x2-=1.6.B[解析]设M(x,y),P(x0,y0),因为P与点Q(0,-1)连线的中点为M,所以x0=2x,y0=2y+1,又因为点P在抛物线y=2x2+1上移动,所以2y+1=2(2x)2+1,即y=4x2,故选B.7.D[解析]由题意知,所求轨迹为与已知直线平行的两条直线,设所求轨迹方程为3x-4y+C=0,则==2,则C=-11或C=9,故所求轨迹方程为3x-4y-11=0或3x-4y+9=0,故选D.8.C[解析]由两点间的距离公式可得=13,=15,=14,因为A,B都在椭圆上,所以+=+,得-=-=2<14,故F的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的下支,由c=7,a=1,得b2=48,所以F的轨迹方程是y2-=1(y≤-1),故选C.9.C[解析]设A(a,0),B(0,b),P(x,y),由=+得所以a=3x,b=y,又=3,所以a2+b2=9,即(3x)2+=9,所以动点P的轨迹方程为x2+=1,故选C.10.A[解析]①△ABC的周长为10,则|AB|+|AC|=6,根据椭圆的定义知,点A的轨迹方程为C3:+=1(y ≠0);②△ABC的面积为10,则点A到直线BC的距离为定值5,所以点A的轨迹方程为C1:y2=25;③△ABC 中,∠A=90°,则点A在以线段BC为直径的圆上,所以点A的轨迹方程是C2:x2+y2=4(y≠0).11.+y2=1[解析]设Q(x,y),P,y1,则=,-·-=-1,∴···-=-1,∴4y2=4-x2,∴点Q的轨迹方程为+y2=1.12.2x-3y+25=0[解析]圆C:x2+y2=25的圆心C为(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA,所以(x1-x0)(x1-0)+(y1-y0)(y1-0)=0,即-x0x1+-y0y1=0,因为+=25,所以x0x1+y0y1=25,同理x0x2+y0y2=25,所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=25.因为直线AB过点M(-2,3),所以得-2x0+3y0=25,所以点Q的轨迹方程为2x-3y+25=0.13.解:(1)设M(x0,y0),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x0-2,2y0).∵P点在圆x2+y2=4上,∴(2x0-2)2+(2y0)2=4.故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.(2)设N(x,y),在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ON⊥PQ,∴=+=+,∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.14.D[解析]设抛物线的焦点为F(x,y),准线为l,过点A,B,O分别作AA'⊥l,BB'⊥l,OP⊥l,其中A',B',P 分别为垂足,则l为圆的切线,P为切点,且+=2|OP|=6,因为抛物线过点A,B,所以=,=,所以+=+=6>=2,所以点F的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,且点F不在x轴上,所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为+=1(y≠0).15.+y2=1(y≠0)[解析]易知AC,BD的斜率存在且不为0,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,则直线AC,BD的方程分别为y=k1(x+2),y=k2(x-2),据此可得C(2,4k1),D(-2,-4k2),则k CD==k1+k2,直线CD的方--程为y-4k1=(k1+k2)(x-2),整理可得(k1+k2)x-y+2(k1-k2)=0,直线CD与圆相切,则=2,据此可得k1k2=-,将y=k1(x+2),y=k2(x-2)两式相乘可得y2=k1k2(x2-4)=-x2+1,即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为+y2=1(y≠0).课时作业(五十六)1.C[解析]易知点P在抛物线上,过点P可以作出抛物线的一条切线,该切线与抛物线只有一个公共点,还可以作出一条与x轴平行的直线,该直线与抛物线也只有一个公共点,所以满足题意的直线有2条,故选C.2.C[解析]由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.3.D[解析]由题意及双曲线的几何性质可得,双曲线的渐近线的斜率>∴e==>=.故选D.4.-[解析]联立得3x2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-,纵坐标为-+1=,即弦的中点坐标是-.5.[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2).不妨设直线l过椭圆的右焦点(,0),则l:y=x-,代入椭圆方程得5x2-8x+8=0,∴-=-=-=,∴=-=×=.6.A[解析]直线的方程为y=k(x+2),代入y2=4x,得到k2x2+4(k2-1)x+4k2=0.