下载文档原格式
《硬币滚动中的数学》教案：一、创设问题情境1. 猜一猜，做一做，将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了()A．1圈B．1.5圈C．2圈D．2.5圈图1小李说，因⊙M和⊙N的周长都是r 2，所以，⊙N固定，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，⊙M也刚好一圈就能回到原位.小李说对了吗？先猜一猜，再动手做一做。
动手实验时，请在硬币⊙M上作好记号.实验的结果是，⊙M沿着⊙N的边缘滚动，要滚动二圈.二、探索新知，合作交流我们以前学习二次函数时，由抛物线1平移得到抛物线2，研究平移的方向和距离时，是考查的两抛物线的特殊点，——顶点。
那么，一枚硬币在平面上滚动，要研究它滚动情况，应观察什么？学生观察圆心，观察圆心的运动路径。
师：要研究⊙M沿着⊙N的边缘滚动二圈的原因，先研究最简单的情形，即⊙O在线段AB上滚动的情形。
（一）探究一硬币在直线上滚动（投影显示----⊙O在线段AB上滚动的情形）问题1：如图，将一枚半径为r的硬币在长度为2πr直线段上滚动一圈，这枚硬币滚动的距离为多少？圆心移动了多少距离？滚动的过程中，圆O与直线AB是怎样的位置关系？生：圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度.变式问题2：如图，线段AB=4πr ，则这枚半径为r的硬币从点A滚动到点B需滚动几圈？教师教具演示。
学生回答后，多媒体演示. 由问题1、问题2归纳出结论：当硬币在直线段上滚动时，硬币滚动的圈数=（二）探究二 硬币在折线上滚动 变式问题3：如图4（1），若将这条线段从中点C 处折成一个直角形状，这时两折线段的总长为4πr ，这枚半径为r 的硬币从点A 滚动到点B 是否还是滚动2圈？图4(1)①猜一猜。
请猜一猜还是刚好滚动2圈吗？②动手操作：拿硬币在书角处滚动一下.（先拿硬币在刻度尺上量一下手中的硬币滚动一圈的大约长度，然后在书角上做出标记再来滚硬币）（大约2.25圈）③算一算：如图4（2），（提示：找出圆心经过的路线.）先画出路线，再计算.多媒体演示：圆心经过的路线是由两条长为2πr 的线段和一条圆心角为90度、半径为r 的弧组成，总长度为3609024⨯+r r ππ， 所以滚动的圈数为)3609024(⨯+r r ππ÷2πr=412+.…… ……①变式师：图4（1），C 不一定是线段的中点，①还成立吗？为什么？ 生： 变式试一试：如图5（1），若将这条线段从中点C 处折成一个60度角，两折线段的总长为4πr ，这枚半径为r 的硬币从点A 滚动到点B 滚动了多少圈？圆经过的路径长圆周长=圆心经过的路径长圆周长图5(1)圆心经过的路线如图5（2），是由两条长为2πr 的线段和一条圆心角为60度、半径为r 的弧组成，总长度为36012024⨯+r r ππ，所以滚动的圈数为)36012024(⨯+r r ππr π2÷312+= … … …② 师：图5（1），C 不一定是线段的中点，②还成立吗？为什么？生：【变式】想一想，①如图6，半径为r 的圆，在两条折线和为4πr 且夹角为α度折线上滚动，滚动的圈数是多少？图6(1)②半径为r 的圆，在两条折线和为a 且夹角为α度两条折线上滚动，滚动的圈数又是半径为r 的圆，在两条折线和为a 且夹角为α度两条折线上滚动，滚动的圈数是：（三）探究三 硬币在多边形外部滚动 变式1. 刚才折线总长为r π4，连AB ，得等边三形ABC 。
小硬币、大学问——硬币的滚动问题教学目标：1、探究硬币在不同的轨道上滚动时的轨迹和距离2、巩固《圆》的知识，感受动态几何的特点，使数学知识向生活和实践延伸3、用硬币作为工具，进行实验、观察、画图、猜想，确定圆心的运动轨迹，综合利用直线与圆相切、圆与圆外切、弧长公式等圆的相关性质计算出硬币的运动距离教学重点：勤动手、勤动脑、互助合作提高解决问题的能力教学难点：探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同的轨道上运动的轨迹教学过程：一、示标导学(1)学生用课前准备好的一枚硬币沿着直线滚动一圈，观察它所滚动过的的轨迹和距离．