第9讲 有限元建模的基本原则

有限元网格划分的基本原则划分网格是建立有限元模型的一个重要环节，它要求考虑的题目较多，需要的工作量较大，所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。

为建立正确、公道的有限元模型，这里介绍划分网格时应考虑的一些基本原则。

1网格数目网格数目的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。

一般来讲，网格数目增加，计算精度会有所进步，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数目时应权衡两个因数综合考虑。

图1中的曲线1表示结构中的位移随网格数目收敛的一般曲线，曲线2代表计算时间随网格数目的变化。

可以看出，网格较少时增加网格数目可以使计算精度明显进步，而计算时间不会有大的增加。

当网格数目增加到一定程度后，再继续增加网格时精度进步甚微，而计算时间却有大幅度增加。

所以应留意增加网格的经济性。

实际应用时可以比较两种网格划分的计算结果，假如两次计算结果相差较大，可以继续增加网格，相反则停止计算。

图1位移精度和计算时间随网格数目的变化在决定网格数目时应考虑分析数据的类型。

在静力分析时，假如仅仅是计算结构的变形，网格数目可以少一些。

假如需要计算应力，则在精度要求相同的情况下应取相对较多的网格。

同样在响应计算中，计算应力响应所取的网格数应比计算位移响应多。

在计算结构固有动力特性时，若仅仅是计算少数低阶模态，可以选择较少的网格，假如计算的模态阶次较高，则应选择较多的网格。

在热分析中，结构内部的温度梯度不大，不需要大量的内部单元，这时可划分较少的网格。

2网格疏密网格疏密是指在结构不同部位采用大小不同的网格，这是为了适应计算数据的分布特点。

在计算数据变化梯度较大的部位(如应力集中处)，为了较好地反映数据变化规律，需要采用比较密集的网格。

而在计算数据变化梯度较小的部位，为减小模型规模，则应划分相对稀疏的网格。

这样，整个结构便表现出疏密不同的网格划分形式。

图2是中心带圆孔方板的四分之一模型，其网格反映了疏密不同的划分原则。

小圆孔四周存在应力集中，采用了比较密的网格。

有限元法的基本思想：首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。

其次，用每个单元内所假设的近似函数在单元内所假设的近似函数分片地表示全求解域内待求的未知场变量。

最后通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量的袋鼠方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。

（有限元法分为三类：即位移法、力法、和混合法。

位移求解问题的步骤如下：结构的离散化、单元分析、单元集成、引入约束条件、求解线线方程组，得出节点位移、由节点位移计算单元的应力与应变。

）节点位移：节点在受力变形过程中，节点位置的改变，分为线位移、角位移。

节点载荷：作用在节点上的外载荷。

单元节点力：单元与节点之间的作用力。

杆件结构划分单元的原则：（1）杆件的焦点一定要取为节点。

（2）阶梯行杆截面变化处一定要取为节点（3）支撑点和自由端要取为节点（4）集中载荷处要取为节点（5）欲求位移的点要取为节点（6）单元长度不要相差太多弹性力学的几个基本假设：连续性假设、弹性假设、均匀性和各向同性假设、小变形假定、无初应力假设。

弹性力学几个基本概念：1、外力：作用于物体的外力，通常分为表面力和体积力。

面力：分布在物体表面上的外力体积力：分布在物体体积内的外力，通常与物体的质量成正比且是各质点位置函数。

内力：弹性体受到外力作用后，其内部将有内力存在。

在选择多项式位移模式的时候考虑的因素：1、单元的完备性和协调性的要求2、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为N向各项同性。

3、多项式位移模式中的项数必须与单元多项式的项数与单元外节点的自由度相等弹性力学的典型问题：1、空间问题2、平面问题：平面应力问题、平面应变问题平面应力问题的特点：（1）长度尺寸远大于厚度（2）沿板面有平行版面的面力，且沿厚度均布：体力平行与版面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上无外力作用。

