微分中值定理怎样构造辅助函数

缨，手∈（ｏ，１）． 妒（拿）一（１一搴）厂（ｅ）＝０，即厂（拿）＝ １一‘
导，以ｏ）：以１）：ｏ，ｌ卸畔：１．求证：（１）存 例６设，（戈）在［０，１］上连续，在（０，１）内可 一（茗一告）２
在叩∈（专，１）使八叩）＝１７；（２）对任意实数Ａ，存
在拿∈（０，叩），使厂（ｅ）一Ａ［八乎）一手］＝１．
３８
成都纺织高等专科学校学报
２００７年４月
分析：（１）ｆＨ连续函数的零点定理，证明起来
比较直观．（２）目的是要证（厂（∈）一拿）７一Ａ（ｆ（车） 一车）＝０．由构造函数的待定因子法，令：
Ｆ（戈）＝Ｐ（石）（．厂（石）一菇），得：
∥（石）＝Ｐ’（ｚ）（厂（戈）一ｚ）＋尸（戈）（厂（戈）一戈）７
＝ｋ（（八戈）一菇）７一Ａ（／．（石）一戈））
分析：将结论中的车换成菇后，可得厂（戈）∥ （石）一ｇ（菇）厂（菇）＝Ｏ，对等式左端求积分可得一 簇函数Ｇ（戈），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝』
嗽菇）矿（菇）一ｇ（茗）厂（戈）］ｄｘ＝厂（菇）９７（舅）一ｇ
（ｘ）ｆ（名），可得ｒ（ｘ）＝火ｘ）９７（戈）一ｇ（ｘ）厂（菇）． 证明令Ｆ（茹）＝“石）９７（并）一ｇ（茗）／（菇），
（名）戈一赢～＝Ｏ，对等式左端，，求积分可得一簇函 数Ｇ（石），并令积分常数Ｃ＝０，即Ｇ（戈）＝『［厂
（茗）戈一志一嘉彤髫）戈一忐一１］ｄ菇＝厂（茹）戈一去’，可
得Ｆ（石）＝．厂（茹）茹一赢～．
证明令Ｆ（ｘ）＝八ｘ）ｘ一赢～， 则Ｆ（石）在［口，６］上连续，在（口，ｂ）内可导，且：
Ｆ（口）＝Ｆ（ｂ）＝０． 由罗尔定理知，存在ｅ∈（口，ｂ），使得ｒ（拿）＝０， 另一方面：
构造辅助函数Ｆ（戈）：△型来试一试．
证明令Ｆ（茁）：丛型．

