人教A版高中数学选修4-5 第一讲 绝对值不等式 课件(共21张ppt)

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且 仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正 数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正 方体的体积最大. 解：设长方体的三边长 度分别为x、y、z,则长 方体的体积为 而 S 2 xy 2 xz 2 yz
v xyz
x z y
略
例2: 如图，把一块边长是a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形， 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖 方底的盒子，问切去的正方形边长是多 小时？才能使盒子的容积最大？
2答案 3答案
基础练习: 2．设 A=1+2x ，B=2x +x ，x∈R 且 x≠1，比较 A，B 的大小.
提示:比较大小,最简单、最有效的方法 是作差→变形→定符号. 变形方法有二种: 一、是分解因式； 二是配方.
4 3 2
解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)= (2x4 2x3 ) (1 x2 ) = 2x3 ( x 1) (1 x)(1 x) = ( x 1)(2x3 x 1) = ( x 1)( x 1)(2x2 2x 1) 1 2 1 2 = ( x 1) 2( x ) 0 2 2 ∴A>B
基本不等式
定理1：如果a，b∈R，那么a + b ≥ 2ab， 当且仅当a = b时等号成立。
2 2
几何解释
b
a b a b
算术平均数不小于几何平均数
当 a、b 为正数时,
ab ≥ ab 则 2
（当且仅当 a = b 时取“=”号）
算术平均数 (a 、b 的)
几何平均数
(a
、b 的)
定理2：（基本不等式） a+b 如果a，b 0，那么 ≥ ab， 2 当且仅当a = b时等号成立。
2 则 3b 2a 的最大值是____.5 2.已知 x 0 ， y 0 ，且 x 2 y 1 ， 1 1 3 2 2 u 的最小值是______________。 则 x y x2 8 ( x 1) 的最小值为______. 3.函数 y x 1 4. 现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为 R，并 联后等效电阻值为 r，若 R k r ,则实数 k 的取值 范围是_____.

含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简 单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化 为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a|－ |b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是 综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用 一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二 次方程的根的分布等方法来证明．
4．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值． 解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝ 2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0， 即－1≤x≤1时取等号．∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝ |x－1|＋|x＋1|取得最小值2.
5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值 范围． 解：由题意知a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<[|x＋1|－|x－2|]min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3. ∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．
几何解释：在数轴上，a，b，c 所对应的点分别为 A， B，C，
当点 B 在点 A，C 之间时，|a－c| ＝ |a－b|＋|b－c|. 当点 B 不在点 A，C 之间时：①点 B 在 A 或 C 上时， |a－c| ＝ |a－b|＋|b－c|； ②点 B 不在 A，C 上时，|a－c| < |a－b|＋|b－c|. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．

练习
本题中的技能： 分组组合；添项、拆项；配方法。
求差比较大小的一般步骤：
①作差；②变形；③定号； ④下结论。 常见的变形方法是： 因式分解、配方、通分、有理化法等； 变形的结果是常数、若干个因式的积或 完全平方式等.
2、不等式的基本性质： 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？
a b b a 对称性 类比等式的基本性质，不等式有哪些基本性质呢？
（一）情景导入
现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而 相等则是局部的、相对的． “自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成 方的呢?”、 “为什么糖水加糖甜更甜呢?”
（二）合作探究
1.实数在数轴上的性质: 研究不等式的出发点是实数的大小关系。 数轴上的点与实数一一对应，因此可以利用数 轴上点的左右位置关系来规定实数的大小：
例1.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
解： ∵(x+3)(x+7) － (x+4)(x+6) = －3 < 0 作差
= (x2+10x+21) －(x2+10x+24) 变形 定号 结论
∴(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6). 注意：书写格式和步骤
试比较 2x4 + 1 和 2x3 + x2 的大小. 解： (2x4+1) － (2x3+x2 ) = 2x4+1 － 2x3 － x2 = (2x4 － 2x3 ) －(x2 － 1) = 2x3 (x－ 1) － (x － 1) (x +1) = (x－1) ( 2x3 － x－1) = (x－1)[(2x3－2x2) + (2x2－2x) + (x－1)] = (x－1)2 (2x2 + 2x + 1) = (x－1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2]

