星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换讲课讲稿

三角形网络与星型网络的变换下图两种电路的接法分别叫三角形接法（网络）和星形接法（网络），只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A 、a 、B 、b 和C 、c 将具有相同的电势.由R ab =R AB ，R ac =R AC ，R bc =R BC ，对ab 间，有CABC AB BC AB CA AB BC AC AB b a R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(① 同样，ac 间和bc 间，也有CA BC AB CA BC CA AB BC AB CA c a R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(② CABC AB CA BC BC AB CA AB BC c b R R R R R R R R R R R R +++=++=+-1)11(③ 将①+②－③得：CABC AB CAAB a R R R R R R ++=再通过①－②＋③和③+②－①，并整理，就得到R b 和R C 的表达式. 在把R a 、R b 、R C 看做已知的，反解出R AB ，R AC 和R BC ，可以得到下面的式子bac c b b a CA CABC AB ACBC c a ac c b b a BC CA BC AB BCAB b c ac c b b a AB CA BC AB CAAB a R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ++=++=++=++=++=++=左边是三角形网络转化成星型网络的一组变换式； 右边是星型网络转化为三角形网络的一组变换式；（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。

i1
u12 R12
u31 R31
i2
u23 R23
u12 R12
(1)
i3

u31 R31
u23 R23
由等效条件，比较式(3)与式(1)，得由Y接接的变换结果
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R2 R3 R1
R3
R1
或
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3
R1
d
h
b
f
a
e
c
g
b
f
返回 上页 下页
电阻电路的等效变换
d
将等电位点短接，
a
e
画出等效电路：
h
c
g
b
f
b de a
cf h
Rag
R 3
R 6
R 3
g
5
R
6
返回 上页 下页
电阻电路的等效变换
（2）求Rab
d
由电路对称性，
h
找出等电位点：
a c
b
a
e
d、e等电位
c、f等电位
g
7
f
Rab 12 R
hg
1.5 (0.6 1.4)(1 1) 2.5 0.6 1.4 1 1
求得： i 10 10 4 R 2.5
返回 上页 下页
电阻电路的等效变换
＋
10V －
i1
3 2
2
1.4
3
图(a)
5 Y→△ ＋
4
10V
－
1
i1
3
2

2.三角形联结则是把三个电阻Rab、Rca、Rbc依次联成一个闭合回路，然后
三个联结点再分别与外电路联结于三个点a、b、c（此三点电位不同）。 3.在电路分析时，有时为了分析和计算的方便，需要将星形联接的电阻和三 角形联接的电阻进行等效变换。等效的原则依然是等效前后对外部电路不发 生任何影响。
若星形联结的三个电阻阻值相等，则变换后的三角形联结的三个电阻也相等， 它们之间的关系为 RΔ 3RY
三、知识深化
例10 如图1-55（a）所示桥式电路，试求电流I。
解：图1-55（a）所示桥式电路中的电阻并非串联或并联，而是由两个三角形 网络组成，我们可以将图1-55（a）中的一个三角形网络（abc）变换为星形 联结形式，这样电路就可以简化为如图1-55（b）所示的串并联形式。
三角形联结是把三个电阻Rab、Rca、Rbc依次联成一个闭合回路，然后三
个联结点再分别与外电路联结于三个点a、b、c（此三点电位不同），如图154（a）和（b）。三角形联结也可写成Δ形联结或π形联结。
图1-54 电阻星型联结和三角形联结的等效变换
二、知识准备
（三）三角形与星形连结之间的等效变换
在电路分析时，有时为了分析和计算的方便，需要将星形联接的电阻和三 角形联接的电阻进行等效变换。等效的原则依然是等效前后对外部电路不发生 任何影响；将这一原则用于Y、Δ电路之间的等效变换时，具体的内容应当是， 在两种不同的联结方式中对应一个端子悬空的情况下，若剩余两个端子间的电 阻值相等，则它们就等效。根据以上原则，我们可以推导出等效变换的公式。
图1-55 例10图
将图1-55（a）中的6Ω、10Ω、4Ω三个电阻组
成的三角形网络等效变换为星形网络，其等效电阻
为
6 10 R1 6 4 10 3 (Ω)

