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浅析辅助函数的构造及应用陈小亘(湛江师范学院信息科学与技术学院 广东 湛江524048)摘要：本文阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原则，并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.关键词：辅助函数；原函数法；参数变易法；常数k 值法中图分类号：O13;O17;O172;O174;O174.4 文献标识码： A1 引言辅助函数法是数学证明中经常使用的一种非常有用的方法，是数学解题中构造的辅助问题的一种.它是依据数学问题所提供的信息而构造的函数，再利用这个函数的特性进行求解.构造辅助函数是将原来的数学间题转化为容易解决的辅助函数问题.这就要求我们在所掌握的数学知识基础上，全面把握数学问题所提供的信息即问题本身的特点、背景以及与其它问题之间的关系，运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，才能构造出所需要的辅助函数.这个构造过程是一个从特殊到一般的过程，而运用辅助函数返回去解决原数学问题又是一个从一般到特殊的过程.这是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性，需要技巧.如何才能找到合适的辅助函数？这是教学过程中的难点之一，教师难教，学生难学.许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数，使学生感到突然，遇到难题无从下手.2 辅助函数的基本特点及构造原则所谓构造法，就是按一定方式，经有限步骤能够实现的方法，在解题时常表现的是不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助函数问题进行求解.它具有两个显著的特征：直观性和可行性.正是这两个特性，在数学解题中经常运用它，但是如何构造辅助函数，始终是一个难点，因此应重视这种思想方法的引导和渗透，多做归纳总结.辅助函数有许多基本特点.首先，辅助函数题设中没有，结论中也没有，仅是解题中间过程中构造出来的，类似于平面几何中的辅助线，起辅助解题的作用.其次，同一个命题可构造多个辅助函数用于解题.再次，构造辅助函数的思想较宽广. 然而，不同的辅助函数直接关系到解题的难易，因此构造最恰当的辅助函数是关键.如何构造辅助函数？事实上，我们在构造辅助函数时，必须遵循一定的原则.这是因为辅助函数的构造是有一定规律的，当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式.构造辅助函数的第一原则是：将未知化为已知.在一元微积分学中许多定理的证明都是在分析所给命题的条件、结论的基础上构造一个函数，将要证的问题转化为可利用的已知结论来完成. 其次，将复杂化为简单.一些命题较为复杂，直接构造辅助函数往往较困难，可通过恒等变形,由复杂转化为简单，从中探索辅助函数的构造，以达到解决问题的目的.再次，利用几何特征.在许多教科书中，微分中值定理的证明是利用对几何图形的分析，探索辅助函数的构造，然后加以证明.本文给出几种常用构造辅助函数的方法应用. 3 几种构造辅助函数的方法应用3.1 原函数法 (亦称积分法或逆推法)原函数法是指从所要证明的结论出发,如欲证0)(='ξF ，则可通过倒推，分析了原函数)(x F 的形式，从而构造出辅助函数的方法.这一方法适用于“证明至少存在一点ξ，使得 关于ξ及其函数的代数式成立”这类命题的证明.构造辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；第三步：用观察法或积分法求出原函数，为方便积分常数常常取为零；第四步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F .例3.1 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上二阶可导，且0)()()()(====b g a g b f a f ，0)(≠x g ,0)(≠''x g ，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 分析：令x =ξ，则)()()()(ξξξξg f g f ''''=⇒)()()()(x g x f x g x f ''''= ⇒)()()()(x f x g x g x f ''=''⇒dt t g t f dt t g t f xx o ⎰⎰''=''0)()()()(⇒dt t g t f x g x f dt t g t f x g x f xx o ⎰⎰''-'=''-'0)()()()()()()()( ⇒)()()()(x g x f x g x f '='⇒0)()()()(='-'x g x f x g x f .证明：令x =ξ，=)(x F )()()()(x g x f x g x f '-'，依条件，)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b F a F ，由罗尔中值定理可知，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξF ，即 0)()()()(='-'ξξξξg f g f . 由于0)(≠ξg ,0)(≠''ξg ，故)()()()(ξξξξg f g f ''''=. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果函数)(),(x g x f 在],[b a 上可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()()()()(ξξξξg f b g g f a f ''=--.3.2 参数变易法参数变易法是指把命题中的某个参数“变易”为变量x ,从而构造出相应的辅助函数的方法. 命题的证明思路：第一步：将命题中的某一参数(a 或b )换成x ；第二步：移项使等式一边为零，则另一边即是所求辅助函数)(x F ；第三步：根据有关定理完成命题的证明.例3.2 设)(),(t g t f 是在],[b a 上连续增加函数，0,>b a ，证明：⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()( 证明：把上式中的b 换成x ，移项，然后作辅助函数 ⎰⎰⎰--=x ax a xa dt t g t f a x dt t g dt t f x F )()()()()()(. 由于)()()()()()()()()()(x g x f a x dt t g t f dt t f x g dt t g x f x F x a x a x a ---+='⎰⎰⎰ ))()()()()()()()(⎰⎰⎰⎰--+=xa x a x ax a dt x g x f dt t g t f dt t f x g dt t g x f ⎰---=xa dt t g x g t f x f )]()()][()([. 