9-4施图姆-刘维尔本征值问题

d m2 2 dy y y 0 (1 x ) 2 dx 1 x dx y (1)有限 本征值l (l 1) 连带的勒让德函数
(4) a=0，b=ξ 0，k(ξ )=ξ ，q(ξ )=m2/ξ ， ρ (ξ )=ξ 贝塞尔方程(本征值问题参阅11章 详细讨论)
§9.4 施图姆-刘维尔本征值问题
引言：常微分方程的本征值问题 对一般(二阶常微分)方程 y"+a(x)y'+b(x)y+λ c(x)y=0 总可以化为施图姆-刘维尔型方程：
a ( x ) dx a ( x ) dx d a ( x ) dx dy e b( x)e y c( x)e y0 dx dx
构成施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)本征值问题 (本征值的全体称为给定问题的“谱”)。 例：(1) a=0，b=l，k(x)=常数，q(x)=0， ρ (x)=常数 2 2
y y 0 y(0) 0，y(l ) 0
n n l2 y ( x) C sin nx n l
共同条件： k(x)、q(x)、ρ (x)≥0 定理1：k(x)、k'(x)、q(x)在(a，b)上连续，且最 多以x=a，x=b为一阶极点，则存在无限多 个本征值
λ 1≤λ 2≤λ 3≤λ 4≤...λ n≤... 且 λ n≥ 0 n=1，2... 相应有无限多个本征函数 y1(x)、y2(x)、y3(x)、y4(x)... 证明 λ n≥0 n=1，2... 设：本征值λ n对应的本征函数为yn，是方程的根。 则 dyn d k ( x) q( x) yn n ( x) yn 0

证明：

b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx 0
nm
d ) qym m ym 0 (kym dx d (ky ) qy y 0 n n n n dx
两式分别乘以yn、ym，相减 d d ) ym (kyn ) (m n ) ym yn 0 yn (kym dx dx
d dy m 2 y y 0 d d y (0)有限 y ( 0 ) 0
(5) a=-∞，b=+∞，k(x)= e ，q(x)=0，ρ (x)= e
x2
x2
d x 2 dy x2 dx e dx e y 0 x ，y的增长不快于 x2 / 2 e
(即拉盖尔方程
xy"+(1-x)y'+λ y=0 (见P411)
)
为整数 Ln ( x) 拉盖尔多项式
注意： ①以上各例中，k(x)、q(x)和ρ (x)在区间(a，b)
上都取正值； ②关于自然边界条件是否存在： 如端点a或b是k(x)的一阶零点，在该端点就存在 自然边界条件(参阅P214)； 如果端点变为∞，则要求未知解在x→∞时有界， 或者趋向于与x的有限次乘幂的同阶无穷小。 二、施图姆-刘维尔本征值问题的性质：
(即厄米特方程
y"-2xy'+λ y=0
)
为4的倍数或为偶数但不是4的倍数 H n ( x) (见P409) 厄米特多项式
x (6) a=0，b=+∞，k(x)= xe， q(x)=0，ρ (x)= e x
d x dy x xe e y0 dx dx y (0)有限，x ，y的增长不快于e x / 2
对第三类边界条件：
) xa 0 x a端， ( yn hyn ) x b 0 x b端， ( yn hyn
上式大于零(见P216)，因为第一项
) x a k ( yn hyn ) yn hkyn 2 (kyn yn
同理第二项


xa
2

b
a
dyn k dx 0 dx
2

b
a
2 q ( x ) yn dx 0
讨论：(ky y ) (ky y ) n n x a n n xb
对第一、第二类边界条件： (a) 0 yn (a) 0，yn
(b) 0 yn (b) 0，yn
也可以写成
d dy k ( x) [ ( x) q( x)]y 0 dx dx
施图姆-刘维尔本征值问题
d dy dx k ( x) dx q( x) y ( x) y 0 (a x b) λ 为本征值；ρ (x) 附加边界条件(第一类、第二 条件) 为权重因子(权函数) 类、第三类或自然边界
讨论(证明同上)：
(m n ) ym yn dx 0
a
b
kym yn ) xb 0 (kyn ym
kym yn ) x a 0 (kyn ym
又

m n

b
a
( x) ym ( x) yn ( x)dx 0
定理3：所有的本征函数y1(x)、y2(x)...是完备的， 即若函数f(x)满足广义的狄里希利条件： (1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导 数； (2)满足本征函数族yn(x)(n=1、2、...)所 满足的边界条件，则必可展为绝对且 一致收敛的广义傅立叶级数
证明：


b
a
( ) f ( ) ym ( )d f n ( ) f ( ) ym ( )d
当m=n时， 1 b f n 2 ( ) f ( ) yn ( )d Nn a 正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要问题
关于归一化问题： 对{ yn }，当Nn>1时，可{ yn/Nn }用作为新的本征 函数族，即归一化本征函数族。 正交关系
f ( x) f n yn ( x)
n 1
fn称为广义傅立叶系数； 其中 模方
1 fn 2 Nn
2 n b a

b
a
( ) f ( ) yn ( )d
N ( )[ yn ( )]2 d
f ( x) f n yn ( x)
n 1
b n 1 a
Hale Waihona Puke ba2 ym ( x) yn ( x) ( x)dx N m 或n mn
mn
复数本征函数族 一般定义： b 2 模： N n yn ( )[ yn ( )] ( )d a b 正交关系： y ( )[ y ( )] m n ( )d 0
dx
b a
dx
2 n ( x) yn dx b dyn d 2 yn k ( x ) dx q ( x ) y n dx a a dx dx b
b dyn 2 [kyn y ] k dx q ( x) yn dx a a dx b n a b 2 ) x a (kyn yn ) x b k ( y n ) dx q ( x) yn (kyn yn dx 2 a a b b

l
l
e
inx / l
e
imx / l
dx ei ( n m )x / l dx
l l l
l
l i ( n m )x / l e i (n m)
0 nm 2 l N dx 2l n m l
(2) a=-1，b=1，k(x)=1-x2，q(x)=0，ρ (x)=1
d 2 dy (1 x ) y 0 dx dx y(1)有限
本征值l (l 1) (l为0或正整数) l阶勒让德多项式
(3) a=-1，b=1，k(x)=1-x2，q(x)= m2/(1-x2)， ρ (x)=1
逐项积分 b d d yn (kym ) ym (kyn ) dx a dx dx
b
此项为零
b d d kym yn kyn ym dx (m n ) ym yn dx a a dx dx b d b kym yn )dx (m n ) ym yn dx (kyn ym a dx a kym yn ) x b (kyn ym kym yn ) xa (kyn ym
a
1 n m 0 n m
广义傅里叶级数及系数公式：
f ( x) f n yn ( x)
n 1
例：对 {ein } 考虑 {einx / l }， ( x) 1 正交关系：
1 fn 2 Nn

b
a
f ( )[ yn ( )] ( )d
(参见P213 9.4.2式)
) x a 0 h(kyn
2
) x b k ( yn hyn ) yn hkyn 2 (kyn yn
得


x b
) x b 0 h(kyn λ n≥ 0
2
定理2：相应于不同本征值λ n的本征函数yn(x)在 区间[a、b]上带权重正交，即