辅助函数在微分中值问题中的构造及应用学生姓名：XXX(XXX)指导老师：XXX摘要：构造辅助函数是解决微分中值问题的一种重要途径.快速而又准确的构造相应的辅助函数是解决当前微分中值问题的关键.本文给出了几种辅助函数的构造方法：积分法，常数k值法，原函数法，微分方程法；并且举出具体例子加以说明. 关键词：辅助函数；微分中值定理Construction and Application of the Auxiliary Function inDifferential Mean Value ProblemsStudent：X XXInstructor：X XXAbstract：The construction of auxiliary function is an important way to solve the differential median problem. The key to solve current differential median problem is construct the auxiliary function quickly and accurately. This paper presents several methods of constructing auxiliary function: Integral method, The value of the constant K method, The original function method, The method of differential equation; And shows some specific examples to explain how to constructing.Key Word: Auxiliary function;Differential median theorem目录1 引言 (1)2 数学分析中的三种微分中值定理 (1)3 构造辅助函数的四种方法 (3)3.1 积分法 (3)3.2 常数k值法 (5)3.3 原函数法 (6)3.4 微分方程法 (8)4 结论 (10)参考文献 (12)致谢 (12)1 引言微分中值定理是应用导数的局部性质研究函数在区间上的整体性质的基本工具，在高等数学课程中占有十分重要的地位，是微分学的理论基础.所谓中值命题是指涉及函数（包括函数的一阶导数，二阶导数等）定义区间中值一些命题，实际上，高等数学中的一些定理，如：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理均可看做是中值命题.我们可以利用这些定理来证明其他的中值命题.这部分内容理论性强，抽象程度高，教学过程中又容易照本宣科, 导致学生学习兴趣不大, 难于理解和应用.究其主要原因是中值定理证明过程中要借用到的辅助函数, 学生对辅助函数的由来不知其然, 因而辅助函数的引入一直是微分中值定理教学上的一个难点.辅助函数的构造有很大技巧性和灵活性，一般说来，应先分析命题的条件和结论，正确选择所应用的定理，然后将欲证的等式或不等式变形，将其视为对辅助函数应用定理后的结果，并作为构造辅助函数的主要依据，即: 分析条件或结论→选择定理→构造辅助函数→得出结论.根据命题形式的变化选择合适的方法并加以解决.人们在探究辅助函数构造规律的教学实践中，总结出了很多有益的方法，比如常数K 值法，原函数法，微分方程法等.下面我们就通过几个具体例子来寻求构造辅助函数的常用方法.2 数学分析中的三种微分中值定理罗尔定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导；3) )()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点c ,使0)(='c f .几何意义 在闭区间[]b a ,上有连续曲线)(x f y =,曲线上每一点都存在切线,在闭区间[]b a ,的两个端点a 与b 的函数值相等,即)()(b f a f =,则线上至少有一点,过该点的切线平行x 轴,如图1.图1拉格朗日定理 若函数)(x f '满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,则在开区间()b a ,内至少存在一点c ,使ab a f b fc f --=')()()(. 几何意义 在∆ABP 中，αtan )()(=--ab a f b f , 其中α是割线AB 与x 轴的交角，即a b a f b f --)()(是通过曲线)(x f y =上二点A ))(,(a f a 与B ))(,(b f b 的割线斜率.拉格朗日定理的几何意义是:若闭区间[]b a ,上有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线,则曲线上至少存在一点M ))(,(c f c ,过点M 的切线平行于割线AB.如图2.图2柯西中值定理 若函数)(x f 与)(x g 满足下列条件:1) 在闭区间[]b a ,连续；2) 在开区间()b a ,可导,且),(b a x ∈∀，有0)(≠'x g ，则在),(b a 内至少存在一点c ,使)()()()()()(a g b g a f b f c g c f --=''. 几何意义 若令)(x f u =,)(x g v =，这个形式可理解为参数方程，而)()()()(a g b g a f b f --则是连接参数曲线的端点斜率，)()(c g c f ''表示曲线上某点处的切线斜率，在定理的条件下，可理解如下：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦.几个微分中值定理之间的关系 我们不难看出，当)()(b f a f =时，拉格朗日定理就成为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.拉格朗日定理是微分学最重要的定理之一,也称微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.在柯西中值定理中，当x x g =)(时，1)(='x g ，a a g =)(，b b g =)(，那么柯西中值定理也就成为拉格朗日定理，即拉格朗日定理是柯西中值定理的特殊情况.正确把握中值定理之间的关系，才能更好的处理微分中值问题.3 构造辅助函数的四种方法3.1 积分法在一些问题中,要借助积分法来构造出符合题设要求且满足微分中值定理条件的辅助函数.具体方法是把欲证结论中的ξ换成x ，将替换后的等式变形为易于积分的形式，再两边积分解出C ，由此可构造出相应的辅助函数.例1 设函数)(x f 在[]1,0上二阶可导，且0)1()0(==f f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：在结论中用x 替换ξ，有xx f x f -'=''1)(2)(， 将其变形为易于积分的形式： xx f x f -='''12)()(， 两边积分：x xx x f x f d 12d )()(⎰⎰-='''， 即 C x x f ln 1ln 2)(ln +--=',解得)()1(2x f x C '-=.证明：设辅助函数)()1()(F 2x f x x '-=.因为)(x f 在[]1,0上二阶可导，所以)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导，且0)1()0(==f f ，故满足罗尔定理条件,所以存在)1,0(∈η使0)(='ηf .又在)1,(η内，0)()(1)F(2='-=ηηηf ,0)1()11()1F(2='-=f ,)(F x 满足罗尔定理条件，所以存在)1,(ηξ∈，使0)()1()()1(2)(F 2=''-+'--='ξξξξξf f ，即ξξξ-'=''1)(2)(f f . 例2 设)(x f ，)(x g 在[]b a ,上二阶可导，且)()()()(b g a g b f a f ===，证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''=''.分析：将要证的式子移项、通分，使右端为零，得0)()()(=''''ξξξg g f ，再将ξ换为x 得0)()()()(=''-''x g x f x g x f .令)()()()()(F x g x f x g x f x ''-''=',积分（积分常数C 取0）得辅助函数：[])()()()(d )()()()()(F x g x f x f x g x x g x f x g x f x '-'=''-''=⎰.证明：令辅助函数为)()()()()(F x g x f x f x g x '-'=，则易知)(F x 在[]b a ,上可导，且0F(b))F(==a ，由罗尔定理得，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(F ='ξ，即)()()()(ξξξξg f g f ''=''.3.2 常数k 值法在构造辅助函数时，若表达式关于端点处的函数值具有对称性，也就是说常数部分可以分离出来，那么通常采用常数K 值法来寻求构造辅助函数.其具体方法是：将题设的结论变形，使其常数部分分离出来并令其为k ，而后通过恒等变形，使等式一端为a 及)(a f 所构成的代数式，另一端b 及)(b f 所构成的代数式，将所证等式中的端点值（a 或b ）改为变量x ，移项即为辅助函数)F(x ，再用中值定理或待定系数法等方法确定k .例1 设0>a ，0>b 。

