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小硬币、大学问——硬币的滚动问题教学目标：1、探究硬币在不同的轨道上滚动时的轨迹和距离2、巩固《圆》的知识，感受动态几何的特点，使数学知识向生活和实践延伸3、用硬币作为工具，进行实验、观察、画图、猜想，确定圆心的运动轨迹，综合利用直线与圆相切、圆与圆外切、弧长公式等圆的相关性质计算出硬币的运动距离教学重点：勤动手、勤动脑、互助合作提高解决问题的能力教学难点：探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同的轨道上运动的轨迹教学过程：一、示标导学(1)学生用课前准备好的一枚硬币沿着直线滚动一圈，观察它所滚动过的的轨迹和距离．(2)将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它所滚动过的轨迹和距离思考①一枚硬币在平面上滚动一圈，那么它滚动轨迹是什么，它的距离是多少?②研究滚动的硬币经过的距离时，怎样观察硬币最方便?(观察圆心的运动路径，在进行后面的研究时最好在硬币上作记号) ③将两枚同样大小的硬币换成大小不一样的呢?点评动手操作旨在引起学生对本课题的兴趣和思考．二、自主学习展示交流探索新知，合作交流师:通过上述的活动，学生们知道硬币在直线上滚动一圈的距离刚好等于它的周长．自主探究1了解硬币发现问题问题1测量你手中一元硬币的直径，直径为厘米。
问题2将1元硬币沿直线，作无滑动滚动一圈，则该硬币滚动的距离为厘米。
问题3将两枚1元硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘无滑动滚动一周，这时滚动的硬币滚动了厘米。
自主探究2：硬币在直线上滚动问题1：如图，将一枚半径为r的硬币在直线上滚动一圈，则这枚硬币滚动的距离为 .圆滚动时，圆心经过的路径的长度等于圆滚动过的长度.问题2：如图，若线段AB=4πr ,则这枚半径为r的硬币从点A无滑动地滚动到点B需转圈.问题，将总长为4πr 的线段AB在中点C处折成90°，这时这枚半径为r的硬币从点A到点B需转圈。
三、精讲点拨硬币在多边形上滚动问题：将等边三角形改为正方形，则这枚硬币沿正方形的外侧滚动一周需转圈.四、当堂检测将4枚半径为1cm的硬币放在桌上，固定其中三枚，而另一枚则沿着它们的边缘从⊙O滚动到⊙O′，这时硬币滚动的路程为，转了圈.五、课堂小结围绕下列问题，尝试自我总结1、测量硬币直径你用的什么方法？2、硬币沿直线滚动说明了什么？3、硬币沿折线滚动需要注意什么？4、沿多边形外缘滚动你发现什么规律？5、沿圆形外缘滚动你又有什么发现？6、关于硬币滚动、你想提醒大家什么？。
“滚动的硬币”实验方案作者：王磊来源：《初中生世界·九年级》2014年第10期【实验课题】滚动的硬币.【实验背景】通过本次实验活动，帮助大家系统地理解《圆》这章的知识，感受生活问题数学化的过程.学会用系统思维思考动态几何的特点.经历对硬币滚动的轨迹和硬币移动的距离规律的研究，发展动手操作能力，提高数学思维水平与解决问题的能力.【实验目的】探究硬币滚动过程中的规律.【实验难点】探索硬币在两折线交汇处的运动轨迹及在不同轨道上运动的轨迹.【实验准备】一元硬币（半径为r，以下相同）若干，实验活动单，常用数学作图工具.【实验过程】活动一：熟悉硬币的滚动规律1. 将一枚硬币沿着直线l滚动一周，观察它滚动时圆心的运动的轨迹和移动的距离.思考：（1）硬币滚动时圆心的运动的轨迹是什么？硬币移动了多长路程？如果将这条直线变为线段，那么这条线段至少需要多长？_______________________________（2）研究硬币移动的路程时，有怎样的观测技巧？_______________________________【活动说明】从最简单的规律开始研究，为之后的实验活动打下基础.