建立有限元计算模型1.有限元建模的准则有限元建模的总则是根据工程分析的精度要求,建立合适的,能模拟实际结构的有限元模型.在连续体离散化及用有限个参数表征无限个形态自由度过程中不可避免的引入了近似.为使分析结果有足够的精度,所建立的有限元模型必须在能量上与原连续系统等价.具体应满足下述准则:1) 有限元模型应满足平衡条件.2) 变形协调条件.3) 必须满足边界条件.4) 刚度等价原则.5) 认真选取单元,使之能很好的反映结构构件的传力特点,尤其是对主要受力构件应该做到尽可能的不失真.6) 应根据结构特点,应力分布情况,单元的性质,精度要求及其计算量的大小等仔细划分计算网络.7) 在几何上要尽可能地逼近真实的结构体,其中特别要注意曲线与曲面的逼近问题.8) 仔细处理载荷模型,正确生成节点力,同时载荷的简化不应该跨越主要的受力构件.9) 质量的堆积应该满足质量质心,质心矩及其惯性矩等效要求.10) 超单元的划分尽可能单级化并使剩余结构最小.2.边界条件的处理对于基于唯一模式的有限元法,在结构的边界上必须严格满足已知的位移约束条件.例如,某些边界上的位移,转角等于零或者已知值,计算模型必须让它能实现这一点.对于自由边的条件可不予考虑.3.连接条件的处理一个复杂结构常常是由杆,梁,板,壳及二维体,三维体等多种形式的构件组成.由于杆,梁,板,壳及二维体,三维体之间的自由度个数不匹配,因此在梁和二维体,板壳和三维体的交接处,必须妥善加以处理,否则模型会失真,得不到正确的计算结果.在复杂结构中,还能遇到各种各样其他的连接关系,只要将这些连接关系彻底弄清,就嫩提高写出相应的位移约束关系式,这些关系式我们称之为构件间复杂的连接条件,同时在计算中使程序严格满足这些条件.应当指出,在不少实用结构分析有限元分析有限元程序中,已为用户提供输入连接条件的借口,用户只需严格遵守用户使用规定,程序将自动处理自由度之间的用户所规定的位移约束条件.。