又)(),(t g t f 均为连续增加函数，因此，0)(<'x F ，)(x F 为减少函数.0)()(=≤a Fb F . 即0)()()()()(≤--⎰⎰⎰ba b a ba dt t g t f ab dt t g dt t f . 所以⎰⎰⎰-≤b ab a ba dt t g t f ab dt t g dt t f )()()()()(. 如下的命题也可以用这一方法来证明： 如果)(x f 是在],[b a 上连续函数，且0)(>x f ，则2)()(1)(a b dx x f dx x f b a b a -≥⎰⎰. 3.3 泰勒公式法泰勒公式法是指利用泰勒公式来构造辅助函数的方法. 这一方法适用于“含有被积函数)(x f 有二阶或二阶以上连续导数”这类命题的证明.命题的证明思路：第一步：令辅助函数⎰=xa dt t f x F )()(；第二步：将)(x F 在所需点处进行泰勒展开；第三步：对泰勒余项作适当处理(可考虑用介值定理).例 3.3设函数)(x f 在],[b a 上具有连续的二阶导数，证明在),(b a 内存在一点ξ，使得⎰ba dx x f )(=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ) 证明：令⎰=xa dt t f x F )()(，则有0)(=a F ，)()(x f x F ='，)()(x f x F '=''，)()(x f x F ''='''，)(x F 在0x 2b a +=处的二阶泰勒公式为 2)2)(2(!21)2)(2()2()(b a x b a F b a x b a F b a F x F +-+''++-+'++=+3)2)((!31b a x F +-'''ξ F =)2(b a ++f )2(b a +-x (2b a +）f '+!21)2(b a +-x (2b a +2)+)(!31ξf ''-x (2b a +3) 其中ξ在x 与2b a +之间. 分别将b x =，a x =代入上式，并相减，则得 2)()()(241)2()()()(213ξξf f a b b a f a b a F b F +''-++-=-， 其中1ξ，2ξ分别在2b a +与b ，a 与2b a +之间. 不妨设)()(21ξξf f ''≤''，则2)()()(211ξξξf f f ''+''≤'')(2ξf ''≤，考虑到)(x f ''的连续性及介值定理，可知在1ξ，2ξ之间至少存在一个),(b a ∈ξ使2)()()(21ξξξf f f ''+''=''. 故 )()()(a F b F dx x f ba -=⎰=)2()(b a f a b +-+()(2413f a b ''-ξ). 3.4常数k 值法在要证明的命题中，把常数分离，然后用以下步骤求辅助函数：第一步：将常数部分记作k ；第二步：恒等变形,使等式一端为a 的代数式，另一端为b 的代数式；第三步：分析关于端点的表达式是否为对称式，若果是，只要把端点a 改成x ，则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.这样的方法就是常数k 值法.例3.4 设)(x f ''在],[b a 上存在，b c a <<，证明：至少存在一点),(b a ∈ξ，使得)(21))(()())(()())(()(ξf b c a c c f c b a b b f c a b a a f ''=--+--+--. 分析：令k b c a c c f c b a b b f c a b a a f =--+--+--))(()())(()())(()(. ⇒))()(()()()()()()(c b c a b a k c f b a b f a c a f c b ---=-+-+-，这是关于端点c b a ,,的轮换对称式，令x b =(可以令x a =或x c =)，于是))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=.证明：令))()(()()()()()()()(c x c a x a k c f x a x f a c a f c x x F -----+-+-=,则)(x F 在],[],,[b c c a 上满足罗尔定理，于是分别存在),(),,(21b c c a ∈∈ξξ使得0)()(21='='ξξF F ，又))(())(()()()()()(c a x a k c x c a k x f a c c f a f x F -----+'-+-='.)(2)()()(c a k x f a c x F -+''-=''. 由罗尔中值定理，至少存在),(),(21b a ⊂∈ξξξ，使得0)(=''ξF ，即0)(2)()(=-+''-c a k f a c ξ. 从而)(21ξf k ''=. 命题得证. 3.5 微分方程法微分方程法是指通过求一个常微分方程的通解而构造辅助函数的方法.构造出辅助函数的步骤：第一步：将命题中的ξ换成x ；第二步：移项使等式一边为零，得一个常微分方程；第三步：求得常微分方程的通解，在通解中的常数令为零可得辅助函数.例3.5 设函数)(x f 在]1,0[上可导，且满足关系 )1()(2210f dx x xf ⎰=. 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得 0)()(=+'ξξξf f .分析：令x =ξ，0)()(=+'ξξξf f ⇒0)()(=+'x x f x f ⇒xx f x f 1)()(-='，积分得c x x f ln ln )(ln +-=⇒xc x f =)(⇒c x xf =)(. (令0=c ). 令)()(x xf x F =. 证明：由条件知)()(x xf x F =在]1,0[上连续，在)1,0(可导. 于是由积分中值定理，至少存在一点),0(21∈η，使得 )()(2)(2)1(210210ηηηηf dx f dx x xf f ⎰⎰===.可见)()()1()1(ηηηf F f F ===. 对)()(x xf x F =，由罗尔中值定理，至少存在一点)1,(ηξ∈，使得0)(=ξF ，即0)()(='+ξξξf f . 也就是0)()(=+'ξξξf f .总之，构造辅助函数有许多方法(见[1],[2],[3],[4],[5],[6]). 对于不同的命题，我们必须根据实际情况灵活地选择不同的构造辅助函数的方法. 有时，对于一个命题，可以同时利用不同的方法来完成命题的证明.这就要求我们在教与学的过程中不断去探索新的方法.参考文献:[1 ] 同济大学. 高等数学(第五版) [M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2 ] 刘玉琏,付沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3 ] 龚冬保. 