三角形和星形电阻电路的等效变换1. 引言大家好，今天我们聊聊电路中的那些事，特别是三角形和星形电阻电路的等效变换。

听起来是不是有点高大上？其实嘛，这就是把电阻放在不同的位置，让它们的工作变得更轻松而已。

电阻就像是电路里的小助手，有时候换个地方就能发挥出意想不到的效果，就像你换个角度看问题，顿时豁然开朗。

我们在这儿就像是在煮面，偶尔换点调料，味道也会大变样呢！2. 三角形电阻电路2.1 三角形电阻的特征首先，我们得认识一下三角形电阻。

想象一下，电阻排成一个三角形，三个边各自相连，就像三兄弟一起打拼。

这种连接方式让电流在不同的电阻之间穿梭，仿佛是在玩“你追我赶”的游戏。

而且，三角形的结构让我们能轻松计算出每个电阻的作用，真是聪明的设计！2.2 三角形电阻的用途那么，三角形电阻到底有什么用呢？比如，当我们需要调节电流或电压时，三角形电阻就派上了用场。

它能够将复杂的电路简化，让我们一目了然。

这就像是把一锅杂烩理顺成一碗清汤，简单明了，心里也舒服。

可是呢，三角形电阻有时候会让电流走得比较复杂，不容易理解。

3. 星形电阻电路3.1 星形电阻的特征说完了三角形，我们再来说说星形电阻。

这个星形可不是什么美丽的星空，而是电阻像星星一样，中心有个共同的节点，其他的电阻都从这个节点出发。

这就好比我们一家人围坐在一起，大家都有自己的事，但又紧紧联系在一起。

星形电阻的连接方式让电流分流更均匀，效率高得多，真是聪明绝顶！3.2 星形电阻的优势星形电阻的优势就在于它能有效降低电路的复杂度，简化计算。

想象一下，原本你得对着一大堆复杂的数学公式挠头，现在只需几笔，就能轻松搞定。

这样的电路就像是我们日常生活中的简约风格，虽然简单，却能达到很好的效果。

再说，星形电阻也能避免过大的电流，保护其他部件，就像是家里有个“大哥”，照顾着其他小弟弟们。

4. 三角形与星形的等效变换4.1 等效变换的原理好啦，说到这儿，咱们得聊聊怎么把三角形电阻变成星形电阻。

第三篇电阻星形连接与三角形连接的等效变
换
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第三篇电阻星形连接与三角形连接的等效变换
图 1 一 1 ( a ）所示是一个桥式电路，显然用电阻串并联简化的办法求得端口 ab 处的等效电阻是极其困难的。

如果能将连接在 1 、 2 、 3 、三个端子间的 R12R23R31构成的三角形连接电路，等效变换为图 1 一 1 ( b ）所示的由
R1R2R3构成的星形连接电路，则可方便地应用电阻串并联简化的办法求得端口ab 处的等效电阻，这就是工程实际中经常遇到的星形、三角形等效变换问题（简称 Y ―△变换）。

图1
在这里叙述 Y ―△变换并非要求同学们掌握此变换，而是通过讲解，了解变换的过程意义，为课程后续内容的学习（三相电路）先行建立一个感性认识，从而为更进一步的学习奠定基础。

等效要解决的问题是：图 1 一 2 ( a ）所示三角形连接（连接）与图 1 一 2 ( b ）星形连接（ Y 连接），就其 1、 2 、 3 三个端子而言，要求对外等效。