有限元模型简化原则一、前言有限元模型是一种常用的工程分析方法，可以帮助工程师预测结构在应力、振动等载荷下的响应。

由于实际结构往往非常复杂，为了简化模型并提高计算效率，有限元模型简化原则十分重要。

本文将介绍有限元模型简化原则的相关内容。

二、简化原则的目的有限元模型简化原则的主要目的是在保证计算精度的前提下，尽可能减少模型中节点数和单元数，从而提高计算效率。

同时，简化也可以使得模型更易于理解和分析。

三、节点和单元数的选择在有限元分析中，节点和单元数是影响计算精度和计算效率的两个关键因素。

因此，在进行模型简化时需要注意以下几点：1. 节点数：节点数越多，计算精度越高，但是计算时间也会相应增加。

因此，在进行节点选择时需要根据具体情况权衡取舍。

2. 单元数：单元数越多，计算精度也会相应增加。

但是，在进行单元选择时需要注意避免出现过于细小或过于大块状的单元。

四、几何形状的简化在进行有限元模型简化时，几何形状的简化也是一个重要的方面。

具体而言，可以从以下几个方面考虑：1. 几何形状的对称性：如果结构具有对称性，可以通过将模型分为几个对称部分来减少节点和单元数。

2. 几何形状的规则性：如果结构具有规则形状，可以通过利用其规则性来减少节点和单元数。

3. 几何形状的局部特征：如果结构某些部分与整体相比较小或不重要，可以将其忽略或简化。

五、材料参数的简化在进行有限元模型简化时，材料参数也是一个需要考虑的方面。

具体而言，可以从以下几个方面考虑：1. 材料参数的均匀性：如果结构中各部分材料参数相同，则可以将其视为均匀材料。

2. 材料参数的线性性：如果结构中各部分材料参数近似为线性，则可以将其视为线弹性材料。

3. 材料参数的非线性特征：如果结构中某些部分存在非线性行为，则需要对其进行特殊处理。

六、载荷条件的简化在进行有限元模型简化时，载荷条件也是一个需要考虑的方面。

具体而言，可以从以下几个方面考虑：1. 载荷类型的简化：如果结构受到多种载荷类型的作用，可以将其视为单一载荷类型进行分析。

•确保精度•控制规模•确保精度:表格1:误差分析及处理即使采用较少的单元和较低的差值函数阶次，也能获得较满意的离散精度。

例如，假设场函数在整个结构内的分布是二次函数，则用一个二次单元离散就能得到场函数的精确解。

如果场函数是线性或接近于线性分布，则用线性单元离散也能得到很好的离散精度。

但实际问题的场函数往往很复杂（如存在应力集中），在整个结构内很难遵循某一种函数规律，某些部位可能按高阶函数规律分布，某些部位又可能接近低阶函数的性质。

故，在划网格时，结构内的不同部位可能采用不同密度和阶次的网格形式。

综上所述：提高精度的措施：1•提高单元阶次（单元插值函数完全多项式的最高次数）阶次越高，插值函数越能逼近复杂的真实场函数，物理离散精度越高。

其次，高阶单元的边界可以是曲线或曲面，因此在离散具有曲线或曲面边界的结构时，几何离散误差也较线性单元小。

所以当结构的场函数和形状较复杂时，可以采用这种方法来提高精度。

单元的阶次越高，收敛速度越快。

2•增加单元数量等同于减小单元尺寸，尺寸减小时，单元的插值函数和边界能够逼近结构的实际的场函数和实际边界，物理和几何离散误差都将减小。

当模型规模不太大时, 可以采用这种方法提高精度。

但是值得注意的是：精度随着单元数量增加是有限的，当数量增加到一定程度后，继续增加单元数量，精度却提高甚微，再采用这种方法就不经济了。

实际操作时可以比较两种单元数量的计算结果，如果两次计算的差别较大，可以继续增加单元数量，否则停止增加。

3.划分规则的单元形状单元形状的好坏将影响模型的局部精度，如果模型中存在较多的形状较差的单元，则会影响整个模型的精度。

直观上看，单元各条棱边或各个内角相差不大的形状是较好的形状。

4.建立与实际相符的边界条件如果模型边界条件与实际工况相差较大，计算结果就会出现较大的误差，这种误差有时甚至会超过有限元法本身带来的原理性误差。

可采用组合结构模型法，这种方法可以较好地考虑影响较大的结构间的相互作用，避免人为设置边界条件带来的误差。

有限元基本要求有限元分析是一种基于数值的方法，将连续体结构离散为有限数量的元素，通过分析每个元素在外载荷下的力学行为来求解整个结构系统的行为。

在进行有限元分析时，以下是必须遵循的基本要求：1. 模型的精度要求我们需要确定模型的要求精度，以此来选择适当的节点数和元素数。

为了得出足够精度的结果，必须确保采用足够数量的元素。

但同时，过多的节点数和过多的元素会导致计算量的急剧增加，从而影响计算速度。

因此，我们需要找到一个平衡点，确定适当的元素数和节点数，以得到满足精度要求且具有合理计算速度的模型。

2. 材料和几何参数材料和几何参数是特定材料和结构的两个关键因素。