新人教A版高中数学(选修4-5)《绝 对值不等式》ppt课件
从 不 等 式 的 背 景 可到 以,许 看多 不 等 关 系 都 涉 及 到 距 离短 的,面 长积 或 体 积 的 大 小,重 量 的 大 小 ,等 等,它 们 都 要 通 过 非 负 数 来 表 .因示 此,研 究 含 有 绝 对 值 的 不 等 式 具要 有意 重义.
解 设生活区应建碑 于的 公x第 路 k处 m路 ,两个
施工队每天往之 返和 的S为 路 xk程 m,则 Sx2| x10|| x20|.
因 |x 1 为 | |0 x 2 | |x 0 1 | |0 2 x 0 |
|x 1 0 2 0 x | 1,0 当且 x 1 仅 0 2 0 当 x0 时取 . 等号 解 x 不 1 2 0 x 0 等 0 ,得 1 x 式 0 2 . 0
探 究如果把1定 中理 的实 a,b数 分别换为向 量a,b,能 得 出 什 ?么 你能 结解果 释 它 的 何几 意 义?吗
在上面的不等式中 ,用向量 a,b y
分 别 替 换 a, b,当 向 量 a, b不 共 线 时,那么由向 量 加 法的 三角形
ab b
法则,向量 a b,a,b构成三角形 , 因此我们有向量形式的 不等式
为 了 更 好 地 理 1,我 解们 定再 理从 代 数 理 的 角 度 给 出.它 的 证 明 证当 明 a b 0 时 ,a b |a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
|a|22|ab ||b|2
|a||b|2
| ab|
当 a b0 时 ,a b|a|b ,
|ab| ab2 a22abb2
a O
x
| a b || a | | b | .

1 d 1 c cd cd 0,因此 1 d 1 c 0.
由a 0及性质4 , 得
a d

a c
0.
由a b 0,
1 c
0及性质4 , 得
a d b c
a d b c .
a c

b c
0.
由性质2 , 得
0.
根据性质6, 有
从上述基本事实可知要比 , 较两个实数的大小 可以转 , 化为比较它们的差与的大 0 小.这是研究不等关系的一 个出发点 .
例1
比较 x 3 x 7 和 x 4 x 6
的大小 .
分析 通过考察它们的差与 的大小关系 0 , 得出这两个多项式的大 小关系.
解
因为 x 3 x 7 x 4 x 6
:
这个基本事实可以表示 ab ab 0; a b ab 0; a b a b 0.
上面的符号 相推出 .
为
" " 表示 " 等价于 " , 即可以互
0是正数 与负数 的 分界 点 , 它为 实数 比 较大小 提 供了 " 标杆".
思考
从上述基本事实出发 比较
,
你认为可以用什么方法 两个实数的大小 ?
2 2
x 10 x 21 x 10 x 24 3 0
所以 x 3 x 7 x 4 x 6 .
探究
我们知道 , 等式有 " 等式两边同 " "等
加 或减 一个 数 , 等式仍然成立 式两边 同乘
或除于 一个数
6 如果 a b 0, 那么n

2．已知
x＜45，求函数
y＝4x－2＋ 1 的最大值． 4x－5
【解】 y＝4x－2＋4x－1 5＝4x－5＋4x－1 5＋3＝3－
－4x ＋
1 －4x
≤3－2＝1.
所以函数 y＝4x－2＋ 1 的最大值为 1. 4x－5
难点突破
题型三、绝对值不等式的解法
解绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉 绝对值符号，化成一般的不等式，主要的依据是绝对值的定义．
D.12a<21b
难点突破
【规范解答】 a>b 并不能保证 a，b 均为正数，从而不能保证 A，B 成立．又
a>b⇒a－b>0，但不能保证 a－b>1，从而不能保证 C 成立．显然 D 成立．事
实上，指数函数
x
y＝12 是减函数，所以
a>b⇔12a<21b成立．
题型一、不等式的性质及其应用
主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立；再就是利用
不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较；有时考查分类讨论思想，常与
函数、数列等知识综合进行考查．考查形式多以选择题出现．
例 1 若 a，b 是任意实数，且 a>b，则( D )
A．a2>b2
a B.b<1
C．lg(a－b)>0
随堂检测
2．若函数 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为 5，则实数 a＝－__6__或__4__. 解析：由于 f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|，当 a>－1 时，
－3x＋2a－ x<－ ， f(x)＝－x＋2a＋ －1≤x≤a ， 3x－2a＋ x>a
作出 f(x)的大致图象如图所示，由函数 f(x)的图象可知 f(a)＝5， 即 a＋1＝5，∴a＝4.同理，当 a≤－1 时，－a－1＝5，∴a＝－6.

