求“硬币旋转圈数问题”的另一种方法

作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。

博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。

首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？那么可能出现四种情况：硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）奇奇奇偶偶奇偶偶上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。

为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。

但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。

所以这种情况下是不可能完成任务的。

翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。

第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。

如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。

当总数为偶数（1）每次翻的个数是总数减一【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5个），问你最少要经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】本题属于归纳推理问题。

一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。

因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。

具体过程如下：故需要6次，故正确答案为B。

这类问题的解答公式为：翻动次数＝M翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。

翻转硬币编程题目翻转硬币是一个经典的编程问题，通常用于考察算法和数据结构。

以下是一个简单的Python解决方案，该解决方案使用递归来翻转硬币。

假设我们有n个硬币，我们希望翻转这些硬币，并使得每面都出现相同次数。

这是一个递归的问题，我们可以定义一个函数来翻转硬币。

如果我们只有一个硬币，那么翻转它就很容易。

如果我们有多个硬币，我们可以选择翻转整个堆或翻转堆中的一半。

如果我们翻转整个堆，那么我们将增加堆中正面朝上的硬币的数量。

如果我们翻转堆中的一半，那么我们将增加堆中正面朝上的硬币的数量，并减少堆中正面朝下的硬币的数量。

以下是Python代码：```pythondef flip(coins, n):基本情况：如果只有一个硬币，那么翻转它if n == 1:return coins[0]递归情况1：翻转整个堆flip_all = flip(coins, n // 2) + (1 if flip_all == 0 else 0)递归情况2：翻转堆的一半flip_half = flip(coins[n // 2:], n // 2) + (1 if flip_half == 0 else 0) 返回翻转的结果return max(flip_all, flip_half)```在这个函数中，我们首先检查基本情况。

如果只有一个硬币，那么我们只需翻转它。

然后我们有两个递归情况。

在第一种情况下，我们翻转整个堆。

在第二种情况下，我们翻转堆的一半。

最后，我们返回两种情况中的最大值。

这个函数的时间复杂度是O(2^n)，因为它可能会尝试所有可能的翻转方式。

硬币翻转问题全面分析（黑体字一定要看）现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转可以使这6个硬币全部反面朝上？A.5次B. 6次C.7次D.8次当M为偶数时，N有以下几种情况：（1） N＝M－1例如：现有6个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这6个硬币全部反面朝上？A 5次B 6次C 7次D 8次这种情况是固定的答案就是M次（2）N>M/2 但不满足N＝M－1，例如：现有8个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这8个硬币全部反面朝上？注： 5>8/2, 且5不等于7 满足条件的。

这种情况我总结了一个公式为结果＝（M－N）÷2＋2，（前面除以2部分要采用四舍五入）解析：（8－5）÷2＋2＝4次（3）N<M/2我们根据逆向思维原则，可以反过来利用（2）的公式求解，例如：现有8个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转3个硬币（必须翻转3个），问你最少经过几次翻转才可以使这8个硬币全部反面朝上？3<8/2, 满足条件。

我们注意到：8＝3＋5，因此每次翻转3个，和每次翻转5个是相同的效果，次数一样。

故而转化为（2）的方式求解。

还是4次。

当M为奇数的时候，N也有如下几种情况：（1）N>M/2例如：现有11个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转7个硬币（必须翻转7个），问你最少经过几次翻转才可以使这11个硬币全部反面朝上？这种情况的结果固定为3.（2）N<M/2例如：现有11个一元面值硬币正面朝上的放在桌上，你可以每次翻转5个硬币（必须翻转5个），问你最少经过几次翻转才可以使这11个硬币全部反面朝上？我们可以发现 11＝5＋6，我们先转换1次剩下的6个再每次转换5个，就变成了偶数情况，但是注意，其结果并不是1＋6＝7，当剩下的结果比翻转次数大1，那么其结果只需再＋2即可那么答案就是1＋2＝3次。