材料参数包括杨氏模量、泊松比和密度等。

结构参数包括长度、宽度和高度等。

在进行有限元分析时，我们需要准确地知道这些参数以确保模型的准确性。

通常，我们根据物理实验、承诺书、制造问题或文献资料等学习样本的材料和几何参数。

3. 网格划分将长、宽或厚度分布不均匀的结构分割成相对简单的部件（或单元），称为离散化或网格划分。

网格最小元素的数量越多，数值分析结果的准确性越高。

因此，网格划分的大小和图样非常根本。

如果网格划分太粗，将无法很好地捕获结构上出现的精细变化。

相反，如果网格划分过于细的话，可以增加运算量和存储需求，导致计算时间过长。

因此，在进行网格划分时，需要考虑这些因素，以生成既准确又有效的模型。

4. 选择适当的节点类型在有限元模型中，节点是离散化的结构的关键元素。

根据不同的建模需求，可以选择不同类型的节点，如位移节点、力节点和约束节点等。

节点的类型对有限元模型的解与精度都有影响。

在选择节点类型时，必须考虑各种因素，如建模精度、节点数、计算时间等，并根据实际需要进行选择。

在有限元模型中，节点是离散化的结构的关键元素。

根据不同的建模需求，可以选择不同类型的节点，如位移节点、力节点和约束节点等。

节点的类型对有限元模型的解与精度都有影响。

在选择节点类型时，必须考虑各种因素，如建模精度、节点数、计算时间等，并根据实际需要进行选择。

建立有限元模型的基本策略李威摘自《大型通用有限元程序系统MSC.NASTRAN基础培训教程》，以下的内容数据均来自MSC公司自己的考核数据，大家可以根据相应的模型做一下测试考一下。

1）设计模型在设计模型开始之前，必须对结构特性作出工程技术判断。

因为复杂结构的有限元模型涉及重要的工程技术与计算机资源，故在操作计算机建模之前，有必要制定一个建模计划，下面给出了在设计模型过程中必定出现的一些问题。

a）建立项目预算项目预算需要考虑可用于完成工程项目的时间，有效工时和计算机资源。

一般来说，随着所采用的模型自由度的增加，而增加计算机消耗、建模时间和得到感兴趣的结果的时间。

对于具有N个自由度的模型，计算机消耗的主要是由下面几部分组成：●一般管理费用（与N无关）●矩阵装配（与N成比例）N有关）●求解（与2●数据恢复（与N成比例）对于具有1000个自由度的静力问题，这些量是近似相等的，对于大的问题，求解消耗占主导地位（大家可以尝试1万单元的一个模型的计算消耗的内存、计算机CPU、以及中间生成文件的空间占用）。

b）解的精度问题精度问题是设计模型的关键问题，并且在相当程度上与经验与判断有关。

一般来说，增加单元数便提高精度。

例如，200个单元的模型得到的解与理论的误差为15%，增加100个单元，则可以改善解的精度到10%。

因此，懂得怎样附加单元以改善精度是十分重要的。

通常，在高应力梯度区域（也就是应力变化剧烈的部位）要求高精度的情况，要求较多的单元（细网格）。

但是我们在有限元结构分析中，应当去找到一定的规模，我们认为这样的规模已经可以达到一定的精度，能够满足我们的需要。

c）结构的破坏形式问题MSC.NASTRAN只能求出你要求的需求解的问题。

例如在线性静力问题分析中，你可以压缩一根细长柱，结果得到一短的高应力柱。

而真实的情况可能该是该柱在小的应力情况下便失稳了。

屈曲分析是不同的解法流程，要求特征值方法。

这就是说，用户需要根据可能的破坏形式选择相应的分析流程。

有限元模型的建立3 有限元模型的建立3.1 建模方法由节点和元素构成的有限元模型与机械结构系统的几何外型基本是一致的。

有限元模型的建立可分为直接法和间接法（也称实体模型Solid Modeling），直接法为直接根据机械结构的几何外型建立节点和元素，因此直接法只适应于简单的机械结构系统。

反之，间接法适应于节点及元素数目较多的复杂几何外型机械结构系统。

该方法通过点、线、面、体积，先建立有限元模型，再进行实体网格划分，以完成有限元模型的建立。

请看下面对一个平板建模的例子，把该板分为四个元素。

若用直接建模法，如图3-1，首先建立节点1~9（如N，1，0，0 ），定义元素类型后，连接相邻节点生成四个元素（如E，1，2，5，4）。

如果用间接法，如图3-2，先建立一块面积，再用二维空间四边形元素将面积分为9个节点及4元素的有限元模型，即需在网格划分时，设定网格尺寸或密度。

注意用间接法，节点及元素的序号不容易控制，其节点等对象的序号的安排可能会与给定的图例存在差异。

本章主要讨论直接法构建有限元模型，下一章介绍间接法（实体模型）有限元的建立。

3.2坐标系统及工作平面空间任何一点通常可用卡式坐标（Cartesian）、圆柱坐标（Cylinder）或球面坐标（Sphericity）来表示该点的坐标位置，不管哪种坐标系者需要三个参数来来表示该点的正确位置。