2
x 当 1 x , 2
2 4 x 时, ymax . 3 27
构造三个数相加等于定值
0 x 1时, 求函数y x(1 x )的最大值. 练习: (2)当
2
解:
0 x 1, 1 x 0,
2
由y x(1 x ), 得
2
y x (1 x )
x yz 3 证明：因为 xyz，所以 3
（x y z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 xyz
3
2 例2: (1)当 0 x 1时, 求函数y x (1 x)的最大值.
解:
0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x ) 4 (1 x ) 2 2 x x 1 x 4 3 2 2 4( ) 3 27
称 ab 为a,b的几何平均数。 基本不等式可以描述为： 两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数。
例1 求证：
（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大； 设矩形的长为x，宽为y， 设矩形周长为定值l，即2x+2y=l， 由基本不等式
l 4 xy
面积xy≤l2/16
第一讲 不等式和绝对值不等式
一 不等式
不等式的基本性质
A
a
B b
x
设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A,B 那么,当点A在点B的左边时 A a B b x 当点A在点B的右边时 B b A a x
a<b
a b ab0 a b ab 0 a b ab0
a>b
. 例1 比较( x 3)( x 7)和( x 4)( x 6)的大小

备考知考情 1.以选择题的形式考查绝对值不等式， 同时与不等式的性质相 结合． 2.以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、 补运算.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 知识点一
识
梳
理
绝对值三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，那么 |a＋b |≤ |a |＋ |b |，当且仅当
答案
C
【规律方法】
两数和与差的绝对值不等式的性质
|a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b | (1) 对绝对值三角不等式定理 |a |－ |b |≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |中等号成 立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可强化为 ||a |－ |b ||≤ |a± b |≤ |a |＋ |b |，它经常用于证明 含绝对值的不等式．
对 知识点一
点
自
测
绝对值三角不等式
1.设 ab>0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________． ①|a＋b |>|a |；② |a＋b |<|b |；③ |a＋b |<|a－b |；④ |a ＋b|>|a |－ |b |.
解析 确． ∵ab>0，∴a，b 同号，∴|a＋b |＝ |a |＋ |b |，∴①和④正
{x|0<x<2}
4．不等式|2 x＋1|－2|x－1|>0 的解集为________ ．
解析
原不等式化为 |2x＋1|>2|x－1|.
两边平方得：4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1) 1 即 12x>3，即 x> 4.
答案 1 {x|x> 4}

对于不等式恒成立求参数范围问题，常见类型及其解法
如下：
(1)分离参数法：
运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立
中的参数范围问题．
(2)更换主元法：
不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常 困难或不可能时，可转换思维角度，将主元与参数互换，
常可得到简捷的解法．
5 ②当－ ≤x≤2 时， 2 3 原不等式变形为 2－x－2x－5>2x，解得 x<－ . 5 5 3 ∴解集为{x|－ ≤x<－ }． 2 5 ③当 x>2 时，原不等式变形为 x－2－2x－5>2x， 7 解得 x<－ ，∴原不等式无解． 3 3 综上可得，原不等式的解集为{x|x<－ }. 5
2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：5
3．(2011· 陕西高考)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R 恒成立，则a的取值范围是________．
解析：令 f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝ －2x＋1x≤－1， 3－1<x<2， 2x－1x≥2， ∴f(x)≥3. ∵|x＋1|＋|x－2|≥a 对任意 x∈R 恒成立，∴a≤3.
[解析]
x＋3z 由 x－2y＋3z＝0 得 y＝ ， 2
2 2 y2 x ＋9z ＋6xz 6xz＋6xz 则xz＝ ≥ ＝3， 4xz 4xz
当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
[答案]
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1 1 [例 3] 设 a， c 为正实数， b， 求证：3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c 1 [证明]因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得 3＋ a