要完成等效，应明确R1R2R3三个 Y 连接电阻与R12R23R31三个连接电阻应满足什麽关系。

一种推导等效变换的办法是两电路在一个对应端子悬空的同等条件下，分别测两电路剩余两端子间的电阻，并要求测得的电阻相等。

式 l 可方便地用来求三角形连接电阻等效的星形连接电阻。

若由星形连接求等效三角形连接的公式可将式！变换一下，即可得到。

3
等效变换——星形与三角形电阻电路的等效
双 端
口 i1பைடு நூலகம்
网 络
i3 i2
端口v-i关系相同
i12
i1 i31 i23 i2
星形（Y）
端
v13 i1R1 i3R3
口 伏
v23 i2 R2 i3R3
安 关
i3 i1 i2
系
v13 AY i1 BY i2
v23 CY i1 DY i2
三角形（Δ）
双
端
Y
口
网
络
Y
等效关系式
R12
R1R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3 R1
R31
R1R2
R2 R3 R2
R3 R1
当R1 R2 R3 RY时， 得R12 R23 R31 3RY
R1
R31R12 R12＋R23＋R31
R2
R12 R23 R12＋R23＋R31
R3
R23R31 R12＋R23＋R31
当R12 R23 R31 R时， 得R1 R2 R3 R / 3
电工电子教学基地 电路分析教学组
1
2
3 外三内一
5
等效变换——星形与三角形电阻电路的等效 Y-Δ电阻电路等效的应用
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店 铺）
电工电子教学基地 电路分析教学组
6
v13 i31R31 v23 i23R23
i31 i1 i12 i23 i2 i12
AY A , BY B CY C , DY D
等效条件
i12 (v13 v23 ) / R12

27
本章要点：
一、等效及等效变换旳概念 二、电源旳连接及等效变换：
（理想电源；实际电源；实际电源间等效变换） 三、电阻旳连接及等效变换：
（串联；并联；混联；星形连接与三角形连接及相 互间等效变换）
四、单口网络及无源单口网络旳等效变换 五、利用等效变换分析含受控源电路
（含受控源单口网络化简；含受控源简朴电路分析）
=5
解得：i=2A u32 =14V
i2 = - 1A, i1 =0.6A
20
5 4
20
2-4 单口网络及其等效变换
无源单口网 络
一、单口网络：
有源单口网
络 具有两个引出端，且两端纽处流过同一电流。
二、等效单口网络： 两个单口网络外部特征完全
相同，则称其中一种是另外一种
旳等效网络。
三、无源单口网络旳等效电路：
（2）电路模型:
(a)
(b)
实际电压源模型可等效为一种理想电压源Us和电 阻Rs旳串联组合。
3
2、实际电流源模
型
Is
（1）伏安关系：
i = Is - u/Rs = Is - uGs
其中：Gs直线旳斜率。
（2）电路模型： 实际电流源模型可等效
为一种理想电流源Is和电阻Rs 旳并联组合。
(a)
Is
Rs
8
练习：利用等效变换概 念求下列电路中电流I。
解： 经等效变换,有
I1
I1 =1A
I =3A
I1
I1
9
2-2 理想电源旳等效分裂与变换：
一、理想电压源旳等效分裂与变换
（举例）
+ 12V _
10
二、理想电流源旳等效分裂与变换

0.4
R3

2
1 2 1
2

0.4
则：R12 0.8 0.4 1//0.4 2 1 2.684
Chapter 2
方法二：将Y→△（如下图），自己练习。
1 2Ω
R12
2
1Ω 2Ω
1
2Ω
1Ω
2
1Ω
3
1
1
R12
R13 2 Ω
2
1Ω
1Ω 2
R23
3
1
R12
2
说明:使用△-Y 等效变换公式前，应先标出三个端头标 号，再套用公式计算。
设n个电阻串联
i
R1
R2
+
u
Rn
-
i Req
+
u
-
1.特点：流过串联电阻的电流为同一电流。
Chapter 2
2.等效电阻
Req