罗尔定理构造辅助函数万能公式郭元春陈思源马晓燕1.西安思源学院基础部陕西西安 710038；2.西安思源学院高等教育营销研究中心陕西西安 710038微分中值定理在微积分学中占有十分重要的地位，是用函数局部性质推断整体性质的有力工具。

罗尔定理是微分中值定理中最为基础的一个，定理内容：若函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。

利用罗尔定理证明中值等式问题的难点就是辅助函数的构造。

刘文武、张军、肖俊等人[1-3]采用逆向思维法对该类问题做了相应的研究。

逆向思维法是从结果出发分析中值等式的特点，选择适当的方法构造辅助函数。

微分中值等式问题常见的形式是：已知函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)满足某些附加条件，求证存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。

该等式左边看作是某个函数g(x)在点ξ处的导数，即g′(ξ)=0。

由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C 是满足该等式的最简单的函数。

显然这个隐函数是原微分方程的通解，因此，在微分中值问题中，一般把通解中的积分常数令为辅助函数。

本文采用逆向思维法，对微分中值问题中构造辅助函数的常见题型作归纳和总结。

一、利用分离变量法构造辅助函数(一)证明的等式是关于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程例1[4]:设函数f(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，证明：在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

证明：令F(x)=f(x)sinx，显然，F(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，且F(0)=F(π)，故由罗尔定理知，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。

遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。

文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。

运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。

今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。

首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。

因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。

至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。

一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。

说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。

还不懂？没事，举两个例子。

例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。

解析：这是非常常见的一道题。

估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。

其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。

首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。

科技信息高校理科研究浅谈应用微分中值定理解证明题时构造辅助函数的指数因子法中国矿业大学（北京）理学院吴新峰张晓宁［摘要］本文通过典型例子讨论了应用微分中值定理解证明题时构造辅助函数的一种常用的方法：指数因子法。

［关键词］指数因子法微分中值定理辅助函数１．指数因子法的基本原理微分中值定理是高等数学中的一个重要定理，它建立了函数与导数之间的联系，有着十分广泛的应用。

在证明含有抽象函数及其导数值的等式中，微分中值定理，特别是罗尔中值定理，常常发挥着重要的作用。

［１］《高等数学》中的罗尔中值定理是这样叙述的：定理：若函数Ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）内可导，且Ｆ（ａ）＝Ｆ（ｂ），则至少存在一点ξ∈(a,b)，使Ｆ＇（ξ）＝０。

微积分中，许多与函数及其导数有关的证明题都可用罗尔中值定理证明，关键在于正确构造辅助函数。

而在实践中，学生遇到的困难往往是：如何构造辅助函数Ｆ（ｘ），使得它满足罗尔定理的条件，从而推得结论成立？我们知道，构造辅助函数的方法很多，辅助函数也不唯一。

一般而言，构造辅助函数的方法是根据要证明的等式为突破口，其中指数因子法就是一种简单且易掌握的方法。

［２］众所周知，（ｅｘ）＇＝ｅｘ，这表明，指数函数ｅｘ是“求导”运算的“不动点”。

ｘ正是由于指数函数ｅ的这种特性，使得它在解决很多高等数学问题中由复合函数求导法则，有发挥了重要的作用。

我们假定函数ｆ，φ可导，φ（ｘ）φ（ｘ）［ｅｆ（ｘ）］＇＝ｅ［φ＇（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ＇（ｘ）］。