要弄清硬币滚动时圆心运动的轨迹和自身的移动路程之间的关系.活动二：探究简单的硬币滚动规律1. 围绕一条折线滚动如图1，一枚硬币（设为☉O）在折线AB-BC上滚动，观察它滚动时圆心运动的轨迹和圆心经过的路径的长度.【思考】（1）圆与AB、BC是什么关系？_______________________________（2）☉O的圆心移动的路程等于线段AB与线段BC的长度之和吗？_______________________________（3）若∠O1BO2=n°，则该角度会对硬币圆心移动的路程有什么影响？_______________________________【活动说明】把直线改为折线，逐步增加探究的深度，通过观察、思考、探究、交流和总结的过程，锻炼自主学习和语言表达能力，为下一环节的学习做铺垫.2. 围绕一个三角形滚动如图2，若硬币围绕一个三角形滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________3. 围绕一个多边形滚动如图3，若硬币围绕一个多边形（设周长为C）滚动一周，圆心经过的路径的长度是多少？_______________________________【活动说明】由折线改为多边形，从而使情况由简单到复杂，由特殊到一般，遵循了人的认知规律.4. 将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一个，而另一个则沿着其边缘滚动一周，观察它滚动时圆心运动的轨迹和路径长度，你有何发现？_______________________________【活动说明】轨道改变为圆形时，也可以看成是当多边形的边数n趋近于无穷大时的图形，如下图5所示.活动三：拓展延伸，开阔视野问题：☉O围绕的轨道改为下列情形，你能发现其中的数学奥秘吗？（1）若半径为r的☉O沿着半径为2r的☉A滚动一周（如图6所示），这时圆心运动的路径长度是多少？_______________________________（2）若半径为r的☉O沿着7个半径均为r的圆连贯而成图形的边缘滚动一周，这时圆心沿着怎样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________（3）若半径为r的☉O沿着由6 个半径均为r的圆拼成图形的边缘滚动一周，这时，圆心沿着什么样的轨迹运动？路径长度是多少？_______________________________【活动说明】“活动三”主要探索硬币在不同轨道中滚动的情况，是对“活动一”和“活动二”的总结和提高.运用前面的探究结论，结合等边三角形的知识，“活动三”的问题可迎刃而解.通过三个难度逐步加大的实验，进一步锻炼了同学们的动手能力和思维能力，加强了小组成员间的合作意识.（作者单位：江苏省连云港市海州实验中学）。
课题：硬币滚动中的数学 (共4课时)【活动目标】：《硬币滚动中的数学》是华东师大版九年级数学（上册）第28章《圆》的章后课题学习。
探索硬币在不同的轨道上运动的轨迹和距离，这个问题很有趣，与圆的知识紧密联系，又有助于激发学生的学习兴趣，是本章知识的综合应用，通过学习学生应用数学的能力将会进一步的提高。
【课前小组准备】：1、直尺，计算器；2、一元硬币1枚，半径为3㎝和5㎝的圆形纸片；3、上网搜索一元硬币的直径。
【探究过程】：课时1：硬币在直线上滚动课堂探究：1、计算一元硬币的周长：2、在纸上画一条直线m ，如下图所示，在一元硬币边缘的某个位置涂上彩色记号，将这枚硬币在直线m 上滚动一圈，测得圆心经过的路径长是 ㎝.3、计算半径为将半径为3㎝的圆形纸片的周长： ㎝将3㎝的圆形纸片在直线上滚动一圈，测得圆心经过的路径长为 ㎝。
4、将半径为5㎝的圆形纸片进行2、3的操作。