高等数学典型题解法、技巧、注释[M ]. 西安:西安交通大学出版社, 2000.[4 ] 陈文灯. 考研数复习指南[M] . 北京: 世界图书出版公司,2009.[5 ] 李君士. 两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[ J ]. 数学的实践与认识, 2004, 34 (10) : 165 - 169.[6 ] 郭乔. 如何作辅助函数解题[J ]. 高等数学研究, 2002, 3 (5) , 48- 49.A Brief of the Construct Method and Its Application for Auxiliary FunctionChen Xiaogen(School of Information Science and Technology , Zhanjiang Normal College Zhanjiang Guangdong 524048) Abstract: This paper elaborate the basic characteristic of the auxiliary function and the principle of coustructing the auxiliary function, meanwhile, introduce the several typical applications of methods for coustructing the auxiliary function.Key words: Auxiliary function; Primary function mothod; the method of variation of parameters; Constant -k- value methnod附加公文一篇，不需要的朋友可以下载后编辑删除，谢谢(关于进一步加快精准扶贫工作意)为认真贯彻落实省委、市委扶贫工作文件精神，根据《关于扎实推进扶贫攻坚工作的实施意见》和《关于进一步加快精准扶贫工作的意见》文件精神，结合我乡实际情况，经乡党委、政府研究确定，特提出如下意见：一、工作目标总体目标：“立下愚公志，打好攻坚战”，从今年起决战三年，实现全乡基本消除农村绝对贫困现象，实现有劳动能力的扶贫对象全面脱贫、无劳动能力的扶贫对象全面保障，不让一个贫困群众在全面建成小康社会进程中掉队。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。
分类号编号本科生毕业论文（设计）题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用作者姓名常正军专业数学与应用数学学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2研究类型数学应用方向指导教师李明图提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5论文原创性声明本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
论文作者签名：年月日摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。
关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。
罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。
关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example.Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application目录1 定理的叙述 (1)1.1罗尔(Rolle)中值定理 (1)1.2拉格朗日(Larange)中值定理 (1)2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造方法 (1)2.1借助于数形结合的思想构建辅助函数 (1)2.2用行列式构造辅助函数 (2)2.3借助闭区间套构造性证明拉格朗日中值定理 (3)2.4借助待定系数法构造辅助函数 (4)2.5借助定积分构造辅助函数 (5)2.6借助不定积分构造辅助函数 (5)2.7借助坐标轴旋转变换构建辅助函数 (6)3 拉格朗日中值定理的应用 (8)3.1拉格朗日中值定理在等式证明中的应用 (8)3.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (9)错误！未定义书签。
辅助函数的几种特殊用法在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。
因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。
为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。
(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数)()(x f e x F kx -=.例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ∀∈，(,)a b ζ∃∈，使得'()()f kf ζζ=分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'()()0f kf ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ∃∈，使得0)(='ζF ， 而[])()()()()(ζζζζζkf f e e x kf e x f F k x kxkx -'=-'='-=--，则['()()]0k e f kf ζζζ--=，即'()()f kf ζζ=.(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数()()F x f x =，()n G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈，使得：222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.