当k=0时,不合题意;当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-4k2·4k2>0,得k2<,∴k∈-∪.综上,k的取值范围是-∪,故选A.7.B[解析]设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),则k AM·k BM=--·=--=---=-.8.D[解析]画出抛物线y2=4x的图像(图略).由抛物线方程y2=4x,得焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.过点A,B作准线的垂线,垂足分别为E,N.易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x-),由-消去y,整理得k2x2-(2k2+4)x+5k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=5.由条件知==x2+1=3,∴x2=2,∴x1=,∴=x1+1=.∵在△AEC中,BN∥AE,∴△△===.故选D. 9.B[解析]设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知x0≠0,则两式作差得-+-=0.∵--=-1,x0=,y0=,∴-=0,即=.设直线OM的倾斜角为α,则θ=α+或θ=-α,∴tan θ=±-,又tan α==,∴-=3,∴b2=2,即b=故选B.10.C[解析]∵M,N分别是PQ,PF的中点,∴MN∥FQ,又PQ∥x轴,∠NRF=60°,∴∠FQP=60°,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,∴△FQP为正三角形,则FM⊥PQ⇒|QM|=p=2,∴正三角形FQP的边长为4,∴|PQ|=4,|FN|=|PF|=2,又△FRN为正三角形,∴|FR|=2,故选C.11.[解析]不妨取双曲线的一条渐近线为y=x,将y=x代入抛物线方程,整理得ax2-bx+a=0,则由题意,得b2-4a2=0,则c2=5a2,则e=.12.6[解析]根据题意可知直线的斜率是存在的,抛物线的焦点F(1,0).设直线AB:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).将直线方程与抛物线方程联立-消元可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,从而可得x1+x2=,从而求得M.易求得E(-1,0),根据|ME|=,可得+=11,求得k2=2(负值舍去),所以|AB|=x1+x2+p=2++2=6.13.2[解析]∵直线过左焦点F(-c,0),倾斜角为30°,∴直线方程为y=(x+c).由得y B=-.由-得y A=.由=2,得y B=2y A,即-=⇒b=a,∴c2=a2+b2=4a2,∴=4,∴e==2.14.解:(1)依题意知,点M(x,y)到点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为6,且6>|F1F2|=2,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为+=1.(2)易知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+1,代入+=1,得(9k2+8)x2+18kx-63=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-.因为=+,所以四边形OAPB为平行四边形.若平行四边形OAPB为矩形,则OA⊥OB,所以·=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,即(k2+1)·--+1=0,即-72k2=55,此方程无解,所以满足条件的直线l不存在.15.解:(1)设抛物线方程为x2=2py(p>0),∵以A为圆心,2为半径的圆与y轴相切,切点为F,∴p=2,∴该抛物线的标准方程为x2=4y.(2)由题知直线m的斜率存在,设其方程为y=kx+6,由消去y,整理得x2-4kx-24=0,显然,Δ=16k2+96>0.设P,Q,则·-抛物线在点P处的切线方程为y-=(x-x1),令y=-1,得x=-,可得点R--,由Q,F,R三点共线得k QF=k FR,F(0,1),∴-=---,即(-4)(-4)+16x1x2=0,即(x1x2)2-4[(x1+x2)2-2x1x2]+16+16x1x2=0,∴(-24)2-4[(4k)2-2×(-24)]+16+16×(-24)=0,解得k2=,即k=±,∴所求直线m的方程为y=x+6或y=-x+6.16.±[解析]由题意,得F,由x2-px+y2-p2=0,配方为-+y2=p2,∴直线l过圆心,∴=2p.直线l的方程为y=k-,A(x1,y1),B(x2,y2),联立-得x2-x+=0,∴x1+x2=p+,∴=x1+x2+p=2p+.∵=3,∴2p+=6p,可得k2=⇒k±.17.