再由指数函数恒正，知下面两式等价：（１）φ＇（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ＇（ｘ）＝０（２）［ｅφ（ｘ）ｆ（ｘ）］＇＝０因此，凡是欲证明的等式具有（１）的形式或者可以通过恒等变形转化为（１）的形式，我们都可以考虑用指数因子法构造辅助函数：即欲证明（１）式成立，只需证明（２）式成立。

因此，通常可将辅助函数取成：Ｆ（ｘ）＝ｅφ（ｘ）ｆ（ｘ）。

２．典型例题例一：设ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，在（０，１）内可导，ｆ（０）＝０，ｋ为正实数。

证明：令
则 在 上满足罗尔定理三个条件，于是分别存在 ， 使得 .
又
从而可知 在 上满足罗尔定理三个条件，故存在 使 即
.
亦即
将常数k值法进行总结并归纳出下面一般性结论：
（1）常数 值法适用于欲证结论为：至少存在一点 ，使得 及其代数式的命题.
（2）常数 值法构造辅助函数的步骤为：
①将欲证等式中常数部分分离出来并令为 .
例一：设函数 在 上连续，在 内可导，证明在 内至少存在一点 ，使得
.
分析：令
，
则
，
为一个关于 与 的对称式。故可取
.
证明：令
则 在 上连续，在 内可导，又 从而 在 上满足罗尔定理，于是存在一个 ，使得 ，即
亦即
.
例二：设 在 上存在， 试证明存在 ，使得
.
分析：令
于是有
,
上式为关于 三点的轮换对称式令 则得
③用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为0,
④移项使等式一边为0，另一边即为所求辅助函数 .
（2）拉氏中值定理证明中辅助函数的构造：在拉氏中值定理的结论
，
中令： 则有
两边积分得
，
取 ,得
，
移项得
，
故
，
为所求辅助函数.
(3)柯西中值定理证明中辅助函数的构造.在柯西中值定理的结论中
摘要：构造辅助函数是证明中值命题的一种重要途径。本文给出了几种辅助函数的构造方法：微分方程法，常数K值法，几何直观法，原函数法，行列式法；并且举出具体例子加以说明。
关键字：辅助函数，微分方程，微分中值定理
Constructingauxiliary functiontoprovedifferential

微分中值定理辅助函数类型的构造技巧构造辅助函数是应用微分中值定理的一种常用技巧，通过构造合适的辅助函数，可以简化定理的证明过程，使得结论更容易得到。

下面将介绍几种常见的构造辅助函数的技巧。

1.构造差商辅助函数：差商是在微积分中常用的一个概念，表示函数在一点附近的平均变化率。

通过构造差商辅助函数，可以将函数的变化率转化成差商的形式，从而应用差商的性质进行分析和证明。

具体来说，如果要证明一个函数在一些区间上的平均变化率等于两个点之间的差商，可以构造一个辅助函数，使得辅助函数的导数等于差商，从而可以利用微分中值定理得到所需的结果。