证明: i ）若0(,)a b ∉作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ζζ-=-，即222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ∃∈使得1()'()()()a b f f f a f b a b ζζζ=--,证明:因为2)()()(x x f x f x x x f -'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡, 考虑作辅助函数()()f x F x x =，1()G x x=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ∃∈， 使得)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--即221)()(11)()(ζζζζζ--'=--f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--⇒证毕.(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =.例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-.分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='，因此作辅助函数()()F x xf x =，()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即()()()'()bf a af a f f b aζζζ-=+-得证.(5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =.例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得()()'()lnbf b f a f aζζ-= 证明:由我们熟悉的xx 1)(ln ='，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，于是),(b a ∈∃ζ，使得()()'()1ln ln f b f a f b aζζ-=-，即()()'()lnbf b f a f aζζ-=，证毕.(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈∃ζ使得)()(ζζζf f '=.证明:设)()(1x f x x -=ϕ，显然ϕ在[]b a ,上连续， 而2)()()(xx f x f x x -'='ϕ在在),(b a 内存在， 且)()()(11b f b a f a a --==ϕ，故ϕ在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件， 于是必),(b a ∈∃ζ使得0)()(2=-'='ζζζζζϕf f ）（， 所以0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.证毕.（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：),(b a ∈∃ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='， 因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导， 且0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，所以由罗尔中值定理知：必),(b a ∈∃ζ使0)(=''ζF ，而[]0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，即0)()()(2=''+'ζζζf f f .证毕.(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)()()(x f x f x F '='，再次求导后得到.)()()()()(2x f x f x f x f x F '-''='' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，)()()()(b f a f a f b f '⋅='⋅，试证：必),(b a ∈∃ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f证明：设)(ln )(x f x F =，得)()()(x f x f x F '='， 显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则)()()()()()(b F b f b f a f a f a F '='='='， 故满足罗尔中值定理条件，因此必),(b a ∈∃ζ使得0)(=''ζF ，而0)()()()()(22='-''=''=ζζx x f x f x f x f F ，即.0)()()(2='-''ζζζf f f证毕.(9)若题目结论中出现等式“0)()(0=+⎰ζζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0⎰=xx dt t f ex ϕ例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且⎰=a dx x f 0.0)(证明：),0(a ∈∃ζ使得0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证明：作辅助函数⎰=xxdt t f e x 0)()(ϕ，显然)(x ϕ在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且)0(0)()(0ϕϕ===⎰aa dt t f e a ，故满足罗尔中值定理条件，因此，必),0(a ∈∃ζ使得0)(='ζϕ，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+='⎰⎰)()()()()(00x f dt t f e x f e dt t f e x xx x x x ϕ，由于0≠ζe ， 故0)()(0=+⎰ζζf dx x f .证毕.(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ.例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈∃ζ，使得).