u i

R1i

R2i

R3i


Rni
i

R1 R2
Rn

n
Ri
i1
3.分压原理： i R1
+
R2 Rk Rn
+
u
uk
-
-
uk

Rk Req
u
串联电阻具有分压作用，电阻越大，分压越高。
互等效。
由 ②式得：
u i is Gs Gs
③
由等效条件有①式＝③式 ：

Rsi
us

i Gs

is Gs
且i=i，可见，等效公式为：

Rc2 Rc2 Rd4
I
40 51A 4060
电子发烧友 电子技术论坛
第2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.5（六）
为了求得R1、R3、R5的电流, 从图2.10(b)求得
U a cR a I R c I2 2 5 0 4 3 1V 1
回到图2.10(a)电路, 得
I1
Uac1122.8A R1 40
I2 R2
R5 I4
I
R3
R4
R0
＋ Us －
R
a
I
I2
R c
R2
R
d
R0
I4 R4
＋ Us －
(a)
(b)
图2.10例2.5图 电子发烧友 电子技术论坛
第2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.5（三）
解 将△形连接的R1, R3, R5等效变换为Y形连接的 Ra, Rc、Rd, 如图2.10(b)所示, 代入式(2.8)求得
第2章 直流电阻电路的分析计算
⒉ 三角形、星形等效的条件
端口电压U12、U23、U31 和电流I1、I2 、I3都 分别相等，则三角形星形等效。
电子发烧友 电子技术论坛
第2章 直流电阻电路的分析计算
3.已知三角形连接电阻求星形连接电阻
R1
R 12
R 12 R 31 R 23
R 31
R2
R 12
⒈三角形连接和星形连接
三角形连接：三个电阻元件首尾相接构成一
个三角形。如下图a所示。 星形连接：三个电阻元件的一端连接在一起，
另一端分别连接到电路的三个节点。如上图b所 示。
I1
I1 1
1
I12

i1Y i2Y i3Y 0
返回 上页 下页
电阻电路的等效变换
由式(2)解得：
i1Y
u12Y R3 u31Y R2 R1R2 R2 R3 R3 R1
i2Y
u23Y R 1 u12Y R1R2 R2 R3
R3 R3
R1
(3)
i3Y
u31Y R2 u23Y R1 R1R2 R2 R3 R3 R1
G12
G1
G1G2 G2 G3
G23
G1
G2G3 G2 G3
G31
G1
G3G1 G2
G3返回
上页
下页
电阻电路的等效变换
由Y接 接的变换结果：
R12
R1 R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1 R2
R2 R3 R1
R3
R1
或
R31
R1 R2
R2 R3 R2
R3
R1
4
35 R1 3 2 5 1.5
32 R2 3 2 5 0.6
R3
3
2 2
5
5
1
返回 上页 下页
电阻电路的等效变换
＋
10V －
i1
1.5
0.6 1
2
3
1.4
1
再用电阻串联和 并联公式，求出连接 到电压源两端单口的 等效电阻：
4
R 1.5 (0.6 1.4)//(1 1)
5 )
17
R23
(5
2+2 1+1 5
5 )
3.4；
R31
(
5
2+2 1+1 2
5 )
8.5

竞赛辅导－叠加原理、 星形和三角形电路地等效替换
一、叠加原理：
若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路地电流等于各个电动
势单独存在时，在该支路产生地电流之和.
例：如图所示， ΩΩΩΩΩ,
求：中地电流.
二 * 二、星形和三角形电路地等效替换：
在某些复杂电路中往往会遇到电阻地形或△形联接，为了简化电路，
有时需要把形联接地电路替换成△形联接电路，有时则需要把△形联接地电路替换成形联接地电路.为了能等效替换，要求形联接地三个端纽地电势、、以及流过地电流、、与△形联接地三个端纽相同.
可以证明，从
形联接到△形
联接，各电阻
之间地变换关
系为：
从△形联接到形联接，各电阻之间地变换关系为：
例．如图每一个电阻均为.求为多少？
例． 求下图电路中地电流.。