5、思考：①在滚动的过程中，圆和直线的位置关系是什么？答案：相切②如何才能知道硬币刚好滚动了一圈？③研究硬币滚动的轨迹时，如何观察最方便？答案：轨迹是与直线平行的一段线段。
6、小组讨论：你们发现了什么规律？结论： 硬币在直线上滚动一圈的距离刚好等于它的周长。
圆滚动一圈，圆心经过的路径长等于圆的周长。
⊙O 滚动的距离等于圆心O 移动的距离。
思考：硬币在直线上滚动时，硬币滚动的圈数、圆的周长、圆心经过的路径长之间有何联系？我们将一元硬币的半径记为r ，① 将一枚半径为r 的硬币在直线上滚动1圈，这枚硬币滚动的距离是 2πr ， ② 将一枚半径为r 的硬币在直线上滚动2圈，这枚硬币滚动的距离是 4πr ， ③ 将一枚半径为r 的硬币在直线上滚动3圈，这枚硬币滚动的距离是 6πr ， 那么，硬币滚动圈数、圆的周长、圆心经过的路径长之间的关系是：硬币滚动的圈数=圆经过的路径长 = 圆心经过的路径长圆周长 圆周长m课堂探究：问题1、如图，将总长为4πr的线段AB在中点C处折成90°，这时，半径为r的硬币从点A到点B需转几圈？答案：AC+BC + 180－902πr 360问题2、如图，将总长为4πr的线段AB在中点C处折成60°，这时，半径为r的硬币从点A到点B需转几圈？答案：AC+BC + 180－602πr 360问题3、若AB长为a，点C为AB上任一点，如图所示，这时，半径为r的硬币从点A到点B需转几圈？答案：AC+BC + 180－∠12πr 360问题1：半径为r 的硬币沿等边△ABC 的外侧滚动一周需转 圈？答案：4圈问题2：将等边三角形改成正方形，则这枚硬币沿正方形的外侧滚动一周需转 圈？ 答案：5圈问题3：将等边三角形改成任意三角形，且该三角形的周长为a ，则这枚硬币沿三角形的外侧滚动一周需转 圈？答案：a ÷2πr+1问题4：将任意三角形改成任意四边形，且该四边形的周长为a侧滚动一周需转 圈？答案：a ÷2πr+1B BC B C C D问题5：如果是任意一个周长为a 的多边形，硬币需转 圈？答案：a ÷2πr+1总结：①一个周长为c 的圆绕周长为a 的凸多边形或圆形无滑动的滚动一圈回到出发点，因为每一次旋转的角度之和恰好等于360°,所以滚动的圆转动了n=（a ÷c+1）圈②一个周长为c 的圆绕凸多边形或圆形无滑动的滚动，滚动的路径长度之和用a 表示,所旋转的角度之和用m 来表示，则滚动圆转动了n=（a ÷c+m ÷360°）圈C E课时4：圆在曲线上滚动问题1：将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，另一枚沿着其边缘滚动一周，这时，滚动的硬币滚动了 圈？圆A 的运动轨迹是什么？此时，两枚硬币是怎样的位置关系？答案：（1）滚动的距离是 2π（r+r ）= 4πr 当硬币在曲线上滚动时，硬币转动的圈数=圆心经过的路径长÷圆周长=4πr ÷2πr =2（2）⊙A 的运动轨迹是以点O 为圆心，2r 为半径的圆（3）外切问题2：将一枚半径为r 的硬币沿着一个半径为2r 的圆形纸片的边缘滚动一周，这时，滚动的硬币滚动了 圈？画出硬币运动的轨迹。
综合与实践硬币滚动中的数学-华东师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.了解硬币滚动的基本规律2.理解角动量守恒定理，学习如何根据定理解决问题3.思维灵活，有创造性，能够运用所学的数学知识解决实际问题。
二、教学内容1.硬币滚动的基本规律2.角动量守恒定理3.实战演练三、教学重点1.规律的了解和理解2.角动量守恒定理的原理和应用四、教学难点1.角动量守恒定理的原理和应用2.同学们需要能够掌握一定数学思维并运用灵活。
五、教学过程(1)导入环节通过一则小视频来完成本节课的导入，视频中展示了两个硬币在台阶上滚动，其中一个硬币滚动的距离明显比另一个长，询问同学们为什么呢？(2) 活动1-硬币滚动的探究1.分组进行学习：同学们按照自己的小组进行研究。