()(ζζf f =''证明：因为0)()(>'⋅'b f a f ，所以)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，即0)(lim _)()(lim >-=-++→→ax x f a x a f x f a x ax ，所以),,(,01δδ+∈∃>∃a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----→→bx x f b x b f x f b x bx ，所以),(,02b b x δδ-∈∃>∃，使得.0)(2<x f 又因为f 在[]b a ,上可导，故f 在[]b a ,上连续，即f 在),(21x x 上连续, 而0)(,0)(21<>x f x f ，所以由介值定理（或零点定理），),(21x x ∈∃η使得.0)(=ηf再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为)()()(ηf b f a f ==，所以0)()()(===b g g a g η，故),(1ηηa ∈∃，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈∃，使得.0)(2='ηg因为[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，由0)()(21='='ηηg g ，可得.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f令[])()()(x f x f e x x '+=-ϕ， 所以有[]0)()()(1111='+=-ηηηϕηf f e ，[],0)()()(2222='+=-ηηηϕηf f e即0)()(21==ηϕηϕ，又因为)(x ϕ在[]21,ηη上连续可导， 所以),()(2,1b a ⊂∈∃ηηζ，使得0)(='ζϕ，即[]0)()()(=-''='=-ζζϕx x x f x f e ，而0≠-ζe ，故0)()(=-''ζζf f .证毕.涉及罗尔定理证明中值等式的命题罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .题型一：设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证0)()(=-'k f f ξξ，即0)()(=-'=ξx k x f x f .而要0)()(=-'=ξx k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，k x f x f x F -'=')()()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈∃ξ使得0)(='ξG ，而[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.例:设)(x ϕ为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ϕ，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλϕζϕ.证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ϕλ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，又因为[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ϕλϕϕϕλλλλ'+='+='在()c c ,-内存在，且0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ϕϕ），所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλϕζϕ.证毕.证法二:若设dt t x x G xc⎰-+=)()()(ϕλϕ，则)(x G 在[]c c ,-上连续，且)()()(x x x G λϕϕ+'='在()c c ,-内存在，又因为0)()()(=+=⎰-dt t c c G ccϕλϕ，0)()()()()(=-=-=+-=-⎰--c c dt t c c G ccϕϕϕλϕ，所以它满足罗尔定理条件，故必),(c c -∈∃ζ，使得0)()()(=+'='ζλϕζϕζG .证毕.题型二:证明),(b a ∈∃ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有0)()()(='+'=ζx x g x f x f ，而)()()(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2()()x F x e f x -=.证明:取辅助函数2()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理， 故必),(k k -∈∃η使得)(ηF '0=， 由于[])(2)()(2x xf x f e x F x -'='-，将η=x 带入上式，并去掉非零因子2η-e ，即得证原式成立.附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.题型三：证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数()()k F x x f x =例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1(1)2f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=， 由于12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，将x ζ=带入上式，即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.证毕.附注:由题型三可以演变出一系列的题型.如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理， 则必存在(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，因为(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈⊂使得'()0F ζ=， 由于2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，证毕.题型四:证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=证明:由()()0>'⋅'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >， 由导数的几何意义，在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ， 在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=<b f B f ，且令21B B <，则由应用零点定理可知存在()21B B B ，∈，使得 ()0=B f ，取2()()x F x e f x =，则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈∃η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈∃η，使得()02='ηF . 