第二章简单电阻电路的计算当电路比较简单时，可不必通过列KCL 、KVL 方程组对电路进行求解，可直接根据电路的不同连接方式将电路进行等效变换，化简电路得到其解答。

通常用的方法有电阻的串、并联，电阻的星---三角形转换、电压源、电流源之间的等效转换等。

其中一部分在物理学中已述，在此，只进行总结。

第一节 电阻的串联和并联一、串联：电路模型如图2-1-1。

特点：①由于电流的连续性，通过各电阻的电流均相等。

②等效电阻Req=R1+R2+….+Rn 若各电阻都相同则Req=nR1。

③ 由KVL u=u 1+u 2+…+u n 若已知总电压和各电阻的值，可用分压公式得出各电阻的电压。

④总功率P=P1+P2+P3+… 因此，P1：P2：P3= R1：R2：R3二、并联：电路模型如图2-1-2。

特点：①根据电压与路径无关，各电阻的电压相等。

②由KCL i=i 1+i 2+i n③等效电阻若用电导表示，Geq=G1+G2+…+Gn 。

④分流公式：其中GGG G i G ...G G G ii eq 1n 2111=+++=⑤总功率P=P1+P2+P3+… 因此，321321R 1:R 1:R 1p :p :p =三、串、并联电路的计算，通过例题说明。

【实例2-1】 图为一滑线变阻器，作分压器使用。

R=500Ω，额定电流1.8安。

若外加电压U=500V ，R1=100Ω。

求：①电压U2。

R 1...R 1R 11Req n21阻。

总电阻小于任意一个电+++=为分压系数其中eq1eq 11211R R R R u R *...R R uu =++=畏腐防变，在、党处行“落 三、单位开入党誓誓词，集师、党员教习教以下简列做合学党，现制②若用内阻Rv=800Ω的电压表测量输出电压，问电压表的读数多大。

③若误将内阻0.5Ω的电流表当电压表去测量输出电压，会有何后果。

解：①根据分压公式：v 400500100500500R R R UU 12=-=-=②用内阻800Ω的电压表测量输出电压，相当于并联一个800Ω的电阻。

Ra
R5
R3R1 R3
R1
50 40 10 50 40
20
Rc
R5
R1R5 R3
R1
4010 10 50 40
4
Rd
R5
R5R3 R3
R1
10 50 10 50 40
5
•10
第2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.5（四）
图2.10(b)是电阻混联网络, 串联的Rc、R2的 等效电阻Rc2=40Ω, 串联的Rd、R4的等效电阻 Rd4=60Ω, 二者并联的等效电阻
I5I3I4
2.220.2A •13
第2章 直流电阻电路的分析计算
教学方法
在得到星—三转换公式时，启发学生自己找 到记忆公式的规律。
•14
第2章 直流电阻电路的分析计算
思考题
求下图所示网络的等效电阻 Rab
a 10
20
5
10
5
b
•15
•4
第2章 直流电阻电路的分析计算
3.已知三角形连接电阻求星形连接电阻
R1
R 12
R 12 R 31 R 23
R 31
R2
R 12
R 23 R 12 R 23
R 31
R3
R 12
R 31 R 23 R 23
R 31
•5
第2章 直流电阻电路的分析计算
4.已知星形连接电阻求三角形连接电阻
I
40 51A 4060
•12
第2章 直流电阻电路的分析计算
例 2.5（六）
为了求得R1、R3、R5的电流, 从图2.10(b)求得
U a cR a I R c I2 2 0 5 4 3 1V 1

星形电路与三角形电路等效变换公式的简便方法摘要：介绍导出星形电路与三角形电路等效变换公式的一种简便方法关键词：星形电路三角形电路等效变换星形电路与三角形电路间的等效变换（简称Y—△等效变换）是电路分析和计算过程中经常需用到的一种变换。