2.观察探究：观察硬币在台阶上滚动时的规律，并进行总结。
3.交流讨论：小组之间进行分享和交流。
(3) 活动2-角动量守恒定理的应用1.角动量守恒定理的介绍和讲解2.实战演练：同学们根据所学知识，自己设计实验并进行演练。
(4) 活动3-总结延伸1.学习总结：总结观察到的规律和角动量守恒定理，并进行总结。
2.延伸拓展：探究极限情况和不同形状的物体在同等条件下的滚动规律。
(5) 板书设计勾勒出关键点，强化各个重点概念，让同学们学以致用。
六、教学评价1.观察同学们的小组交流、分享合作情况。
2.通过实战演练考核同学们能否应用所学角动量守恒定理解决问题。
3.掌握角动量守恒定理的本质以及规律的掌握与推广的能力。
七、思考和总结1.通过描述硬币的滚动规律和相关物理学概念，让学生对物理学的基本知识有更深刻的认识。
2.通过实验演示、讨论和总结，让学生成为能够独立思考、观察、实验和总结的全面人才。
八、延伸阅读教师可在本节课之后为同学们推荐一些有关角动量守恒定理相关的科普故事、书籍和视频。
同时也应该让同学们意识到在生活中学习不仅仅是为了考试，还是为了让生活变得更好，能够学以致用。
硬币的滚动轨迹研究一、课程目标知识目标：1. 让学生理解硬币滚动的基本原理，掌握影响硬币滚动轨迹的因素；2. 帮助学生掌握运用数学知识描述硬币滚动轨迹的方法；3. 引导学生了解圆周运动的基本概念及其在硬币滚动中的应用。
技能目标：1. 培养学生运用观察、实验、数据分析等方法研究硬币滚动轨迹的能力；2. 提高学生运用几何图形和数学公式解决问题的技能；3. 培养学生团队协作、沟通交流的能力，能够共同完成硬币滚动轨迹的研究任务。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对科学研究的兴趣，激发学生探索未知世界的热情；2. 培养学生严谨求实的科学态度，敢于面对困难和挑战；3. 引导学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生运用数学知识解决实际问题的信心。
课程性质分析：本课程属于自然科学与数学相结合的探究性学习，注重实验观察与理论分析相结合，旨在培养学生的实践操作能力和逻辑思维能力。
学生特点分析：六年级学生对科学实验有较高的兴趣，具备一定的观察、分析和总结能力。
在此基础上，学生能够通过本课程的学习，进一步提高探究问题和解决问题的能力。
教学要求：1. 教师应注重引导学生从实践中发现问题，激发学生的探究欲望；2. 教师要关注学生在探究过程中的思维发展，适时给予指导；3. 教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，培养团队协作精神。
二、教学内容1. 硬币滚动的基本原理：引导学生理解硬币在滚动过程中的力学原理，包括重力、摩擦力等；教材章节：《力学》第五章“力的作用与运动”2. 影响硬币滚动轨迹的因素：探讨硬币大小、重量、表面材质等对滚动轨迹的影响；教材章节：《力学》第五章“摩擦力”、《几何》第二章“圆的性质”3. 描述硬币滚动轨迹的方法：教授学生运用几何图形、数学公式描述硬币滚动轨迹；教材章节：《几何》第二章“圆的方程”、“圆的切线方程”4. 圆周运动在硬币滚动中的应用：分析硬币滚动过程中圆周运动的特点及其对滚动轨迹的影响；教材章节：《力学》第四章“匀速圆周运动”5. 实践操作与数据分析：组织学生进行硬币滚动实验，收集数据，分析并总结规律；教材章节：《实验指导》第三章“力学实验”教学进度安排：第一课时：硬币滚动的基本原理及影响滚动轨迹的因素；第二课时：描述硬币滚动轨迹的方法；第三课时：圆周运动在硬币滚动中的应用；第四课时：实践操作与数据分析。