因此11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+， 则()G x 在(,)a b 内可导，由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈⊂， 使得'()0G ζ=，由于()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+⎡⎤⎣⎦，故有''()4()f f ζζ=，证毕.提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即)(')()(ξf ab a f b f =--成立.例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：存在ζ使得1(,)()'()n a b f f ηηηζζζζ-⎡⎤∈∍=+⎢⎥⎣⎦. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在),(b a ∈ξ使得⇒--='ab a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n nb f b a f a n f f b a ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==， 所以1()'()n nn nb a n f f b aζζζζ--+=- （1）取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件， 则()()(,)'()n ng b g a b a a b g b a b aηη--∈∍==-- （2）比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+， 即1()'()n f f ηζζζζη-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 证毕.。
拉格朗日中值定理的两种证明罗萍(重庆师范大学～重庆400047)摘要:给出两种辅助函数的构造方法～运用罗尔定理～证明拉格朗日中值定理。
关键词:罗尔定理,拉格朗日中值定理,辅助函数拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。
理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。
一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。
怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。
罗尔定理:函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点?，使f(?)==o (如图1)。
拉格朗日定理:若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ?，(如图2).使比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。
我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为:1.首先分析要证明的等式:我们令 (1)则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点?，使f(? t就可以了。
由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2)分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。
从而，可设辅助函数x)=f(x)-tx。
该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b) 。
根据罗尔定理，F(则在(a，b)内至少存在一点?，使F。
(?)=O。
也就是f(?)-t=O，也即f(? )=t，代人(1 )得结论2.考虑函数我们知道其导数为且有 F(a)=F(b)=0.作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。
根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点?，使F’ 从而有结论成立.参考文献[]毕永青(拉格朗日中值定理的简单证明与应用[J]，河南教育学院学报，2002(3):13—14([2]杜明芳(拉格朗日中值定理证明方法的思考[J]上北京印刷学院学报，2002(2):56-57([3]同济大学数学教研室主编，高等数学(第三版)作者介绍:罗萍(1973,)，女，重庆铜梁人，重庆师范大学数计学院副教授，主要从事高等数学和金融系统分析方面的研究。
一类与中值公式相关的辅助函数的构造方法微分中值定理在数学分析中起着非常重要的作用，关于定理本身的证明以及应用中值定理证明某一些等式，都需要构造相应的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，从而达到证明目的。
一、构造辅助函数的具体方法证明中值定理及相关等式往往与函数在某一点?灼的导数有关，因此在构造辅助函数时一般需分三个步骤：第一，先将等式两端的点?灼换成x；第二，分别求出等式两端函数的原函数；第三，求出等式两端原函数的差即为所求的辅助函数。
如拉格朗日中值定理的结论是f′（?灼）=，首先将?灼换成x，即为f′（x）=，而左端的原函数为f（x），右端的原函数为x，令f（x）=f（x）-x，则容易验证f（x）满足罗尔定理的三个条件，因此定理立即得证。
例1，设f（x）在［a，b］上可微，试证明存在?灼∈（a，b），使2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）分析：将?灼换成x得2x［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（x），左端的原函数为x2［f（b）-f（a）］，右端的原函数为（b2-a2）f （x），于是作辅助函数f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f （x）即可。
证明：令f（x）=x2［f（b）-f（a）］－（b2-a2）f（x），则f （x）在［a，b］上可微，且满足f（a）=a2f（b）-b2f（a）=f（b），所以f（x）在［a，b］上满足罗尔定理条件，于是存在?灼∈（a，b），使得f′（?灼）=0，即f′（?灼）=2?灼［f（b）-f（a）］-（b2-a2）f′（?灼）=0，从而得2?灼［f（b）-f（a）］=（b2-a2）f′（?灼）。