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

x 3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜ ＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜－ ， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ ＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为xx＜－5，或x＞2 .
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数 证明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对 值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式 的解法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 时，等号成立； ab≥0 (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ ， |a－b|＋|b－c| 当且仅当 时，等号成立． (a－ b)(b－c)≥0 (3)性质： ________≤| a±b|≤________；
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2， 令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| |a|＋|b|

证明
3x 2 y 3a 3b 3 x a 2 y b
2 xa 3 yb
3 2 5
所以：3x 2 y 3a 2b 5 .
例2
两个施工队分别被安排在公路沿线的两 个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑 的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两 个施工队的共同临时生活区，每个施工队每 天在生活区和施工区地点之间往返一次。要 使两个施工队每天往返的路程之和最小，生 活区应该建在何处？
分析
本题是绝对值不等式的应用，第一把 实际问题划归为数学问题，即归结为求解 形如y x a x b 的函数的极值问题， 这类问题借助于绝对值三角不等式解答。
解：设生活区建于公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km,
则S x 2 x 10 x 20 .
因 ：x 10 x 20 x 10 20 x 10, 且 x 1020 x 0 取等 。
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
一般地，我们有 a b a b .
.. . . x . . .. x
0 a b a+b
a+b b a 0
图1
(2)当ab<0时，又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两 中情况.
如果a>0,b>0时，如图2-1，a b a b .
.. b a+b

解得：1 5 x1 5
2
2
由上可知，当 x 1 5 或x1 5时，M大于N;
2
2
当
1 2
5
x1 2
5 时，M小于N。
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
当且仅当a b时，等号成立。
探究
观察下图，如果AD=a,BD=b,OC是 斜边AB的中线,你能给出基本不等式的 几何意义吗？
C
A
O
DB
分析
在图中，CD⊥AB,AO=OB,于是OC= 1 AB= 1(a+b),
2
2
因为∠DCA+ ∠A=90o, ∠B+∠A=90o
所以∠DCA= ∠B.
于是Rt△DCA和Rt△DBC相似.
3
当且仅当a=b=c时，等号成立。
推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平 均数不小于它们的几何平均数，
即 当： 且a仅1 当+ aa12=n+a2.=..…+=aann时 ，n a等1a号2 .成..a立n 。
例4 已知x,y,z R+,求证(x+y+z)3≥27xyz
提示 本题涉及三个实数的和积， 可以考虑基本不等式的推广。
1 8
4
由上可知，y的最大值是
1
8
2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M 与N的大小关系。

解答
反思与感悟
(1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行 转化，构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.
Байду номын сангаас
跟踪训练2 (1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值； 解 ∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤f(x)≤3， ∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.
解答
(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围. 解 ∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4， ∴|x－3|＋|x＋1|≥4. ∴当a＜4时，|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R. 又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R， ∴a≥4. ∴a的取值范围是[4，＋∞).
解答
类型三 绝对值三角不等式的综合应用 例3 设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a＞0)， (1)证明：f(x)≥2； 证明 由 a＞0，可得 f(x)＝|x＋1a|＋|x－a| ≥|x＋1a－(x－a)| ＝1a＋a≥2， 所以f(x)≥2.
证明
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围. 解 f(3)＝|3＋1a|＋|3－a|， 当 a＞3 时，f(3)＝a＋1a，
A.m＞n
B.m＜n
C.m＝n
√D.m≤n
解析 m＝|a|a|－－|bb||≤||aa－ －bb||＝1.
又 n＝|a|a|＋ ＋|bb||≥||aa＋ ＋bb||＝1，
∴m≤n.
12345
解析 答案
4.已知x∈R，不等式|x＋1|－|x－3|≤a恒成立，则实数a的取值范围为
A.(－∞，4]

高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型 不等式求解． |ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为， －c≤ax＋b≤c 再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为或 ax＋b≥c ，ax再＋进b≤一－步c 利用不等式性质求出原不等式的解集．
[例1] 解下列不等式： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. [思路点拨] 利用|x|>a及|x|<a(a>0)型不等式的解法求 解．
[解] (1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤ －65，
∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－65}，或x－2≥2， ∴x≤0，或x≥4. 由②得－4≤x－2≤4， ∴－2≤x≤6. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．
[解] 法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一 点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|. 由图像知(|PA|－|PB|)max＝1， (|PA|－|PB|)min＝－1. 即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可， 即m<1，m的范围为(－∞，1)；
|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式 的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法． 分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和 图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．