2.构造导函数辅助函数：导函数是函数在一点处的斜率，表示函数的变化速率。

通过构造导函数辅助函数，可以转化函数在区间上的斜率问题为导函数在特定点上的函数值问题。

具体来说，可以通过构造辅助函数的导函数等于原函数的导函数，再利用微分中值定理得到结论。

3.构造积分辅助函数：积分是函数的反导数，表示函数在一点处与坐标轴之间的面积。

通过构造积分辅助函数，可以将函数的积分转化为函数在区间上的平均值。

具体来说，可以通过构造辅助函数的积分等于原函数的积分，再利用微分中值定理得到所需的结论。

4.构造复合函数辅助函数：复合函数是两个或多个函数通过函数运算得到的新函数。

通过构造复合函数辅助函数，可以将定理的证明转化为复合函数的导数的证明。

具体来说，可以通过构造复合函数辅助函数使得辅助函数的导数等于复合函数的导数，再利用微分中值定理得到结论。

总之，构造辅助函数是证明微分中值定理的一种常见技巧，可以简化证明过程，使得结论更容易得到。

不同的辅助函数类型适用于不同的证明问题，具体的构造方法需要根据具体的问题进行选择。

在构造辅助函数时，需要充分发挥函数的性质和微积分的基本概念，灵活运用各种技巧，才能得到令人满意的结果。

，使
。 分析 所给等式中含有ξ和η，把含有ξ的函数式与含
有η的函数式分离到等式两边，得
将η换成x后进行单侧积分，求出原函数为 即为一辅助函数。
将ξ换成x后进行单侧积分求出原函数为 即为另一辅助函数。
证明：设
，则由已知
b]上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
使
，
即
在[a， ，
，
又由f(a)=f(b)=1得
一、 使用洛尔定理时用“积分法”或 “解微分方程法”构造辅助函数
用 “积分法”构造辅助函数的基本步骤是：第一 步，将结论等式中的ξ换成x；第二步，对第一步的结果 进行变形，使两边可求积分；第三步，两边求不定积 分；第四步，把第三步的结果化为C=F(x)的形式，其中 C为任意常数且F(x)中不含有C，最后F(x)就是构造的辅 助函数。
，
即
（2）
由（1）和（2）得，存在
，使
。
H
（作者单位：常州工学院理学院）
，分别对分子和
分母进行积分求出原函数(a+b)f(x)和x2，这可作为使用 柯西定理的两个辅助函数。
证明：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 a>0，所以f(x)在[a,b]上满足拉格朗日定理的条件，存在
，使
（1） 又对f(x)和x2使用柯西定理有：存在
，使
ACADEMIC RESEARCH 学术研究
（1）；
又设
，则由已知
在[a，b]上
满足拉格朗日中值定理条件，所以存在
，使
即
（2）
由（1）和（2） 得
即存在
，使
。
三、使用柯西中值定理时用 “上下积 分法”构造辅助函数

应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。

在这里，我将介绍三种常见的方法。

方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。

我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。

根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。

将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。

我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。

假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。

我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。

我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。

当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。

辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。

因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。

为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。

(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ， 而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈， 使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续， 而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在， 且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件， 于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（， 所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='， 因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导， 且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='， 显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='， 故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ， 故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ， 所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导， 所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理， 故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=， 由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=， 由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理， 则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=， 由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >， 由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ， 在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+， 则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂， 使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==， 所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件， 则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+， 即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 证毕.。