二、构造辅助函数的简单技巧某一些中值恒等式不能直接应用上述三个步骤证明，因此在证明之前需要先作恒等变形，或者先将?灼换成x后再作恒等变形。
例如：柯西中值定理结论为=，将?灼换成x后为=，而的原函数不易求得，因此将等式变形为f′（x）=g′（x），而后求得左端的原函数为f（x），右端的原函数为g（x），于是令辅助函数f（x）=f （x）-g（x），则易证f（x）满足罗尔定理的条件，于是定理容易得证。
几种构造辅助函数的方法及应用许生虎（西北师范大学数学系，甘肃 兰州 730070）摘 要：在对数学命题的观察和分析基础上给出了构造辅助函数的方法，举例说明了寻求辅助函数的几种方法及在解题中的作用。
关键词：辅助函数 弧弦差法 原函数法 几何直观法 微分方程法1. 引言在解题过程中，根据问题的条件与结论的特点，通过逆向分析、综合运用数学的基本概念和原理，经过深入思考、缜密的观察和广泛的联想，构造出一个与问题有关的辅助函数，通过对函数特征的考查达到解决问题的目的，这种解决问题的方法叫做构造辅助函数法。
构造函数方法在许多命题证明中的应用，使问题得以解决，如在微分中值定理、泰勒公式、中值点存在性、不等式等证明。
但构造辅助函数方法的内涵十分丰富没有固定的模式和方法，构造过程充分体现了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归思想。
但如何通过构造，构造怎样的辅助函数给出命题的证明，是很难理解的问题之一，本文通过一些典型例题归纳、分析和总结常见的构造辅助函数方法及应用。
2. 构造辅助函数的七中方法2.1“逆向思维法”例1： 设()x f 在[]1,0 上可微，且满足 ()()⎰=2121dx x xf f ，证明在][1,0内至少有一点θ，使()()θθθf f -='.证明:由所证明的结论出发,结合已知条件,探寻恰当的辅助函数.将()()θθθf f '变为()()0='⋅+θθθf f ,联想到()[]()()θθθθf f x xf x '⋅+='=,可考虑辅助函数 ()()[].1,0,∈=x x xf x F因为()()ξξf f =1 ,而对于()x F ,有()()ξξξf F =,()().11f F =所以,()()1F F =ξ ,由罗尔定理知,至少存在一点()1,ξθ∈,使得()0='θF即:()()θθθf f -='.证毕2.2 原函数法在微分中值定理(尤其是罗尔定理)求解介值(或零点)问题时要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点,因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数,用此法构造辅助函数的具体步骤如下:(1)将要证的结论中的;)(0x x 换或ξ(2)通过恒等变换,将结论化为易积分(或易消除导数符号)的形式;(3)用观察法或凑微分法求出原函数(必要时可在等式两端同乘以非零的积分因子),为简便起见,可将积分常数取为零;(4)移项,将等式一边为零,则等式的另一边为所求的辅助函数.例2: ()[]()(),0,0,,>>a f a b a b a x f 且内可导，其中上连续，在在设 分析: ()()ξξξf ab f '⋅-= 可令 ()()()x f x b x F a -=证明: 作辅助函数 ()()()x f x b x F a-= ()x F 在[]()内可导，又上连续，在b a b a ,,故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF亦即： ()()ξξξf ab f '⋅-= 证毕2.3设置变量法当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。
作者： 陈凤启
作者机构： 长丰一中
出版物刊名： 中学数学教学
页码： 1-2页
主题词： 辅助函数;拉格朗日定理;罗尔定理;微分中值定理;Rolle;初等方法;闭区间;菲赫金哥尔茨;几何意义;开区间
摘要：<正> 拉格朗日(Lagrange)微分中值定理的证明,关键在于构造一个辅助函数,使之满足罗尔(Rolle)定理三条件,然后通过罗尔定理使其获证。
然而,辅助函数如何构造,则常使学生困惑莫解。
本文介绍五种易为学生接受的构造辅助函数的初等方法,并指出不同辅助函数间的本质联系。
柯西中值定理的证明及应用柯西中值定理的证明及应用马玉莲（西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070）摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式.关键词：柯西中值定理; 证明; 应用1.引言微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导;(3) '()f x 和'()g x 不同时为零;(4)()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ''-=- . （1）本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用.2.柯西中值定理的证明2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.2.2利用反函数及拉格朗日中值定理证明柯西中值定理讨论 显然，当'()g x x =时， (1)式即为拉格朗日公式， 所以拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况.但若换一个角度，将()f t 和()g t 看成xy 平面上某条曲线()y F x =的参数方程，即()y F x =可以表示为：(),(),x g t y f t =⎧⎨=⎩ [,],t a b ∈ 易知()y F x =在[(),()]g a g b （或[(),()]g b g a ）上连续, 在((),())g a g b （或((),())g b g a ）上可导，由拉格朗日中值定理的几何意义，存在曲线上一点(,())F ηη过该点的斜率,()F η等于曲线两端连线的 斜率()()()()f b f a g b g a --（如图1所示）. 设x η=对应于 (,)t a b ξ=∈， 则由参数形式函数的求导公式，有'()()()()()()()f f b f a Fg g b g a ξηξ''-==-. 所以，柯西中值定理也可以看成是拉格朗日中值定理的参数表达形式.())f bx证明 由闭区间上连续函数的性质，以及()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且导数恒不为零，且不难证明，()g x 在[,]a b 上严格单调，不妨设()g x 严格单调增加.下证()g x 严格单调，只证()g x 在[,]a b 上严格单调递增.