(2)将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它所滚动过的轨迹和距离思考①一枚硬币在平面上滚动一圈，那么它滚动轨迹是什么，它的距离是多少?②研究滚动的硬币经过的距离时，怎样观察硬币最方便?(观察圆心的运动路径，在进行后面的研究时最好在硬币上作记号) ③将两枚同样大小的硬币换成大小不一样的呢?点评动手操作旨在引起学生对本课题的兴趣和思考．二、自主学习展示交流探索新知，合作交流师:通过上述的活动，学生们知道硬币在直线上滚动一圈的距离刚好等于它的周长．自主探究1了解硬币发现问题问题1测量你手中一元硬币的直径，直径为厘米。
问题2将1元硬币沿直线，作无滑动滚动一圈，则该硬币滚动的距离为厘米。
问题3将两枚1元硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘无滑动滚动一周，这时滚动的硬币滚动了厘米。
自主探究2：硬币在直线上滚动问题1：如图，将一枚半径为r的硬币在直线上滚动一圈，则这枚硬币滚动的距离为 .圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度.问题2：如图，若线段AB=4πr ,则这枚半径为r的硬币从点A无滑动地滚动到点B需转圈.问题，将总长为4πr 的线段AB在中点C处折成90°，这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转圈。
三、精讲点拨硬币在多边形上滚动问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的外侧滚动一周需转圈.四、当堂检测将4枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚，而另一枚则沿着它们的边缘从⊙O滚动到⊙O′，这时硬币滚动的路程为，转了圈.五、课堂小结围绕下列问题，尝试自我总结1、测量硬币直径你用的什么方法？2、硬币沿直线滚动说明了什么？3、硬币沿折线滚动需要注意什么？4、沿多边形外缘滚动你发现什么规律？5、沿圆形外缘滚动你又有什么发现？6、关于硬币滚动、你想提醒大家什么？。
本次实验旨在通过跳动的硬币实验，验证牛顿第三定律，即作用力与反作用力定律。
通过观察硬币在跳跃过程中的受力情况，分析作用力与反作用力的关系，进一步理解牛顿第三定律。
二、实验原理牛顿第三定律指出：两个物体之间的相互作用力总是大小相等、方向相反。
在本实验中，硬币作为研究对象，当它跳跃时，与地面发生相互作用。
硬币对地面施加作用力，地面也会对硬币施加反作用力，这两个力大小相等、方向相反。
三、实验器材1. 硬币一枚2. 平滑的桌面一块3. 计时器一台4. 视频记录仪一台四、实验步骤1. 将硬币放置在桌面上，确保桌面平整、光滑。
2. 用手握住硬币，将硬币垂直向上抛出。
3. 观察硬币在空中运动的过程，并记录硬币落地的时间。
4. 观察硬币落地后，地面是否有反弹现象，并记录硬币反弹的高度。
5. 重复实验多次，以减小误差。
五、实验结果与分析1. 观察到硬币在跳跃过程中，与地面发生相互作用。
当硬币落地时，地面有轻微的反弹现象。
2. 记录硬币落地的时间，并计算平均时间。
3. 记录硬币反弹的高度，并计算平均高度。
4. 根据实验数据，分析硬币与地面之间的作用力与反作用力。
通过本次实验，验证了牛顿第三定律。
在硬币跳跃过程中，硬币对地面施加作用力，地面也对硬币施加反作用力。
这两个力大小相等、方向相反，符合牛顿第三定律。
1. 实验结果表明，硬币在跳跃过程中，与地面发生相互作用。
当硬币落地时，地面有轻微的反弹现象，说明硬币对地面施加了作用力。
2. 通过计算硬币落地时间和反弹高度的平均值，发现这两个值较为稳定。
这表明硬币与地面之间的作用力与反作用力在实验过程中保持一定的大小和方向。
3. 结合实验原理和实验结果，可以得出结论：硬币与地面之间的作用力与反作用力符合牛顿第三定律。
七、实验总结本次实验通过跳动的硬币实验，验证了牛顿第三定律。
在实验过程中，我们观察到了硬币与地面之间的相互作用，并通过计算和分析实验数据，得出了符合牛顿第三定律的结论。
“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。