每一坐标系统都有确定的代号，进入ANSYS的默认坐标系是卡式坐标系统。

上述的三个坐标系统又称为整体坐标系统，在某些情况下可通过辅助节点来定义局部坐标系统。

工作平面是一个参考平面，类似于绘图板，可依用户要示移动。

欲显示工作平面可用如下操作：GUI:Utility Menu>Work PlaneGUI:Utility Menu>work Plane>Display Working Plane欲设置平面辅助网格开关可用如下操作：GUI:Utility Menu>Work Plane>WP Settings相关命令LOCAL,KCN,KCS,XC,YC,ZC,THXY,THYZ,THZX,PAR1,PAR2定义局部坐标系统，以辅助有限元模型的建立，只要在建立节点前确定用何坐标系系统即可。

有限元方法基本原理有限元方法被广泛应用于工程领域中对复杂结构力学问题的求解。

其基本原理是将一个复杂的实体分割成连续的小元素，并在每个小元素内近似描述结构的力学行为。

然后根据各个小元素的相互连接关系，通过求解各个小元素的力学方程，得到整个结构体系的力学响应。

在有限元方法中，划分成小元素的实体被称为有限元。

每个有限元内会选择一个适当的数学函数形式来近似描述该元素内的过程变量（如位移、应力等）。

通常，利用多项式函数或三角函数来近似描述是较为常见的选择。

有限元法的基本思想是利用小元素内的力学方程来建立元素间的联系。

这一联系通过引入节点来实现。

节点是在有限元网格上选取的特殊位置，在节点处的位移和应力是所有相邻元素的位移和应力的加权平均。

在整体结构体系上，所有节点只有两种运动自由度（如平面问题为两个：水平和垂直方向），我们将节点处对应的变量称为自由度。

有限元分析的过程可以分为网格划分、单元插值、力学方程建立和边界条件处理四个主要步骤。

首先，将整个结构体系划分成小的有限元。

然后，在每个有限元内部选择一个插值函数，并利用插值函数得到相应的位移和应力的近似解。

接下来，根据物体在各个小元素上的力学原则，建立每个小元素的力学方程。

最后，在整个结构体系上，应用边界条件将自由度限制在给定的边界条件下。

通过求解各个小元素的力学方程，可以得到整个结构体系的应力、应变和位移分布。

这些分析结果可以用来评估结构的强度、刚度和稳定性等重要参数。

有限元方法的优点在于它能够处理复杂的几何形状和边界条件，并提供了精确的力学响应。

因此，它被广泛用于各个工程领域中的结构设计和分析中。

2.1.1 有限元法基本原理（Basic Theory of FEM）有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。

根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。

这样组成有限的单元集合体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体[24][25]。

有限元法从选择基本未知量的角度来看，可分为三类：位移法、力法和混合法。

以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法；以节点力为基本未知量的求解方法称为力法；一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量的求解方法称为混合法。

由于位移法通用性强，计算机程序处理简单、方便，成为应用最广泛的一种方法[26]。

有限元法的求解过程简单、方法成熟、计算工作量大，特别适合于计算机计算。

再加上它有成熟的大型软件系统支持，避免了人工在连续体上求分析解的数学困难，使其成为一种非常受欢迎的、应用极广泛的数值计算方法[27]。

2.1.2 有限元法基本步骤（Basic Process of FEM）有限元法求解各种问题一般遵循以下的分析过程和步骤[28][29]：1. 结构的离散化结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。