取1x ，2x ∈[,]a b 规定21x x <由g 的连续性知21()()g x g x <那么1212()()0g x g x x x ->-,对上式求极限121212()()lim0x x g x g x x x →->-,又12'1212()()()limx x g x g x g x x x →-=-,得到'2()0g x >，由2x 的任意性知'()0g x >故()g x 在[,]a b 上严格单调递增. 同理可得()g x 在[,]a b 上严格单调递减, 故单调性得证.记()g a α=，()g b β=，由反函数存在定理和反函数导数存在定理，在[,]αβ上存在()g x 的反函数1()g y -，1()g y -在[,]αβ上连续，在(,)αβ可导，其导数1'1[()]'()g y g x -=， 并且1()g y -在[,]αβ上也是严格单调增加的.考虑[,]αβ上的复合函数1()(())F y f g y -=，由定理条件和以上讨论，即知()F y 在[,]αβ上满足拉格朗日中值定理条件，于是，存在(,)ηαβ∈，使得11'()()(())(())()()()()()F F f g f g f b f a F g b g a βαβαηβαβα-----===---. 由()g x 和1()g y -的关系，在(,)a b 中一定存在一点ξ，满足()g ξη'=，于是{}{}1''1'11''()1()()(())(())[()]()'()()y y x g f F f g y f g y g y f x g x g ηηηξξηξ-'---'====⎧⎫==⋅=⋅=⎨⎬⎩⎭代入上式就得到了定理结论.2.3利用闭区间套定理证明柯西中值定理定义 如果一列闭区间{[,]}n n a b 满足条件 （1）11[,][,],1,2,3n n n n a b a b n ++⊂=⋅⋅⋅ ; （2）lim()0n n n a b →∞-= ,则称这列区间形成一个闭区间套.闭区间套定理 如果[,]n n a b 形成一个区间套，则存在惟一的实数ξ属于所有的闭区间[,]n n a b ，且 lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.引理1 设函数()f x 在[,]a b 上有定义，且在0x ∈(,)a b 处可导，又{[,]}n n a b 为一闭区间套，且0lim lim n n n n a b x →∞→∞==，则'()()()limn n n n nf f f x βαβα→∞-=-.引理2 设函数()f x 在[,]a b 上连续，则存在11[,][,]a b a b ⊂且111()2b a b a -=-，使得 1111()()()()f b f a f b f a b a b a--=--. 现在把引理2推广为：引理3 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()g x 是单射，则存在11[,][,]a b a b ⊂，且 111()2b a b a -=-，使1111()()()()()()()()f b f a f b f ag b g a g b g a --=--. 下面证明柯西中值定理：证明 首先证明，当,[,]a b αβ∈且αβ≠时，有()()g g αβ≠.反设()()g g αβ=，由引理2，存在11[,][,]αβαβ⊂，且111()2βαβα-=-，使1111()()()()0g g g g βαβαβαβα--==--,从而11()()g g βα-. 在11[,]αβ上再次应用引理2有，存在2211[,][,]αβαβ⊂，且22111()2βαβα-=-，使112211()()()()0n n g g g g βαβαβαβα=-==--，从而又有22()()g g βα=. 反复利用引理2，最终可得一个闭区间套{[,]}n n a b ，满足lim()0n n n βα→∞-=，且()()n n g g βα=，由闭区间套定理，存在[,][,]a b ξαβ∈⊂，使lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==,根据引理1得：'()()()lim0n n n n ng g g βαξβα→∞-==-,这与条件'()0((,))g x x a b ≠∀∈相矛盾. 再根据引理3，存在11[,][,]a b a b ⊂，且111()2b a b a -=-，使 1111()()()()()()()()f b f a f b f ag b g a g b g a --=--, 反复利用引理3，类似与前面的证明，可得闭区间套{[,]}n n a b ，满足lim()0n n n b a →∞-=且()()()()()()()()n n n n f b f a f b f a g b g a g b g a --=--. 由闭区间套定理存在[,]c a b ∈，使lim lim n n n n c αβ→∞→∞==。
柯西中值定理辅助函数柯西中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它是高等数学中的拉格朗日中值定理在多元函数上的推广。
柯西中值定理指出，如果函数在一些区域上满足一些条件，那么这个区域内的任意两点之间一定存在一个点，使得这个点处函数的梯度向量与连接这两个点的矢量平行。
假设我们需要证明一个函数f(x,y)在一个区域内满足柯西中值定理的条件。
我们可以定义一个辅助函数g(t)，使得g(0)=f(x0,y0)和g(1)=f(x1,y1)，其中(x0,y0)和(x1,y1)是柯西中值定理中提到的两个点。
我们可以通过对g(t)进行适当的构造，来证明柯西中值定理。
首先，我们可以定义一个新的函数h(t)=f(x0+t(x1-x0),y0+t(y1-y0))。
这个函数描述了两个点(x0,y0)和(x1,y1)之间的函数值在不同t值下的变化情况。
我们可以看出，当t取值在[0,1]区间内时，h(t)是连续的。
然后，我们将g(t)定义为h(t)-t(f(x1,y1)-f(x0,y0))。
g(t)表示了h(t)与线性函数t(f(x1,y1)-f(x0,y0))之间的差异。
我们可以看出，g(t)是t的连续函数，并且满足g(0)=g(1)=0。
接下来，我们需要证明存在一个点c，在[0,1]区间内，使得g'(c)=0。
根据拉格朗日中值定理，在区间[0,1]内任意两点t和t+Δt之间，存在一个点c在其中，使得g'(c)=(g(t+Δt)-g(t))/Δt。
通过对g(t)的定义，我们可以将上式展开为(g(t+Δt)-g(t))/Δt=[h(t+Δt)-h(t)-Δt(f(x1,y1)-f(x0,y0))]/Δt。
我们可以看到，当Δt趋近于0时，g'(c)满足(g(t+Δt)-g(t))/Δt→h'(c)-f(x1,y1)-f(x0,y0)，其中c是在t和t+Δt之间的一些点。
由于h(t)是连续函数，我们可以推断出h'(c)是存在的。