因变换公式推导过程复杂，故在解决有关问题时，人们通常直接套用有关公式。

然而，由于变换公式形式比较繁锁，记忆不便，每次计算通常都需查找电路方面的有关书籍，给Y—△等效变换带来了不便。

最近有人已进行了一些研究，试图解决这一问题。

在本文中，作者提出了一种导出Y—△等效变换公式的简便方法。

利用该法，可非常迅速地写出Y—△等效变换公式，给电路的Y—△等效变换带来了方便。

为了说明本文方法，先以电阻电路为例，列写出Y—△等效变换公式。

设图1（a）和图1（b）两电路互为等效电路，则两电路的电阻间存在以下关系。

R1= （1）R2= （2）R3= （3）R12= + + （4）R23= + + （5）R31= + +（6）若星形电路的三个电阻相等，即R1= R2 =R3= RY，则等效的三角形电路有三个电阻也相等，即R12= R23 =R31= R△。

将这些关系停薪留职入（1）式和（4）式可得RY= R△（7）R△=3RY （8）以上（1）—（8）式即为Y—△等效变换用到的有关公式。

本文提出的导出上述各公式的方法是首先通过对称Y形和△形电路导出（7）、（8）两式，然后根据Y—△等效变换公式的基本形式对（7）、（8）两式进行变化，最后利用电路元件位置的对称性，通过变化了的（7）、（8）两式直接写出（1）—（6）式。

下面介绍这一方法。

设图2（a）和图2（b）互为等效电路，从两电路的1端流入的电流均为I，并且该电流分为两等份分别从2、3端流出。

因图2（a）和图2（b）互为等效电路，故两电路的1、2端间的电压相等，所以有RYI+RY• I=R△• I（9）由此得RY= R△（10）这样即导出了（7）式，根据Y—△等效变换公式的基本形式，可将（10）式变为RY= = （11）设上式中RY为星形电路1端所接电阻R1，则上式等号右边分子上的两个电阻R△必为三角形电路中相对1端位置成对称关系的两个电阻R12、R31，而分母为三角形电路中的三个电阻，必为R12、R12、R31、，这样由（11）式可导出R1=（12）以上即为（1）式。

提出问题
电桥不平衡 怎样处理？
星形电阻网络与三角形电阻网络旳 等效变换
电阻旳星形联接:将三个电阻旳一端连在一起，另一端 分别与外电路旳三个结点相连，就构成星形联接，又称为 Y形联接，如图2-17(a)所示。
电阻旳三角形联接:将三个电阻首尾相连，形成一种三 角形，三角形旳三个顶点分别与外电路旳三个结点相连， 就构成三角形联接，又称为Δ形联接，如图(b)所示。
R12
R1R2
R2 R3 R3
R3 R1
R23
R1R2
R2 R3 R1
R3
R1
R31
R1R2
R2 R3 R2
R3 R1
电阻星形联接等效变换为电阻三角形联接旳公式为
形电阻两两乘积之和 Rmn 不与mn端相连的电阻
当R1= R2= R3= RY时，有
R12 R23 R31 R 3R
在复杂旳电阻网络中，利用电阻星形联接与电阻三角 形联接网络旳等效变换，能够简化电路分析。
例2－11 求图2-20(a)电路中电流 i。
图2－20
解：将3、5和2三个电阻构成旳三角形网络等效变换 为星形网络[图(b)]，其电阻值由式(2－14)求得
R1
3
3 2
5
5
1.5
R2
32 325
0.6
R3
25 32
5
1
图2－20
再用电阻串联和并联公式，求出连接到电压源两端单 口旳等效电阻
R 1.5 (0.6 1.4)(11) 2.5 0.6 1.4 11
最终求得
i 10V 10V 4A R12
R31R12 R23
R31
R2
R12
R12 R23 R23