将结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的计算模型，习惯上称为有限元网格划分。

离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。

所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。

这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。

显然，单元越小（网格越密）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之一。

一.确保精度二.控制规模一.确保精度：况下，即使采用较少的单元和较低的差值函数阶次，也能获得较满意的离散精度。

例如，假设场函数在整个结构内的分布是二次函数，则用一个二次单元离散就能得到场函数的精确解。

如果场函数是线性或接近于线性分布，则用线性单元离散也能得到很好的离散精度。

但实际问题的场函数往往很复杂（如存在应力集中），在整个结构内很难遵循某一种函数规律，某些部位可能按高阶函数规律分布，某些部位又可能接近低阶函数的性质。

故，在划网格时，结构内的不同部位可能采用不同密度和阶次的网格形式。

综上所述：提高精度的措施：1.提高单元阶次（单元插值函数完全多项式的最高次数）阶次越高，插值函数越能逼近复杂的真实场函数，物理离散精度越高。

其次，高阶单元的边界可以是曲线或曲面，因此在离散具有曲线或曲面边界的结构时，几何离散误差也较线性单元小。

所以当结构的场函数和形状较复杂时，可以采用这种方法来提高精度。

单元的阶次越高，收敛速度越快。

2.增加单元数量等同于减小单元尺寸，尺寸减小时，单元的插值函数和边界能够逼近结构的实际的场函数和实际边界，物理和几何离散误差都将减小。

当模型规模不太大时，可以采用这种方法提高精度。

但是值得注意的是：精度随着单元数量增加是有限的，当数量增加到一定程度后，继续增加单元数量，精度却提高甚微，再采用这种方法就不经济了。

实际操作时可以比较两种单元数量的计算结果，如果两次计算的差别较大，可以继续增加单元数量，否则停止增加。

3.划分规则的单元形状单元形状的好坏将影响模型的局部精度，如果模型中存在较多的形状较差的单元，则会影响整个模型的精度。

直观上看，单元各条棱边或各个内角相差不大的形状是较好的形状。

4.建立与实际相符的边界条件如果模型边界条件与实际工况相差较大，计算结果就会出现较大的误差，这种误差有时甚至会超过有限元法本身带来的原理性误差。

可采用组合结构模型法，这种方法可以较好地考虑影响较大的结构间的相互作用，避免人为设置边界条件带来的误差。

有限元分析几个重要原则01尽量把所有不会发生位移的节点都固定住，不要让求解器再去通过迭代计算来确定这些节点的位移。

举个简单例子：一个二维平面应变问题，包含两个弹性体，即圆筒和平板，如图1所示。

在圆筒中心的圆孔内壁上定义了固支边界条件，在平板顶部中央的A点给定义了位移U2=-2，希望使平板向正下方移动，和圆筒发生接触。

提交分析后，计算可以完成，但在分析结果中看到平板发生了异常的位移，如图2所示。

这是什么原因引起的？图1 定义了位移边界的模型图2 后处理时看到平板发生了异常的位移对于三维模型，每个部件都有3个平动自由度和3个转动自由度；对于二维模型，每个部件都有2个平动自由度和1个转动自由度。

在建立静力分析模型时，必须在模型每个实体的所有平动和转动自由度上定义足够的边界条件，以避免它们出现不确定的刚体位移，否则将导致分析往往无法收敛，即使能够收敛，结果也往往是错误的。

本例中，圆筒上定义了固支边界条件，不会出现刚体位移。

但是平板在x 方向上没有定义任何边界条件，因此在x 方向上的刚体位移是不确定的；在y 方向上，只在一个节点（A点）上给定了位移U2，这时整个平板仍然可以绕A点做刚体转动，即除了A点之外，平板上的其他节点的U2都是不确定的。

尽管整个模型并没有使平板发生转动或x 方向平动的载荷，直观感觉上此模型似乎是没问题的，但这样的模型符合有限元分析的要求。

这种“因为没有受力，所以不会移动”的因果关系，只是我们根据生活经验在头脑中进行逻辑分析时的思路，而Abaqus/Standard的求解过程恰恰与此相反，其过程是：迭代尝试各种可能的位移状态，检验它们是否能够满足静力平衡方程。

在本实例中，无论平板发生多大的转动或x 方向的平动，都可以满足静力平衡方程，即符合静力平衡条件的位移解有无限个，因此会出现“数值奇异”。

有限元是一种数值计算方法，计算过程中的微小数值误差会导致平板在缺乏约束的自由度上发生刚体运动，因此会看到如图2所示的异常结果。