Ｊ ｎ．（ ２ ｕ ２Ｉ Ｏ
如 何 构 造 辅 助 函 数
浅谈 中值 定 理 及 相 关命 题 的证 明
丁 仰 彰
（ 州职业技 术学院基 础科学部 ， 江苏 泰 泰 州 ２５ ０ ） ２ ３０
摘 要 ： 明微分 中值 定理 及 相 关命 题 时 ， 何 构 造 辅 助 函数 ， 文作 了一 些探 讨 ， 出 了构 造 辅 证 如 本 提 助 函数 的 一般 思路 ， 对现 有教 材 中的方 法提 出了不 同意 见 。 关键 词 ： 助 函数 ； 辅 中值 定理 ； 关命 题 相
Ｄ —
ａ
．
Ｊ ０ ］ ：
一
若设 ，（ ：厂 ） ） （ 一
导 ， ，（ ） 且 。 ＝
＝
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， 显 然 有 ，（ 在 闭 区间 ［ ， ］ 连 续 ， 开 区 间 （ ６ 内可 则 ） 。 ６上 在 。， ）
＝Ｆ（ ） 因此 ， ６， 由罗 尔 定理 ， 开 区 间 （ ６ 内 至少 存 在 一 点 ， Ｆ （ 在 。， ） 使 ）
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第 ２卷第 ２期
２０ ０ ２年 ６月
泰 州 职 业 技 术 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａｚ ｏ ｏｙｅ ｈ ｉａ ｎ ｔ ｕ ｅ ｏ ｒ ａ ｆＴ ｉ ｕ Ｐ ｌ ｔｃ ｎ ｃ ｌ ｓ ｔｔ ｈ Ｉ ｉ
Ｖ０ ． Ｎｏ． １２ ２
Ｉ ） 厂（ 一
＝０ ￣ （ ） ／ ｎ ＝（ 一ｎＩ ） ，ｌ ｂ 一 （ ） ６ ） ｌ ｆ 厂（ 成立 ， 格 朗 日定 理 得证 。 拉
作 者 简 介 ： 仰 彰 ， １４ 一 ）男 ， 苏 泰 州 人 ， 师 丁 （９９ ， 江 讲
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定 ，将其归结 为厂（ ） ＝
（ ），
即 ２ ，’（ ）＝ （ｂ＋０）厂（ ）． 在 （口，６）中 ，有 解 ＝ 对 方 程 两边 与 相 关 积 分 ，即
Ｉ一 厂（ ）２ｘｄｘ＝（ｂ＋ｏ）一Ｉ厂 （ ）
，
厂（ ）（ｂ 一ｏ ）＝ （ｂ＋ｏ）（－厂（ｂ）－ｆ（ｏ））．
堑学 学 习 与研 究 ２０１８．３
然 有 ｏ’１
＝
．
证明 令 删 有
＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，
等式两边同时关于 积分 ，得
／ ｄｘ＝／ ｄｘ＝一／
ｄｘ，
叫 ＝一』 ，
ｎｌｎ Ｉ，（ ）ｌ＝一Ｉｎ Ｉ，（１一 ）Ｉ＋ｃ， 因此 ，１ｎ ｌ，（ ）Ｉ“＋ｌｎ ｌ厂（１一 ）Ｉ：ｃ， Ｉ，（ ） ｌ·Ｉ，（１一 ）Ｉ＝ ｅ ＝ｃ， ［，（ ）］ １一 ）＝±ｃ＝Ｃ． 此时 ，令 ｒ（ｘ）＝ ［，（ ）］ （１一 ），由于在 闭区间［０，１］ 上 ）连续 ，在 开 区间 （０，１）上 ，（ ）可导 ，并且 ｒ（ｏ）＝ ［ ０）］ １—０）＝Ｉｆ（１）］ １—１）＝Ｏ，根据罗尔定 理 ，则 有一个 属于 （０，１），使 Ｆ （ ）＝ ）］ 一 （ ），（１一 ）＝ ）］ （１一 ）：０， 而 属 于 （０，１） ）≠ ０ ）≠ ０，根 据上 式 ，可 以同
一 、 原 函 数 法 在 求解 极值问题时 ，微分 中值定理 的应用非 常有效 ，通 常情 况 下 ，某 个 函数 的 导 函数 的 零 点 为需 要 验 证 的 结 论 ，此 时 构 造 辅 助 函数 就 可 以 选 择 不 定 积 分 ，将 原 函数 反 求 出来 ， 具体步 骤如下所述 ： （１）用 来 替 换 需 要 证 明 的 结 论 中 的 或 Ｘ０； （２）利用恒等变换 ，将结论 向易积分 的形式进行转化 ； （３）基 于对观察法或凑微分法 的运用 ，将原函数求解出 来 ，如果题 目需要 ，等式 的两 端还可 以乘 非零 的积分 因子 ， 通常情况下 ，为 了求解方便 ，积分常数可以取为零 ； （４）移项 ，让等式一边变 为零 ，如此一来 ，非零 一边的式 子 就 成 为 辅 助 函数 ．

x
【第4页共6页】
例8：设f''(x)在[a,b]上存在，在acb，试证明存在(a,b)，使得
f(a)f(b)f(c)1
f''()．(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)2
分析：令
f(a)f(b)f(c)
k，于是有
(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)
(bc)f(a)(ab)f(c)(ca)f(b，)上式k为关a于ab，b，ac三点cbc
aaa
23n1
12n
0x
23n1
⋯亦即
2n
a0a1a2⋯a0．
n
【第1页共8页】
这说明方程
2n
a0a1xa2x⋯ax0在（0，1）内至少有实根x．
n
2积分法பைடு நூலகம்
对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．
例3：设f(x)在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，
1
f(1)，f(2)2．证明存
2
例1：证明柯西中值定理．
f(b)f(a)f'()
分析：在柯西中值定理的结论
g(b)g(a)g'()
中令x，得
f(b)f(a)f'，(x先)变形为()()'()'()
fbfa
gxfx再两边同时积分得g(b)g(a)g'(x)g(b)g(a)
f(b)f(a)，令C0，有()f(b)f(a)()0
g(x)f(x)Cfxgx故
助函数．
例5：证明拉格朗日中值定理．
【第2页共6页】
分析：通过弦AB两个端点的直线方程为
f(b)f(a)
yf(a)(xa)