[解析]①当直线l的斜率不存在时,不妨取A c,,B c,-,∵·=0,∴c2-=0,∴e=;②当直线l的斜率存在时,焦点为F(c,0),设直线l:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线的方程,可得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,则Δ=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,x1+x2=--,x1x2=---,则y1y2=k2[x1x2+c2-c(x1+x2)]=k2·--,∵·=0,∴x1x2+y1y2=0,即a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,即k2=--,又直线l过点F交双曲线C的右支于A,B两点,∴-->(b>a),∴----∴>e>.综上,双曲线的离心率的取值范围是.专题突破训练(三)1.解:(1)依题意得∴+=.∵p>,∴p=1,故C的方程为x2=2y.(2)证明:由(1)知y0=,联立得4x2-16x-9=0,解得x1=-,x2=,∴|EF|=×--=5.设P m≠-,且m≠,则M的横坐标为m,易知A在l上,则|AM|=×.由题可知PN:y-=-(x-m),与y=2x+联立可得x N=-,∴|AN|=×-+=×,则=5,故=|EF|.2.解:(1)∵2a=6,∴a=3.又点M(,)在椭圆上,∴+=1,解得b2=3,∴所求椭圆方程为+=1.(2)∵k MO=,∴k AB=-,故可设直线AB的方程为y=-x+m.消去y,得11x2-6mx+6m2-18=0,联立-Δ=(6m)2-4×11×(6m2-18)>0,∴m2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.则·=x1x2+y1y2=x1x2-(x1+x2)+m2=-.∵0≤m2<,∴·的取值范围为-.3.解:(1)∵e=,∴=.∵F2(c,0)在线段PF1的中垂线上,∴|F1F2|=|RF2|,即(2c)2=()2+(2-c)2,得c=,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)可知A1(-,0),A2(,0),M(x M,y M),设PA1的方程为y=k(x+)(k≠0),则P的坐标为(-2,-k),∴=,∴PA2的方程为y=(x-).由-消去y,整理得(3+k2)x2-2k2x+3k2-9=0,∴x M=-,∴x M=-,y M=(x M-)=-,∴==-,∴MA1⊥NA1,则△MNA1为直角三角形,又Q为斜边MN的中点,∴2|A1Q|=|MN|.4.解:(1)∵F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,∴F.又∵当l与x轴垂直时,|DE|=4,∴D.又∵点D在抛物线上,∴4=2p×=p2,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)点R(x0,2)在抛物线C上,∴x0=1,即R(1,2).设直线AB:x=m(y-1)+1(m≠0),A,B.由-得y2-4my+4m-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=4m-4.直线AR:y-2=--(x-1)=(x-1).由--得x M=-.同理可得x N=-,∴|MN|=|x M-x N|=2-=2·--,令m-1=t,t≠0,则m=t+1,∴|MN|=2·≥,即当t=-2,m=-1时|MN|取得最小值,此时直线AB的方程为x+y-2=0.5.解:(1)由+=4,得2a=4,所以a=2,又椭圆过点,所以+=1,解得b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.设点P(x0,y0),则由△GPH∽△APB,得=-,即=-,则=2-,由0<y0≤1,得2-≥4,所以线段GH的长度的最小值为4.(2)由(1)可知,当GH的长度取得最小值时,y0=1,将点(x0,1)代入+y2=1,得x0=0,故此时点P(0,1),则直线AP的方程为y=x+1,=2.当平行于AP的直线l与椭圆在x轴下方的部分相切于点T时,△TPA的面积取得最大值.设直线l:y=x+m,则由得7x2+8mx+12m2-12=0,则Δ=(8m)2-4×7×(12m2-12)=0,所以m=-或m=(舍去).由平行线间的距离公式,得此时点T到直线AP的距离d=---=.故(S△TPA)max=d=×2×=,即△TPA的面积的最大值为.6.解:(1)依题意得=,所以+=+==4(为定值),=2,4>2,所以点P的轨迹是以E,F为焦点的椭圆,其中2a=4,2c=2,所以P点的轨迹C的方程是+y2=1.(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得S=8.②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率均存在且不为0,设直线AB的方程为y=k1x+m,直线BC的方程为y=k2x+n,则直线CD的方程为y=k1x-m,AD的方程为y=k2x-n,其中k1·k2=-1.直线AB与CD间的距离d1=--=,直线BC与AD间的距离d2==,所以S=d1·d2=·.联立得x2+2k1mx+m2-1=0,因为直线AB与椭圆相切,所以Δ=4+1-m2=0,所以=,同理=,所以S====4·=4·.因为+≥2(当且仅当k1=±1时取等号),所以4<S≤4·,即8<S≤10.由①②可知,8≤S≤10.专题突破训练(四)1.解:(1)由曲线Γ:12x2-4y2=3,化为标准方程可得-=1,。