翻硬币问题桌面上有n枚硬币, 初态是全部正面向上,现让你每轮把其中的m (2m≤n)枚翻转,希望最终全部反面向上. 请建立数学模型研究n, m 在什么条件下此问题有解或无解.解答：1．概念与性质定义：纯翻转-------m个都是正面的一轮翻转；(混合)翻转------取a (>0)个正面，m-a个反面的一轮翻转.显然，纯翻转是混合翻转的特例（a=m）.设=+，（1）n sm t≤<, s为正整数.其中，t为n除以m的余数，0t m记变量k表示当前的正面数.显然，从开始，经过s轮纯翻转后k=t; 当k=0时，就成功了.性质1. 选a个正面和m-a个反面的一轮翻转后，正面数的变化量为.k m a∆=-，（2）2∆=-.特别是，做纯翻转时，k m性质2. 当k(<2m)为偶数时，只需再翻两轮必会成功.证明：若k=m , 则做一轮纯翻转必成功.≠，则先选k/2个正面和m-k/2个反面做一轮翻转，若k m１（注：因2m<n<2n-k, 故2m<2n-k, 2m-k<2n-2k, m-k/2<n-k, n-k是反面数，即这样选取是可行的. ）则翻转后的正面数k k k k m k m=+∆=+-='()k=，就成功了.再做一轮纯翻转，"0≠时，只翻一轮必定未能成功，故翻两轮必是最佳方法因为k m（轮数最少）2．情形一，m是奇数（不论n是奇数还是偶数）.先做s-1轮纯翻转，得k=m+t. 只有如下3种可能：（ⅰ）t=0. k=m, 再做一轮纯翻转就成功.（ⅱ）t (<m)是奇数. k已是偶数，且m<k<2m.由性质2，只需再翻两轮必会成功.（ⅲ）t (<m)是偶数. 再做一轮纯翻转后化为k=t. 由性质2，只需再翻两轮必会成功.3．情形二，n，m都是偶数. 由(1)式知t是偶数或0, 经s轮纯翻转后，k=t，由性质2，至多再翻两轮就会成功.4．情形三，n是奇数，m是偶数. 由(1)式知t是奇数, 由(2)式知, k∆是偶数或0，故无论翻转多少轮，k始终是奇数, 不会出现k=0, 即不会成功.２5．综合6. 例子例1．n=8，m=3, s=2, t=2. 翻4轮必成功0------正面，1------反面例2 . n=7，m=3, s=2, t=1. 翻3轮必成功３４推广把以上的条件2m ≤n , 改为 m ≤n 。

作者: 杨金珏翻硬币问题诀窍翻硬币问题诀窍硬币问题是公务员考试出现的数学运算题型，属于逻辑类考题，这类问题变化复杂，对考生的推理能力要求高。

博大弘仕杨金珏老师将在这里介绍翻硬币问题的快速解题技巧。

首先要明白什么是“翻硬币问题”，通常题面形式是这样的：M个硬币全部正面朝上，现在要求每次必须同时翻转其中的N个硬币，至少翻转多少次才能使全部硬币反面朝上？那么可能出现四种情况：硬币总数（M）每次翻硬币数量（N）奇奇奇偶偶奇偶偶上面四种情况中，只有当硬币总数是奇数个并且每次翻偶数个硬币时，不能完成要求，其他三种都可以完成翻转。

为什么不能完成这种情况呢？根据奇偶的基本性质可以推导出来，每个硬币必须翻转奇数次才能实现反面朝上，现在总数是奇数，那么所有硬币翻转总数就是奇数个奇数，其结果必定是个奇数。

但是每次翻转偶数个硬币，那么硬币被翻动的总数为偶数乘以翻动次数，结果必定是偶数。

所以这种情况下是不可能完成任务的。

翻硬币问题形式多样，这里总结出了一个基本的解题步骤。

第一步：判断总个数是否与每次翻的个数呈倍数关系。

如果是倍数关系，翻动次数＝M÷N第二步：如果没有倍数关系，考虑硬币总数的奇偶情况。

当总数为偶数（1）每次翻的个数是总数减一【例1】现有6个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5个硬币（必须要翻转5A.5次B.6次C.7次D.8次【解析】本题属于归纳推理问题。

一个硬币要翻面，需要翻奇数次，一共有6个硬币，每一次翻转5个，那么必须翻转偶数次才能保证每一枚硬币翻转奇数次，故排除A、C。

因为每次翻五个，则有一个没被改变，或者说每次是在原来的基础上变一个，一共有6个硬币，每次变一个，那么需要6次才能全部变完。

具体过程如下：故需要6次，故正确答案为B。

这类问题的解答公式为：翻动次数＝M翻动方法：只要按照第一次第一个不翻，第二次第二个不翻，按照此方法进行操作就可以成功。

（2）除了上述以外情况，要计算翻动次数，我们采用余数分析法。

趣谈硬币翻动问题摘要：本文拟通过分类讨论、逐次压缩等方法给出硬币翻动问题的最优解，并给出翻动方法。

关键词：硬币翻动问题有一次，几个朋友聚在一起做这样一个游戏：现有13枚全部正面向上的硬币，每次连续翻动3枚不同硬币，使之反面向上，要求要最少的翻动次数将所有的硬币反面向上，怎样翻动？朋友们都将13枚硬币全部翻为反面向上，但是对于自己翻动的次数是不是最少，却不敢肯定，看到笔者来之后，异口同声地说：数学教师来了，一定有给一个正确答案。

在略思片刻之后，笔者给出了正确的翻动方法，并说出了理由。

朋友们听完之后，拿着答案高兴地离开了，令笔者悲哀的是，没有一个人问14枚、15枚…n枚时，结果又是多少？现在我们将问题变为：现有n（n≥3）枚全部正面向上的硬币，每次连续翻动3枚不同硬币，使之反面向上，至少要作几次翻动恰能使所有的硬币反面向上？我们不妨将n进行分类。