内可导，且 f (0) = 1,f (1) = 0 .证明：至少存在一个
点 ξ ∈ (a,b) 使得 f ′(ξ) = -1 .
分析：结论中需要证明 f ′(ξ) = -1 ，用罗尔中
值定理来解决.根据步骤 a 将 f ′(ξ) = -1 移项得
f ′(ξ) + 1 = 0 ；将 ξ 用 x 代 替 得 f ′(x) + 1 = 0 ；
分析：针对结论中要证明
f ′(ξ) =
f (b) - f (a) b-a
的问题，可以运用罗尔中值定理证明.在定理 2
中，a、b 都是常数，因此
f (b) - f (a) b-a
也是常数，
运用辅助函数的构造思路可将
f ′(ξ) =
f (b) - f (a) b-a
移项得到
f ′(ξ) -
f (b) - f (a) b-a
1 微分中值定理的证明
1.1 罗尔中值定理的证明 定理 1 设函数 f (x) 满足：（1）在 [a,b] 上连
续；（2）在（a,b）内可导；（3） f (a) = f (b) ；则至少 存在一个点 ξ ∈ (a,b) ，使得 f ′(ξ) = 0 .
收稿日期：2018-12-14 基金项目：安徽科技学院新工科校级专项项目（X2017078）；高等数学智慧课堂试点项目（Xj201722，zhkt176）. 作者简介：董姗姗，女，安徽凤阳人，安徽科技学院信息与网络工程学院教师（安徽 凤阳 233100）. 通讯作者：齐雪，女，博士，副教授.
定理证明过程中选取辅助函数的源头进行研究.从而启发学生进行知识迁移，挖掘思想方法，逐步加深对微
分中值定理的理解，以提高课堂教学效果.
关键词：微分中值定理；辅助函数；构造函数；知识迁移

1.反向演绎法（移项+反导+罗尔）（原函数法）
2.乘积因子法
对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明，直接构造辅助函数比较困难，将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明结论往往不受影响，eλ（x λ为常数）是常用的乘积因子。

例4 若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可
导，且f（a）=f（b）=0，证明存在一点ξ∈（a，b），使得f'
（ξ）=f（ξ）。

分析：e^x是个恒为正的因子，所证明等式或不等式的两端都乘以或除以这样一个因子，等式或不等式仍然成立，于是想到e^x是个理想的乘积因子。

构造辅助函数，F(x)=f(x)/e^x
3.不定积分法
4.常数K值法
5.几何直观法
6.函数增量法
7.观察法（最基本）：根据式子两侧的函数形式，进行构造。

尽量先将原式整理成整齐的式子，根据所需的定理进行构造。

微分中值定理应用中构造辅助函数的探讨【摘要】微分中值定理又称微分学基本定理，是微积分教学中的核心内容，在其定理的证明过程中，需要建立辅助函数，这是一种技巧性较强的手段。

构造辅助函数是高等数学证明中常采用的技巧，在应用微分中值定理解决实际问题时，到底该选择怎样的函数是需要着重考虑的问题。

本文给出有直接观察、移项法，凑导数法，不定积分法，常数值法四种常用的辅助函数构造法，供教学参考。

【关键词】微分中值定理；构造；辅助函数在微分学中罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理。

它们揭示了函数在一点的局部性态与在整个区间上的整体性态间的关系，是用导数研究函数性质的重要理论依据。

因此，在微分中值定理应用过程中，构造适当的辅助函数是最核心关键的问题。

下面我们举例给出几个常见的构造方法。

1.直接观察、移项法例1 设f（x），g（x）是R上的可导函数，f’（x），g’（x）分别为f（x），g（x）的导函数，且f’（x）g（x）+f（x）g’（x）>0，则当af（b）g（x）B f （x）g（a）>f（a）g（x）C f（x）g（x）0，不等式左边刚好是f（x）g（x）的导数公式，令F（x）=f（x）g（x）则有F’（x）>0从而F（x）在a0时ex>1+x成立。

解析：要证题设不等式成立既要证明ex-1-x>0成立，若令f（x）=ex-1-x则f（0）=0从而问题转化为证f（x）在x>0为增函数即可进而和导数联系起来。

证明：构造辅助函数f（x）=ex-1-x，由f’（x）=ex-1，当x>0时f’（x）=ex-1>0则f（x）在x>0为增函数，即有f（x）>f（0）=0。

故f（x）=ex-1-x>0，即x>0时ex>1+x成立。

2.凑导数法在学完导数四则运算及复合函数求导法则后，做一定的练习，有一定的积累后，对一些常见函数导数公式，我们会很熟悉。