情形一：当n=3k（k∈N*）时最少次数为k，且k 次恰能翻完。

证明：若翻动次数为m，则共翻动3m枚次硬币。

又3m≥3k，m最小为k。

此时只需每枚硬币不重复翻动即可。

若翻动次数为m且m<k，则共翻动硬币3m 枚，此时3m<3k，没翻动完。

故最少次数为k，且k 次恰能翻完。

情形二：当n=3k+1 （k∈N*）时，①若n=4时，至少要4次，且恰好4次可翻完所有硬币。

不妨用“1”表正面向上，“0” 表反面向上，其情形如下表：第一次：显然应该如此。

第二次：必动一个正面向上者。

不然就回到开始情形。

第三次：必动两个反面向上者。

不然就回到第一次的情形。

故当n=4时，至少要4次，且恰好4次可翻完所有硬币。

②若n=3k+1 （k≥2 k∈N*）,由1可知k次不可能翻完，翻动次数至少为k+1次。

现在给一种方法，使这3k+1枚硬币恰好k+1次翻完。

翻动方法如下：第一次：翻动3枚，余下3（k-1）+1枚正面向上。

第二次：翻动3枚反面向上的硬币中的一枚，同时翻动3（k-1）+1枚正面向上的硬币中的任意2枚，此时恰有3（k-1）枚正面向上。

翻转硬币编程题目【原创版】目录1.翻转硬币的编程题目概述2.翻转硬币题目的解决方案3.翻转硬币题目的编程实践4.翻转硬币题目的扩展思考正文一、翻转硬币的编程题目概述翻转硬币问题是一道经典的编程题目，主要涉及到递归和二进制思维。

题目描述如下：给定一个包含 n 个硬币的序列，每次可以选择翻转其中一个硬币或者翻转相邻两个硬币。

要求通过一定次数的操作，使得所有硬币正面朝上或者反面朝上。

二、翻转硬币题目的解决方案为了解决这个问题，我们可以采用递归的方法。

递归的核心思想是将大问题分解为小问题，然后通过解决小问题来得到解决大问题的方法。

在这个问题中，我们可以将 n 个硬币的序列分成两部分，一部分是只有一个硬币，另一部分是 n-1 个硬币的序列。

对于只有一个硬币的情况，我们可以直接翻转，而对于 n-1 个硬币的序列，我们可以采用递归的方法来解决。

三、翻转硬币题目的编程实践下面是一个使用 Python 编写的翻转硬币的解决方案：```pythondef flip_coins(coins):if len(coins) == 1:return coins[0] == "H"else:flip1 = flip_coins(coins[1:])flip2 = flip_coins(coins[:2]) +flip_coins(coins[2:])return flip1 and not flip2coins = ["H", "H", "T", "H", "T"]print(flip_coins(coins))```四、翻转硬币题目的扩展思考翻转硬币问题还可以进行一些扩展，比如在每次操作中，我们可以选择翻转一个硬币、两个硬币或者不翻转。

此外，我们还可以考虑在翻转硬币的过程中，硬币可能会掉落，因此需要在每次操作前判断硬币是否会掉落。

课题:图形的滚动执教：射阳二中 胡仁界教学目标:经历对图形滚动类问题的探究过程，寻求解决滚动类数学问题的途径，培养学生用动态思维去分析问题和解决问题的能力，感受数学知识的趣味，体验到数学的魅力。

教学过程：一. 导入二. 探究活动一:圆的滚动1. 课前小实验:两枚如图同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动。

滚动时两枚硬币总保持有一点相接触（外切），当滚动的硬币沿固定的硬币作无滑动滚动一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转了几周?2. 探讨:车轮的滚动在平地上,自行车车轮(设半径为R)滚动一周,前进了多少路程?由此你发现了什么规律？[即学即用]小明从家到学校的路程为1km,他骑的自行车的半径为30cm,那么,小明从家里骑车到学校,车轮大约转了多少圈?(π取3.14,精确到1圈.)3.你能说出硬币转动周数的计算方法吗?4.拓展:(1)有两个大小不等的圆,定圆⊙O 的半径为6cm,动圆⊙P 的半径为2cm,若⊙P 紧贴⊙O 外侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?(2)若(1)中的⊙P 紧贴⊙O 内侧滚动一周,则 ⊙P 自转了多少圈?方法小结:如何计算滚动的圆自转的圈数?5.中考链接:[例1]将半径为2cm 的圆形纸板,沿着边长分别为16cm 和12cm 的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?.O .P ..变化:如果圆开纸板贴着矩形内侧滚动一周并回到开始的位置,圆心所经过的路线长度是多少?[例2]一位小朋友在粗糙不打滑的“Z ”形平面轨道上滚动一个半径为10cm 的圆盘，如图所示，AB 与CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为60°，其中，AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你画出圆盘从A 点滚动到D 点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。

三.探究活动二：多边形的滚动[例3]如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置上，设BC ＝1，AC，则顶点A 运动到A 2的位置时，点A 经过的路线有多长？点A 经过的路线与直线l 所围成的图形的面积有多大？[例4] 如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中线段OA 围绕着点O 旋转了多少度?四.课堂小结五.作业.A604040BA C DO A A B B C CA A .O O.《滚动的图形》探究练习班级_____学号______姓名________1. 如图一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）圈.2.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B 点从开始至结束走过的路径长度是____________。